2022年中考總復習數學第四章三角形

第四章三角形

第11節(jié)幾何圖形初步

1中考課標導航

目錄2，必備知識梳理

^

、3中考真題回顧

刁｀中考考點透視

匹

中考課標導航

課標考點考情

?會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線

段中點的意義．

l．直線、射線、

?掌握九個基本事實（本節(jié)涉及五個）．線段、角

＠理解角的概念，能比較角的大?。J識度、分、秒，

會對度、分、秒進行簡單的換算，并會計算角的和、

差．理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對

2．相交線與平行

5年2考

頂角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）線

的補角相等的性質

匹

續(xù)表

課標考點考情

令理解平行線概念；掌握平行線的性質定理．探索并證明平

行線的判定定理．了解平行千同一條直線的兩條直線平行．

令探索并證明角平分線的性質定理．

令理解垂線、垂線段等概念．理解線段垂直平分線的概念，

3．多邊形

探索并證明線段垂直平分線的性質定理．5年5考

與三角形

令結合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結論，了解原命題

及其逆命題的概念．會識別兩個互逆的命題，知道原命題成

立其逆命題不一定成立．了解反例的作用．通過實例體會反

證法的含義．

匹

續(xù)表

課標考點考情

令探索并證明三角形的內角和定理．掌握它的推論．理解

三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概

念了解三角形的穩(wěn)定性．了解三角形重心、內心、垂

心的概念．4．定義、命題15年1考

定理及證明

令了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內角、外角、

對角線等概念探索并掌握多邊形內角和與外角和公

式探索并證明三角形的中位線定理

本節(jié)復習目標：

1.能運用直線、線段、垂線、平行線相關的基本事實解釋生活中的現(xiàn)象；

2.能用相交線形成的各種角的數量關系進行推理和計算，能運用平行線的判定和

性質、三角形內角和定理及推理進行推理和計算；

3.能結合三角形的重要線段進行證明與計算；

4.熟悉基本圖形及其特征，能準確分析題目的條件，識別或構造基本圖形

匹

必備知識梳理

一、直線、射線、線段、角

1.直線基本事實：兩點確定一條直線

基本事實：兩點之間線段最短

2.線段十線段中點：如圖1,點C是線段AB的中點，則有AC=BC=?AB

線段的和差：如圖2,在線段AB上取一點M,則有

AM+BM=AB,AM=AB-BM,BM=AB-AM

AB

C

BAM

圖l

圖2

匹

余角｛定義：若4A+4B=90°，則乙A與乙B互余

性質：同角或等角的余角相等

｛定義：若4A＋乙B=180°，則LA與乙B互補

3.角的基礎知識補角

性質：同角或等角的補角＝枑翌＿

角的換算：1=_§Q_',1'＝巠L"（角的度、分、秒是60進制）

理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等

4．角平分線

產逆定理：在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平

分線上

匹

二、相交線與平行線

1．相交線

類型相交垂線（垂線段）

/c.

圖示

A于B

(1)對頂角相等

(1)基本事實：過一點有且只有一條

乙1＝乙3,乙2＝乙4.

直線與已知直線垂直

結論(2)互為補角的兩個角之和等180°.

(2)直線外一點與直線上各點連接

乙1＋烏＝乙l＋乙2=

的所有線段中，線段最短垂

乙2+乙3=乙3+乙4=180°

匹

續(xù)表

類型垂直平分線三線八角

嚷``

l鄉(xiāng)-夕夕

圖示A、、-lB

(1)性質（定理）：線段垂直平

(1)同位角：乙l與乙5，乙2與三立，

分線上的點到這條線段兩個

乙3與乙7,乙4與乙8

端點的距離相等

結論(2)內錯角：4生與乙8，乙3與4立

(2)逆定理：到一條線段兩個端

(3)同旁內角：乙2與乙5,

點距離相等的點，在這條線

乙3與乙8

段的垂直平分線上

匹

2.平行線

基本事實：過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線

平行

基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，

(1)基本事實及推論1那么這兩條直線平行

推論：平行千同一直線的兩直線平行．例如，allb,bl/c,

則a/le

補充：＠兩條平行線之間的距離處處相等

＠）在同一平面內，垂直千同一直線的兩條直線平行

（解答題不能直接使用）

匹

性質

兩直線平行仁＝二同位角相等

判定

性質

(2)性質及判定］兩直線平行==-內錯角相等

判定

兩直線平行號盧-同旁內角互補

_匹

＿、三角形的概念及性質

穩(wěn)定性：三角形具有穩(wěn)定性

：邊分類可分為等腰三角形和三邊都不相等的三角形，其中等腰三角形

1．三角形分類又可分為底邊與腰不相等的等腰三角形和等邊三角形

角分類分為三類：（1)銳角三角形；（2)直角三角形；（3)鈍角三角形

內角和定理：三角形的內角和等千~CLl+L2+L3=180°)

角的1外角和定理：三角形的三個外角和等千360°(L4+L5＋乙6=360°)

關系內外角［一個外角等千和它不相鄰的兩個內角的和（例如，乙~6=f?3)

關系一個外角太士＿任何一個和它不相鄰的內角（例如，乙6>乙2)

_匹

＿、-三角形的概念及性質

三角形任意兩邊之和大于第三邊（兩點之間線段最短）

邊的1（例如，AB+BC>AC)

1．三角形

關系三角形任意兩邊之差少土＿第三邊（如IBC-ABI<AC)

注意：判斷三條線段能否構成三角形，應將兩條短線段的

和與最長線段作比較

邊角關系：同一個三角形中，等邊對等角，大邊對大角，小邊對小角

匹

2.三角形中的重要線段

中線高線

AA

圖示

BrII、

B~CDC

點O為各邊中線的交點點O為各邊高線的交點

(1)點O是6.ABC的重心

(2)AO=20D(1)乙AOE=乙BOD＝乙ACB

結論(3)S叢AOF=SLBOF=(2)乙DAC＝乙EBC

s兇BOD=S兇COD=(3)~AEOU')~BDOU')~BECU')~ADC

s兇COE=S心AOE

匹

2．三角形中的重要線段

中垂線角平分線中位線

AA

圖

BC

,-

n6BC

，B~C:

刀

點0是角平分線的交

點O是各邊中垂線的點D,E分別是“1,AC的中點

點

(1)OD=OF

(1)乙BOC=2乙BAC1

(2)三角形三條角平DEi/BC且DE=-BC

(2)乙AOB=2乙ACB2

結分線的交點是三角形

(3)乙AOC=2乙ABC（遇到中點時，常構造三角

論的內心形的中位線，利用中位線的

(4)點O是fu!BC的外心，

(3)內心到三條邊的性質解題）

外心到三個頂點的距離相等

距離相等

匹

四、多邊形的性質

(1)內角和定理：n(n~-3)邊形的內角和等千(n-2)?180°

1.多邊形1(2)外角和定理：n（n>3)邊形的外角和等千360°

的性質(3)對角線規(guī)律：過n(n~3)邊形的一個頂點可引(n-3)條

n(n-3)

對角線，n邊形共有2對角線』l]A

彝

180滬'-

,\1A

，夕，＇夕180°_4

A{`I

;..----

夕＇---－-------I

nI

、..、........180°`

/且5

8、00..、..、

7

匹

(n-2)·180°

(1)各邊相等，各內角相等，每一個內角為n；各外角相

360°

等，每一個外角為n

2．正多邊

形的性質(2)正n邊形有旦條對稱軸（例如，正五邊形有5條對稱軸，正六邊形

有6條對稱軸）

(3)當n為奇數時，正n邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形

當n為偶數時，正n邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

匹

2.正多邊形的性質

(4)正多邊形繞中心旋轉一定角度可以與自身重合，邊數越多，繞中心旋轉

與自身重合的角度越小，總結如下：

圖示

□。。

繞中心旋轉與

自身重合的最120°^goo72°60°

小角度

圖示。勹???正n邊形

繞中心旋轉與

360°45°???360°

自身重合的最

7n

小角度

匹

五、命題

命題：判斷一件事情的語句，叫做命題

真命題：條件成立，結論一定成立（例如，兩直線平行，內錯角相等）

命題1假命題：條件成立，結論不一定成立（例如，兩直線平行，同旁內角相等）

逆命題：第一個命題的條件是第二個命題的結論，第一個命題的結論是第

二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做

另一個的逆命題

匹

中考真題回顧

一、平行線的性質與判定

1.(2019山西5題）如圖，在6.ABC中，AB=AC,乙A=30°,直線a/lb，頂點

C在直線b上，直線a交AB千點D,交AC于點E,若乙1=145°'則乙2

的度數是(C)

A.30°

B.35°

Ba

C.40°

D.45°cb

匹

2.(2017山西2題）如圖，直線a,b被直線c所截，下列條件不能判定直線a

與b平行的是(D)

A.乙1＝乙3

a

B.乙2+乙4=180°

C.14b

乙=乙4

D.乙3＝乙4

3.(2015山西6題）如圖，直線a/lb,一塊含60°角的直角三角板ABC（乙A=

60°)按如圖所示放置．若乙1=55°'則乙2的度數為(C)

A.105°

B.110°

C.115°

b

D.120°

B

匹

4.(2014山西2題）如圖，直線AB,CD被直線EF所截，ABIICD,

乙1=.110°，則乙2的度數等千(B)AC

A..65°E---lr----/:l:.F

B..70°

C.75°

B

D.80°D

匹

二、多邊形的性質

5.(2018山西12題）圖1是我國古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征

著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消融，形狀無一定規(guī)則，代表一種自然和諧美．圖2

是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形，則乙l＋乙2+乙3

＋乙4+乙5=360°.

圖1圖2

匹

中考考點透視

考點一直線、射線、線段、角

1.將下列生活、生產現(xiàn)象所運用的數學知識寫在相應的橫線上．

B

平板彈墨線沿CD鋪設管道彎河道改直

圖1圖2圖3

如圖1,基本事實是兩點確定一條直線；

如圖2,數學原理是垂線段最短;

如圖3，基本事實是兩點之間線段最短．

匹

2．如圖，6.AOB和6.COD中，乙AOB＝乙COD=90°，若點E在邊DO的延長

線上，CD與OB交千點F.

(1)LAOE的補角是三杜少，乙AOE的余角是乙AOC或乙BOD，與乙AOE

相等的角是乙COB，其依據是同角的余角相等．

(2)若乙AOE=20°，請你直接寫出圖中可以求出的角的度數（至少寫出

4個）

解：乙COB=20°，乙AOC＝乙BOD=.70°,

乙EOB=110°,乙AOD=160°.A

。D

E

匹

.--隨堂筆記--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

兩角互余（互補）是角的基本等量關系，常用千角的計算和推理，

余角和補角的性質是證明兩角相等的重要依據，要善千利用圖形中互

余、互補關系解決問題．

匹

考點二相交線與平行線

3．如圖，直線AB,CD被直線EF,HG所截．

(1)若乙1＝乙2,則EF//HG，依據：同位角相等，兩直線平行．

(2)若乙4＝乙6,則，AB/／CD依據：內錯角相等，兩直線平行．

(3)若ABIICD，則乙3與乙5的數量關系是乙3＋乙5=180°'

依據：兩直線平行，同旁內角互補

ACBD

FG

匹

4．如圖，直線allb,6.ABC中，乙A=30°，乙ACB=90°.

(3)如圖:B,6.ABC的頂點B冶切劣剎在直緘1B,在直線若和b之聞)0'

刺乙2＝雙》。．則乙3=_j虹二，乙1=40°.

A

aab

bc

C

圖3圖4

(I)如圖I,~ABC的頂點B準切錢別秘直擱a，戌川生查殿壓白下蘇lo'

姐必笠直線褂凡上汜3三1~oO,則乙2=l60°，乙3=100°.

匹

隨堂筆記

利用平行線的性質獲得角的等量關系是求角度的重要方法．計算角

·的度數時，若已知平行線，則要識別圖中的“同位角、內錯角、同旁

內角”；若無平行線，則通過作平行線構造“三線八角“基本圖形，

然后運用平行線性質解決問題；若圖中有三角形，則要綜合運用三角

形內角和定理及其推論進行計算．

------一一----一-----------------------一-----一··一一一一一一一一一---------------一一---一--一-----一--一一---一一一一一一一一一··一--------一------一---------一一一一一--一-----一-----一一一一一一一一一一一··--------------------------------------

匹

平行線相關角度計算中構造基本圖形的常用方法如下（已知ABIICD):

1．作平行線構造基本圖形2.延長相關線段構造基本圖形

ABAB

ABAB

\

E

E,

、,

、,

、,

、,

`,

一一一一一一·

DCDCDCFDFC

EABEABF

B','----、,

AB/_/1i'A

,,

DII

IC',',,IDI/IC

,,

?-----------署·--.

DCFEDFCE

匹

考點三多邊形與三角形

A

5.一個多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是今＿，

能引五條對角線FB

6．如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為6．連接AE,EC,CA,BE.

Ec

(1)乙AFE=~'乙AEF＝血，乙AEC＝罵·

(2)正六邊形ABCDEF的內角和為衛(wèi)垃0'外角和為泌貯D

(3)兇EC的形狀為等邊三角形，AE的長為丘壓

(4)BE與AC的位置關系為BE=2AF,BE與AF的位置關系為BE//AF,

BE與AF的數量關系為BEj_AC.

(5)正六邊形ABCDEF有立條對稱軸

(6)將該正六邊形繞中心旋轉，順時針旋轉礦后仍與原圖形重合，若oo<

a0~360°，則a的值為60或120或180或240或300或360.

匹

隨堂筆記

11.多邊形內角和隨邊數的變化而變化，外角和固定為360°．若已知多邊形的邊數，

}則運用多邊形內角和定理求內角和；若已知多邊形的內角和求邊數，則利用多

}邊形內角和定理列方程．

；2．根據正多邊形的邊數，可以求出其每個內角與外角的度數．正多邊形的對角

}線常構成特殊三角形，要結合相關三角形的性質推理和計算．

L-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－-－－－－－－--－－－－－－－－－』

匹

7．如圖，在6.ABC中，乙BAC=70°,點D在BC的延長線上，

乙ACD=130°.

(1)乙ABC=60°.

(2)若AB=3,AC=5,BC=a，則a的取值范圍為2<a<8.

(3)如圖2,在圖1的基礎上作AE上BC千E,AF平分乙BAC交BC

千點F，則乙BAE=』釭，乙EAF＝且二，乙AFC=95°.

AA

BD

DB

EFC

圖l

c圖2

匹

隨堂筆記

與三角形有關的求角度問題，常用到：

l．三角形內角和定理及其推論；

L2．三角形相鄰的內外角互補．

-------－---?。弧ぁ?－--?。灰灰灰弧ぁ??一一一··一?。?-----·畸一一一一一一··--

匹

8.已知6ABC中，乙BAC=70°.

(1)如圖1，乙ABC的平分線與乙ACB的平分線交千點D,則

乙BDC的度數為125°·

(2)如圖2，乙ABC的平分線與乙ACE的平分線交千點D,則

乙BDC=35°.

(3)如圖3，乙CBF的平分線與乙BCE的平分線交千點D,則

乙BDC=55°.A

A

Bc

二D

B/3

圖l圖

匹

隨堂筆記

三角形內角或外角的平分線組成的角與三角形的第三個角的度數

有特定的等量關系計算角平分線組成的角的度數時，通常要利用三角

形內角和定理及其推論，結合代數運算的手段解決．例如，

1．基本圖形刁B

DBc

兇＋LB=LC+LD.點D是~ABC內部一點．

11

則LBDC=LA+—LB+—LC.

22

匹

2.雙角平分線組成的基本圖形

AI

乙ABC與乙ACB的平分線交千點P.

1

則乙BPC=90°+－乙A

Bc2

p

乙ABC與乙ACD的平分線交千點P.

1

則乙BPC=－乙A

B2

CD

A

乙CBD與乙BCE的平分線交千點P.

1

DVpE則乙BPC=90°-－乙A

2

匹

9．如圖，在~ABC中，CD,BE分別為AB,AC邊上的中線，且

交千點O，連接DE.

(1)若BC=6，則DE=3.

(2)若~ABC的面積為12，則~ADC的面積為丘，~ADE的面

積為立，叢DOE的面積為上，叢DOB的面積為生

A

Bc

匹

10.如圖，在銳角三角形ABC中，三角形的兩條高AD,BE交千點H.

(1)圖中相等的銳角有乙CAD＝乙CBE,乙AHE＝乙BHD＝乙c.

(2)連接CH并延長CH交4B千點F,則乙AFC＝旦E

(3)圖中與LAEH相似的三角形有.

(4)若乙ABC=45°,寫出圖中的全等三角形，并說明理由．BDc

解：LADC竺LBDH．理由如下：

·:AD是BC邊上的高，乙ABC=45°,:.LADB=乙ADC=90°.

：．乙BAD=45°,．．．乙ABC＝乙BAD,:.AD=BD.

·:BE是AC邊上的高，．．．乙AEB=90°.．．．乙AHE＋乙HAE=90°.

．：乙ADB=90°,．．．乙BHD+乙HBD=90°,

．：乙AHE=乙BHD,．．．乙HBD=乙HAE.

在叢ADC與~BDH中，乙ADC=乙BDH,AD=BD,乙CAD=乙HBD.

.?.~ADC竺~BDH(ASA).

匹

11.如圖，在L.ABC中，直線OE,OF分別是L.ABC中AB,AC邊的中垂線

（即垂直平分線），乙OBC,乙OCB的平分線相交于點I,連接OJ,試判斷

直線OJ與BC的位置關系，并給出證明

A^

解：OJJ_BC.證明如下：

,

連接OA，過點I作JMJ_OB于點M，過點I作

JNj_OC于點N，過點I作JGJ_BC于點G,

？直線OE,OF分別是AB,AC邊的中垂線，

:.oA=OB,OA=oc,:.oB=oc,Br

立OBC,乙OCB的平分線相交于點I,G圖

:.IM=JG,IN=JG,:.IM=IN.

:．點I在乙BOC的平分線上．

·:oB=OC,．．．直線01J_BC.

匹

考點四定義、命題、定理及證明

12.命題”等腰三角形的兩底角相等”的逆命題為有兩個角相等的三角形是等

腰三角形.

13.說明命題“若a>b,則a2>b2”是假命題，符合要求的反例是(B)

A.a=2,b=-1B.a=-I,b=-2

C.a=2,b=l...D..a=-I,b=0

14．用反證法證明命題“已知L,.ABC,AB=AC．求證：乙B<90°”時，第一

步應先假設CA)

A.乙B~90°B.乙B>90°

C.乙B>90°D.AB=/:-AC

匹

15.(2021河北）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．

已知：如圖，乙ACD是6.ABC的外角．求證：乙ACD=乙A+乙B.

證法1:如圖，．．立A＋乙B+乙ACB=180°（三角形內角和定理），

又．．立ACD＋乙ACB=180°（平角定義），

:．乙ACD＋乙ACB=乙A+乙B＋乙ACB（等量代換）．

:．乙ACD＝乙A＋乙B（等式性質）．A

證法2:如圖，．．.LA=76°，乙B=59°,

且乙ACD=135°（量角器測量所得），

又...135°=76°+59°（計算所得），

:．乙ACD=乙A+乙B（等量代換）．BCD

下列說法正確的是(B)

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整

B.證法1用嚴謹的推理證明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理

D.證法2只要測量夠100個三角形進行驗證，就能證明該定理

匹

隨堂筆記

1.任何一個命題都有逆命題，交換原命題的條件和結論可以得到其逆

:命題

2.判斷一個命題是假命題，舉一個反例即可；判斷一個命題是真命題，

則要用演繹推理的方法證明．，

-------－－－－－～一一一一一一一一血．一一一一一一一～一一一一一一--一一一一一一一一嘈．一一一一一一一一一一一一一一一一

第12節(jié)全等三角形

1中考課標導航

目錄2，必備知識梳理

^

、3中考真題回顧

刁｀中考考點透視

匹

中考課標導航

課標考點考情

?理解全等三角形的概念，能識別全等三角

1.全等三角形的性質與

形中的對應邊、對應角5年5考

判定

＠掌握判定三角形全等的三個基本事實

?證明定理：兩角分別相等且其中一組等角

的對邊相等的兩個三角形全等

55

?探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、|2．全等三角形的應用年考

直角邊“定理

本節(jié)復習目標：能用“SAS""ASA""SSS""AAS""HL"證明三角形全等，并

能利用三角形全等解決問題．

匹

必備知識梳理

全等三角形的性質與判定

1.概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．

2.性質：（1)全等三角形的對應邊相等、對應角相等．

(2)全等三角形的對應線段（角平分線、高、中線、中位

線）相等

(3)全等三角形的對應周長相等、對應面積相等．

匹

3.判定

SAS（邊角ASA（角邊SSS（邊邊AAS（角角HL（斜邊直

邊）角）邊）邊）角邊）

仁仁22己已巳巳

兩邊及其夾角分

``兩角及其夾邊分三邊分別相等的兩角分別相等且斜邊和一條直

別相等的兩個三

別相等的兩個三兩個三角形全等其中一組等角的角邊分別相等

角形全等角形全等對邊相等的兩個的兩個直角三

（基本事實）

（基本事實）（基本事實）三角形全等角形全等

匹

中考真題回顧

全等三角形的判定

1.{2019山西17題.7分））已知：如圖，點B,D在線段AE上，

AD=BE,AC/IEF,乙C＝乙F．求證：BC=DF.

C

A

證明：?AD=BE,:.AD-BD=BE-BD.

:.AB=ED.

·:ACIIEF,:.乙A＝乙E.

在叢ABC和叢EDF中，乙C＝乙F,乙A=乙E,AB=_ED.

:．公ABC竺6.EDF(AAS).

:.BC=DF.

匹

中考考點透視

考點一全等三角形的性質與判定

l．如圖，點A,D,C,F在同一條直線上，且AD=CF.

(1)若AB=.DE,BC=EF,乙B=70°，則乙E=.~.

(2)若AB=DE,添加一個條件：BC=EF（或乙BAC=乙EDF),

則LABC竺LDEF，依據為SAS（或AAS或ASA).

(3)若乙EDF＝乙BAC，添加一個條件：DE=AB（或乙FED＝乙CBA,

或乙EFD=乙BCA!則LDEF竺叢ABC,依據為SAS（或AAS或ASA).

ADcF

匹

2．如圖，已知AD,AF分別是叢