2022上海中考數(shù)學(xué)考前30天沖刺復(fù)習(xí)專題2-3 相似三角形中的六種模型（含詳解）

2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）

專題2.3相似三角形中的六種模型

題型一：（雙）A字模型相似

1.（2021?上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△被沖，點(diǎn)/在邊4?上，點(diǎn)反點(diǎn)尸

AFAF

在邊〃±,宣DE〃BC,—.

FEEC

（1）求證：DF//BE-,

（2）如且4A'=2,EF=4,AB=60求證必.

72.（2020?上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）已知：矩形ABCD

BC

中，AB=9,4>=6,點(diǎn)解對(duì)角線/吐，且滿足4?=2比'，點(diǎn)碓線段切上，作直線咫交線

段4好點(diǎn)機(jī)交直線比于點(diǎn)足

（1）當(dāng)（T=2時(shí)，求線段班的長(zhǎng)；

（2）若設(shè)△及成的面積為外求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）試判斷監(jiān)能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫出x的值.

（2021?上海嘉定?二模）已知點(diǎn)/為線段4吐的一點(diǎn)，將線段

加繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段4C；再將線段繞點(diǎn)6逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段點(diǎn)材

是力珊中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)囪/、

(1)如圖1,如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：PMUBD；

(2)如圖1,如果點(diǎn)的線段CM上，求證：PC=2PM；

(3)如果點(diǎn)壞在線段CM上(如圖12),當(dāng)點(diǎn)月生線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N8CM的正切值是否發(fā)

生變化？如果發(fā)生變化，簡(jiǎn)述理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出“CM的正切值.

4.(2021?上海?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在RfAABC中，ZACB=90°,㈤C=6O。，

AC=6,平分4MC,交邊BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作C4的平行線，交邊A8于點(diǎn)

(1)求線段OE的長(zhǎng)；

(2)取線段A。的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)BM,交線段OE于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)線段BM交邊AC于點(diǎn)G,

求"77二的值.

DF

題型二：(雙)8型相似

1.(2021?上海?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在矩形4?徵中，/比3,小4,將矩形/故城點(diǎn)

，旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)4B、〃的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為/'、3、〃，當(dāng)4'落在邊切的延長(zhǎng)線上時(shí)，邊4'

〃與邊4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)行、，那么線段。的長(zhǎng)度為

2.(2021?上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中)已知：如圖，四邊形力比隰平行四邊形,

在邊/龐勺延長(zhǎng)線上截取應(yīng)點(diǎn)陷/耶延長(zhǎng)線上，笈和加交于點(diǎn)材，止和外交于點(diǎn)A；聯(lián)

結(jié)BD.

(1)求證：△?—△制%

(2)如果4/'=9?/「，求證：CM'AB=D.^CN.

D-._______.C

AxA

/\/3.(2021

?上海?九年級(jí)期末)如圖，在平行四邊形ABCD

.45Zr

中，BC=8,點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD,AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G,GF的延長(zhǎng)線

交AD于點(diǎn)H.

(1)求HD的長(zhǎng)；

(2)設(shè)ABEG的面積為a,求四邊形AEFH的面積.(用含a的代數(shù)式表示)

AHD

BGC

4.(2020?上海奉賢?二模)已知：如圖，在梯形48Q沖，CD//AB,/物8=90°,對(duì)角線

AC.應(yīng)相交于點(diǎn)反ACLBC,垂足為點(diǎn)G且BG=CE?CA.

(1)求證：AD=DE-,

(2)過點(diǎn)加乍的垂線，交然于點(diǎn)凡求證：CP=AE*AF.

A-----------'題型三：母子型相似

1.(2022徐匯一模25題)如圖，在AABC中,ZC=90°,cot4=及，點(diǎn)〃為邊4ah的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，以點(diǎn)〃為頂點(diǎn)作ZBZ)E=NA，射線施交邊4行點(diǎn)、E,過點(diǎn)身乍射線的垂線，垂足為點(diǎn)

K

CDAC4

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)〃是邊］。卜點(diǎn)時(shí)，求tanNA3￡＞的值;

(2)求證：ADBF=BCDE；

(3)當(dāng)DE:所=3:1時(shí)，求AEfB.

2.(2022虹口一模25題)已知：如圖，在△/比中，ZJCB=90°,18=10,tan6=3,點(diǎn)

4

。是邊比延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，在射線/吐取一點(diǎn)使得N4於過點(diǎn)力作/KL應(yīng)于點(diǎn)

F.

(1)當(dāng)點(diǎn)座線段4?上時(shí)，求證：空=12

ACBD

(2)在(1)題的條件下，設(shè)W=x,DE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出如勺取值范

圍；

記外交射線/行點(diǎn)G,當(dāng)?△/67■時(shí)，求切的長(zhǎng).

OC=OE,射線OE交射線BA于點(diǎn)D.

如圖1,如果OC=2,求愛區(qū)的值；(2)聯(lián)結(jié)A。，如果AAEO是以AE為腰的等

'△ODB

腰三角形，求線段OC的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，聯(lián)結(jié)5區(qū)CD,NDBE=NCDO,求線段。。的長(zhǎng).

4.12021松江二模】如圖，己知在中，BOAB,即平分4附交邊然于點(diǎn)〃，躡比邊上一

點(diǎn)，且BE=BA,過點(diǎn)川乍力G〃陽(yáng)分別交Ma于點(diǎn)尺G,聯(lián)結(jié)房

(1)求證：四邊形力&；娓菱形；

(2)求證：A5BG+BC；

(3)若A8=4C,BG=CE,聯(lián)結(jié)幽求^的值.

A

題型四：旋轉(zhuǎn)型相似

1.（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖1,四邊形中，/胡謙）平分線4皎邊優(yōu)于點(diǎn)區(qū)已知4?=9,

應(yīng)?=6,相=AB?AD,且DC//AE.

（1）求證：愧=AE?DC；

（2）如果應(yīng)'=9,求四邊形力及勿的面積;

（3）如圖2,延長(zhǎng)/〃、6（發(fā)于點(diǎn)凡設(shè)跖=x,EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義

域.

2.(2010秋

?虹口區(qū)期中）如圖，在△力比和應(yīng)中，NBAD=4CAE,NABg/ADE.

(1)求證：XABCsMADE：

（2）判斷△?!勿與△"2是否相似？并證明.

（2008秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知在式中，NADE=NB,ZBAC=

ADAE

（1）求證:AD_AE.

AB"AC'

(2)當(dāng)//C=90°時(shí)，求證：ECVBC.

（2018?上海民辦浦東交中初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在

RDC

平面直角坐標(biāo)系中，矩形04BC的兩邊。4、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,

Q4=8,OC=4.點(diǎn)戶從點(diǎn)。出發(fā)，沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到

達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

90,得點(diǎn)。，點(diǎn)。隨點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接OP、DA.

（D請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)。的坐標(biāo).

（2）求f為何值時(shí)，皿%的面積最大，最大為多少？

（3）在點(diǎn)P從。向A運(yùn)動(dòng)的過程中，AD%能否成為直角三角形?若能，求r的值:若不能，請(qǐng)

說明理由.

（4）請(qǐng)直接寫出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)。所經(jīng)過的長(zhǎng)度.

1.（2021?上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中,

0°<ZS/W>,90°,AD=DC,AB=BC,AC平分ZR4D.

（2）如果點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)，交邊。C于點(diǎn)G,交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F（點(diǎn)F可與點(diǎn)。重合），ZAFB=ZACB,設(shè)AB長(zhǎng)度是〃（4是常數(shù)，且。>0）,AC=x,

AF=y,求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)ACGE是等腰三角形時(shí)，求AC的長(zhǎng)（計(jì)算結(jié)果用含。的代

數(shù)式表示）

題型六：一線三等角構(gòu)建相似模型

填空題（共1小題）

1.（2021秋?浦東新區(qū)期末）如圖，a//b//c,直線a與直線6之間的距離為愿，直線c與直線6之

間的距離為2愿，等邊式的三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線a、直線6、直線c上，則等邊三角形的邊

長(zhǎng)是

解答題（共4小題）

2.（2020秋?冠縣期末）已知：如圖，△功?提等邊三角形，點(diǎn)2粉別在邊8C、AC1.,ZADE=

60°.

(1)求證：XABDsXDCE；

（2）如果/8=3,a?=2,求比的長(zhǎng).

3

2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）

專題2.3相似三角形中的六種模型

題型一：（雙）A字模型相似

1.（2021?上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△被沖，點(diǎn)/在邊4?上，點(diǎn)反點(diǎn)尸

AFAF

在邊〃±,宣DE〃BC,—.

FEEC

（1）求證：DF//BE-,

（2）如且4A'=2,EF=4,AB=6B求證必.

AnAPApAn

【分析】（1）由題意易得黑=蕓，則有煞=黑，進(jìn)

BDECFEBD

而問題可求證；

（2）由（1）及題意可知黑=空=:，然后可得AD=2百，進(jìn)而可證四=處=走，最后

BDEF2ABAE3

問題可求證.

【詳解】解：（1）'：DE//BC,

.ADAE

?訪一旅‘

.AFAE

?~FE~~EC"

.AF_AD

—訪’

\DF//BE^

(2)*：AF=2,EF=4,

由（1）可知，==/斤6,

BDEF2

AB=66,

AD=-AB=2y/3,

3

AE_6GAO26G.AEADy/3

，=~~~=，?>?=——,

AB~6y53AE63ABAE3

,?△ADESXAEB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中)已知：矩形/，AB=9,49=6,點(diǎn)￡在對(duì)角線

力吐，且滿足/?=2￡C,點(diǎn)降線段。止，作直線陽(yáng)交線段4奸點(diǎn)M交直線比于點(diǎn)兒

(1)當(dāng)32時(shí)，求線段班的長(zhǎng)；

(2)若設(shè)gx,△氏法的面積為必求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍;

(3)試判斷△向花能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫出x的值.

【答案】(1)創(chuàng)三10；(2)y=6x-7,o〈xV3；>=27-了

x-3x-3

3、29

3VxV4.5;(3)X=2或彳或yy

【分析】(1)由43〃CO得陽(yáng)叢NCFs叢NBM,進(jìn)而求得；

(2)分為0＜工＜3和3〈*＜4.5兩種情形，作仇人優(yōu)于G,根據(jù)三角形相似求出￡6和8M

(3)分為現(xiàn)=BE,EM=BE,研一區(qū)歸種，可根據(jù)81A=9-2饞得.

【詳解】

在矩形4%方中，BC=AD=6,AB//CD,

：.△CFE^/XAME,XNCFs△ASJA

.CFEC1CFNC

"AM-AE-2'BM-A?*'

：.4i/=2CF=4,

：.BM=AB-4l/=5,

.2BN—6

??一=------,

5BN

???8，?10；

(2)當(dāng)加寸，MF//BC,此時(shí)△比A不存在,

:?CF=9-2CF,

:?CF=3,

當(dāng)點(diǎn)劭和6點(diǎn)重合時(shí)，

AB=2CF,

???江、=4.5,

-,?分為0VxV3和3VxV4.5,

當(dāng)0VxV3時(shí)、

作吸L8mG,

由(1)知，

比=3,AM=2CF=2x,

:?BM=9-2x,

,CFNC_xBN-6

由——=——得，=一=-----

BMNB9-2xBN

，BN=^^,

3-x

：.y=-BNEG

2

118-4x

=------------x3o

23-x

6x-27

x—3

如圖3,

x-3

?12(9-2x)

.?y=-------------x3

-2x-3

_27-6x

x-3'

(3)如圖4,

圖4

.CGEG1

??赤一前-3'

:.CG=*B=2,

：.GB=CB-CG=4,

:.BE=5,

當(dāng)8仁應(yīng)'=5時(shí),

9-2x=5,

.\x=2,

如圖5,

作歐L4?于〃，

:?BM=2BH=2EG=6,

3

A9-2A—6,,

2

如圖6,

5

cos/MBH36

5

25

.9-2X=—

69

,29

.-￥=—，

綜上所述：x=2或13或2泉9

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理解直角三角形，矩形

的性質(zhì)，正確引出輔助線及掌握分類思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?上海嘉定?二模）已知點(diǎn)P為線段46上的一點(diǎn)，將線段加繞點(diǎn)［逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°,得到線段力再將線段繞點(diǎn)碘時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段9點(diǎn)/曝力淵中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)

BM、CM.

pBB(1)如圖

圖1圖2

1,如果點(diǎn)/在線段CM上，求證：PMHBD-,

(2)如圖1,如果點(diǎn)/在線段CM上，求證：PC=2PM；(3)如果點(diǎn)，不在線段CM上(如圖

12),當(dāng)點(diǎn)杼E線段/此運(yùn)動(dòng)時(shí)，4CM的正切值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，簡(jiǎn)述理

由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出的正切值.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)也

3

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得，是等邊三角形，N陽(yáng)廬120°,則N8月附/必/180°,所

以ZW〃卻.

(2)利用三角形的中位線定理解決問題即可.

(3)延長(zhǎng)用理點(diǎn)G,使得」快如，連接/G,BC,GC,PC,可證△綣提等邊三角形且點(diǎn)，牌比

的中點(diǎn)，可得結(jié)論.

【詳解】

解:(1)如圖1中,

圖1

...△加匕是等邊三角形，

060°,

:"BPM=6Q°,

又陽(yáng)/120°,

/句冊(cè)/陽(yáng)戶180°,

:.PM〃BD；

(2)如圖1中，,:A恭MD,PM〃BD,

J.AP-PB,

:.P吟BD,

?：PA=PC=PB=BD,

：.P(=2PM-,

(3)結(jié)論：tan/員M=也.理由如下:

3

如圖2,延長(zhǎng)8座點(diǎn)&使得，哈圾連接4G,BC,GC,PC,GD,

'CAM-MD,G^BM,

???四邊形是平行四邊形,

：.AG-BD,AG//BD,

胡6M80°-NAB廬60°,

：.ZCAG=120°,

,.?△zioc是等邊三角形，

：.AOCP,NCPB=12Q°,

■：PB=D^AG,

：./\CAG^/\CPB(.SAS'),

：.CG^CB,AACG^APCB,

：.ZGCB=600,

...△以%是等邊三角形，

GM=BM,

：.Zi5CM=^-ZZ?C6^30°,

/.tanZiCM--.

3

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等二角形的判定和

性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

4.(2021?上海?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在RfAABC中，ZACB=90°,NBAC=60。，

AC=6,AO平分NBAC,交邊BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作C4的平行線，交邊AB于點(diǎn)E.

B

(1)求線段OE的長(zhǎng);

(2)取線段AO的中點(diǎn)用，聯(lián)結(jié)8M,交線段QE于點(diǎn)F,延長(zhǎng)線段加交邊AC于點(diǎn)G,

求為的值.

DF

【答案】⑴4；(2):

【分析】(1)分別求出微BQBD,證明△以班桂山工，根據(jù)相似性質(zhì)即可求解;

(2)先證明DF=AG,再證明AfiMs△BAG,根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：(1)?.,4。平分4MC,ZE4C=60°,/.ZZMC=30°.

在MAACD中，ZACD=90°,ZZMC=30°,4c=6,:.CD=z6

在冊(cè)AAC8中，ZAC8=90。，Z5AC=60°,AC=6,ABC=6y[3.

BD=BC-CD=A6.

■:DE//CA,

:?4BDEs^BCA

,DEBD2

**C4-BC-3,

???D￡=4.

(2)??,點(diǎn)M是線段AO的中點(diǎn)，=

■:DE//CA,

J/XDFM^^AGM

.DFDM

**AG-AM,

:.DF=AG.

■:DE//CA,

:.△BEFsdBAG

.EFBEBD2

tu~AG~~BA~~BC~3

B

【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)

題意確定相似三角形，并根據(jù)相似性質(zhì)解題.

題型二：（雙）8型相似

1.（2021?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形力中，49=3,6CM,將矩形能源點(diǎn)

C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)4B、〃的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4、以、〃，當(dāng)落在邊（7）的延長(zhǎng)線上時(shí)，邊力'

ff與邊加的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)行；那么線段行的長(zhǎng)度為一.

【分析】由勾股定理可求A'C=5,可得A'D=A'C-CD=2,由△ECDsaA'CB',對(duì)應(yīng)邊成比例即

可求出DE的長(zhǎng)，再由△A'DFs^CDE求出DF的長(zhǎng)，最后在RtaDFC中由勾股定理即可求出DF.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等可知:A'B'=AB=3,B'C=BC=4

...由勾股定理可知：A'C=V32+42=5，

：.KD=A'C-CD=2,

又NADC=NB'=90°,且NECD=NA'CB',

.,.△ECD^AA'CB',

...絲=”.代入物據(jù)，』=華，

BCAB4

9

DE=~,

4

又A'F〃CE,ZCED=ZA'FD,且NEDC=NFDA',

.?.△A'DE^ACDE,

9

EDDC

在Rt^DFC中由勾股定理可知：

CF=^DF2+CD2=所￥

故答案為：士叵.

2

【點(diǎn)睛】本題借助矩形的性質(zhì)考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)

和判定是解決此題的關(guān)鍵.

2.(2021?上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中)已知：如圖，四邊形北窗是平行四邊形，

在邊4比I勺延長(zhǎng)線上截取班'=/6,點(diǎn)班4踴J延長(zhǎng)線上，口和冰交于點(diǎn)機(jī)比和加交于點(diǎn).M聯(lián)

結(jié)劃.

(1)求證：△員切斷

(2)如果4/'=/104汽，求證：C*AB=D2CN.

證明四邊形打。為平行四邊形得到劭〃必；根據(jù)相似三角形的判定方法，由C”〃頗I判斷

△BNMACNM；

(2)先利用4>'=/伊4阿證明△力"s/U曲則/1=/尸，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得/4/4,

Z2=Z3,所以N3=N4,加上N加eNC跖，于是可判斷△柳憶s△加〃所以必,盼前

CD,然后利用CD=AB^\比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：(1)???四邊形4山提平行四邊形，

：.AB-CD,AB//CD,

而BE=4B,

：.BE=CD,

泵BE"CD,.?.四邊形應(yīng)■必平行四邊形，

：.BD//CE,

'：CM//DB,

:.△BND^CNM；

(2)'：AB*AF,

:.AD：AB=AF：AD,

：.XADBs[\AFD'

；.N1=N汽，

'：CD//AF,BD//CE,

，“N4,Z2=Z3,

，N3=N4,

而NA吩NCM,

：./\MNC^/\MCD,

：.MC：MD-CN：CD,

:.MOCAMD>CN,

而緇46,

:.C*卜AB-DWCN.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì):在判定兩個(gè)

二角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形

的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.在運(yùn)用相似三角形的

性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng).也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).

3.（2021?上海?九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8,點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上

的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD,AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G,GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H.

（1）求HD的長(zhǎng)；

（2）設(shè)ABEG的面積為a,求四邊形AEFH的面積.（用含a的代數(shù)式表示）

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AO//8C,根據(jù)相似三角形的判定得

BE1DF1

/\BEG^/\DEA,△BFSrXDFH,由BE二EF二FD可得出一=一，一=-,根據(jù)相似三角形

ED2BF2

的性質(zhì)即可求解；

(2)由BE二EF可得力反；與△￡FG的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方

可得S&AED丐SQDFH的值，^^AED~SA?！薄凹纯傻盟倪呅蜛EFH的面積.

【詳解】解：(1)???平行四邊形ABCD,BC=8,

AADIIBC,AD=BC-8,

：./\BEG^/\DEA,/XBFG^/XDFH,

.BEBGDFHD

??訪―茄，~BF~~BG9

VBE=EF=FD,

?BE-1DF-1

"ED-2JBF-2T

ABG=|AD=4,HD=|BG,

???HD=2；

(2)VBE=EF,

??S&BEG=S△由G=a，

??S^BFG=2a,

BE1DF1

?；4BEGS/\DEA,LBFGs/XDFH,-=一，——二一，

ED2BF2

^^AED~4〃,S^DFH~,

四邊形AEFH的面積=L加-.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2020?上海奉賢?二模)己知：如圖，在梯形徵中，CD//AB,/%6=90°,對(duì)角線

AC,應(yīng)相交于點(diǎn)發(fā)ACLBC,垂足為點(diǎn)G且比四?竊.

(1)求證：AD=DE\

(2)過點(diǎn)歷乍力徽垂線，交/行點(diǎn)￡求證：CE=AE*AF.

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定定理得到△比如△?1",根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)得到/龍￡=/。氏根據(jù)等角的余角相等得到/根據(jù)等腰三

角形的判定定理證明；

⑵根據(jù)平行線分線段成比例定理得至借嘴，修喑，得至嘿=言，整理得到

Ce=AE'EF,根據(jù)等腰三角形的三線合一得到4尸=￡汽，證明結(jié)論.

【詳解】

證明：（1）?:BC=CE?CA,

.BCCA

又/ECB=NBCA,

'CE-BC

:.XBCEsXACB,

:.NCBE=/CAB,

,：ACLBC,/%8=90°,

:"BE*NCBE=9Q°,N%加/。6=90°,

/BEC=ADAE,

'：4BEC=NDEA,

：.NDAE=ADEA,

:"D=DE；

直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定

題型三：母子型相似

1.（2022徐匯一模25題）如圖，在AABC中，ZC=90°,cotA=&，點(diǎn)煙邊/吐的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，以點(diǎn)。為頂點(diǎn)、作NBDE=NA，射線比交邊/好點(diǎn)反過點(diǎn)例乍射線詢垂線，垂足為點(diǎn)尸.

「〕

<1>當(dāng)點(diǎn)。尾邊0沖點(diǎn)時(shí)，求

CDAcA

備用圖

tanNABD的值；

(2)求證：ADBF=BCDE；

(3)當(dāng)OE:EF=3:1時(shí)，求AE:EB.

【小問1詳解】解：過歷乍ZWJJ好〃，

AC

在AABC中，ZC=90°,cotA=0=GT；，設(shè)AC=yflx，BC=x，

oC

AB=VAC2+BC2=J(&x)2+x2==5/3%,

11

'JD'hAC中點(diǎn)，-AO—x，.".S=^ADBC=^ABDH,

22AADB

Rr

：.DH=^￡=^=rx,

在RtZWZ沖，AH=ylAD2-。彳=W)，(玄獷=玄X，

旦x,

^-x-在RtZX6的，tanZABD==---=—

：.BH=AB-AH=y[ix--x^

33BH2j34

-----X

3

CD/1

DEDB

:?△DEBSXADB,：.——=—

ADA8

BFDBDEBF

VZ/^ZC=90°,ZBDB-ZA,??lA\DFBsXAACB,..----------，.?------=-----BnPn

ADBF=BCDE.

【小問3詳解】解：由DE:EF=3:1”【設(shè)￡>E=3左，EF=k,則以'=〃,

/RDF.=ZA>:.cot/BDE=cotNA=亞,=y/2,

BFBF

:?BF=2叵k，乂"90°，

22

EB=VBF+EF=J(2揚(yáng):了+公=3k，

BD=yjBF2+DF2=1(2&￥+(41=2跑，

AAEBBD,in3k2叔

VADEBsAADB,：.—=——即一=——

BDAB2向AB

.\A3=8k,:.AE=AB—EB=5k,：.AE：EB=5k：3A=5：3.

2.(2022虹口一模25題)已知：如圖，在△/式中，/力龍=90°,AB=\Q,tan6=&，點(diǎn)

4

〃是邊比延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，在射線力艮上取一點(diǎn)反使得N*E=N4BC.過點(diǎn)力作力心應(yīng)于點(diǎn)

F.

(1)當(dāng)點(diǎn)疏線段48上時(shí)，求證：竺=邁

ACBD

(2)在(1)題的條件下，設(shè)gx,DE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范

圍;

(3)記座交射線42于點(diǎn)G,當(dāng)△力毋"時(shí)，求御］長(zhǎng).

【解答】(1)證明：':NADE=NABC,NDAE=NBAD,

:.XADESXABD,：.DE=^,'JAFVDE,:"AFANAC49G,

BDAB

：./\ADF^/\ABC,.?.空?，：.AFDE

?.------二------

ACABACBD

(2)解：；//龍=90。，tan5=3,：.tanB=^-=^-,

4BC4

設(shè)〃'=3a,BC=ia,'：Ad+BCi=AH,：.(3a)2+(4a)2=102,

22

.?.a=2,：.AC^6,BC=8,：.AD=7AC-K：D=V36+?)

由⑴噴嗡，宇二爵

"=8+xV36+x2,

10

當(dāng)x=0時(shí)，此時(shí)次LL/6,由亞=-1408，="1_g?口岳得，1。?然=6X8,

.,./?￡=24,.?.x＞處;

55

當(dāng)斑線段然上時(shí),延長(zhǎng)4咬BC于作掰154好,M

：

,:XAEF/XAGF,：.ZAEF=ZAGF,：.AF=AG,.XEAF=ZGAF=kZ_^,

,：ADAF=ZBAG：.ZDAC=ZGAF,'：ACLBD,：,ZAMC=ZACD,

：.AM=AD,：.CM=CD,?.F，％分/班C,:.MN=CM,

由$4樹=叢幽z&OT/得.yX6X8弓X6-CM+yX10-MN'

.?.16?。/=48,：.GI/=3,:.CD=3.

當(dāng)G點(diǎn)在4用延長(zhǎng)線上時(shí)，<XAEFSXAGF,:.NAEF=NAGF,

,.,/{0是/457的夕卜角，/.AAGF>AAEF,；.這種情形不存在，；.C力=3.

3（2022長(zhǎng)寧一模25題）已知，在&ABC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)￡是射線CA上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且OC=OE,射線OE交射線BA于點(diǎn)D.

(1)

備用圖

圖1備用圖

S—DE

如圖1,如果OC=2,求的值;

S&ODB

(2)聯(lián)結(jié)A。，如果△AEO是以AE為腰的等腰三角形，求線段OC的長(zhǎng);

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，聯(lián)結(jié)BE、CD,NDBE=/CDO,求線段OC的長(zhǎng).

【詳解】解：(1)-：AB=AC,:"B=4C,'：OC=OE,：.￡OEC=￡C,

ACBC58

：.AB=^OEC,：./A\AB(^/\AOEC,：.——=—,.?.一=—,.?.應(yīng)=3.2,."￡=1.8；

OCCE2CE

,：4AED=NQEC=ZB,N〃=N〃，：ZBD^XAED,

A￡_1.8

0.3,...￡^=0,32=009

S&ODB

(2)V/XAEO是以AE為腰的等腰三角形,:.AE=OE,

,：()C=0E,，設(shè)AE=0E=OOx,

5_8

由(1)得，7s△阪；=—

OCCEx5-x

2525

解得,X=—,經(jīng)檢驗(yàn)，X=—是原方程的解；則OC的長(zhǎng)是為

1313

(3)由(1)得，ZB=N0EC,,：ZOEC+ZOEA=l80a,班/困=180°,

；./、B、0、網(wǎng)點(diǎn)、共圓，；.NDEE=N40。，；NDBE=NCDO.：.NAOD=NCDO，

AOBOAOAEAE_BO

：.A0//DC,；.△A/酒△A"[A\ABO^XADBC'：.——=——，——=——

DCCBDCCE

?ACBC58

設(shè)L。ex,0件S-X,'：/A\ABC^/A\OEC,：.——=——

OCCExCE

5-16x8-x

解得，CE=1.6x,ME=5—1.6。，,=?—,

1.6x8

解得，%=8—J為，%)=8+739(舍去)，則0c的長(zhǎng)是為8—聞.

D

4.【2021松江二?！咳鐖D，已知在△/此中，BOAB,B母分4ABC,

交邊”T點(diǎn)。，碟瓶邊上一點(diǎn)，且BE=BA,過點(diǎn)/作布〃場(chǎng)分別交比于點(diǎn)F、G,聯(lián)結(jié)陽(yáng)

(1)求證：四邊形/限是菱形;

(2)求證：A^=BG'BQ

s

（3）若AB=AC,BG=CE,聯(lián)結(jié)/反求不理的值.

【分析】（1）由題目條件可證得

△ABP^AEBFqSAS）及＞ABM/\EBD（SAS'）,進(jìn)而可推出"'=房=9=〃4可得出四邊形"H9

是菱形.（2）根據(jù)條件可證得△物，即可證明結(jié)論.

（3）由條件可得△為R/\/用由相似比可得沁=（蕓］,由B￡=EC?BC,得到點(diǎn)娓%的黃

金分割點(diǎn)，可得出絲=土造，即可得出結(jié)論.

BC2

【詳解】（1）證明：：物平分N4%、，.../力跖=/硼；

?:BA=BE,BF=BF,:.dAB陽(yáng)AEBF（SAS）,:.AF=EF,

同理可得△/應(yīng)運(yùn)△加（%S）,：.AD=ED,NADB=/EDB,

,:AG〃DE,:./AFg/EDF,：.Z.AFD^ZADF,：.AF^AD,

：.AF=FE=ED=DA,，四邊形//曲菱形.

（2）證明：由（1）得：△/麻絲△￡紗；:.NBAG=/BEF,

,四邊形力的是菱形，:.AD〃FE,；.NBEF=NG:.NBAG=NC,

?：ZABG=ZCBA,：./\ABG^/\CBA,,即初=66宓

BCAB

（3）解：如圖，

'：AB=AC,：.ZABG=ZC,

*：ZBAG=NC,:.NABG=/BAG,

,：ZAGC=ZABG+ZBAG,：.ZAGC=2ZBAG,'：BG=CE,：.BE=CG,

J.CG^CA,：.￡CAG^Z.CGA,,:匕CAG=24DAE、:.NDAE=NABC,

；.NDEA=NAC8,：./^DAE^/XABC,：.=(—1,

Sg8c(BCJ

■:AE=BG*BC,AB=BE,:.BF=EGBC,:.點(diǎn)、E是BC黃金分割點(diǎn)，

.BE=>/5-lCE=3-2^J,:4EAC=ZC,:.CE=AE,

BC2BC2

.AE_3—A/5.S^DE_7-3>/^

BC2S1Mte2

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定及黃金分割點(diǎn)等知

識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解題的關(guān)

鍵.題型四：旋轉(zhuǎn)型相似

1.(2021秋?靜安區(qū)期末)如圖1,四邊形力斂沖，/胡冰J平分線/段邊優(yōu)于點(diǎn)反己知49=9,

AE=6,A^=AB?AD,且DC〃AE.

(1)求證：施=AE'DC\

(2)如果龍=9,求四邊形/比頌面積；

(3)如圖2,延長(zhǎng)/1久比交于點(diǎn)區(qū)沒BE=x,EF=y,求y關(guān)于描函數(shù)解析式，并寫出定義

域.

圖1圖2【分析】

(1)先證明△/應(yīng)以，可得NAEB=NADE,再由平行線性質(zhì)可推出N/%'=/比五，進(jìn)而

證得△/應(yīng)㈠^及，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可證得結(jié)論；

(2)如圖2,過點(diǎn)身乍曲，/后運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)可得磔M魔)中點(diǎn)，進(jìn)而可證得△加匡△

ECD(545),再求得5k陽(yáng)=LX/￡'X66=18&,根據(jù)△/應(yīng)s/\力瓦沮相似比為3：2,可求得

2

S4檢產(chǎn)S^cx=81\[2,由S四邊般做》=SNA處S&吩S&cu^求得答案：

(3)由LABES^AED,可求得：DE=Zx,進(jìn)而得出於=2￥,再利用△/應(yīng)s△改力,可

327

42

得：CE=±x,再利用〃勿力反可得AAEFS4DCF,進(jìn)而求得：CF^—EF,再結(jié)合題意得出

981

答案.

【解答】(1)證明：如圖1,厘分

/./BAE=NDAE,

?：AE=AB'AD,

.AB=AE

"AEAD"

:.AABEsAAED,

，ZAEB=AADE,

'：DC//AE,

：.2AEB=NDCE，ZAED=ACDE,

:.ZADE=NDCE,

:.XADEs/\ECD,AE=DE,

DEDC

:.D/=AE?DC；

(2)解：如圖2,過點(diǎn)例乍8cL

,:BE=9=AB,

...△4應(yīng)是等腰三角形，

協(xié)力硼中點(diǎn)，

由(1)可得△血以△反刀也是等腰三角形,

'：A^=AB-AD,AB=BE=9,AE=&,

：.AD^\,DE=6,CE=4,47=3,

:.l\AD陽(yáng)△ECD(SAS),

22

在Rt仲，BG=>/AB-AG=792-32=6^2)

，SA做=工XAEXBG=LX6X6&=18&,

22

?.?△4應(yīng)及祖相似比為3：2,

:?SA麗&^/>=9：4,

*'?Sj\AEt)=Skcz?=8^2,

==z

Snaii&.incDS/^Ant+S^,if：i)^S^,ci)f18y12,+8y/^+8y[^=3

(3)解：如圖3,由(1)知：XABEs/\AED,

.AB=AE

"BEDE"

'：BE=x,AB=9,AE=6,Al:=AB'AD,AD=4,

?.?9_--6?

XDE

:.DE=&x,

3

由(1)知：D^=AE'DC,

：.DC=-2-X,

27

'：/\ADE^/\ECD,

.AD=CE=2

"AEDE~3

CE=—x,

9

'：DC//AE,

.CFDC^

:.△AEFSXDCF、==

"W市81

2

：.CF=^-EF,

81

2

FF^—FH9

...CE-EF-CF-^81=81-x'

"WEF-EF81

y=EF=—^—CE=—