支持學生創(chuàng)造性學習與表達 《勾股定理的證明方法探究》

《勾股定理的證明方法探究》勾股定理又叫畢達哥拉斯定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學家華衡芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角1Ab2形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，

RtAHAE9RtAEBF,.?.ZAHE=ZBEF.TZAEH+ZAHE=90o,???ZAEH+ZBEF=90o.ZHEF=180o—90o二90o.A四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.JRtAGDH9RtAHAE,A?ZHGD=ZEHA.TZHGD+ZGHD=90o,AZEHA+ZGHD=90o.又TZGHE=90o,AZDHA=90o+90o=180O.AABCD是一個邊長為a+b的正方形，它的面積等于(a+b)2.?(a+b)2=4x1/2ab+c2Aa2+b2二c?。1.課本方法：做4個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b,所以面積相等.即a2+b2+4x1/2ab=c2+4x1/2ab,整理得a?+b2=c2o（趙爽證明）以a、b為直角邊（b〉a）,以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角1ab2三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.???RtADAH9RtAABE,AZHDA=ZEAB.TZHAD+ZHAD=90o,AZEAB+ZHAD=900， 2???ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于C.TEF=FG=GH二HE(1876年美國總統(tǒng)Garfield證明)以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角lab形的面積等于2.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.JRtAEAD9RtACBE,?ZADE=ZBEC.TZAED+ZADE=90o,???ZAED+ZBEC=90o.AZDEC=180o—90o二90o.AADEC是一個等腰直角三角形，12c2它的面積等于.又TZDAE=90o,ZEBC=90o,AAD〃BC.??ABCD是一個直角梯形，它的面積等于1/2(a+b)2.?1/2(a+b)2=2x1/2ab+1/2c2Aa2+b2=c2o歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩