2022年沈陽市高三數(shù)學(xué)考前三模試題卷附答案解析

2022年5月沈陽市高三數(shù)學(xué)考前三模試題卷

本試卷共4頁，22小題,滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。核對條形碼上的信息,

并將條形碼粘貼在答題卡指定區(qū)域。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)

域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛

筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

L已知全集。={》€(wěn)岡—1<絲3},4={1,2},則。源=

A.{3}B.{0,3}C.{-1,3}D.{-1,0,3)

2.已知復(fù)數(shù)馬和,則“馬AZ2"是"馬一22>0”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件

3.在等比數(shù)列{%}中，出,。8為方程f-4x+〃=0的兩根，則a3a5%的值為

A，兀&B.-冗&C.土兀&D.兀3

4.中華民族傳統(tǒng)文化源遠流長，小明學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌后，打算在網(wǎng)上搜集一些與二

十四節(jié)氣有關(guān)的古詩詞，他準(zhǔn)備在冬季的6個節(jié)氣：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、

大寒與春季的6個節(jié)氣：立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨這12個節(jié)氣中一共選

出4個不同的節(jié)氣，搜集與之相關(guān)的古詩詞，如果冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少被選出

1個，那么小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是

A.345B,465C.1620D.1860

5.已知橢圓。：/+町2=棚相>0)的兩個焦點分別為耳,耳，點尸是橢圓上一點，若

PR.PF；的最小值為-1,則所?的最大值為

11

A.4B.2C.-D.一

42

6.若如a=-l,金=屈、3c=1113,則a,b,c的大小關(guān)系為

A.a>c>bB,b>c>aC,c>b>aD,a>b>c

i

8.己知函數(shù)g(x)=ex-lnx-加的圖象恒在/(x)=(eM-l)x的圖象的上方，則實數(shù)加

的取值范圍是

A.(-co,l)B.(-oo,e-l)C.(0,1)D.(0,e-l)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.下列命題中，真命題有

A.數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,1,8,9,1,10的70%分位數(shù)是8.5

B.若隨機變量丫~8(6,3，則D(X)=1

C.若事件4,B滿足。〈尸(N),P(3)<1且P(AB)=尸⑷?[1-尸⑻],則/與B獨立

D.若隨機變量X~N(2,J),P(Z>1)=068,則P(24x<3)=0.18

10.己知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，H/W+g(x)=2022r-

sinx-25x,則下列說法正確的有

A.g(0)=lB.g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減

C.g(x-1101)關(guān)于直線x=1101對稱D.g(x)的最小值為1

11.如圖四梭錐P-4BCD,平面以。，平面”CD,側(cè)面R40是邊長為2后的正三

角形，底面期CD為矩形，8=2百，點。是尸。的中點，則下列結(jié)論正確的有

A.C0J.平面04D

B.直線0c與是異面直線

C.三梭錐B-ACQ的體積為6痣

D.四梭錐0-488外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為24g

12.己知函數(shù)y=/(x)(xeR),若/(X)>0且/(x)+M(x)>0,則有

A./(力可能是奇函數(shù)或偶函數(shù)

B./(T<AI)

C.若月與3為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則sin*(sinJ)>cos@(cosB)

”(0)<府(1)

2

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

71713

13.函數(shù)/(x)=3sin(-x一一)—的最小正周期為_____________.

364

52J45

14.若(1-2x)=?()+atx+a2X+a3x+a4x+a5x,則|聞+聞+LI+闖+|%|+1。$|=

15.已知平面向量a,b,C滿足同=1,|c|=l,a+b+c=0,ab=-1,則網(wǎng)=

1,

16.已知4瓦。三點在拋物線y=上，且△/18C的重心恰好為拋物線的焦點，貝U

4

△ABC的三條中線的長度的和為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）

設(shè)各項為正數(shù)的數(shù)列｛對｝的前“項和為S”，數(shù)列｛，｝的前〃項積為7；,且

名+留=1.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

、n.

（2）求數(shù)列｛4“｝的通項公式.

18.（本小題滿分12分）

在①2asinB-bcosC-ccosB=0，?sin2A-sin2B+sin2C—>^sin^sinC=0>@

sinNsinC-J^sinB-cos月cosC=0三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并

解答.

已知銳角A4BC的內(nèi)角4,3,C,的對邊分別為a,Z）,c滿足（填寫

序號即可）

（1）求E；

（2）若a=l,求力+c的取值范圍.

（注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分）.

19.（本小題滿分12分）

如圖，在三棱柱44G中，四邊形4G。為菱形，/44力=/。14月

=60°.42=4,AB=2,平面42G4，平面/加44，。在線段/C上移動，P

為棱月4的中點.

（1）若“為8。中點，延長月〃交3C于。，求證：

AD//平面BFQ；

（2）若二面角4-PQ-G的平面角的余弦值為坐，求

點P到平面B04的距離.

3

20.（本小題滿分12分）

某學(xué)校最近考試頻繁，為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，班上決定進行一次減壓游戲.

班主任把8個小球（只是顏色有不同）放入一個袋子里，其中白色球與黃色球各3個，

紅色球與綠色球各1個.現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)迸行摸球得分比賽，摸到白球每個記1分，

黃球每個記2分，紅球每個記3分，綠球每個記4分，規(guī)定摸球人得分不低于8分為獲

勝，否則為負.并規(guī)定如下：

①一個人摸球，另一人不摸球；

②摸出的球不放回；

③摸球的人先從袋子中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再從袋子里摸出2個球；

若摸出的不是綠色球，則再從袋子里摸出3個球，摸球人的得分為兩次摸出的球的記分

之和；

（1）若由甲摸球，如果甲先摸出了綠色球，求該局甲獲勝的概率；

（2）若由乙摸球,如果乙先摸出了紅色球，求該局乙得分f的分布列和數(shù)學(xué)期望

碓）；

（3）有同學(xué)提出比賽不公平，提出你的看法，并說明理由.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）=xcosx+；F,r（x）為了（X）的導(dǎo)函數(shù).

（1）若xw0,1,/（力之機/恒成立，求機的取值范圍；

（2）證明：函數(shù)g（x）=/'（x）+cosx在（0段）上存在唯一零點.

22.（本小題滿分12分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，死鳥分別為等軸雙曲線力＞0）的

左、右焦點，若點A為雙曲線右支上一點，且|明|-|盟|=4，5,直線盟交雙曲線

于8點，點。為線段的中點，延長40,就＞,分別與雙曲線T交于只。兩點.

⑴若.4（孫必）,8（%,必），求證：玉必一%乂=4（%一%）；

（2）若直線的斜率都存在，且依次設(shè)為仁,々,

上k

試判斷,是否為定值，如果是,請求出言的值；如果不

是，請說明理由.

4

數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（附主觀題解析）

說明：

一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題

的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細則.

二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的

內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的

一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：

I.B2.A3.C4.B5.D6.A7.B8.A

二、選擇題：

9.CD10.ACD11.BD12.BCD

三、填空題：

13.614.24315.￡16.9

四、解答題:

17.4本小題滿分10分）

解：（1）當(dāng)”=1時，6+27；=4-2口產(chǎn)物I=1,解得：為=:：..........1分

當(dāng)，?22時，由s”+27；=l得，:+2北=1,..........3分

11△

所以下■―/-=2,

44-1

']11

所以數(shù)列（g是以方二一二3為首頊，2為公差的等差數(shù)列......5分

?jA%

⑵有(1)可得J=3+2(/?-l)=2〃+1,解第「i

2w+1'

5

所以2=尹=坤1=黑，經(jīng)檢驗：5="尸：滿足，,二舞|'

2M-1

-

A5n=^—!-(weN),...................7分

”2〃+八7

-ec2w-l2(n-l)-l4/.X*

當(dāng)力>2時，a=5-S.=-------------------------=—；—(neNKT)...............9分

""2M+12(H-I)+1W-P>刀

由(1)可知6=g,

綜上所述a“二?J....................................10分

——(〃22〃eN，)

Uw2-r7

18(木小題滿分12分)

解：(1)若選①，由正弦定理得

2sinAsinB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinJ,

因為sin/，0,所以sin8=g,又因為8€(0q],所以B=1................4分

若選②，由正弦定理得一JJac=o,即/+02—/=6℃,

由余弦定理得COS8=',+C2-'=立,又因為8w[0，W],所以8=5.……4分

lac2V2；6

若選③，-6sin8=8s/cosC-sin/lsinC=cos(J+C)=cos(7r-fi)=-cosfi,

從而得tan4=f,又因為5e(。71

,所以B=1.4分

o

(2)方法一：

absinB1

由正弦定理得6=

sin/sinBsinCsin/I2sin,4

csmCSin(4+B)冬m力士53ccsJ,6分

sin4sin^4sinJ22sinJ

c2A

2cos—

s7Q1+cos月百2

所以6+C=H-------------=------r^.-L_8分

“22sinN22+2n且,

4sin-cos-13

22

6

Ov2v一

2

由A48C是銳角三角形可得

0<C=--J<-

62

Zea71.7t?冗/I兀

得彳＜/＜彳，則n..........]0分

32624

因為》=tanK在（右：：上單調(diào)遞增，所以從而在

所以6+c的取值范圍為（￥，6）..................12分

方法二：

如圖，過點C分別做A48C的垂線，與直線氏4的交點設(shè)為M,N，

因為是銳角三角形，所以點M,N分別在線段84和其延長線上

7T

由題設(shè)條件5c=1,B=~.可在直角△CW5和直角&MCB中求得:

6

CM=LMB=^,CN=*,NB=M'..................6分

2273V5

［出

所以6+c=4C+,4S=/lC+/lA/+A/3>aW+JWB=—―,.............8分

2

且b+c=AC+ABvCN+AN+AB=CN+NB=6..............10分

所以方+c的取值范國為［乎,百］..........12分

方法三；

g”?v31+cosA,八

所以b+c=^—i-------------,..................6分

22sin,4

0<J<—

由415。是銳角三角形可得L,，

o<c=四-4J

62

得三＜4、，.........8分

7

由于siii/在|泉制單調(diào)遞增，cos月在序g]單調(diào)遞減，

并且l+cos/120,sin/N0。所以/（月）=上二”在單調(diào)遞減........10分

2&inA\32J

/（9＜/（月）＜/彳）.即所以b+c的取值范圍為（后巨,6）.......12分

19.（本小題滿分12分）

解：⑴方法一：如圖，取BB」中點E,連接HE,EH,

白H"為BQ中點，則M〃&Q....................2分

在平行四邊形44.E5中，尸、E分別為,如,，83/的中點，則/E〃依八……4分

由EHCX4E=E且EH,屈U面EHA,又PBt、BQC面BQP,

所以面EH4〃面B0P,而NDU面團4

〃面B/P0...................6分

方法二：取及。的中點工連接HT.TP,

因為H為QB中點，所以〃T//B4且，7四，..........2分

12

又因為AP"BB走AP所以、AP//HT且AP=HT.

所以四邊形AHTP為平行四邊形，..........4分

所以PT//AHaAD//PT

又因為PTu面即＞。，也過面4FQ,

二皿〃面BPR...................6分

（2漣接PCj.ACt,由四邊形/iCtCA為菱形，則,44=/JC=4CL4.

又/&月〃W00,則△/＜?//為正三角形，P為/小的中點，^PCtA.AAt.

因為血/lCCz/L_L面[HlACCJAJC\[^ABBiAi=yLflj,PC）C[ff]ACCJAJ?

：.PC±面ABBtAi,在面ABB!At內(nèi)過P作PR±AA/交88/于點R........................7分

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P-xyz,

則尸（0,0,0）,4（0,2,0），＞1（0,-2,0）,6（0,0,2b），以0,4,26）..............8分

設(shè)福=2而W）,-2,2JJ）.Ae[0,l],則以0,-2（4+1?2向）,

8

。，則

APQ=(0,-2(A+l),273>.)."."AIBI=AB=2.NE3/=60

BK6,1,0),

J.麗=(61,0).設(shè)面廠如的法向量為小(3，z),

濟P0=-2U+1卜+2&z=0人廠2+1.

則—L，令x=l,Jl'l/M=(l--V3?----:1)>

nrPB,=4ix+y=Q4

設(shè)面的法向量為)=(1,0,0),二面角的平面角為夕

nm1__拒.1

則cos”

iZ7百k3a「13'解為石豆或占小舍）,

1l

圖="且q（°,3,6），io分

又.?.班=(4，0,-0),故|萬4#,GB；T6.4,-邪),故-y/22.

所以QB2+B&=QE,即QB工叫,

連送8p,設(shè)尸到平面BQ8,的距囹為瓦則卜；X；x4x〃?，瓦

所以力=RS,即點尸到平面厘班的距離為理.

12分

22

20.（本小題滿分12分）

解：（1）記“甲第一次摸出了綠色球，求甲獲勝”為事件A

C；C：+C；9-3

則尸(H)=i———3分

Cl217

（2）如果乙第一次摸出紅球.則可以再從袋子里摸出3個小球，則彳目分情況有：6

分，7分，S分，9分，10分，11分.

儀…尸涉M?（＞7）二野檢次"8）=瞥唉

產(chǎn)（：=9）=等+祭=三，P（I⑼/2C；'qP（^=1l）=^yi=^.……6分

所以。的分布列為：

467891011

199493

P

353535353535

.......7分

1994Q

所以的數(shù)學(xué)期望上看京竽……8分

46x—?7x—i-8x—?9x—<10x—(llx

（3）由第問知，若先摸出來綠球，則摸球人獲勝的概率為PL》

9+4+9+35

山第（2）問知，若先摸出了紅球,則摸球人獲勝的概率為835'7

9

若先摸出了黃球，則摸球人獲勝的概率為P3==||.

若先摸出了白球，則摸球人獲勝的概率為勺=?^若0=1.

則攜球人獲勝的概率為尸復(fù)+"衛(wèi)=黑........1°分

O/O/O，〉O3）Zov

1571

【答案一】：因為摸球人獲勝的概率為「=照＞3,所以比賽不公平.

2b。2

.............12分

【答案二】：摸球人獲勝的可能性大.

如果指定由某一人摸球，則比賽不公平.

如果摸球人是在甲乙二人之中，隨機等可能的產(chǎn)生，則這樣的比賽是公平的。

...............（答案二和其他答案酌情給分）12分

21.（本小題滿分12分）

解：(1)解：方法一：當(dāng)x=0時，/(O)=ON?JX。成立，.............1分

當(dāng)XG(0,￡時，f(x)2ox?omWc°s.1+1...............2分

I2.x4

，兒/\cosx1(八兀c.i〃、-xsinx-cos.v

設(shè)〃(Kh—一十：,XG0,-,則p'(K)=------2-----?

vxe^o,y，二p'(x)<0,二p(x)在I0,g上單調(diào)遞減，

"(孤=.(；)=；?.??切........................4分

萬

方法二：第（1）問等價于，當(dāng)工€[0,萬]時-m)x2>0恒成立,

.........1分

當(dāng)工一加＜0時，因為尸（乙）二（1一切）二-V0,所以尸（X）NO不恒成立：

4244

當(dāng)!一所之0時，F(xiàn)（x）=xcosx+（--ni）x?A0恒成立，所以加，

-444

綜上，........................4分

4

(2)證明：方法一：V/r(x)=~xsinx+cosx+-i-x,

/、c1c/COSX11.、八

；?^(x)=zcos^r-xsinx+-x=2A(----+-----sinx),...............6分

'/2x42

COSv1171

由(1)(法一)可知，函數(shù)/?(x)=—二+-----sinx在(0.—)上單調(diào)遞減.

x422

TT

.?.版x)在(0,5)上至多一個零點，........................9分

且/?(—)=>0，力(?)=-J<o，

6n24

10

,,、COSX

〃(x)=----+-----sinx在(0,二)上有唯一的零點x。€(一.一)

X42262

；.g(x)在(0,g)上存在唯一零點.12分

方法二：?:ff(x)=—xsinx4cosx-l-gx,

.，?g(x)=2cosx—xsinx4--^x,設(shè)/?(x)=g(K)=-3sinx—xcosx+g

設(shè)上(x)=/?'(x)=-4cosx+xsinx,貝ijk'(x)=5sinx+xcosx..................6分

當(dāng)時，〃(x)>0.為增函數(shù)，旦"(0)=-4<0,〃’4)=!">0,

存在唯一的j，使得力'(-%)=0,.,.當(dāng)xe(0,.")時，力'(X)v0：當(dāng)Xw.

〃(x)>0..“'但在(0,與)上單調(diào)遞減，在卜。4)上單調(diào)遞增.........8分

時,

g'[gj=-：vo,.?.存在唯一的4?(0,為)，使得g'G)=o,

.,.當(dāng)g'(x)>。：當(dāng)xejo《|時，g'(x)<0.，g(x)在(。4)上單調(diào)遞增，

在，。，2)上單調(diào)遞減....................10分

：g(0)=2>0.8仁)=一：<0,二存在唯一的%4小?；，使得g(%)=0,二g但

在(0,三)上存在唯一零點..........................12分

22.(本小題滿分12分)

解：I)證明：由己知，雙曲線是等軸雙曲線，所以離心率e=￡=JE,

a

M4|-|/&|=W5=2^,及

可得/=S?=S,?=16，所以雙曲線方程為上—片=1,.......2分

88

片(4,0).當(dāng)直線42的斜率不存在時，N=出=4,七%-乂亞=4%-4乂=4(%-%)，

直線相的斜率存在時，知々=出絲，-2*-=-