2022年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷（解析版）

2022年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷

一.選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.）

1.（3分）-2的絕對值是（）

A.-2B.2C.AD.-A

22

2.（3分）石鼓廣場供游客休息的石板凳如圖所示，它的主視圖是（）

3.（3分）下列選項中的垃圾分類圖標，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）

A.A可回收物B.Q，其他垃圾

〃、有害垃圾

C.D.廚余垃圾

4.（3分）為有效防控新冠疫情，國家大力倡導全國人民免費接種疫苗.截止至2022年5

月底，我國疫苗接種高達339000萬劑次.數(shù)據(jù)339000萬用科學記數(shù)法可表示為。X1（）9

的形式，則?的值是（）

A.0.339B.3.39C.33.9D.339

5.（3分）下列運算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.1.44=412c.（a3）'=/D.a34-a2—

6.（3分）下列說法正確的是（)

A.“任意畫一個三角形，其內(nèi)角和為180°”是必然事件

B.調(diào)查全國中學生的視力情況，適合采用普查的方式

C.抽樣調(diào)查的樣本容量越小，對總體的估計就越準確

D.十字路口的交通信號燈有紅、黃、綠三種顏色，所以開車經(jīng)過十字路口時，恰好遇到

黃燈的概率是工

3

7.（3分）如果二次根式匯1有意義，那么實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>\B.心1C.a<\D.aWl

8.（3分）為貫徹落實教育部《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》精神，把勞

動教育納入人才培養(yǎng)全過程，某校組織學生周末赴勞動教育實踐基地開展鋤地、除草、

剪枝、捉魚、采摘五項實踐活動，已知五個項目參與人數(shù)（單位：人）分別是：35,38,

39,42,42,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.38,39B.35,38C.42,39D.42,35

9.（3分）不等式組［x+2?l的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

I2x<x+3

_i------1-----1——1—?——?——?——4—1_>

A.-4-3-2-101234

10.（3分）下列命題為假命題的是（）

A.對角線相等的平行四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形

D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

11.（3分）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，

等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設計一座高度為2”的雷

鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（結果精確到0.01〃?.參考數(shù)據(jù)：72^1.414,

代F.732,遙~2.236）（）

A.0.73mB.1.24mC.1.37機D.1A2m

12.（3分）如圖，在四邊形A8CO中，ZB=90°,AC=6,AB//CD,AC平分ND48.設

13.（3分）因式分解：/+2r+l=

14.（3分）計算：&XA/8=.

15.（3分）計算：.2a_+-^=.

a+2a+2

16.（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于」二48的長為半徑作圓弧,

2

兩弧相交于點M和點N,作直線MN交C6于點。，連接AD若AC=8,BC=15,則

△ACD的周長為.

17.（3分）如圖，用一個半徑為6a”的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了120。，假設繩

索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升了cvn.（結果保留TT）

18.（3分）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首.王安石曾賦詩聯(lián)“萬里衡

陽雁，尋常到此回”.峰前開辟的雁峰廣場中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽.某課外實

踐小組為測量大雁雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數(shù)據(jù)：如圖，AE=i0m,Z

BDG=30°,ZBFG=60°.已知測角儀ZM的高度為1.5m,則大雁雕塑8c的高度約

為m.（結果精確到0.1%參考數(shù)據(jù)：A/3?1.732）

三.解答題（本大題共8個小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25題10分,

26題12分，滿分66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

19.(6分)先化簡，再求值.

(.a+b)(a-b)+b(2a+b),其中a—\,b--2.

20.(6分)如圖，在△ABC中，AB=AC,。、E是BC邊上的點，且BO=CE.求證：AD

=AE.

21.(8分)為落實“雙減提質(zhì)”，進一步深化“數(shù)學提升工程”，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)，

某學校擬開展“雙減”背景下的初中數(shù)學活動型作業(yè)成果展示現(xiàn)場會，為了解學生最喜

愛的項目，現(xiàn)隨機抽取若干名學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)

A:測量

B:七巧板

C：調(diào)查活動

D：無字證明

E：數(shù)學園地設計

圖①圖②

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)參與此次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)是人，補全統(tǒng)計圖①(要求在條形圖上方注

明人數(shù))；

(2)圖②中扇形C的圓心角度數(shù)為度；

(3)若參加成果展示活動的學生共有1200人，估計其中最喜愛“測量”項目的學生人

數(shù)是多少；

(4)計劃在A,B,C,D,E五項活動中隨機選取兩項作為直播項目，請用列表或畫樹

狀圖的方法，求恰好選中8,E這兩項活動的概率.

22.(8分)冰墩墩(BingDwenDwen),雪容融(ShueyRhonRhon)分別是2022年北京冬奧

會、冬殘奧會的吉祥物.冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國.小雅在某網(wǎng)

店選中兩種玩偶.決定從該網(wǎng)店進貨并銷售.第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15

個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時

每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元.

(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？

(2)第二次小雅進貨時，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的

1.5倍.小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大

利潤是多少元？

23.(8分)如圖，反比例函數(shù))，=&的圖象與一次函數(shù)>=行+匕的圖象相交于A(3,1),B

x

(-1,n)兩點.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關系式；

(2)設直線AB交y軸于點C,點、M,N分別在反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上，若四邊

形OCNM是平行四邊形，求點M的坐標.

24.(8分)如圖，AB為。。的直徑，過圓上一點。作的切線CD交BA的延長線于點

C,過點。作。交CQ于點E,連接BE.

（1）直線BE與。。相切嗎？并說明理由;

（2）若C4=2,CD=4,求DE的長.

25.（10分）如圖，已知拋物線y=/-x-2交x軸于A、8兩點，將該拋物線位于x軸下

方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于

點C.

（1）寫出圖象印位于線段AB上方部分對應的函數(shù)關系式；

（2）若直線y=-x+b與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出力的值；

（3）P為x軸正半軸上一動點，過點P作戶用〃丫軸交直線BC于點M,交圖象W于點

N,是否存在這樣的點P,使與AOBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

26.（12分）如圖，在菱形A8CD中，48=4,4840=60°,點P從點A出發(fā)，沿線段

AD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，過點P作PQLAB于點。，作PMVAD

交直線AB于點M,交直線BC于點F,設△PQM與菱形ABCD重疊部分圖形的面枳為S

（平方單位），點P運動時間為f（秒）.

(1)當點"與點B重合時，求,的值；

(2)當t為何值時，△APQ與全等；

(3)求S與r的函數(shù)關系式；

(4)以線段PQ為邊，在PQ右側作等邊三角形PQE,當時，求點E運動路徑

2022年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.）

1.（3分）-2的絕對值是（）

A.-2B.2C.AD.-A

22

【分析】根據(jù)絕對值的定義，可直接得出-2的絕對值.

【解答】解：|-2|=2,

故選：B.

【點評】本題考查了絕對值的定義，是中考的常見題型，比較簡單，熟記絕對值的定義

是本題的關鍵.

2.（3分）石鼓廣場供游客休息的石板凳如圖所示，它的主視圖是（）

【分析】根據(jù)主視圖的定義和畫法進行判斷即可.

【解答】解：從正面看，可得如下圖形,

【點評】本題考查簡單幾何體的主視圖，主視圖就是從正面看物體所得到的圖形.

3.（3分）下列選項中的垃圾分類圖標，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（)

△

A.■彳—可回收物B.<A其他垃圾

c.有害垃圾D.廚余垃圾

【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解答】解：A.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意;

B.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：C.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對

稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自

身重合.

4.（3分）為有效防控新冠疫情，國家大力倡導全國人民免費接種疫苗.截止至2022年5

月底，我國疫苗接種高達339000萬劑次.數(shù)據(jù)339000萬用科學記數(shù)法可表示為aX1（）9

的形式，則〃的值是（）

A.0.339B.3.39C.33.9D.339

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中1W間<10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值210時，〃是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，〃是負整數(shù).

【解答】解：339000萬=3390000000=3.39X1（）9,

；.a=3.39,

故選：B.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其

中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

5.（3分）下列運算正確的是（）

A.c^+cr'—cc'B.cr',a^—a[-C.（/）4=/p.a3-rc^—a

【分析】根據(jù)合并同類項判斷A選項：根據(jù)同底數(shù)幕的乘法判斷B選項：根據(jù)幕的乘方

判斷C選項；根據(jù)同底數(shù)幕的除法判斷O選項.

【解答】解：A選項，/與/不是同類項，不能合并，故該選項不符合題意；

B選項，原式=/,故該選項不符合題意；

C選項，原式=/2,故該選項不符合題意；

。選項，原式=小故該選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了合并同類項，同底數(shù)事的乘除法，塞的乘方與積的乘方，掌握

"="""是解題的關鍵.

6.（3分）下列說法正確的是（）

A.“任意畫一個三角形，其內(nèi)角和為180°”是必然事件

B.調(diào)查全國中學生的視力情況，適合采用普查的方式

C.抽樣調(diào)查的樣本容量越小，對總體的估計就越準確

D.十字路口的交通信號燈有紅、黃、綠三種顏色，所以開車經(jīng)過十字路口時，恰好遇到

黃燈的概率是工

3

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷4選項；根據(jù)普查與抽樣調(diào)查判斷B選項；根據(jù)抽

樣調(diào)查的樣本容量越大，對總體的估計就越準確判斷C選項；根據(jù)三種信號燈持續(xù)的時

間一般不相等判斷。選項.

【解答】解：A選項，三角形內(nèi)角和為180°,故該選項符合題意；

8選項，全國中學生人數(shù)眾多，適合抽樣調(diào)查的方式，故該選項不符合題意；

C選項，抽樣調(diào)查的樣本容量越大，對總體的估計就越準確，故該選項不符合題意；

。選項，三種信號燈持續(xù)的時間一般不相等，故該選項不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，用樣本估計總體，隨機

事件，掌握三種信號燈持續(xù)的時間一般不相等是解題的關鍵.

7.（3分）如果二次根式有意義，那么實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.a>1B.C.a<1D.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)，即可得出〃的取值范圍.

【解答】解：由題意得：a-120,

1,

故選:B.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握

二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù).

8.（3分）為貫徹落實教育部《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》精神，把勞

動教育納入人才培養(yǎng)全過程，某校組織學生周末赴勞動教育實踐基地開展鋤地、除草、

剪枝、捉魚、采摘五項實踐活動，已知五個項目參與人數(shù)（單位：人）分別是：35,38,

39,42,42,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.38,39B.35,38C.42,39D.42,35

【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為眾數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從

大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中

位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即

可得出答案.

【解答】解：將這組數(shù)據(jù)由小到大排列為：35,38,39,42,42,

眾數(shù)為42,中位數(shù)為39,

故選：C.

【點評】本題考查了眾數(shù)，中位數(shù)，掌握一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為眾數(shù)，將一

組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間

位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均

數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是解題的關鍵.

9.（3分）不等式組［x+2?l的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

I2x<x+3

-J--------1-------1——I------1——I——I-------4——L_>

A.-4-3-2-101234

_1——I——I_——I——?——?_；_L_>

B.-4-3-2-101234

?

【分析】首先解每個不等式，然后把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示即可.

卜+

【解答】解:2>1①

12x〈x+3②

解①得X2-1,

解②得XV3.

則表示為:

故選：A.

【點評】本題考查了不等式組的解法以及用數(shù)軸表示不等式的解集，要注意“兩定”：一

是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是空

心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則

是：“小于向左，大于向右

10.（3分）下列命題為假命題的是（）

A.對角線相等的平行四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形

D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐項判斷即可.

【解答】解：對角線相等的平行四邊形是矩形，故4是真命題，不符合題意；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B是真命題，不符合題意；

有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形，故C是假命題，符合題意；

有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故。是真命題，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查命題與定理，解題的關鍵是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理.

11.（3分）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比,

等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設計一座高度為2”的雷

鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（結果精確到0.01〃?.參考數(shù)據(jù)：72^1.414,

收石1.732,遙心2.236）（）

A.0.73mB.1.24mC.1.37機D.1A2m

【分析】設下部高為根據(jù)雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等

于下部與全部的高度比列方程可解得答案.

【解答】解：設下部的高度為切3則上部高度是（2-x）m,

?.?雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，

???2--x-—-x,

X2

解得工=遙-1或犬=-遙-1（舍去），

經(jīng)檢驗，x=V5-1是原方程的解，

.,.x—yfs-1=1.24,

故選:B.

【點評】本題考查黃金分割及一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出一元

二次方程解決問題.

12.（3分）如圖，在四邊形A8CD中，/8=90°,4c=6,AB//CD,AC平分/D4B.設

則y關于x的函數(shù)關系用圖象大致可以表示為（）

過。點作CELAC于點E,證明AABCs△4￡￡),利用相

似三角形的性質(zhì)可得函數(shù)關系式，從而可得答案.

【解答】解：過O點作。ELAC于點E.

AB//CD,

ZACD=ABAC,

AC平分ND48,

ZBAC=ZCAD,

ZACD^ZCAD,則C￡)=A￡)=y,即△AC。為等腰三角形,

則DE垂直平分4C,

AE=CE=LC=3,ZA￡D=90°,

2

ZBAC=ZCAD,ZB=ZAED=90°,

/\ABC^/\AED,

ACAB

AD"AE'

6——x，

y3

產(chǎn)整，

X

?在△ABC中，AB<AC,

??6,

故選：D.

【點評】本題考查的是角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象，通過添加輔助線證明△ABCs△AE。是解本題的關鍵.

填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）因式分解：/+2x+l=（x+1）2.

【分析】本題運用完全平方公式進行因式分解即可.

【解答】解：X2+2X+1=（X+1）2,

故答案為：（x+1）2.

【點評】本題考查運用公式法進行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟練應用是解

題的關鍵.

14.（3分）計算：V2乂瓜=4.

【分析】原式利用二次根式的乘法法則計算，將結果化為最簡二次根式即可.

【解答】解：原式=>/2X8=jr^=4.

故答案為：4

【點評】此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

15.（3分）計算：-^g-+—2.

a+2a+2

【分析】根據(jù)同分母分式的加法計算即可.

【解答】解：-23-+-^

a+2a+2

=2a+4

a+2

=2（a+2）

a+2

=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查分式的加減法，解答本題的關鍵是明確分式加法的計算法則.

16.（3分）如圖，在AABC中，分別以點A和點8為圓心，大于的長為半徑作圓弧,

2

兩弧相交于點M和點N,作直線MN交C6于點Q,連接AZX若AC=8,BC=15,則

△AC￡）的周長為23.

【分析】根據(jù)作圖過程可得MN是線段BC的垂直平分線，得AO=B。，進而可得△AC。

的周長.

【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：

MN是線段AB的垂直平分線，

：.AD=BD,

：./XACD的周長為：AC+CD+AD=AC+CD+BD^AC+BC=8+15=23.

故答案為：23.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握

線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.

17.（3分）如圖，用一個半徑為6c,"的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了120。，假設繩

索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升了4ncm.（結果保留IT）

【分析】根據(jù)弧長的計算方法計算半徑為6c〃?，圓心角為120。的弧長即可.

【解答】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為6”“，圓心角為120°所對應的弧長,

即12071X6=4",

180

故答案為：47r.

【點評】本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算方法是正確解答的前提.

18.（3分）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首.王安石曾賦詩聯(lián)“萬里衡

陽雁，尋常到此回”.峰前開辟的雁峰廣場中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽.某課外實

踐小組為測量大雁雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數(shù)據(jù)：如圖，AE=10/n,Z

B￡>G=30°,/BFG=60°.已知測角儀D4的高度為1.5〃?，則大雁雕塑BC的高度約

為10.2，〃.（結果精確到0.1〃?.參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

【分析】首先證明BF=DF=IO,在RtZXBFG中，根據(jù)三角函數(shù)定義求出BG即可解決

問題.

【解答】解：VZBFG=60°,/BOG=30°,

AZDBF=60°-30°=30°,

:.NDBF=NBDF,

：.DF^BF=AE=\0,

RtZ\B尸G中，sinNB尸G=幽，

_BF

.BG=V3

；.BG=5代=5X1.732七8.66,

；.BC=BG+CG=8.66+1.5%10.2（m）.

答：大雁雕塑BC的高度約為10.2〃?.

故答案為：10.2.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念，熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

三.解答題（本大題共8個小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25題10分，

26題12分，滿分66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.（6分）先化簡，再求值.

Ca+b）（a-b^+b（2a+b^>,其中a=l,b=-2.

【分析】根據(jù)平方差公式以及單項式乘多項式的運算法則化簡后，再把。=1,人=-2代

入計算即可.

【解答】解：(a+b)(a-h)+h(2a+b)

—a2-b2+2ab+b2

=a2+2ab,

將“=1,6=-2代入上式得：

原式=J+2XIX(-2)

=1-4

=-3.

【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握相關公式與運算法則是解答本題的關鍵.

20.(6分)如圖，在△ABC中，AB=AC,D、￡是8c邊上的點，且8D=CE.求證：AD

—AE.

【分析】由“S4S”可證△ABOgZsACE,可得4￡)=4E.

【解答】證明：：A8=AC,

:.NB=NC,

在△A3。和△ACE中，

rAB=AC

?ZB=ZC>

BD=CE

A/\ABD^/\ACE(SAS),

：.AD=AE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的

判定方法是解題的關鍵.

21.(8分)為落實“雙減提質(zhì)”，進一步深化“數(shù)學提升工程”，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)，

某學校擬開展“雙減”背景下的初中數(shù)學活動型作業(yè)成果展示現(xiàn)場會，為了解學生最喜

愛的項目，現(xiàn)隨機抽取若干名學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)

計圖：

A:測量

B:七巧板

C：調(diào)查活動

D：無字證明

E：數(shù)學園地設計

圖①圖②

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）參與此次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)是120人,補全統(tǒng)計圖①（要求在條形圖上方注

明人數(shù)）;

（2）圖②中扇形C的圓心角度數(shù)為90度;

（3）若參加成果展示活動的學生共有1200人，估計其中最喜愛“測量”項目的學生人

數(shù)是多少；

（4）計劃在A,B,C,D,E五項活動中隨機選取兩項作為直播項目，請用列表或畫樹

狀圖的方法，求恰好選中2,E這兩項活動的概率.

【分析】（1）從兩個統(tǒng)計圖中可得樣本中選擇“&七巧板”的有36人，占調(diào)查人數(shù)的

30%,根據(jù)頻率=楚婺即可求出答案，進而補全條形統(tǒng)計圖；

息數(shù)

（2）求出扇形C所占的百分比，即可求出相應的圓心角的度數(shù)；

（3）求出樣本中參與“4.測量”所占的百分比，進而估計總體中“4.測量”的百分比,

求出相應人數(shù)即可；

（4）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果，進而求出相應的概率即可.

【解答】解：（1）調(diào)查學生總數(shù)為36?30%=120（人），

選擇“E.數(shù)學園地設計”的有120-30-30-36-6=18（人），

故答案為：120,補全統(tǒng)計圖如下：

120

故答案為：90；

(3)12OOX-3.C|-=3OO(人)，

120

答：參加成果展示活動的1200名學生中，最喜愛“測量”項目的學生大約有300人;

(4)在A,B,C,D,E五項活動中隨機選取兩項，所有可能出現(xiàn)的結果如下:

第演、ABCDE

ABACADAEA

BABCBDBEB

CACBCDCEC

DADBDCDED

EAEBECEDE

共有20種可能出現(xiàn)的結果，其中恰好選中B,E這兩項活動的有2種，

所以恰好選中B,E這兩項活動的概率為2=2.

2010

【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖，列表法或樹狀圖法求簡單隨機事件的概率,

理解條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖中數(shù)量之間的關系以及列舉出所有可能出現(xiàn)的結果是正確

解答的前提.

22.(8分)冰墩墩雪容融(ShueyRhonRhon)分別是2022年北京冬奧

會、冬殘奧會的吉祥物.冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國.小雅在某網(wǎng)

店選中兩種玩偶.決定從該網(wǎng)店進貨并銷售.第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15

個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時

每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元.

(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？

(2)第二次小雅進貨時，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的

1.5倍.小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大

利潤是多少元？

【分析】(1)根據(jù)用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，購進1個冰墩

墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；

(2)根據(jù)題意可以寫出利潤和冰墩墩數(shù)量的函數(shù)關系式，然后根據(jù)網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶

進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍，可以求得購買冰墩墩數(shù)量的取值范圍，

再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到利潤的最大值.

【解答】解：(1)設冰墩墩的進價為x元/個，雪容融的進階為y元/個，

,(15x+5y=1400

由題意可得：4,

|X4y=136

解得卜"2,

Iy=64

答：冰墩墩的進價為72元/個，雪容融的進階為64元/個；

(2)設冰墩墩購進“個，則雪容融購進(40-a)個，利潤為w元，

由題意可得：w=28“+20(40-a)=8a+800,

隨a的增大而增大，

:網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍，

；.aW1.5(40-a),

解得“W24,

，當a=24時,，卬取得最大值，此時w=992,40-16,

答：冰墩墩購進24個，雪容融購進16個時才能獲得最大利潤，最大利潤是992元.

【點評】本題考查二元一次方程組的應用、一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題

意，列出相應的方程組，寫出相應的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

23.(8分)如圖，反比例函數(shù)y=典的圖象與一次函數(shù)〃的圖象相交于A(3,1),B

x

(-1,〃)兩點.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關系式;

(2)設直線A3交y軸于點。，點/，N分別在反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上，若四邊

形OCNM是平行四邊形，求點M的坐標.

8(-1,-3),將A(3,1),3(-1,-3)代入即可得一次函數(shù)的關系式為y

=x-2；

(2)在y=x-2中得C(0,-2),設MCm,3),N(〃，n-2),而O(0,0),分三

m

0+0=m+n

種情況：①以C。、MN為對角線時，CO、MN的中點重合，3，可得M

-2+0=—tn-2

m

(V3-5/3)或(-JE，-V3)；②以CM、ON為對角線，同理可得M(M，M)

或(-JE，-JE)；③以CMOM為對角線，同理可得M(2+J7,7際-2)或(2-

V7.-V7-2).

【解答】解：(1)把4(3,1)代入y=@得：

x

1=世，

3

772=3,

...反比例函數(shù)關系式為尸旦；

X

把3(-1,〃)代入y=3得：

X

nrl-一3_—D3,

-1

：.B(-1,-3),

將A(3,1),8(-1,-3)代入y=Ax+匕得：

3k+b=l

-k+b=_3

解得k=l

b=-2

，一次函數(shù)的關系式為y=x-2；

答：反比例函數(shù)關系式為y=3一次函數(shù)的關系式為y=x-2；

(2)在y=x-2中，令x=0得y=-2,

：.C（0,-2）,

設M（/n,―）,N（小n-2）,而。（0,0）,

m

①以C。、MN為對角線時，CO.MN的中點重合，

0+0=m+n

**?Qf

-2+0=—tn-2

m

解得卜=注或卜=者,

In=-V3In=V3

（依，亞或（-依，-V3）；

②以CM、ON為對角線，同理可得：

0+m=n+0

43，

-2沁=n-2+O

m

解得卜班或卜=-愿，

n=-V3In=V3

（代，遙）或（-代，-V3）；

③以CN、OM為對角線，同理可得：

0tn=m+0

-2+n-2=0+^_

m

解得卜=2+4或1m=2-V7,

ln=2+V7ln=2-V7

：.M（2+V7，5/7-2）或（2-V7.-V7-2）,

綜上所述，M的坐標是（如,愿）或（-代，-如）或（2+夜，4-2）或（2

-V7.-V7-2）.

【點評】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，平行四邊形性

質(zhì)及應用等，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，能根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列

方程組解決問題.

24.（8分）如圖，A8為。0的直徑，過圓上一點。作的切線C￡＞交8A的延長線于點

C,過點。作。。交CO于點E,連接8E.

（1）直線B￡與。。相切嗎？并說明理由；

（2）若CA=2,CD=4,求。E的長.

【分析】（1）連接。。，理由切線的性質(zhì)可得/ODE=90°,然后利用平行線和等腰三角

形的性質(zhì)可得0E平分從而可得NDOE=NEOB,進而可證△OOE絲△80E,

最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；

（2）設。。的半徑為r,先在RtZ^OOC中，利用勾股定理求出r的長，再利用（1）的

結論可得DE=BE,最后在RtaBCE中，利用勾股定理進行計算即可解答.

【解答】解：（1）直線BE與。。相切，

理由：連接。D,

與。。相切于點￡>,

：.ZODE=W°,

\'AD//OE,

：.ZADO=ZDOE,NDAO=ZEOB,

ZADO=ZDAO,

:.NDOE=/EOB,

VOD=OB,OE=OE,

:.叢DOE冬/\BOE(SAS),

；.NOBE=NODE=90°,

：0B是OO的半徑，

直線8E與。。相切；

(2)設。。的半徑為r,

在Rtaooc中，OZ)2+￡)C2=OC2,

.?.”+42=(r+2)2,

r=3,

：.AB=2r=6f

：.BC=AC+AB=2+6=S9

由(1)得：ADOE^ABOE,

:.DE=BE,

在RtZXBCE中，BC2+BE2=C￡2,

；.82+BE2=(4+DE)2,

.?.64+￡>[2=(4+DE)2,

：.DE=6,

...OE的長為6.

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，直線與圓的位置關系，全等三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理是解題的關鍵.

25.（10分）如圖，已知拋物線y=--x-2交x軸于A、B兩點,將該拋物線位于x軸下

方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于

點C.

(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數(shù)關系式；

(2)若直線＞=-x+%與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出力的值；

(3)尸為x軸正半軸上一動點，過點P作PM〃y軸交直線8c于點M,交圖象W于點

N,是否存在這樣的點P,使△CMN與△08C相似？若存在，求出所有符合條件的點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)令x=0和翻折的性質(zhì)可得C(0,2),令y=0可得點A、8的坐標，利用

待定系數(shù)法即可求出圖象W的解析式；

(2)利用數(shù)形結合找出當y=-x+6經(jīng)過點C或者y=-x+6與y=/-x-2相切時，直

線y=-x+b與新圖象恰好有三個不同的交點，①當直線y=-x+6經(jīng)過點C(0,2)時,

利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可求出匕值；②當產(chǎn)-x+h與y=/-x-2相切

時，聯(lián)立一次函數(shù)解析式和拋物線解析式，利用根的判別式△=0,即可求出匕值.綜上

即可得出結論；

(3)先確定△8OC是等腰直角三角形，分三種情況：NCNM=90°或NMCN=90°,

分別畫圖可得結論.

【解答】解：(1)當x=0時，y=-2,

：.C(0,2),

當y=0時，x2-x-2—0,

(x-2)(x+1)=0,

??X1=2,X2=-1,

???A(-1,0),B(2,0),

設圖象W的解析式為：y=a(x+1)(x-2),

把C(0,2)代入得：-2a=2,

'>a--1>

；.y=-(x+1)(x-2)=-7+x+2,

圖象卬位于線段AB上方部分對應的函數(shù)關系式為：y=-/+x+2(-1WXW2)；

(2)由圖象得直線y=-x+b與圖象卬有三個交點時，存在兩種情況：

①當直線y=-x+6過點C時，與圖象W有三個交點，此時匕=2；

②當直線y=-x+6與圖象W位于線段AB11方部分對應的函數(shù)圖象相切時，如圖1,

-x+b=-JT+X+2,

x2-2x+b-2=0,

△=(-2)2-4X1X(6-2)