微分幾何課后習(xí)題答案第四版梅向明黃敬之編

§1曲面的概念r.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的坐標(biāo)曲線.r解u-曲線為r={ucosvo,usinvo,bvo}={0,0,bv0}+u{cosvo,sinvo,0},為曲線的直母線；v-曲線為r={u0cosv,u0sinv,bv}為圓柱螺線..證明雙曲拋物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。r證u-曲線為r={a(u+v0),b(u-v0),2uv0}={av0,bv0,0}+u{a,b,2v0}表示過點(diǎn){av0,bv0,0}以{a,b,2v。}為方向向量的直線；v-曲線為r={a(v-曲線為r={a(u0+v),b(u0-v),2u0v}={aubu0,0}+v{a,-b,2u0}表示過點(diǎn)(au°,bu0,0)以｛a,-b,2u0｝為方向向量的直線。r-3,求球面r={acossin,acossin,asin｝上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。解r={asincos,asinsin,acos},r=r-3,求球面r={acossin,acossin,asin｝上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。解r={asincos,asinsin,acos},r={acossin,acoscos,0}任意點(diǎn)的切平面方程為acosasincosyacossinzasinacoscossinasinacossincosacos0即xcoscos+ycossin+zsin法線方程為xacoscosycoscosacossincossinasinsin224.求橢圓柱面xya{asin,bcos,0}, rt{0,0,1}。所以切平面方程為:xacosybsinasinbcosxacosybsinasinbcos0 00 0,即xbcos+yasin1此方程與t此方程與t無關(guān)，對于對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面35.證明曲面r{u,v,a-}的切平面和三個坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常uv數(shù)。uvuvo)z3o3a3證 ru{1。多},rvuv3{0,1,1}。切平面方程為:uv與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2)

uv于是，四面體的體積為:V631u131v篇聲是常數(shù)?！?曲面的第一基本形式.求雙曲拋物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的第一基本形式.解ru{a,b,2v},rv{a,b,2u},Eru2a2b2 4v2,2 2 2 2 2 2Frurva b 4uv,Grvab4u,I=(a2 b2 4v2)du22(a2 b2 4uv)dudv (a2 b2 4u2)dv2。.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。解 ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},Eru21,Frurv0,Grv2u2b2,I=du2 (u2b2)dv2,F=0,?.?坐標(biāo)曲線互相垂直。.在第一基本形式為I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程為u=v的曲線的弧長。解由條件ds2 du2sinh2udv2,沿曲線u=v有du=dv,將其代入ds2得ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲線u=v上，從v1至1Jv2的V2弧長為|coshvdv||sinhv2sinhv1|。Vl.設(shè)曲面的第一基本形式為I=du2(u2a2)dv2,求它上面兩條曲線u+v=0,u-v=0的交角。分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量E1,Fv0,Gu2a2,曲線u+v=0與u-v=0的交點(diǎn)為u=0,v=0,交點(diǎn)處的第一類基本量為E1,Fv0,Ga2。曲線u+v=0的方向?yàn)閐u=-dv,u-v=0的方向?yàn)?u=6V,設(shè)兩曲線的夾角為,則有2EduuGdvu 1acos=' 。Edu2Gdv2.Eu2Gv21a.求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x0,y=y0的交角.r解曲面的向重表小為r={x,y,axy},坐標(biāo)曲線x=xO的向重表小為r rr={x0,y,ax°y},其切向重ry={0,1,ax。}；坐標(biāo)曲線y=y0的向重表小為r={x,y,axy0},其切向量葭={1,0,ayO},設(shè)兩曲線x=x°與y=y°的夾角為，則2有cos=3 :—ax0y0—IrxllryI.1a2x(2.1a2y：.求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解對于u-曲線dv=0,設(shè)其正交軌線的方向?yàn)?u:6V,則有Edu6u+F(du6V+dv6u)+Gdv6V=0,將dv=0代入并消去du得u-曲線的

正交軌線的微分方程為E6u+F6v=0.同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為F6u+G6v=0..在曲面上一點(diǎn)，含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,確定兩個切方向(du:dv)和(6u:6v),證明這兩個方向垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=0.證明因?yàn)閐u,dv不同時為零，假定dv 0,則所給二次方程可寫成為P(du) 2 2 2 ， 2 2 2 ，閔 0Euds Gvds E G展開并化簡得E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而EG-F2>0,消去EG-F2得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.du2(u2a2)dv2,求曲面上三條曲線u=av,v=1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。曲線圍城的三角形的面積是dvdu duuduuRduu2Q2Q--+R=0，設(shè)其一根/,一,貝 =—,—+一=—……①又根據(jù)一萬向垂直的條件知Edu—+F(du+—)+G=0……②dvvdvv將①代入②則得ER-2FQ+GP=0..證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為 Edu2=Gdv2.證用分別用八 、d表示沿u—曲線，v—曲線及其二等分角線的微分符號，即沿u—曲線6u0,6v=0,沿v—曲線u=0,v0.沿二等分角軌線方向?yàn)閐u:dv，根據(jù)題設(shè)條件，又交角公式得_ _ 2_ _ 2 __2__29.設(shè)曲面的第一基本形式為I=9.設(shè)曲面的第一基本形式為I=TOC\o"1-5"\h\z0 1 a 1S=..u2a2dudvu2a2dudva u 0 ua aa 1 a=2 ,u2 a2dudv=2(1u),u2a2du0 u 0 aa3_r2/2 _2\2 2 _2 _2 2 _2a=[(ua)2u.uaaln(u.ua)]|03a=a2[2-gln(1"]。3r.求球面r={acossin,acossin,asin}的面積。解r={asincos,asinsin,acos},r={acossin,acoscos,0}E=r2=a2,F=rr=0,G=r2=a2cos2 .球面的面積為:2a22a2sin|2 4a2.2.S=2d a4cos2d2a22cosd2 0 22r11. r11. 證明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋轉(zhuǎn)曲面r={tcos,tsin,..t21}(t>1,0< <2)之間可建立等距映射(t>1,0< <2)之間可建立等距映射2=arctgu+v,t=.u1.分析根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件，要證以上兩曲面可建立等距映射 =arctgu+v,t= Vu21,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù)，然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式.證明螺面的第一基本形式為I=2du2+2dudv+(u2+1)dv2,旋轉(zhuǎn)曲面的第一2基本形式為1=(1—一-)dt212d ,在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換 =arctgu+v,TOC\o"1-5"\h\zt=Ju21,則其第一基本形式為：2/2 /u1u2 2 1 2(1——2-)- du(u1)( dudv)uu1 1uu2 1 9 1 9 9 一一一。一。一=(——1)du 2du2dudv(u1)dv=2du+2dudv+(u+1)dv=I.u 1u所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射 =arctgu+v,t=vu21.§3曲面的第二基本形式.計算懸鏈面r={coshucosv,coshusinv,u} 的第一基本形式，第二基本形式.解ru={sinhucosv,sinhusinv,1}, rv={-coshusinv,coshucosv,0}ruu={coshucosv,coshusinv,0}, ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2rw={-coshucosv,-coshusinv,0}, E%=coshu,F rurv=0,G=coshu.所以I=cosh2udu2+cosh2udv2.ru rv 1n= = 2-{coshucosv,coshusinv,sinhusinv},...egF2coshu ，,coshu coshudL= 1,M=0,N= =1.sinh21 sinh21所以II=- du2+dv2o.計算拋物面在原點(diǎn)的2x35x124x1x22x；第一基本形式，第二基本形式.5.斛曲面的向重表小為r{x1,x2,-xf2x1x2 x2},rx(1,0,5x1 2x2}(0,0)(1,0,0},rX2{0,1,2%2x2)(o,o){0,1,0},k(0,0,5),

rxiX2 {0,0,2},&2 {0,0,2},E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,2,2 2 2dx1 dx2,II= 5dxi 4dxidx2 2dx2.r3.證明對于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-0°vu,vvoo處處有en-2FM+GL=0解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},ruv={-uucosv,cosv,0}, rw={-ucosv,-usinv,0}, E r； 1,Frurv0,G rv2 u2b2,L=0,M= ,b,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.v 2 ,2,ub1.求出拋物面z-（ax2by2）在（0,0）點(diǎn)沿萬向（dx:dy）的法曲率.2 2adxbdydx2dy2解rx{1,0,ax）（0,0）（1,0,0},ry{0,1,by}（。,。） {0,1,。},7{0,0,a},rxy{0,0,0）ryy{0,Qb},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向2 2adxbdydx2dy2.已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0vdv1),求與(S)交線的曲率與法曲率.解設(shè)平面與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為"d2,即(C)的曲率為k了^^,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于 <1d2,所以(C)的法曲率為knk6d2=1..利用法曲率公式kn"，證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基I本量成比例。證明因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(biāo)(u,v),沿任意方向du:dv,II Ldu2 2Mdudv Ndv2 1 .1 L M N, 1kn一 2 T一或—-,所以一一—（一）,即第I Edu 2Fdudv Gdv RR E F G R

類基本量成比例.求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。證明對于正螺面r={ucosv,usinv,bv},ru{cosv,sinv,0},&{usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},rw={-ucosv,-usinv,0} ,L=(ru,rv,ruu)=0,n=(jrv,rvv)=0.所以u族曲線和v族曲線都是漸近線。而uEGF2 EGF2族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。.求曲面zxy2的漸近線.解曲面的向量表示為r{x,y,xy2},rx{1,0,y2},%{0,1,2xy},7{0,0,0},2xy2,Gry214x2y2.2xy2,Gry214x2y2.L0,M1L0,M14：12y4,N、丁4x2；2y40,一族為dy=0,即漸近線的微分方程為Ldx22MdxdyNdy2,即4ydxdy2xdy2yc1,c1為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即lnx2yc2，或x2yc,c0,一族為dy=0,即.證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線證在每一條曲線(C)的主法線曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面，與曲線(C)的密切平面重合，所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.rr rrrr方法二：任取曲線:rr(s),匕的王法線曲面為S: (s,t)r(s)t(s),方法二：任取曲線rr&rs(s)t”(s)t(rr&rs(s)t”(s)t(r rrr)(1t)t，t(1t)rrr在曲線上，t=0,rsrt「，曲面的單位法向量n1st「，即nr,EGF2所以曲線 在它的主法線曲面上是漸近線..證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù)，y=常數(shù)構(gòu)成共腕網(wǎng)

證曲面的向量表示為r={x,y,f(x)+g(y)},x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。r r rrx{1,0,f},ry{0,1,g}.rxx {0,0,f},rxy{0,0,0},ryy{。,。，g},x=常數(shù),y=常數(shù)rrrjr,因?yàn)镸 rxy x=常數(shù),y=常數(shù)EGF2構(gòu)成共腕網(wǎng)。.確定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率線.rvv解 ru {cosv,sinv,0},rv {usinv,ucosv,b}={-ucosv,-usinv,0},ruv={-sinv,cosv,0},Erv2b2,L=0,M=rvv解 ru {cosv,sinv,0},rv {usinv,ucosv,b}={-ucosv,-usinv,0},ruv={-sinv,cosv,0},Erv2b2,L=0,M=ruu={0,0,0} ，rv0，dv21dudv

0 b_u2b2du2

uln(u,u2b2)「b,N=0,曲率線的微分方程為,u2b2b20,即dvG和vln(vu2 b21 ，，i、，，=，、_11du,積分得兩族曲率線方程:,u2b2u) C2..求雙曲面z=axy上的曲率線2 2y,Fax,G22a2x2,L0,Ma1a2x2 2y,Fax,G22a2x2,L0,Ma1a2x2 ,N=0.2 2aydy22 21axdxdy22 2axy

a2 2 2 2,1axaydx22ax=0得(1a2y2 2)dx(1a2x2)dy2,積分得兩族曲率線為ln(ax1a2x2)ln(ay1a2y2)c..求曲面r{|(uv),b(uv),uv}上的曲率線的方程.TOC\o"1-5"\h\z2,22 2,2 2,22,L0,解Eabv,FabUV,Gabu4 4 4,L0,abM=2 ,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是..EGF2, 2 .2 2 2 .2 .2 2 2(abu)dv(abv)du,積分得：ln(u.a2b2u2)ln(v..a2b2v2)c..給出曲面上一曲率線L,設(shè)L上每一點(diǎn)處的副法線和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角，求證L是一平面曲線.證法一：因L是曲率線，所以沿L有dn 「dr,又沿L有？n二常數(shù)，求微商得n-n0,而n//dn//dr與正交，所以n0,即- ?n=0,則有=0,或?n=0.若=0,則L是平面曲線；若?n=0,L又是曲面的漸近線，則沿L,n=0,這時dn=0,n為常向量，而當(dāng)L是漸近線時，=n,所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若 n,則因ndr「，所以nII，所以dnII&,由伏雷rr內(nèi)公式知dnII(r)而L是曲率線，所以沿L有dnIIr,所以有=0,從而曲線為平面曲線；若不垂直于n,則有？n=常數(shù)，求微商得&rr一&0,因?yàn)長是曲率線，所以沿L有dnIIdr，所以r&0,所以n0,即- ?n=0,若=0,則問題得證；否則?n=0,則因nr0,有nII,dnIIdr||(- )IIr,矛盾。.如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線

證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。.求正螺面的主曲率。r解設(shè)正螺面的向重表小為r={ucosv,usinv,bv}.ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0},5={-sinv,cosv,0},Eru21,F ru rv0,2 2,2ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0},5={-sinv,cosv,0},Eru21,F ru rv0,2 2,2rv ubbL=0,M=———,N=0,

u2 b2代入主曲率公式(eg-f2)N(LG-2FM+ENN+LN-M2=022_aN=7^ 2770(ua)所以主曲率為17.確定拋物面17.確定拋物面z=a(x2y2)在(0,0)點(diǎn)的主曲率.r r 0 0r r斛曲面方程即ryy(0,0,2a},r{x,y,a(xy)},rx{1,0,2ax}ry(0,1,2ay),r r rrxx(0,0,2a},&{0,0,0},刖{0,0,2a}。在(0,0)點(diǎn),E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,N=2a.所以2-4an+4a2=0,兩主曲率分別為 1=2a, 2=2a..證明在曲面上的給定點(diǎn)處，沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為 1、 2,任給一方向及與其正交的方向+/2,則這兩方向的法曲率分別為 n() 1cos2 2sin2,n( 2) 1cos2( 2) 2sin2( 2) 1sin2 2cos2 ,即

n()n( /2) 1 2為常數(shù)。.證明若曲面兩族漸近線交于定角,則主曲率之比為常數(shù)證由n1cos2 2sin2 得tg21,即漸進(jìn)方向?yàn)?iarctg.1,2=-arctg21=2i為常數(shù)，所以為i為常數(shù)，即，為常數(shù).1,即漸進(jìn)方向?yàn)?iarctg.1,2=-arctg21=2i為常數(shù)，所以為i為常數(shù)，即，為常數(shù).2.求證正螺面的平均曲率為零.證由第3題或第16題可知..求雙曲面z=axy在點(diǎn)x=y=0的平均曲率和高斯曲率證在點(diǎn)x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,H=LG2FMNE02 0,2(EGF)“LNM2 2K= r=-aEGF2.證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn)證法一： 由H=」 2=0有1=2=0或產(chǎn)-2 0.2若1=2=0,則沿任意方向n() 1cos2 2sin2=0,即對于任意的du:dv,■■ II2CR.!! 一I2knII-Ldu22Mdudv-Nd,0,所以有l(wèi)=M=N=0對應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn)I Edu22FdudvGdv2若產(chǎn)-2 0,則K=12<0，即LN-M2<0,對應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)證法二：取曲率網(wǎng)為坐標(biāo)網(wǎng)，則F=M=0,因?yàn)闃O小曲面有H=0,所以LG+EN=0,HE>0,G>0,所以LN<0。若LNM2=0,則L=M=N=0,曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若LNM2<0,則曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。.證明如果曲面的平均曲率為零，則漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).證法一：如果曲面的平均曲率為零，由上題曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn)若為平點(diǎn)，則任意方向?yàn)闈u近方向，任一曲線為漸近曲線，必存在正交的漸近曲線網(wǎng)TOC\o"1-5"\h\z若為雙曲點(diǎn)，則曲面上存在漸近曲線網(wǎng).由19題，漸近方向 滿足tg2 」=1,2即1=/4,2=- /4,兩漸近線的夾角為力,即漸近曲線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng)證法二：QH0LG2FMNE0漸近線方程為Ldu22MdudvNdv20所以啥2M所以啥2MduEduuF(duvdvu)N0,所以 一,一 一 ——dv v Ldv v Lduu du u.Gdvvdvv[EF( )G]dvv dv v=dvv[ENL-F(2M)G]0,所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng) . 1 證法二：M0QH2(1 2)0,所以高斯曲率QK120,所以LNM20,所以曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)或雙曲點(diǎn)。所以曲面上存在兩族漸近線。取曲面上的兩族漸近線為坐標(biāo)網(wǎng)，則L=N=0,若M=0,曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若M0,則QH0LG2FMNE0,所以MF=0,所以F=0,所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。a2(ba),并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面，參數(shù)方程為r={(b+acos)cos,(b+acos)sin,asin},求圓環(huán)面上a2(ba),并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面，參數(shù)方程為r={(b+acos)cos,(b+acos)sin,asin},求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。解E=a解E=a2,F=0,G=(b、2acos),L