正弦定理 (2) 教學(xué)設(shè)計(jì)

§1.1.1正弦定理?教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的兒何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。?教學(xué)重點(diǎn)正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。?教學(xué)難點(diǎn)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。?教學(xué)過(guò)程I.課題導(dǎo)入如圖1.1-1,固定AABC的邊CB及/B,使邊AC繞著頂點(diǎn)C夬動(dòng)。思考：NC的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？\顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角/C的大小的增大而增大。能否/用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？CII.講授新課［探索研究］（圖1.1-1）在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1.1-2,在RtAABC中，設(shè)BC=a,AC二b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有名=$皿4,cA則3=上=，=,sinJsin5sinC從而在直角三角形ABC中，=—Jsinnsin夕sine思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：a_bsin6如圖1.1-3,當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asin5=6sin4

同理可得三=_勺，a_bsin6a從而二一二^^=」一Asin/sin方sinCB（圖L1-3）思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。（證法二）：過(guò)點(diǎn)A作由向量的加法可得AB=AC+CB則B■J：.j-AB=J-AC-}-J-CB同理，過(guò)點(diǎn)C作/」3C,可得sin3sinC|ABgs（90°-A）=O+MC@cos（90°—C）■J：.j-AB=J-AC-}-J-CB同理，過(guò)點(diǎn)C作/」3C,可得sin3sinC從而a_b_c

sinAsin夕sin。從而類似可推出，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過(guò)程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即a_b_csin/sin5sinC［理解定理］（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同~1正數(shù)，即存在正數(shù)k使a=AsinZ,b=kslnB,c=ksinC；（2）。=b=c等價(jià)于&=b,c=b92。sinJsin6sinCsin/sin6sinCsinBsinAsinC從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如@=生可；sin夕②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinJ=—sin^。b一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。

［例題分析］_例1.在AA5C中，已知A=32.0°,3=81.8°,61=42.9cm,解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C=180°—(4+8)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°；根據(jù)正弦定理，右_4sin5_42.9sin8L8°-sinA-sin32.0°根據(jù)正弦定理,_asinC_42.9sin66.2°6-sinA_sin32.0°評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2.在AABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形(角度精確到1°,邊長(zhǎng)精確到1cm)。解：根據(jù)正弦定理,..八bsinAsmB=.八bsinAsmB=.八bsinAsmB=28sin40°

-20-^0.8999.因?yàn)?°V3V180°,所以5a64。,或B引16°.⑴當(dāng)屈64。時(shí),C=18O°-(A+B)?18Oo-(4Oo+64o)=76°,^30(cm).^30(cm).^30(cm)._6ZsinC_20sin76°一sinA-sin40°(2)當(dāng)3*16°時(shí),^30(cm).C=18Oo-(A+B)?18Oo-(4Oo+116°)=24o,?13(czn).?13(czn).?13(czn)._asinC_20sin24°一sinA-sin40°?13(czn).評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。in.課堂練習(xí)第4頁(yè)練習(xí)第1(1)、2(1)題。［補(bǔ)充練習(xí)］已知AABC中，sin/:sin夕:sin。=1:2:3,求(答案：1：2：3).課時(shí)小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié))(1)定理的表示形式:a_b

sinJsinBc

sin。a+b+csin/+sin5+sin。(1)定理的表示形式:a_b

sinJsinBc

sin。a+b+c