上海大學(xué)2023-2023學(xué)年冬季學(xué)期《微積分A2》試卷(A卷)答案

上海大學(xué)2023~2023學(xué)年冬季學(xué)期?微積分A2?(A卷)答案一、單項(xiàng)選擇題(5小題,每題3分,共15分)1.設(shè)為的一個(gè)原函數(shù),且常數(shù),那么(A).A．B．C．D．2.設(shè)直線及平面,那么直線(C).A．平行于B．在上C．垂直于D．與斜交3.設(shè)是區(qū)間上連續(xù)函數(shù),且,那么(B).A．B．C．D．4.曲線自至之間的一段弧的弧長(zhǎng)(C).A．B．C．D．5.設(shè)向量滿足,那么必有(D).A．B．C．D．二、填空題(5小題,每題3分,共15分)6..7.由不等式及所確定的平面圖形的面積為.8.設(shè),那么.9..10.曲線在平面上的投影曲線是.三、計(jì)算題(4小題,每題6分,共24分)11.(6分)計(jì)算解:---------------------(3分)---------------------(2+1分)12.(6分)計(jì)算解:---------------------(2分)---------------------(2分)---------------------(1分)---------------------(1分)13.(6分)計(jì)算.解:---------------------(2分)---------------------(2分)---------------------(1+1分). 14.(6分)計(jì)算.解:---------------(2分)---------------------(2分)---------------------(1分).---------------------(1分)四、計(jì)算題(4小題,每題6分,共24分)15.(6分)函數(shù)連續(xù),且滿足,求.解:令,那么, ---------------------(1分)由, ---------------------(2分)解得, ---------------------(2分)所以或. ---------------------(1分)16.(6分)設(shè)和垂直,和垂直,求非零向量與的夾角.解:由得;(1)---------------------(1分)由得;(2)---------------------(1分)(1)式減(2)式得,即.---------------------(1分)代入(1)式得,即.---------------------(1分)所以所求夾角余弦為,---------------------(1分)那么.---------------------(1分)17.(6分)求過直線且與軸平行的平面方程.解:設(shè)平面束方程為,---------------------(2分)即.由條件知所求平面的法向量,---------------------(2分)所以,解得,---------------------(1分)所以所求平面方程為.---------------------(1分)18.(6分)求過點(diǎn)且與直線垂直相交的直線方程.解:設(shè)所求直線方程為,---------------------(1分)那么由兩直線垂直得.---------------------(1分)直線過點(diǎn).---------------------(1分)由兩直線相交得.---------------------(1分)所以.---------------------(1分)所以所求直線方程為,即.---------------------(1分)五、應(yīng)用題(2小題,每題8分,共16分)19.(8分)設(shè)一向量的模長(zhǎng)為,且與軸和軸的正向成等角,與軸的正向的夾角是它們的二倍,求此向量.解:設(shè)此向量為,且與軸的正向的夾角為,那么它與軸及軸的正向的夾角分別為和,其中.---------------------(1分)由,---------------------(2分)得,解得或.---------------------(1分)那么,,;或,,.所以或.---------------------(2+2分)20.(8分)過拋物線上點(diǎn)作切線,求該切線與上述拋物線及軸所圍成的平面圖形的面積,并求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解:,,切線方程為,即. ---------------------(2分)切線交軸于點(diǎn).面積---------------------(2分);---------------------(1分)體積------------------(2分). ---------------------(1分)六、證明題(1題,共6分)21.(6分)設(shè)在上連續(xù)且遞減,常數(shù)滿足,證明.證:-------------(2分).-----