有理數(shù)的四則運(yùn)算

精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算有理數(shù)的四則運(yùn)算知識引入我們已經(jīng)熟悉正數(shù)的加法運(yùn)算，然而實(shí)際問題中做加法運(yùn)算的數(shù)有可能超出正數(shù)范圍 .例如，足球循環(huán)賽中，可以把進(jìn)球數(shù)記為正數(shù)，失球數(shù)記為負(fù)數(shù)，他們的和叫做凈勝球數(shù) .章前言中，紅隊進(jìn) 4個球，失2個球；藍(lán)隊進(jìn) 1個球，失 1個球.于是紅隊的凈勝球為： 4+（-2）黃隊的凈勝球為： 1+（-1）這里就用到了正數(shù)和負(fù)數(shù)的加法 .下面我們來借助數(shù)軸來討論有理數(shù)的加法：我們先規(guī)定，一個物體作左右方向的運(yùn)動，我們規(guī)定向左為負(fù)，向右為正 .向右運(yùn)動 5m記作5m，向左運(yùn)動 5m記作-5m（1）如果物體先向右運(yùn)動 5m，再向右運(yùn)動 3m，那么兩次運(yùn)動后總的結(jié)果：物體從起點(diǎn)向右運(yùn)動了8m，寫成算式就是：5+3=8（2）如果物體先向左運(yùn)動 5m，再向左運(yùn)動 3m，那么兩次運(yùn)動后總的結(jié)果：物體從起點(diǎn)向左運(yùn)動了8m，寫成算式就是：-5）+（-3）=-8這個運(yùn)算也可以用數(shù)軸表示，其中假設(shè)原點(diǎn) O為運(yùn)動起點(diǎn)（3）如果物體先向右運(yùn)動 5m，再向左運(yùn)動 3m，那么兩次運(yùn)動后總的結(jié)果：物體從起點(diǎn)向右運(yùn)動了2m，寫成算式就是：。1歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算5+ （-3）=2這個運(yùn)算也可以用數(shù)軸表示，其中假設(shè)原點(diǎn) O為運(yùn)動起點(diǎn)我們再次借助數(shù)軸來討論以下情況物體兩次運(yùn)動的結(jié)果：1）先向右運(yùn)動3m，再向左運(yùn)動5m，物體從起點(diǎn)向_______運(yùn)動了_______m；2）先向右運(yùn)動5m，再向左運(yùn)動5m，物體從起點(diǎn)向____運(yùn)動了_____m；3）先向左運(yùn)動5m，再向右運(yùn)動5m，物體從起點(diǎn)向____運(yùn)動了_____m.這三種情況運(yùn)動結(jié)果的算是如下：3+ （-5）=-25+（-5）=0-5）+5=0如果物體第 1秒向右（或左）運(yùn)動 5m，第2秒原地不動，兩秒后物體從起點(diǎn)向右（或左）運(yùn)動了5m，寫成算是就是 5+0=5 或 （-5）+0=-5新知學(xué)習(xí)一、有理數(shù)的加法通過上面的算式我們發(fā)現(xiàn)有理數(shù)加法的運(yùn)算法則：有理數(shù)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加 .②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.③一個數(shù)同 0相加，仍得這個數(shù) .有理數(shù)加法的運(yùn)算步驟：法則是運(yùn)算的依據(jù)，根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，可以得到加法的運(yùn)算步驟：①確定和的符號；。2歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算②求和的絕對值，即確定是兩個加數(shù)的絕對值的和或差 .有理數(shù)加法的運(yùn)算律：①兩個加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變 .a b b a(加法交換律)②三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變 .(a b) c a (b c)(加法結(jié)合律)探究應(yīng)用：（1）下列運(yùn)算中正確的是 ( ) ．(A)(＋8)＋(－10)＝－(10－8)＝－2 (B)(－3)＋(－2)＝－(3－2)＝－1(C)(－5)＋(＋6)＝＋(6＋5)＝＋11 (D)(－6)＋(－2)＝＋(6＋2)＝＋8（2）足球比賽中，甲隊攻入乙隊兩球，同時被乙隊攻入五球，則計算甲隊凈勝球數(shù)的算式為__________________．（3）－2的相反數(shù)與1的倒數(shù)的和的絕對值等于______．2有理數(shù)加法運(yùn)算規(guī)律：我們以前學(xué)過加法交換律、結(jié)合律，在有理數(shù)的加法中它們還適用嗎？計算30+(-20)(-20)+30兩次所得的和相同嗎？換幾個加數(shù)再試一試.計算[8+(-5)]+(-4)8+[(-5)+(-4)]兩次所得的和相同嗎？換幾個加數(shù)再試一試.我們可以得到，在有理數(shù)的加法中：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.-----加法交換律：ab______三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.----加法結(jié)合律：(ab)c_______探究應(yīng)用：（1）(10.5)7（2）(＋7)＋(－21)＋(－7)＋(＋21)12.520（3）0＋(－3.71)＋(＋1.71)－(－5)（4）(3)(1)(2)(11)7575。3歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算（5）(35)(15.5)(62)(51)772小結(jié)：有理數(shù)加法的運(yùn)算技巧：①分?jǐn)?shù)與小數(shù)均有時，應(yīng)先化為統(tǒng)一形式 .②帶分?jǐn)?shù)可分為整數(shù)與分?jǐn)?shù)兩部分參與運(yùn)算 .③多個加數(shù)相加時，若有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，可先結(jié)合相加得零 .④若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結(jié)合相加 .⑤若有同分母的分?jǐn)?shù)或易通分的分?jǐn)?shù)，應(yīng)先結(jié)合在一起 .⑥符號相同的數(shù)可以先結(jié)合在一起 .二、有理數(shù)的減法在實(shí)際問題中，有事還要涉及有理數(shù)的減法 .例如，某地一天的氣溫是 3:4C，這天的溫差就是4-（-3）.這里用到正數(shù)和負(fù)數(shù)的減法 .減法是與加法想法的運(yùn)算，計算 4-（-3），上就是要求出一個數(shù) x，使得x與-3相加得4.因為7與-3相加得4，所以x應(yīng)該是7，即4-（-3）=7另一方面，我們知道： 4+ （+3）=7于是： 4- （-3）=4+（+3）我們再嘗試著換幾個數(shù)試試： 9-8,9+（-8）；15-7,15+（-7），從中又能有新發(fā)現(xiàn)嗎？有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù) .a b a (b)有理數(shù)減法的運(yùn)算步驟：①把減號變?yōu)榧犹枺ǜ淖冞\(yùn)算符號）②把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)（改變性質(zhì)符號）③把減法轉(zhuǎn)化為加法，按照加法運(yùn)算的步驟進(jìn)行運(yùn)算 .探究應(yīng)用：（1）計算(1)( ＋15)－(－11)＝______； (2)( ＋15)－(＋11)＝______；(3)0－(＋3.75)＝______； (4) ｜－4｜－｜－9｜＝______；(5)－9－______＝0 (6)a －b＝a＋______．。4歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算（2）判斷正誤( ) 兩數(shù)之差一定小于被減數(shù)．( ) 若兩數(shù)的差為正數(shù)，則兩數(shù)都為正數(shù)．( ) 零減去一個數(shù)仍得這個數(shù)．( ) 一個數(shù)減去一個負(fù)數(shù)，差一定大于被減數(shù)．下面我們來研究怎樣進(jìn)行有理數(shù)的加減混合運(yùn)算：例：計算（-20）+（+3）-（-5）-（+7）分析：這個式子中有加法，也有減法，可以根據(jù)有理數(shù)減法法則，把它改寫為-20）+（+3）+（+5）+（-7）使問題轉(zhuǎn)化為幾個有理數(shù)的加法.-20）+（+3）-（-5）-（+7）=（-20）+（+3）+（+5）+（-7）=[（-20）+（-7）]+[（+5）+（+3）]=(-27)+(+8)=-19式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20,3,5，-7這四個數(shù)的和，為書寫簡單，可以省略式子中的括號和加號，把它寫為-20+3+5-7，那么上述運(yùn)算過程也可以簡單地寫為：-20）+（+3）-（-5）-（+7）=-20+3+5-7=-20-7+3+5=-27+8=-19歸納：引入相反數(shù)后，加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算： a b c a b _____三、有理數(shù)的乘法我們已經(jīng)熟悉正數(shù)及 0的乘法運(yùn)算，引入負(fù)數(shù)以后，怎么進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算呢？下面，我們?nèi)匀唤柚鷶?shù)軸來研究有理數(shù)的乘法：。5歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算上圖中，一只蝸牛沿直線 l爬行，它現(xiàn)在的位置恰在 l上的點(diǎn)O為區(qū)分方向，我們規(guī)定：向左為負(fù)，向右為正；為區(qū)分時間，我們規(guī)定：現(xiàn)在前為負(fù)，現(xiàn)在后為正（1）如果蝸牛一直以每分 2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？3 分鐘后蝸牛應(yīng)在 l上點(diǎn)O右邊6cm處，這可以表示為： (2) (3) 6（2）如果蝸牛一直以每分 2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？3 分鐘后蝸牛應(yīng)在 l上點(diǎn)O左邊6cm處，這可以表示為： (2) (3) 6。6歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算（3）如果蝸牛一直以每分 2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？3 分鐘后蝸牛應(yīng)在 l上點(diǎn)O左邊6cm處，這可以表示為： (2) (3) 6（4）如果蝸牛一直以每分 2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？3 分鐘后蝸牛應(yīng)在 l上點(diǎn)O右邊6cm處，這可以表示為： (2) (3) 6。7歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算觀察上面四個式子，根據(jù)你對有理數(shù)乘法的思考，填空：正數(shù)乘正數(shù)積為 _____數(shù)，負(fù)數(shù)乘正數(shù)積為 _____數(shù)，正數(shù)乘負(fù)數(shù)積為 _____數(shù)，負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)積為 _____數(shù)，乘積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的 _____.于是，我們得到：有理數(shù)乘法法則： 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘 .任何數(shù)同 0相乘，都得 0.探究應(yīng)用：（1）下列計算正確的是 ( ) ．(A)(111(B)(1211)(1)18)339217(C)(7)(16(D)31)1)6(773（2）直接將答案寫在橫線上：(1)3(4)______；(2)(5)(4)______；458(3)(32)38______；(4)(11)(1.2)______．194多個有理數(shù)相乘，可以把它們按順序依次相乘.下列各式的積是正的還是負(fù)的？234(5),234(4)(5),2(3)(4)(5),(2)(3)(4)(5)幾個不是0的數(shù)相乘，積的符號是負(fù)因數(shù)的個數(shù)之間有什么關(guān)系？歸納：幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是_______時，積為正數(shù)；。8歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算負(fù)因數(shù)的個數(shù)是 _______時，積為負(fù)數(shù)；同時，我們還能得到有理數(shù)乘法運(yùn)算律：①兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等 . ab ba(乘法交換律)②三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等.abca(bc)(乘法結(jié)合律)③一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加.a(bc)abac(乘法分配律)有理數(shù)乘法法則的推廣：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負(fù)數(shù).②幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，則積為0.③在進(jìn)行乘法運(yùn)算時，若有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，便于約分；若有小數(shù)及分?jǐn)?shù)，一般先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算.探究應(yīng)用：（1）式子1(6)7.5(3.8)(981)(66)的符號為______．3（2）兩個有理數(shù)之積是0，那么這兩個有理數(shù)()．(A)至少有一個是0(B)都是0(C)互為倒數(shù)(D)互為相反數(shù)（3）4110.05)810.04,這個運(yùn)算應(yīng)用了()．(1045(A)加法結(jié)合律(B)乘法結(jié)合律(C)乘法交換律(D)分配律（4）(11)(22)(33)(2)(4)(3)2345158四、有理數(shù)的除法怎樣計算8(4)呢？根據(jù)除法的意義，這就是要求一個數(shù)，使它與（-4）相乘得8.因為(2)(4)8，所以8(4)2另一方面，我們有8(1)2，于是有48(4)8(1)24我們可以得到有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).aba1，(b0)b。9歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：首先確定商的符號，然后再求出商的絕對值.因為有理數(shù)的除法可以化成乘法，所以可以利用乘法的運(yùn)算性質(zhì)簡化運(yùn)算.乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后就出結(jié)果51581例：2.5()518424探究應(yīng)用：1）若兩數(shù)之積為1，則這兩數(shù)互為________；若兩數(shù)之商為1，則這兩數(shù)________；若兩數(shù)之積為1，則這兩數(shù)互為________；若兩數(shù)之商為－1，則這兩數(shù)互為________．2）零乘以________都得零，零除以________都得零．（3）化簡下列分?jǐn)?shù)：12=_______；45=________.312（4）填空：(1)(12)(1)＝_______；(2)5.2(33)＝_______；225(3)5(1)15_______；(4)544(5)＝_______；554554五、有理數(shù)的乘方求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，aaa443a記作an，乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫1442n個做底數(shù)，n叫做指數(shù)，讀作a的n次冪。例如，94中，底數(shù)是9，指數(shù)是4，94讀作9的4次方，或9的4次冪.一個數(shù)就可以看作這個數(shù)本身的一次方，例如，15就是5，指數(shù)1通常省略不寫.根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可以得出：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正式.顯然，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0注意：2n2n1a2n1aa2n，，，a探究應(yīng)用：1）對于(－2)6，6是______的指數(shù)，底數(shù)是______，(－2)6＝______.對－26，6是____的指數(shù)，底數(shù)是____，－26＝______．（2）計算：(1)34＝______；(2)－34＝______；(3)(－3)4＝______；(4)－(－3)4＝______；(5)23______；(6)(2)3______；(7)(2)3______；(8)(2)3______；33333）當(dāng)n為正奇數(shù)時，(－a)n＝______；當(dāng)n為正偶數(shù)時，(－a)n＝______．24）3的計算結(jié)果是()．。10歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算(A)1(B)1(C)1(D)19393基礎(chǔ)演練模塊一、有理數(shù)的加法【習(xí)題1】 計算下列各題：(1)( 一11)+(一9)； (2)( 一3.5)+(+7) ； (3)( 一1.08)+0；．2 2(4)( )+( ) （5）[(-22)+(-27)]+(+27) ；3 36）(-22)+[(-27)+(+27)]【變式練習(xí)】計算：（1） 3 6 4 7 5（2）31120.250.1253488。11歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算（3）55322971425725142小明家冰箱冷凍室的溫度為-5℃，調(diào)高4℃后的溫度為（）【習(xí)題】A．4℃B．9℃C．-1℃D．-9℃3絕對值不大于10的所有整數(shù)的和等于（）【習(xí)題】A．-10B．0C．10D．204已知a，b，c的位置如圖，化簡：|a-b|+|b+c|+|c-a|=______________【習(xí)題】a c 0 b模塊二、有理數(shù)的減法【習(xí)題5】 計算1）(3)(5)（2） +5 9【變式練習(xí)】計算（1）(42121)(3)⑵(6)(9)|3|7.49.2(4)3355⑶(141)(57)(1.25)⑷(8.5)31(61)11188332。12歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算【習(xí)題6】對于任何有理數(shù)a，下列各式中一定為負(fù)數(shù)的是（）A．3aB．a(chǎn)C．a(chǎn)1D．a(chǎn)17a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a，b，a+b，a-b中，負(fù)數(shù)的個數(shù)是（）【習(xí)題】a0bA．1個B．2個C．3個D．4個【習(xí)題8】兩個數(shù)的差是負(fù)數(shù)，則這兩個數(shù)一定是（）A．被減數(shù)是正數(shù)，減數(shù)是負(fù)數(shù)B．被減數(shù)是負(fù)數(shù)，減數(shù)是正數(shù)C．被減數(shù)是負(fù)數(shù)，減數(shù)也是負(fù)數(shù)D．被減數(shù)比減數(shù)小9如果a，b均為有理數(shù)，且b＜0，則a，a-b，a+b的大小關(guān)系是（）【習(xí)題】A．a(chǎn)＜a+b＜a-bB．a(chǎn)＜a-b＜a+bC．a(chǎn)+b＜a＜a-bD．a(chǎn)-b＜a+b＜a模塊三、有理數(shù)的乘法【習(xí)題10】下面計算正確的是（）A．-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80B．12×（-5）=-50C．（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180D．（-36）×（-1）=-36【變式練習(xí)】133163716___________941113（2）71113(111)；【變式練習(xí)】（1）(3)152115971113。13歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算（3）999（4）111181251241212211116161642612【習(xí)題11】若兩個有理數(shù)的和與積都是正數(shù)，則這兩個有理數(shù)（）A．都是負(fù)數(shù)B．一正一負(fù)且正數(shù)的絕對值大C．都是正數(shù)D．無法確定【習(xí)題12】a、b、c為非零有理數(shù)，它們的積必為正數(shù)的是（）A．a(chǎn)0，b．c同號B．b0，a．c異號C．c0，a．b異號D．a(chǎn)．b．c同號【習(xí)題13】已知|x|=3，|y|=2?），且xy＜0，則x+y的值等于（A．5或-5B．1或-1C．5或1D．-5或-1【習(xí)題14】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，給出下面四個命題：cab-101（1）abc＜0（2）|a-b|+|b-c|=|a-c|（3）（a-b）（b-c）（c-a）＞0（4）|a|＜1-bc其中正確的命題有（）A．4個B．3個C．2個D．1個模塊四、有理數(shù)的除法【習(xí)題15】下列關(guān)于0的說法中，正確的個數(shù)是（）①0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；②0既是整數(shù)也是有理數(shù)；③0沒有倒數(shù)；④0沒有絕對值．A．1B．2C．3D．4【習(xí)題16】下列運(yùn)算有錯誤的是（）A．1333B．512C．8-（-2）=8+2D．2-7=（+2）+（-7）532【變式練習(xí)】計算：（1）111（2）213132110533523。14歡迎下載精品文檔預(yù)習(xí)課程˙有理數(shù)的四則運(yùn)算（3）(4)23(1)；（4）(7)21(3)；32493【習(xí)題17】 兩個有理數(shù)的商為正，則（ ）A．和為正 B ．和為負(fù) C ．至少一個為正 D ．積為正數(shù)【習(xí)題18】 用“＞”或“＜”填空（1）如果ab 0，ac 0那么b_____0 ；c（2）如果a 0，b 0那么ac_______0.b c模塊五、有理數(shù)的乘方【習(xí)題19】計算：（1）(4)3（2）(2)4【習(xí)題20】計算：(2)3(3)[(4)22](3)2(2