2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合題（角度問(wèn)題）

2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合題(角度問(wèn)題)

1.如圖，拋物線產(chǎn)加+灰-3與x軸交于A(-1,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與＞軸交于點(diǎn)C,

(1)求拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)N是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且。7=血，點(diǎn)。在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連

接Q。，Q。與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)"，連接MN,當(dāng)MN平分NOMZ)時(shí)，求點(diǎn)〃

的坐標(biāo).

(3)直線BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)E,尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出APCE與全等

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.如圖1,已知拋物線丫=以2+法+36,與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)8(6,0)與y軸交

于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為M,其對(duì)稱軸與x軸交于。點(diǎn).

(1)拋物線解析式為，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為

(2)判斷AMAB的形狀，并說(shuō)明理曲;

(3)如圖2,點(diǎn)尸是線段MQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)尸與點(diǎn)〃、點(diǎn)。不重合)，連結(jié)B4、

PB,過(guò)點(diǎn)B作8DLAP,射線8Z)交射線AP于點(diǎn)。，交拋物線于點(diǎn)E;過(guò)點(diǎn)E作

EFLAB,垂足為點(diǎn)F,EF交射線3P于點(diǎn)G.

①當(dāng)經(jīng)尸時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

BF

②當(dāng)NAP3=135。時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出"的值.

3.如圖，已知拋物線工浸+燈+c經(jīng)過(guò)4-1,0),5(2,0)8(0,2)三點(diǎn)，點(diǎn)。在該拋物

線的對(duì)稱軸/上.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)若D4=DC,求/AOC的度數(shù)及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若在(2)的條件下，點(diǎn)尸在該拋物線上，當(dāng)NP3C=NZMB時(shí)，請(qǐng)直接給出點(diǎn)P的

坐標(biāo).

4.如圖1,二次函數(shù)y=ax2+/jx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),交)，軸

于點(diǎn)C(0,-3),直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)8.

圖3圖4

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式和頂點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)如圖2,當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)力時(shí)，求ABC。的面積；

(3)如圖3,直線/與拋物線有另一個(gè)交點(diǎn)E,且點(diǎn)E使得NBAC-NCBE>45。，求點(diǎn)E

的橫坐標(biāo)機(jī)的取值范圍；

(4)如圖4,動(dòng)點(diǎn)F在直線/上，作/CFG=45。，F(xiàn)G與線段A8交于點(diǎn)G,連接CG,

當(dāng)△A8C與△CFG相似，且LCFG最小時(shí)，在直線/上是否存在一點(diǎn)”，使得NF/7G

=45。存在，請(qǐng)求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.如圖，拋物線尸漏+(蘇+3卜-(6〃7+9)與x軸交于點(diǎn)4、B,與y軸交于點(diǎn)C,

己知8(3,0).

(1)求〃?的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)P為拋物線上一點(diǎn)，若SgBC=SA^c，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)。為拋物線上一點(diǎn)，若ZACQ=45。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

6.拋物線y=-；x2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn)(A在B的左邊)，交V軸于C,直線

y=-x+4經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)尸?！ā份S交8c于。點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作

。￡_14(7于￡點(diǎn).設(shè)機(jī)=尸。+冬。￡,求加的最大值及此時(shí)戶點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)N在曠軸負(fù)半軸上，點(diǎn)A繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，恰好落在第四象限的拋

物線上點(diǎn)"處，且NAMW+NACN=180。，求N點(diǎn)坐標(biāo).

圖1圖2

A

7.已知直線丁=一43+〃交x軸于點(diǎn)4,交y軸于點(diǎn)C(0,4),拋物線y=工/+笈+。經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)8(0,-2),點(diǎn)尸為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)尸的橫坐標(biāo)為

0),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD,過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)P艮

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)ABOP為等腰直角三角形時(shí)，求線段P。的長(zhǎng)；

(3)將ABOP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△B0P,且旋轉(zhuǎn)角NP8〃=/0AC,當(dāng)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'落

在y軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

8.如圖1,已知直線y=-gx+l與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)A,將直線48向下

平移，分別與x軸、y軸交于。、C兩點(diǎn)，且OC=Q4,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,點(diǎn)M是線段AB(不含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,Mi,M2分別是點(diǎn)M關(guān)于直線CA,C8的對(duì)稱點(diǎn)，連接CMi,CM2,

M1M2,求證：ACMiM2s△CDB；

(3)如圖2,作分別交拋物線和直線CO于P,E兩點(diǎn).點(diǎn)。是QE上一動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)線段PE長(zhǎng)最小且NEPQ=/C￡>。時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

9.如圖1,已知拋物線y=x2-l與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)￡>.

(1)求直線的解析式；

(2)尸為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到直線2。的距離為20時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線>=，交拋物線與M,N兩點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)NMCN=90。

時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)C到MN的距離是否為定值.

圖1圖2

10.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=：/+云+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-4,0),點(diǎn)"為拋物線的

頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且。4=03,直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)c(2,6),如

圖.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求直線AB的函數(shù)解析式、點(diǎn)拉的坐標(biāo)和NA8。的余弦值.

(3)連接OC,若過(guò)點(diǎn)0的直線交線段AC于點(diǎn)P,將△AOC的面積分成1:2的兩部

分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

11.如圖1,拋物線)'=依2+樂(lè)+6與X軸交于點(diǎn)A(2,0)B(6,0),與y軸交于點(diǎn)

C,連接AC,BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求N4CB的正切值；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)C的直線交拋物線于點(diǎn)。，若448=45。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

12.已知：拋物線丫=4f+2交x軸于A(-1,0),8兩點(diǎn)

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)C是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC,BC,設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)

為1,AA8C的面積為S,求S與r之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量f的取值范

圍)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)O在第一象限，連接AD,BD,且AT＞=Afi,在

A￡)的上方作㈤=AE分別交BO的延長(zhǎng)線，y軸于點(diǎn)E,F,連接￡)尸，

且ZAFO=3FE,8c交AOF點(diǎn)G,若點(diǎn)G是A￡＞的中點(diǎn)，求S的值.

13.綜合與探究

如圖，拋物線)，=-/+區(qū)+,經(jīng)過(guò)A(TO),。(3,4)兩點(diǎn)，直線AO與丁軸交于點(diǎn)

。.點(diǎn)尸(加,〃)是直線A￡＞上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF_Lx軸，垂足為

F,并且交直線AD于點(diǎn)E.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線與直線AZ)的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；

(2)當(dāng)CP/AD時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)是否存在點(diǎn)尸，ZCPE=NQFE?若存在，求出加的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

14.如圖，己知點(diǎn)A（-1,O）,8（3,0）,。（0,1）在拋物線、=辦2+法+0上.

（1）求拋物線解析式；

（2）在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)尸，使APBC的面積為1；

（3）若點(diǎn)〃是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|AM-Q0|的值最大時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo);

（4）在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q,使N80C=NB4C?若存

在，求出。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

15.如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1,4）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2,3）,與工軸交于

A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)

E,點(diǎn)P在對(duì)稱軸上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線CM與x軸交于點(diǎn)D,若ZDME=，APE,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P,使NANB=2-APE?若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.拋物線y=/+云+c與x軸交于點(diǎn)A和B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸

交于點(diǎn)C,08=OC,點(diǎn)。（2,—3）在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)打!加,如7+1)(n為任意實(shí)數(shù))，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)P在直線1上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)

A,D到直線1的距離相等，求k的值；

(3)M為拋物線在第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若NAA">45。，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與的取值

范圍.

17.已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=3x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交

于點(diǎn)B,拋物線y=-gx2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)

(2)求拋物線的解析式

(3)D為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)

①連接DO交AB于點(diǎn)E,若DE：0E=3：4,求點(diǎn)D的坐標(biāo)

②是否存在點(diǎn)D,使得NDBA的度數(shù)恰好是NBAC的2倍，如果存在，求點(diǎn)D的坐

標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

缶用圖

18.如圖，拋物線^="-2奴+'與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)和B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(6,4)在拋物

線上.

(1)直接寫(xiě)出B點(diǎn)坐標(biāo)：,拋物線解析式為

(一般式);

(2)如圖1,。為y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且NDC4=2NC4B,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線N=〃a+"與拋物線交于點(diǎn)E、F,連接CE、CT分別交y軸于點(diǎn)

M.N,若OM-ON=3,求證：直線EF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

19.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+fer+c(c<0)的頂點(diǎn)為A,

且與y軸的交點(diǎn)為B,過(guò)點(diǎn)B作5C//X軸交拋物線于點(diǎn)C(-4,-4),在CB延長(zhǎng)線上取

點(diǎn)D,使=連接OC,OD,AC和AD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)試判斷四邊形ADOC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得NPOC=45。.若存在，請(qǐng)求出符合條件

的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.已知拋物線過(guò)點(diǎn)A(-4,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(-2,-1).

(1)求這個(gè)拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)B在拋物線上，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,點(diǎn)P在x軸上方拋物線上一點(diǎn)，且

NPAB=45。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)M在x軸下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AN交拋物線于

點(diǎn)D.連結(jié)MD交兩坐標(biāo)軸于E、F點(diǎn).求證：OE=OF.

參考答案:

1.(1)M(1，D或%(I)

(2)y=x2-2x-3

(3)R(-3,Y)或旦(-1,-6)或Q(2,I)或《(4,-1).

【解析】

【分析】

(1)用待定系數(shù)法，直接將48代入解析式即可求解；

(2)由MN平分NO〃。，MZ)平行ON即可求出QM=QN=V5,繼而得出M點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)由4C,。三點(diǎn)的坐標(biāo)可得AACD三邊長(zhǎng)，由CE坐標(biāo)可得APCE和A4CD中

CD=CE,則另兩組邊對(duì)應(yīng)相等即可，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)；利用兩點(diǎn)間距離公式即列方程

求解.

(1)

解：?.?拋物線丫=奴2+灰-3經(jīng)過(guò)8(3,0)兩點(diǎn)，

a-h-3=0

9a+3b—3=0

拋物線的解析式為：y=/-2x-3.

⑵

解：如圖1,設(shè)對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)H,

MB

答案第1頁(yè)，共56頁(yè)

???MV平分NOMD,

:.ZOMN=QMN,

又:DMIION,

:.ADMN=ZMNO,

:./MNO=NOMN,

OM=ON=叵.

???拋物線解析式為y=d-2x—3=(X-1)2—4,

拋物線對(duì)稱軸為直線x=1,

在Rt\OHM中，4JHM=90°,0/7=1.

HM=y/OM2-OH2=J(揚(yáng)-I=1,

；歷式1,-1).

(3)

解：由題意可知：4-1,0),0(0,-3),D(l,-4),

AC=7(-l-O)2+(O+3)2=Vio，

AD=7(-l-D2+(0+4)2=2>/5,

CD=7(0-l)2+(-3+4)2=V2，

???直線BC經(jīng)過(guò)8(3,0),C(0,-3),

二直線BC解析式為y=x—3,

,??拋物線對(duì)稱軸為x=l,而直線8c交對(duì)稱軸于點(diǎn)E,

；.￡坐標(biāo)為(1,-2)；

CE=7(0-1)2+(-2+3)2=V2,

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

則C產(chǎn)=(x-0f+(y+3)2,

貝IJE產(chǎn)=(x-l)2+(y+2>,

■.CE=CD,若APCE與AACD全等，有兩種情況，

當(dāng)尸C=AC,PE=AD,B|jAPCEsAACD.

答案第2頁(yè)，共56頁(yè)

.j(x-0)2+(y+3)2=10

"|(x-l)2+(y+2)2=20*

Aj=-3x,=-1

解得:

>1=_4'>2=-6

即尸點(diǎn)坐標(biāo)為6(-3,-4),々(-1,-6).

當(dāng)PC=AD,PE=AC,g|JAPCEsAACD.

f(x-0)2+(y+3)2=20

'[(x-l)2+(y+2)2=10，

即P點(diǎn)坐標(biāo)為1(2,1),學(xué)4-1).

故若APCE與AACD全等，P點(diǎn)有四個(gè)，坐標(biāo)為率-3,T),鳥(niǎo)(-1,-6),6(2,1),乙(4,-1).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合.要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形

結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系.

2.⑴y=-乎/+也%+3>/^,倒，46)；

(2)AMAB為等邊三角形，理由詳見(jiàn)解析；

【解析】

【分析】

(1)把A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；求解頂點(diǎn)坐標(biāo)直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即

可.

(2)點(diǎn)M在函數(shù)對(duì)稱軸上，故tan/M4Q=絲&=迪=6,即/M4Q=60。，即

AQ4

可得到△MA5的形狀.

(3)①△A3。名WEB尸時(shí)，BF=BD,即點(diǎn)E在點(diǎn)M重合，即可求解：②如下圖，設(shè)

答案第3頁(yè)，共56頁(yè)

_a

PD=a,則8D=a,PB=J^“=AP,在四△A3。中，tana="廠=應(yīng)-1,分別計(jì)算GF、

a+>j2a

E尸的長(zhǎng)度即可求解.

(1)

把點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得,

0=40-26+3石

0=36〃+6b+3石

解得"4

b=5/3

???二次函數(shù)表達(dá)式為：y=-@f+Gx+36.

4

頂點(diǎn)M坐標(biāo)：X=--^-=2,y=4aC~b=4^/3

2a'4a

⑵

△MAB為等邊三角形.

理由如下：在對(duì)稱軸上，

：.MA=MB,tanZMAg=^-=：-Ji

AQ4

ZMAQ=60°

...△M48為等邊三角形.

(3)

①△AB。絲CEBF時(shí)，BF=BD,即點(diǎn)E在點(diǎn)”重合,

止匕時(shí)，AP在MB的中垂線上，則/%。=30。，

貝|JPQ=AQ“an3(r=(2+2)*￥=^,

即點(diǎn)心,明

②設(shè)44Q=a,則NPBQ=a,ZFEB=a

VZAPB=135°,貝lJ/OPB=45°,

設(shè)尸。=。，則BD=a,PB=0〃=AP，

答案第4頁(yè)，共56頁(yè)

SRtAABD,tana="廠=啦-1

a+\J2a

在RtAGBF中，GF=BF.tana

BF

在中，EF=-------,

tana

EG=EF-GF=BF(———tana)=2,

tana

BF1

n即iI——=-.

EG2

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，涉及到三角形全等、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度

較高.

3.(1)y=-x2+x+2

⑵乙M>C=90。，點(diǎn)。的坐標(biāo)為

⑶點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,2)或\;

【解析】

【分析】

(1)由A、B、C的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸x=；,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(；,，")，由D4=DC,利用兩點(diǎn)距離

公式列方程求得m,再由△D4c的三邊關(guān)系計(jì)算NCD4即可；

(3)點(diǎn)尸的位置有兩種情形，分別在直線8c的上方和下方：①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的上方

時(shí)，由N《BA=NC4B,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性片和C關(guān)于對(duì)稱軸/對(duì)稱，即可解答；②當(dāng)點(diǎn)

P在直線BC的下方時(shí)，根據(jù)BC_Ly軸，得△CE8絲△CP/8(ASA),則CE=CP/,求得E

點(diǎn)坐標(biāo)，再與B點(diǎn)坐標(biāo)得出直線8E的表達(dá)式；進(jìn)而與拋物線聯(lián)立求得P2坐標(biāo)；

(1)

解：：拋物線y=a%2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-LO),8(2,0),C(0,2)三點(diǎn),

。一〃+c=0a=-\

<4。+25+c=0,解得：b=T,

c=2c=2

答案第5頁(yè)，共56頁(yè)

.?.拋物線的表達(dá)式為y=-丁+X+2.

(2)

解：拋物線的對(duì)稱軸/為x=g,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

VA(-l,0),3(2,0),C(0,2),

由兩點(diǎn)距離公式可得：

DA2=-+m2,DC2=-+(m-2]2,AC2=5,

44

1

z2

+/2=-+(m-1

VDA=DC,則Z)A2=OC2,T?4\—

解得：即o(g,|),

，DAr=~,DC2=-,

22

,?DA2+DC2=AC-,：.ZADC=90°；

⑶

解：如圖：點(diǎn)尸在直線BC的上方時(shí)，記為《，點(diǎn)P在直線3c的下方時(shí)，記為鳥(niǎo)，拋物線

對(duì)稱軸為/,與x軸交于點(diǎn)E,連接AC,

①當(dāng)點(diǎn)P在直線8c的上方時(shí)，

VZP,BC=ZDAB,又NC4D=ZABC=45。，N[8A=NCAB,

：A和B關(guān)于對(duì)稱軸/對(duì)稱，.?.直線[B和C4關(guān)于對(duì)稱軸/對(duì)稱，

又P,和C均在拋物線上，...A和C關(guān)于對(duì)稱軸I對(duì)稱，

答案第6頁(yè)，共56頁(yè)

vc(o,2),對(duì)稱軸/為X=<的坐標(biāo)為(1,2)；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，

,/P/C_Ly軸，則NECB=NPiCB=45。,

'：ZEBC=ZPiBC,BC=BC,

：.^CEB^/\CP,B(ASA),：.CE=CPi,

R的坐標(biāo)為(1,2),.?.€：￡=C6=l,又0C=2,的坐標(biāo)為(0,1),

???8(2,0),.?.直線26的表達(dá)式為y=-gx+l,

則由,y=~2X+i,解得鳥(niǎo)的坐標(biāo)為';(另一點(diǎn)為8),

y=-x2+x+2'J

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(-；,：).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，一次函數(shù)與二次函數(shù)

的綜合，此題綜合性強(qiáng)難度大，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)求二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=/-2x-3,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-4)

(2)2

⑶-|<m<2

(4)存在，點(diǎn)77的坐標(biāo)為：弓，g)或)

【解析】

【分析】

(1)運(yùn)用待定系數(shù)法和配方法即可求得答案；

(2)先運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線/的解析式為y=2x-6,進(jìn)而可得M(0,-6),CM=

3,OM=6,0c=3,OB=3,再運(yùn)用-Sz1ABe-S.CDW,即可求得答

案；

(3)如圖3,連接AC,在y軸上取點(diǎn)N(0,-9),連接3N交拋物線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作

d〃x軸交2N于點(diǎn)L在線段OC上截取CK=CL,連接BK交拋物線于點(diǎn)E",先證明

△AOC^/XBON,推出/BAC-/CBN=/O8C=45。，再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BN的

解析式為y=3x-9,通過(guò)聯(lián)立方程組求得E，(2,-3)；再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BK的

答案第7頁(yè)，共56頁(yè)

解析式為y=gx-l,通過(guò)聯(lián)立方程組可求得E"(-：，-y)；再根據(jù)N84C-NC8E>

45°,即可得出答案；

(4)過(guò)G作6/?_1_直線/于R,過(guò)，作〃TJ_x軸于T,過(guò)尸作FW_Lx軸于W,如圖4,分

兩種情況：①當(dāng)△ABCs/\GFC時(shí)，②當(dāng)△ASCsaCFG時(shí)，分別利用相似三角形的判定

和性質(zhì)以及解直角三角形即可求得點(diǎn)H的坐標(biāo).

(1)

解：看，?.?二次函數(shù)y=ox2+fer+c的圖象交工軸于點(diǎn)A(-1,0),8(3,0),

???設(shè)y=。(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入,

得：-3=〃(0+1)(0-3),

解得：。=1,

.\y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4,

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=N-2x-3,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-4)；

(2)

解：設(shè)直線/交)，軸于點(diǎn)M,如圖2,

設(shè)直線/的解析式為y=H+d,把8(3,0),。(1,-4)代入，

「3女+d=0

得：7,一

\k+d=-4

圖2

工直線/的解析式為y=2x-6,

令x=0,得＞=-6,

：.M(0,-6),

CM=3,OM=6,OC=3,03=3,

答案第8頁(yè)，共56頁(yè)

:.SABCD=SAOBM-SAOBC-SACDM=；X3X6-；x3x3-|x3xl=2；

(3)

解:'：B(3,0),C(0,-3),NBOC=90°,

；.OB=OC=3,

：.NOBC=NBCO=45。,

如圖3,連接AC,在y軸上取點(diǎn)N(0,-9),連接BN交拋物線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作C乙〃x

軸交8N于點(diǎn)L,

在線段OC上截取CK=C3連接BK交拋物線于點(diǎn)E",

..OA\OB31

?~OC~3，~ON~9~3,

.OAOB

"''OC~ON

,/NAOC=NBON=90°,

：.△AOCS^BON,

：./Q4C=NOBN,即NBAC=NOBN,

：.ABAC-NCBN=NOBC=45°,

設(shè)直線8N的解析式為把8(3,0),N(0,-9)代入，得:

J3e+f=0

If=-9'

e=3

解得:

/=-9

直線BN的解析式為y=3x-9,

y=3x-9

聯(lián)立方程組，得:

y=x2-2x-3

答案第9頁(yè)，共56頁(yè)

[I或廣

解得:〔產(chǎn)一3[y=Q

???￡(2,-3)；

TCL〃工軸，

???點(diǎn)L的縱坐標(biāo)為-3,

A3x-9=-3,

解得:x=2,

：.L(2,-3),

???CL=2,

???CK=2

：.K(0,-1),

設(shè)直線3K的解析式為把3(3,0),K(0,-1)代入，得:

\3m+n=0

[n=-\'

1

,,m=一

解得：3,

，直線BK的解析式為y=gx-1,

1,

y=—x—1

聯(lián)立方程組，得：’3

y=X2-2x-3

2

x=——

fx=33

解得：八或<

[y=0

?尸，，(二_u

39

?.?CL〃x軸，

???ZBCL=ZOBC=450=ZBCK,

在△BCL和△BCK中，

CL=CK

<ZBCL=/BCE,

BC=BC

:?△BCLQABCK(SAS),

答案第10頁(yè)，共56頁(yè)

...ZCBK=ZCBE,即ZCBK=ZCBN,

"：ABAC-NCBN=ZOBC=45°,

：.ABAC-NCBK=45。，

VABAC-ZCBE>45°,

2

.??點(diǎn)E的橫坐標(biāo)m的取值范圍為〈機(jī)<2；

(4)

解：過(guò)G作6/?1_直線/于R,過(guò)，作〃7;Lx軸于T,過(guò)產(chǎn)作FWJLx軸于W,如圖4,

VA(-1,0),B(3,0),C(0,-3),

.".AC=V10>AB=4,BC=3五,ZABC—45°,

NCFG=45。，△CFG相似，

AZABC=ZCFG,點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)點(diǎn)8,邊AC對(duì)應(yīng)邊CG,

,；SaC尸G最小，且△CFG與△ABC相似，形狀不變，

，邊CG最小，即CGLx軸,G與。重合，CG=CO=3,

分兩種情況：

AQ,ABBC

①當(dāng)△ABCS/XGFC時(shí)，——

CG~~FG~~CF

.V1043>/2

??-----------=-----f

3FGCF

：.FG=^^-,CF=越，

55

設(shè)廠(”，〃)，而G(0,0),C(0,-3),

機(jī)2+〃2=(縉)2

m2+(〃+3)2=(^^-)2

|18

m=—

解得：:，

6

n=——

5

令,ow=MFW=g,

，5W=0W-08=|,

答案第II頁(yè)，共56頁(yè)

6

FW7

為△8尸W中，tan/F8W=——=-f

BW3

5

RSGRB中，tan/G3R=tan/FBW=2,BPGR=2BR,

：.cosZGBR=苴,sinNGBR=巫,

55

又BG=3,

.*.BR=述，G/?=—

55

NFHG=45°,GR_L直線/于凡

：.HR=GR=^-,

5

:.BH=HR+BR=^~,

5

RSB”T中，tan/GBR=2,cos/GBR=叵,sinZGB/?=—,

55

；.BT=BH,@=2,HT=BH?—=—,

5555

：.GT=GB-BT=-,

5

.?,618.

??nk—,—）,

55

②當(dāng)△ABCs/\c尸G時(shí)，一=—=—

ABBCAC

.CFFG3

**V-372"^To

...CF=述，F(xiàn)G=述，

55

i?o

設(shè)/（s,r）,方法同①可得/（￡,-1）,

39

：.BW=-FW=-

5f5f

???tanNFBW=3,

ois

同①方法可得y）,

綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（（，y）或（（，y））.

答案第12頁(yè)，共56頁(yè)

圖4

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次

函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積，

三角函數(shù)等綜合知識(shí)，題目難度大，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，確定〃坐標(biāo)，熟練運(yùn)用三角

函數(shù)求線段長(zhǎng)

5.(1)，I,y=x-3,⑵「(2』)，尸(三普，士普)，,乎,三叵|；

(3)Q

【解析】

【分析】

(1)求出A,8的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計(jì)算即可;

(2)做點(diǎn)A關(guān)于BC的平行線聯(lián)立直線A＜與拋物線的表達(dá)式可求出々的坐標(biāo)，設(shè)

出直線4片與y軸的交點(diǎn)為G,將直線8C向下平移，平移的距離為GC的長(zhǎng)度，可得到直

線AH，聯(lián)立方程組即可求出P；

(3)取點(diǎn)Q,連接CQ,過(guò)點(diǎn)A作ACCQ于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作OFJ_x軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)C

作CEJ?用于點(diǎn)E,得直線對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=gx-3,即可求出結(jié)果；

【詳解】

(1)將5(3,0)代入丁=如2+(＞+3)x-(6/H+9),

化簡(jiǎn)得加2+6=0,則機(jī)=0(舍)或m=-1,

/.m=—{,

得：＞=-/+4了-3,則C(0,-3).

設(shè)直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為了=丘+力，

答案第13頁(yè)，共56頁(yè)

將8(3,0)、。(0,-3)代入可得7',解得％=1,

—j=b

則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作A《〃BC,設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為G,將直線BC向下平移GC

個(gè)單位，得到直線A2，

...直線AG的表達(dá)式為y=x-l,

聯(lián)立U一3，

解得：\X=\(舍)，或1=；,

[y=0[y=i

：.4(2,1),

由直線AG的表達(dá)式可得G(-1,0),

AGC=2,CH=2,

直線3的表達(dá)式為y=x—5,

答案第14頁(yè)，共56頁(yè)

y=x-5

聯(lián)立

y=-12+4X-3’

3+歷3-V17

x,=---------

22

解得:

-7+717,-7-717'

x=---------

(3+717-73-V17-7-Vn'

:不，巴

2I22

'3+而-7+V173-V17-7-Vn'

/.P(2,l),P,P

22I22

(3)如圖,取點(diǎn)Q,連接c。，過(guò)點(diǎn)A作AO_LC。于點(diǎn)。,

過(guò)點(diǎn)。作DF，x軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)C作CELDF于點(diǎn)E,

?.,ZACQ=45°,

:,AD=CD,

又???NADC=90。，

???ZADF+ZCDE=90°,

■:ZCDE+ZDCE=90°f

ZDCE=ZADF,

又「Z￡=ZAf7)=90°,

/.\CDE^^DAF,則AF=￡＞石，CE=DF.

設(shè)。E=Ab=a,

VOA=1,OF=CE,

答案第15頁(yè)，共56頁(yè)

CE=DF=a+\.

由OC=3,則OF=3-a,即a+l=3-a,解之得，a=l.

所以3(2,-2),又C(0,-3),

可得直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=；x-3,

設(shè)小-3)'代入y=_x2+4x—3,

?17

得一機(jī)-3=一m2+4加-3,—m=—nr+4m,nr——m=0,

222

又〃2H0,則，7?=g.所以

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵.

6.(1)y=~x2+^+4(2)加最大值是3,此時(shí)尸(3,2)(3)N(0,一

【解析】

【分析】

(1)由直線y=-x+4經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)，先求出點(diǎn)8,C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出

拋物線的解析式；

(2)根據(jù)表達(dá)式”?=P。+與?！?設(shè)出。點(diǎn)的坐標(biāo)和P點(diǎn)的坐標(biāo)，用含f的代數(shù)式分別表

達(dá)出線段P￡>、DE,轉(zhuǎn)化成m關(guān)于，的二次函數(shù)，再求出加的最大值及P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)根據(jù)條件N/WM+NACM=180。，且AN=MN,利用三角形的全等去確定滿足條件

的M、N點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)解析式求出坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：(1)?.?直線y=r+4經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)，當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0,x=4；

.?.B(4,0),C(0,4),

:點(diǎn)、B,C在拋物線y=-gx2+/?x+c上,

[16八

----+4/7+c=0

.,.<3,

c=4

b=-

3,

c=4

答案第16頁(yè)，共56頁(yè)

11,

y=——x~2+—x+4；

33

(2)如圖1,連接AO,延長(zhǎng)產(chǎn)。交x軸于“，

?1,PDUy軸，

.?.P”_Lx軸，

圖1

設(shè)￡>(f,T+4),+

PD=--r2+-z+4-(-/+4)=--r2+—r,

33'’33

S&ABC=^AADC+^/\ADB，

且A(—3,0),8(4,0),C(0,4),

x7x4=—AC.￡>￡+|x7x(-z+4),

22

VAC=V32+42=5>

:.DE=-t,

-.?m=PD+—DE,

21

.?…+2」5+3,

3321533V)

.?.當(dāng)t=3時(shí)，〃，有最大值是3,此時(shí)P(3,2)；

(3)如圖2,過(guò)N作NFLUC,交MC于點(diǎn)P,過(guò)N點(diǎn)作NG_LAC,交C4的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)G,

答案第17頁(yè)，共56頁(yè)

圖2

則ZAGN=NCBV=NM/W=90。,

??.ZACF+ZGNF=180°,

由旋轉(zhuǎn)得:AN=MN,

???NAMW+NACW=18（）。，

?.NGNF=ZANM,

:.ZANG=ZMNF,

?;ZAGN=4MFN=哪,

:./\AGN=/\MFN（AAS）,

:.NG=NF,

二.NC平分ZACM

設(shè)直線CM交x軸于點(diǎn)K,

?.?CO±ABf

,\OK=OA=3f

??.K（3,0）,

4

.tCK的解析式為：y=--x+4,

x+4=--x2-F-X+4,

333

解得：X=0,x2=5f

???M（5圄，

答案第18頁(yè)，共56頁(yè)

設(shè)N(O,y),

,/AN=MN,

???由勾股定理得，(-3)2+/=52+fy+|

13

解得y=-§，

【點(diǎn)睛】

本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、

等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及

定理是解題的關(guān)鍵.

7.（I）y=3-1x-2；（2）；或3；⑶P（F，r或（J一槳）

【解析】

【分析】

（1）用點(diǎn)C，求一次函數(shù)解析式，再求點(diǎn)4的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即

可；

24

（2）設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為，小可得P（機(jī)，DCm,-2）,根據(jù)△BP。為等腰

24

直角三角形，則PD=BD；分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)尸在直線的上方時(shí)，PD=-m2--m,

24

列方程求解即可；②當(dāng)點(diǎn)P在直線8。的下方時(shí)，m>0,BD=m,PD=--nr+-m,列方

33

程求解即可；

4

（3）由NP3戶=NOAC,04=3,0C=4；可得AO5,繼而可得sin/P3P=不，

3

f

cosZPBP=-f然后根據(jù)順時(shí)針與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)P，落在y軸上，構(gòu)造直角三角形，利用

銳角三角函數(shù)求解即可.

【詳解】

4

解：（1）由直線y=與x+〃過(guò)點(diǎn)C（0,4）,

得72=4,

4

???直線廣一鏟+4,

答案第19頁(yè)，共56頁(yè)

4

當(dāng)尸0時(shí)，0=-鏟+4,解得戶3,

???A(3,0),

2

???拋物線〉=§—+法+，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(0,-2),

.[6+3〃+c=0

[c=—2

解得3,

（2）由題意設(shè)P（帆，gm2-gm-2）,D（加，-2）,

若為等腰直角三角形，貝l」PZ>8D,

2

①當(dāng)點(diǎn)P在直線8。的上方時(shí)，PD=^m-mf

???加>0,???點(diǎn)尸在y軸的右側(cè)，BD=m,

.224

?,一m~——m-m,

33

7

解得m尸。(舍去)，加2=5,

24

②當(dāng)點(diǎn)P在直線8。的下方時(shí)，m>0,BD=m,PD=--/n2,

.24

??——m2+一二機(jī),

33

解得加尸0（舍去），機(jī)2=g,

答案第20頁(yè)，共56頁(yè)

???當(dāng)ABPO為等腰直角三角形時(shí)，尸。的長(zhǎng)為|■或《；

(3)?:NPBP=NOAC,0A=3,0C=4,

43

：.AC=5,sinZPBP'=sinZOAC=-,cosNPBP'=±,

55

當(dāng)點(diǎn)〃落在y軸上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)?0作Z/VLx軸交BZ)于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P'作軸，

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

???逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

:.ADBD="BP,PD=PD,BD=BD',

；NBD'M+NP'D'N=180°-NBD'P'=90°,ZD'BM+ZBD'M^90°,

：.ZP'D'N=ZD'BM,

：.ZDBD'=ZND'P1=ZPBP,

2.24,

/.P'D=PD=-m——m,BD=BD=xP=m9

33

在RtAPND中，P'N=P'D'.sinNN0尸=*|/-g機(jī))，

3

在RtABMD，中，BM=BD'-cosZDBD'^^m,

'：PN=BM,

4243

即：一x(-iT?--in)--m,

5335

25

解得：m=—^m=O(舍去)，

o

2511

將，〃==代入拋物線得：y=E，

o32

答案第21頁(yè)，共56頁(yè)

當(dāng)點(diǎn)P'落在y軸上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)屏作DM_Lx軸交3。于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作pR_Ly軸,

交MD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

:順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

:.ADBD'=APBP,PU=PD,BD=BD',

NBD'M+NP'D'N=1800-NBDP=90。,/DBM+/BD，M=9。。,

：.4P'D'N=/D'BM,

：.ADBD'=Z/VD'P=/PBP,

42

/.P'D'=PD--m——rrT,BD=BD'=x=m,

33p

在用△P'M7中，PN=PO'?sinNN￡>'P'=1(gm-|m2),

3

在Rt/\BMD'中，BM=BD'-cosZDBD'=^m,

'：PN=BM,

即：

5(33)5

7

解得：根=d或%=0(舍去)，

o

將機(jī)=/7代入拋物線得：y=-25會(huì)5，

X96

答案第22頁(yè)，共56頁(yè)

，當(dāng)點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'落在y軸上時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)(2二5，三11)或(7(，-冬255).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，解直角三角形的應(yīng)用等

知識(shí)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

8.(1)尸"1一x+1；(2)證明見(jiàn)解析；⑶(113,―25)或(35，23

【解析】

【分析】

(1)利用直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，確定48的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)8為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)出解析式

求解即可;

(2)利用對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似判斷即可；

(3)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)，用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示PE,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，后根據(jù)等角的正切

值相等，分