2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷新高考1卷含答案解析

2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新高考I)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.若集合M={x|?<4},N={x|3x..l},則M「|N=()

A.{x|0?x<2}B.{x|-?x<2)C.{x|3?x<16}D.{x|^?x<16}

2.若i(l—z)=l,貝！Jz+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在A4BC中，點。在邊AB上,BD=2DA.記CX=/，。方二元，貝!]行=()

A.3m-2nB.一2歷+3力C.3慶+2”D.2玩+3”

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該

水庫水位為海拔148.5加時，相應(yīng)水面的面積為140.05？；水位為海拔1575〃時,相應(yīng)水面

的面積為180.0k/.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔

148.5m上升到157.5加時，增加的水量約為(方22.65)()

A.1.0x109/B.1.2X109?101173C.1.4X10%??3D,1.6xlO9?t3

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

6.記函數(shù)/(x)=sin(d;x+()+b(①>0)的最小正周期為T.若用<7<不，且)，=/(x)的圖

像關(guān)于點嚀，2)中心對稱，則嗎)=()

35

A.1B.-C.二D.3

22

7.設(shè)a=0.1e°」，b=-,c=-ln0.9.貝!J()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬,且

3蒯30,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18,B"號,4c.俘，引D.[18,27J

44443

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知正方體ABCD-A4G。，則()

A.直線8G與所成的角為90°B.直線BC,與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面88QQ所成的角為45。D.直線BCt與平面A8CQ所成的角為45°

10.已知函數(shù)〃x)=G-x+1,則()

A./(x)有兩個極值點B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(%)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

11.已知O為坐標(biāo)原點，點41,1)在拋物線C:d=2萬(p>0)上，過點8(0,-1)的直線交C于

P,。兩點，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線A3與C相切

C.10Pl?|OQ|>|OA『D.\BP\-\BQ\>\BA\2

12.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)r(x)的定義域均為R記g(x)=r(x).若f(|-2x),g(2+x)

均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(—g)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分。

13.(1一與(X+?的展開式中X2/的系數(shù)為—(用數(shù)字作答).

X

14.寫出與圓/+丁=1和(x-3)2+()--4)2=16都相切的一條直線的方程.

15.若曲線y=(x+〃)/有兩條過坐標(biāo)原點的切線,則a的取值范圍是—.

16.已知橢圓。:二+捺=1("。>0),。的上頂點為4，兩個焦點為6，居，離心率為1過

后且垂直于A尸2的直線與C交于。,￡兩點，IDE1=6,則AADE的周長是—.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)記S.為數(shù)列｛。“｝的前〃項和，已知q=1,｛均是公差為，的等差數(shù)列.

43

(1)求佃“｝的通項公式;

(2)證明：-+—+—<2.

4,a?

18.(12分)記AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知￡^-=聞竺—.

1+sinA1+cos28

(1)若c=與,求B；

(2)求占Q的最小值.

C

19.(12分)如圖，直三棱柱ABC-A8c的體積為4,△\BC的面積為2夜.

(1)求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點，A4,=AB,平面ABC，平面，求二面角A-8D—C的正

弦值.

20.(12分)一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分

為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組),

同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選

到的人患有該疾病"，甯與然的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險磔

的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

P(A|8)P(AIg)

i)證明：R=

P(A\B)P(A\B)

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A\B),P(A|8)的估計值，并利用(i)的結(jié)果給出R的

估計值.

R44.“2n(ad-hc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K1.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(12分)已知點4(2,1)在雙曲線C:「--二=1(。＞1)上，直線/交C于P,Q兩點，

aa-1

直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求/的斜率；

(2)若tanNP4Q=2VJ,求APAQ的面積.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)="-必和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且

從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新高考I)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.若集合時={幻五<4},N={x|3x..l},則M0|N=()

A.{x|0?x<2}B.{x|-?x<2}C.{x|3?x<16}D.{x|g”x<16}

【思路分析】分別求解不等式化簡M與N,再由交集運算得答案.

【解析】由五<4，得Q,x<16,={x|4<4}={x|0,,x<16},

由3x..l,得x..g，:.N={x|3x隔}={x|xg},

.■.MQN={x|0>iJr<16}Q{xh-1}={x|!?x<16}.

故選：D.

【試題評價】本題考查交集及其運算，考查不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

2.若汨一z)=l,貝!Jz+云=()

A.-2B.-1C.1D.2

【思路分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出彳，再求出2+彳?

【解析】由i(l-z)=l,得l-z=!=—'-=-i,

I-I

??.z=l+i,貝!]5=l—i,「?z+z=l+z+l-z=2.故選：D.

【試題評價】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.在AABC中，點。在邊AB上，BD=2DA.記。4=而，。方="，則方=()

A.3m-2nB,-2m+3nC.3歷+2月D.2慶+3”

【思路分析】直接利用平面向量的線性運算可得好=1詼心，進而得解.

【解析】【解法一】(向量回路)：如圖，

CD=CA+AD=CA+-DB=CA+-(CB-CD)=CA+-CB--CD

2222

13_______

-CB=-CD-CA,gPCB=3C￡>-2C4=3rt-2m.故選：B.

22

【解法二】(南京補解)(向量減法+方程)：,.BD=2DABD-IDA,

:.CD-CB=2(CA-CD)，解得而=3前一2畫=3n-2m.

【解法三】(補解)(特殊化建系)：取C為直角，并以C為原點，CA、CB所在直線分別為x,

y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(3a,0),B(0,3b),由BD=2DA知D為靠近A的三等分點，從而

D（2a,b）,CB=（0,3b）=3（2。/）—2（3a,0）=3〃—2m0

【解法四】（補解）（待定系數(shù)）：設(shè)圍=工）+兄4,則麗=麗-麗=（l-x）麗-yE,

與條件8方=2￡>^=2（。4-色5）對比，得l-jc=y=-2,解得k3,y=-2，故圍=3弁-2而.

【試題評價】本題主要考查平面向量的線性運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該

水庫水位為海拔148.5〃?時，相應(yīng)水面的面積為140.0b〃2；水位為海拔157.5〃?時，相應(yīng)水面

的面積為180.0.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔

148.5〃?上升到1575〃時，增加的水量約為（療=2.65）（）

A.1.0xl09w3B.1.2X109/M3C.1.4xl09/n3D.l^xlO9^

【思路分析】先統(tǒng)一單位，再根據(jù)題意結(jié)合棱臺的體積公式求解即可.

【解析】【解法一】（統(tǒng)一m）140Am2=140x1（）6加2,180fon2=180xl06m2,

gggq的Ajaa140x10'+180x1（）6+,140x106x180x1（）6

根據(jù)題意,增加41nll的1水量約為-------------------------------------x（157.5-148.5）

（140+180+60V7）xl06八

=--------------------x9

3

?（320+60x2.65）x106x3=1437x106=1.4x109ra3.故選：C.

【解法二】（補解）（統(tǒng)一km）：

X393

V?S=|(140+180+7180x140)x(0.1575-0.1485)=0.03(320+60V7)-1.437km=1.4xl0mo

【試題評價】本題以實際問題為載體考查棱臺的體積公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

111?

A.-B.-C.-D.-

6323

【思路分析】先求出所有的基本事件數(shù)，再寫出滿足條件的基本事件數(shù)，用古典概型的概率

公式計算即可得到答案.

【解析】【解法一】（枚舉法）從2至8的7個整數(shù)中任取兩個數(shù)共有0=21種方式，

其中互質(zhì)的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14種，

故所求概率為匕=2.

213

【解法二】（補解）（正難則反）：從2至8的7個整數(shù)中任取兩個數(shù)共有加=21種方式，

72

其中不互質(zhì)的有2,4<618中任取2個和3S這1個計C；+l=7個故所求概率為1-五=§。

故選：D.

【試題評價】本題考查古典概型的概率計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.記函數(shù)f@)=sin3x+馬+仇公＞0)的最小正周期為了.若/＜?。迹荩襶=f(x)的圖

43

像關(guān)于點(y,2)中心對稱，則吟=()

35

A.1B.-C.-D.3

22

【思路分析】由周期范圍求得。的范圍，由對稱中心求解。與〃值，可得函數(shù)解析式，則

八鄉(xiāng)可求.

【解析】【解法一】(取值試驗)函數(shù)/(x)=sin(“x+馬+伙。>0)的最小正周期為T,

4

貝!|7=空,由生,得生〈生<乃,.-.2<<y<3,

co33co

_q■rr

y=/(x)的圖像關(guān)于點(手，2)中心對稱，「2=2,

fisin(—69+—)=0,貝!］網(wǎng)0+2=山7,k^Z.

2424

2I,5

(v=—(k—)tk^Z，取Z=4,可彳導(dǎo)啰=二.

342

.../a)usingx+7)+2,貝！J/(m)=sin§xg+?)+2=-l+2=l.故選：A.

46一14〃一1

【解法二】(補解)(解不等式)：仿法一得2<co<3及?！?k￡Z,則2<——<3,解

66

1319

得:<%<二，又k《Z，.4二4，下同法一。

44

【試題評價】本題考查丁=加皿的+0型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯思維能力與運算求

解能力，是中檔題.

7.設(shè)a=0.1e°,，b=g,c=-ln0.9,則()

A.a<h<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

【思路分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=/?%+2，x>0，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出/心>1-」，由此能求出結(jié)

XX

果.

【解析】【解法一】(構(gòu)造法1)構(gòu)造函數(shù)/(x)=/nr+Lx>0,則7(x)」-斗,x>0,

XXX"

當(dāng)尸(x)=0時，x=l時，/-(%)<0,/(x)單調(diào)遞減；時，m>Q,/(x)

單調(diào)遞增，

/(X)在x=1處取最小值/(1)=1,lnx>\--.

x

/./n0.9>1----——,一妨0.9<—f:.c<b；

0.999

0101

?.--/w0.9=/n—>1--=—,—>er.-.O.^<-r：.a<h；

9101099

vO.le0'>0.1x1.1=0.11,rfo-ln0.9=/H——<0.11,：.a>c,

92910180

:.c<a<b.故選：C.

【解法二】(補解)(構(gòu)造法2)：先比較a與b。設(shè)F(x戶(l-x)e*T,0a<l,則F，(x尸-x/<0,

；.F(x)在0<x<l上減,故F(x)<F(0)=1,即,0<r<l,：.ex<——,0<JC<1,取x=0.1,

1一尤

e。,<-'一=—,..O.!e01<-,即a<b；

1-0.199

再比較a與co易知e'ir+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，取尸0.1,得

eo'>l.l,.-.?=O.leol>O.ll.

121(x-1)2

設(shè)G(x)=21nx—xH—^r>l,則G'(x)=---1----=<O,，G(x)在x>l上減,故

2

xxxX

G(x)<G(1)=0,即2lnx<x---，取.x=—,得In—<一(-------)=----<0.11<0.1=",即c<a,

x992910180

綜上c<a<b.

【解法三】(藍云波補解)：

+?也if1\lVaiIOIf109)19n,,

由不等式In—x—(x>1)彳孑In—<-------------<0.11,

2(x)y792(910j180

又因為e°」>0.1+1=1.1,所以。=0.1e°」>0.11,所以c<a;

由e，Nx+1得eT>—x+l(O<x<l)，得，所以e°」<—1—=,

''l-x1-0.10.9

所以a=0.1e°」(里.所以a<b,綜上c<a<b.故選項C正確.

0.99

【試題評價】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，是難題.

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3翻36,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18,-]B.[?,1]C.俘，等D.[18,27]

44443

【思路分析】畫出圖形，由題意可知求出球的半徑R=3,設(shè)正四棱錐的底面邊長為a,高

為〃，由勾股定理可得『=!/+/,又R2=S-3)2+(，2)2,所以，由/的取值范

22

圍求出/?的取值范圍，又因為〃=12/?-2/，所以該正四棱錐體積丫(//)=-|川+4力2,利用

導(dǎo)數(shù)即可求出VW的取值范圍.

【解析】【解法一】(統(tǒng)一為h):如圖所示，正四棱錐P-43CZ)各頂點都在同一球面上，連

接AC與BD交于點E,連接PE,則球心O在直線PE上,連接OA,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為〃，高為/?,

在RtAPAE中，PAr=AE2+PE2,即廣=(今>+/=J_“2+序，

???球O的體積為36萬，，球O的半徑R=3,

在RdOAE中，。4=。爐+4爐，即代=(力一3『+(空了，

2

-a2+h2-6h=0,/.-a2+/z2=6/7,

22

L29

:A2=6h,又?.?3領(lǐng)J3V3，.二-^h-,

22

11?

該正四棱錐體積丫(〃)=-儲〃=一(12/z—2h2)〃=—*/?+4〃2,

333

...V'(h)=-2h2+8/2=2/z(4-h),

當(dāng)三a,,/z<4時，r(/7)>0,Vg)單調(diào)遞增；當(dāng)4Q<生/時，V'(h)<0,V(〃)單調(diào)遞減,

22

64

V（〃）3=V（4）=了，

又，叫《，叫號笆卷，

號黜S）4，

43

即該正四棱錐體積的取值范圍是［子,y］,

故選：c.

B

【解法二】（補解）（統(tǒng)一為/）：由球的體積為36兀，得球的半徑R=3.

設(shè)正四棱錐的底面邊長為。，高為h,則好=廣__142,/?2=（/7_/?）2+12（解得

22

I2I2/41J2/4

h=---=—,/=2/2-^,于是正四棱錐的體積V)/h=(2/2-),設(shè)戶-09,27],

2R61831818

2

則V=—(2x--,求導(dǎo)得H=J_(4x-Y))而丫，>o得9<X<24,由V'<0得24<啟27,

1818186

故V在［924］上增，在［24,27］上減，當(dāng)x=24時V取最大值竺，當(dāng)尸9時，V取最小值二,

34

V的取值范圍是

43

注：亦可以運用三元基本不等式+邊界值求解。

【試題評價】本題主要考查了正四棱錐的外接球問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬

于中檔題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知正方體AB8-ABCQ,則（）

A.直線BC、與D4,所成的角為90°

B.直線BC、與所成的角為90°

C.直線BG與平面B8QQ所成的角為45°

D.直線BC、與平面A8CD所成的角為45°

【思路分析】求出異面直線所成角判斷A；證明線面垂直，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)判斷3；

分別求出線面角判斷C與。.

可得DV/8C,BC,±BtC,直線8G與a所成的角為90。，故A正確；

,BQ1B,C,A4nBe=瓦，，平面DAB。，而CAu平面￡>AB|C,

BCXrCA,,即直線BG與c4t所成的角為90。，故8正確；

設(shè)4。|「|與2=0，連接80，可得CQJ?平面BBQ。，即NC；80為直線BQ與平面BBQ。

所成的角，

,.?sinNC；BO=^=g,直線8a與平面所成的角為30。，故C錯誤；

???CC-底面ABCD，,NG8C為直線8G與平面ABCD所成的角為45。,故。正確.

故選：ABD.

【試題評價】本題考查空間中異面直線所成角與線面角的求法，考查空間想象能力與思維能

力，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.已知函數(shù)/(x)=/-x+l,貝(!()

A./(x)有兩個極值點B./(%)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【思路分析】對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和極值情況，即可判斷選項Afi；由

/(x)+/(-x)=2,可判斷選項C；假設(shè)y=2x是曲線y=f(x)的切線，設(shè)切點為3力,求

出。，匕的值，驗證點3,加是否在曲線y=/(x)上即可.

【解析】【解法一】(驗證切點):/Xx)=3x2-1,令小)>0,解得x<-/或x邛,令

f'kx)<0,解得-咚,

.-./(X)在(-,_*),(［收)上單調(diào)遞增,在(-日坐上單調(diào)遞減，且

;#>0,吟上手>。,

???/(X)有兩個極值點，有且僅有一個零點，故選項A正確，選項3錯誤；

又/(%)+/(-X)=x3—x+1—X3+X+1=2,則/(x)關(guān)于點(0,1)對稱，故選項C正確；

假設(shè)y=2x是曲線y=/(x)的切線，設(shè)切點為伍㈤，則[3，T=2，解得/=；或[=-：

\2a=b[b=2[b=-2

顯然(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=/(x)上，故選項。錯誤.

故選：AC.

【解法二】(補解)(二級結(jié)論)：對于A、B的判斷，同法一；

對于C,應(yīng)用結(jié)論：三次函數(shù)的對稱中心為其拐點，而拐點的橫坐標(biāo)滿足/〃(?=0。

f(x)=3x2-l,/*(x)=6x,由f"(x)=6x=0得x=0,40)=1,故點(0,1)是曲線y=/U)的對稱中心,

C正確；

M-

對于D,設(shè)過原點的直線與函數(shù)段)切于點(m,n),則切線斜率k=3加2-1=+1

m-0

解得m=#2,D錯誤。

【解法三】(補解)(平移)：對于A、B的判斷，同法一；

對于C,九6是由g(x)=必-x向上平移一個單位而得到，顯然g(x)是奇函數(shù)，其對稱中

心為(0,0),將其向上平移一個單位得到./U)的對稱中心(0,1)。下同法二。

【試題評價】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及曲線在某點的切線方程，考杳

運算求解能力，屬于中檔題.

11.已知O為坐標(biāo)原點，點4(1,1)在拋物線C：x?=2py(p>0)上，過點8(0,-1)的直線交。于

P,Q兩點，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線4?與C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA^D.\BP\-\BQ\>\BA\i

【思路分析】對于A,根據(jù)題意求得〃的值，進而得到準(zhǔn)線；對于B,求出直線4?方程,

聯(lián)立直線旗與拋物線方程即可得出結(jié)論；對于。，設(shè)過點3的直線方程為丫=依-1(女>2),

聯(lián)立該直線與拋物線方程，由韋達定理得到兩根之和及兩根之積，然后利用兩點間的距離公

式，結(jié)合基本不等式判斷選項8.

【解析】【解法一】(基本不等式)???點41,1)在拋物線C:x2=2p)，(p>0)上,

2/?=1,解得p=g,

.??拋物線C的方程為V=y，準(zhǔn)線方程為、=-」，選項A錯誤；

4

由于A(l,l),8(0,-1),則原8=匕呼=2,直線AB的方程為y=2x-l,

1—0

聯(lián)立P',=2xT,可得/—2x+l=0，解得方程有兩個相等的根x=l,故直線AB與拋物線

[x=y

。相切，選項8正確；

根據(jù)對稱性及選項B的分析，不妨設(shè)過點B的直線方程為y=kx-Kk>2),與拋物線在第一

象限交于尸(王，m),Q(X2,y2),

聯(lián)立]?,消去y并整理可得f一日+1=0,則%+々=&,中2=1，

2

y}y2-(fctj-1)(AX2-1)=kx]x2-k(x}+x2)+1=1,

IOPI-IOQ1=Jx；+y：.《X；+必2..：2X|y?=2占馬乂%=2=1OAF,由于等號在

再=占=y=%=1時才能取到，故等號不成立，選項C正確；

2

IBP118Q|=&+(乂+1)2?4+(%+1)2>&+4??收+包=后.廂=5?&x2y=5=|BA|

,選項。正確.

故選：BCD.

【解法二】(補解)(參數(shù)方程)：將A點坐標(biāo)代入拋物線C的方程得2P=1,從而p=；,C的

準(zhǔn)線為產(chǎn)-L,A錯誤；

4

直線AB的方程為y=2xT代入拋物線C的方程得Y=2xT,即犬-版+1=0判別式△=(),

且AB不平行于拋物線的對稱軸，故AB與拋物線C相切，B正確；

x=fcosa,

設(shè)直線PQ的方程為“為參數(shù)，a為直線的傾斜角)，代入拋物線C的

y=-l+/sina,

方程得產(chǎn)cos?a—fsina+l=0,判別式A=sin2a-4cos2a>0,即cos2c,，

設(shè)P、Q對應(yīng)的參數(shù)分別為4、t，貝(J4+馬二瞥

''2?'cos^a

Gt2=-\—,，|BPHBQ|=4t2--一\—>5=|ABF,D正確；

cos'"acos'a

|0P|=yjxp+yp=y[yp+yj)=Jf|Sina(f]Sina-l),

2

同理|OQI=sina(f,sina—1),SSl|OP|x|OQ|=sina(t}sina-l)(r2sina-1)

222

=Jt}t2sina{t}t2sina-(/,+Z2)sinar+1)=Jsi\a_——L---1>2=10A|.C正

'VcosaVcos'a

確。

【試題評價】本題考查拋物線方程的求解，直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運用，同時還涉及

了兩點間的距離公式以及基本不等式的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)廣(x)的定義域均為R，記g(x)=1(x).若A]-2x),g(2+x)

均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-g)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【思路分析】由〃|-2x)為偶函數(shù)，可得關(guān)于x=|對稱,可判斷C；g(2+x)為偶函

數(shù)，可得g(2+x)=g(2-x),g(x)關(guān)于x=2對稱，可判斷。；由8($=0,g(x)關(guān)于x=2

對稱，可得g(|)=0,得到x[是f{x)的極值點，x=T也是極值點，從而判斷B；/(x)

圖象位置不確定，可上下移動，故函數(shù)值不確定，從而判斷A.

【解析】【解法一】(特殊值驗證)：???/§-2x)為偶函數(shù)…可得/(|-2x)=/g+2x),:.f{x}

關(guān)于.|對稱,

53535

令x=：，可得/H-2x：)=/q+2x：)，即/(一1)=/(4),故。正確；

42424

?.?8(2+幻為偶函數(shù)，二8(2+》)=8(2-工)，g(x)關(guān)于x=2對稱，故。不正確;

1.'/(X)關(guān)于.v=|對稱，,x=［是函數(shù)/(x)的一個極值點，g(|)=/'(￡=0，

又g(x)關(guān)于x=2對稱，，g(1)=gg)=0,,x=g是函數(shù)f(x)的一個極值點，

/(x)關(guān)于*=對稱，.?.x=-g是函數(shù)/(幻的一個極值點，.?⑨-:改八-5=。，故3正

確；

/(X)圖象位置不確定，可上下移動，即沒一個自變量對應(yīng)的函數(shù)值是確定值，故A錯誤.

故選：BC.

【解法二】(補解)(導(dǎo)數(shù)推導(dǎo))：由r3—2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，得X-3-2x)=A13+2x),

g(2+x)=g(2-x),

,,3343333

故火不一x)可(5+x),兩邊同時求導(dǎo)得-f'(萬一x)=/'(孑+x)，即-g(--x)=g(-+X),

33

「.g(x)關(guān)于直線k2對稱，且關(guān)于點(于0)對稱，從而可得g(x)的周期為T=4(2--)=2,

33333113

由一g(5一i)=g(5+x)可得—g(5)=g(孑)，即g(y)=0,「.g(一不)=g(--+2)=g(-)=0,B

正確；

3131

g(-l)=g(-l+2)=g(l)=g(---)=-g(-+-)=-g(2),D不正確。

3

由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系知函數(shù)/W的周期為2,關(guān)于直線x=‘對稱，關(guān)于點(2,m)

2

對稱，若m=0,則式0)可⑵=0，若m#0,40)次)和,A錯誤；

、33535

由yw關(guān)于直線產(chǎn)5對稱，得人-1)』5-5)寸5+5)弓(4),c正確。

【解法三】(補解)(特殊函數(shù))：構(gòu)造函數(shù)幻尸simrx+2,則g(x)=7ccos7tx,適合題意條件，驗證

選項，A、D錯誤，B、C正確。

【試題評價】本題考查函數(shù)的奇偶性，極值點與對稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中

檔題.

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分。

13.(l-2)(x+y)8的展開式中的系數(shù)為_一28_(用數(shù)字作答).

X

【思路分析】由題意依次求出(x+y)s中dy6,dy5項的系數(shù)，求和即可

【解析】(x+y)8的通項公式為&=c"-y,

當(dāng)r=6時,q=C：x2y6,當(dāng)r=5時，"=CW,

(1-^)(%+?的展開式中x2j6的系數(shù)為燥_C；=旦-3-=28-56=-28.

x6!-2!5!-3!

故答案為：-28.

【試題評價】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.寫出與圓v+>2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程x=-l（填

3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正確）.

【思路分析】由題意畫出圖形，可得兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條.分

別求出三條切線方程，則答案可求.

【解析】【解法一】（特殊點對稱法）圓f+丁=1的圓心坐標(biāo)為0（0,0）,半徑,

圓（x-3）2+（y-4）2=16的圓心坐標(biāo)為C（3,4），半徑4=4,

如圖：

■.]OC\=rl+r2，，兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條.

433

?/koc=-，，/1的斜率為一;，設(shè)直線4:y=+6，即3x+4.y—4〃=°，

由胃=1,解得巾（負值舍去），則

—....

由圖可知，4：X=T；4與4關(guān)于直線對稱，

x=-l

聯(lián)立4，解得/,與/，的f交點為（-1,-3,在4上取一點（T，。），

y=—x3

I3

%=4%-1

該點關(guān)于y=3x的對稱點為（毛,%）,貝！J23,解得對稱點為（工，-*）.

'3%.32525

Xo+14

244

----1--

?,&=父3=(，則/3：),=.(％+1)一］，即7x—24y—25=0.

--+124243

25

與圓?+y2=1和（X—3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程為：

x=-l（填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0者6正確）.

故答案為：x=-l（填3x+4y—5=0,7x-24y—25=0都正確）.

【解法二】（補解）（轉(zhuǎn)化過點的圓切線）：顯然兩圓的圓心距為5=1+4,即兩圓相外切,故兩

圓有三條公切線。

34

設(shè)兩圓的圓心分別為O,M,易得OM：3y=4x,與圓O方程聯(lián)立解得廣弓，丫=彳（只

34

取第一象限），從而兩圓的公切點為N（g,1），過N與OM垂直的直線方程為

433

y--=-一(x--)，即3x+4y-5=0.此為過N的兩圓的一條公切線。

545

延長M0到1P,使得4所=而，貝!|P為另兩條公切線的交點MOP=~OM=(-1-

4

力

當(dāng)切線的斜率不存在時，過P與圓O相切的直線為x+l=O,適合題意；

4

當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y+§=k(x+l),則由點到直線的距離公式得

1”一本7