2022上海中考數(shù)學(xué)考前30天沖刺復(fù)習(xí)專題2-8圓有關(guān)綜合題(燕尾模型與半角模型、三角形的存在性)訓(xùn)練（含詳解）

2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）

專題2.8圓有關(guān)綜合題（燕尾模型與半角模型、三角形的存在性）

與模擬題訓(xùn)練

題型一：垂徑定理背景下燕尾模型與半角模型

1.（2018?上海中考真題）已知。0的直徑AB=2,弦AC與弦BD交于點E.且ODLAC,垂足為點

（2）如圖2,如果E為弦BD的中點，求NABD的余切值；

（3）聯(lián)結(jié)BC、CD、DA,如果BC是。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是。0的內(nèi)接正（n+4）邊形的一

邊，求4ACD的面積.

2.（2020?上海中考真題）如圖，△/及沖，AB-AC,。提△/麻勺外接圓，加勺延長交邊

力行點〃.

（1）求證：NBAO2NABD；（2）當(dāng)勿是等腰三角形時，求N6級的大小;

（3）當(dāng)4介2,徵=3時，求邊式的長.

圓中的分類討論問題（三角形的存在性）

1.（2015?上海中考真題）（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5

分，第（3）小題滿分5分）

已知：如圖，AB是半圓。的直徑，弦CD//AB,動點P、Q分別在線段。C、C。上,

且OQ=OP,AP的延長線與射線。。相交于點￡、與弦相交于點尸（點尸與點C、

4

。不重合)，AB=2(),cosZAOC--.設(shè)OP=x,△CPF的面積為

D

QD

y.

B

B□□□

（1）求證：AP=OQ；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)AOPE是直角三角形時，求線段。尸的長.

【模擬題訓(xùn)練】

1.12021靜安二模25】（本題滿分14分，其中第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小

題4分）

如圖，已知半圓仍勺直徑/慶4,點/在線段曲上，半圓P與半圓湘切于點4點第半圓注，

COVAB,延長線與半圓洲交于點。，如與比相交于點反

（1）求證：ADAP^ODACy

（2）設(shè)半圓夕的半徑為x,線段切的長為y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）當(dāng)點后在半圓P上時，求半圓夕的半徑.

〈用益以圖）＜2.12021虹口二模25］（本題滿分14分，

第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）

在欣%中，NAB090°,tanA=-,AC=5,點/健射線"上一點，以梃為半徑的。,姣

4

直線46T點〃

（1）如圖9,當(dāng)吩〃Ht，求切的長；

（2）當(dāng)點〃在線段/或延長線上時，設(shè)笈佐x,四邊形"畫面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解

析式，并寫出它的定義域；

（3）如果直線,M與射線式相交于點反且△以力與△￡加相似，求線段6加勺

長.圖9”

3.12021長寧二?！恳阎雸A碑J直徑力作4,點C、〃在半圓(點占點〃不重合)，

ZCOB=ZDBO,弦物與半徑OC相交于點發(fā)CHLAB,垂足為點〃，C攸弦B吁點F

(1)如圖1,當(dāng)點〃是AC的中點時，求/C如的度數(shù)；

(2)如圖2,設(shè)叱x,%=y,求y關(guān)于x函數(shù)解析式，并寫出定義域；

(3)聯(lián)結(jié)切、OF,如果△。仍是等腰三角形，求線段。/長.

【2021楊浦二模】如圖，已知碌/胡微邊比上一點，H15,cotN為￡4,點尸是射線力占

上一點,聯(lián)結(jié)閭，。密過點/且與網(wǎng)目切于點。，與邊交于另一點〃

(1)當(dāng)圓心琳射線上時，求。冰J半徑；

3

(2)當(dāng)圓心直線力弼距離為一時，求線段/例長；

4

(3)試討論以線段圖長為半徑的。P與。淵位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)的線段4磁值范圍.

分別為氏F.

(1)如圖1,當(dāng)點人身立于直線功同側(cè)，求證：CF=DE；

(2)如圖2,當(dāng)點4、洌立于直線以兩側(cè)，NBAE=30°,旦AE=2BF,求弦位的長；

(3)設(shè)弦的長為1,線段友的長為如線段分的長為〃，探究/與小〃之間的數(shù)量關(guān)系，并

用含原〃的代數(shù)式表示/.

【2021奉賢二?！咳鐖D，已知扇形4后的半徑的=4,//仍=90°,點G〃分別在半徑的、OB

上(點壞與點4重合)，聯(lián)結(jié)被點偎弧46上一點，PC=PD.

3

(1)當(dāng)cot/ar=—，以以為半徑的圓〃與圓冰目切時，求以粕長；

4

(2)當(dāng)點。與點雇合，點P為弧力解］中點時，求/歐的度數(shù)；

s

(3)如果比‘=2,且四邊形切必是梯形，求言"的值.

^WCD

二?！恳阎涸诎霃綖?的扇形力仍中，NA0B=m°(0V辰180),點提篇上的一個動點,

直線/占直線位相交于點。

(1)如圖1,當(dāng)0(勿＜90,△式娓等腰三角形時，求/徽大小(用含加勺代數(shù)式表

示)；

(2)如圖2,當(dāng)加=90點提息的中點時，聯(lián)結(jié)48,求S^ABD.的值;

SAABC

(3)將前沿/漸在的直線折疊，當(dāng)折疊后的圓弧與06所在的直線相切于點反且施=1

時，求線段的長.

【2021年浦東新區(qū)二?！恳阎喊雸A而直徑4Q6,點C在半圓0上，且tan/46C=2j5,點〃

為弧一點，聯(lián)結(jié)47(如圖)

(1)求麻勺長；

(2)若射線比交射線力好點機且△，啰C與△欣(相似，求功的長；

(3)聯(lián)結(jié)勿，當(dāng)如〃比時，作/〃0敝平分線交線段比于點兒求創(chuàng)的長.

已知/胡G且cos/物C=5,10,點/是線段四上的動點，點德射線/吐的動點，且

AQ=BP^x,以線段圖為邊在/砸上方作正方形;W，以線段以為邊在力笈上方作正三角形

PBM.

(1)如圖2,當(dāng)點￡在射線/此時，求下的值；

(2)如果。恪過〃、J倆點，求正三角形陽瞰邊長；

(3)如果點￡在/物矽的邊上，求留粕

2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）

專題2.8圓有關(guān)綜合題（燕尾模型與半角模型、三角形的存在性）

與模擬題訓(xùn)練

題型一：垂徑定理背景下燕尾模型與半角模型

1.（2018?上海中考真題）已知。0的直徑AB=2,弦AC與弦BD交于點E.且ODLAC,垂足為點

F.

（1）如圖1,如果

O

備用圖

AC=BD,求弦AC的長；

（2）如圖2,如果E為弦BD的中點，求NABD的余切值；

（3）聯(lián)結(jié)BC、CD、DA,如果BC是。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是。0的內(nèi)接正（n+4）邊形的一

邊，求4ACD的面積.

【答案】⑴AC=5⑵cotNABD=0；⑶一廣青」.

【分析】（1）由AC=BD知AO+CO=CO+BC，得AD=，根據(jù)0D_LAC知AO=C￡>，

從而得AD=CD=BC，即可知NA0D=ND0C=/B0C=60°,利用AF=A0sinNA0F可得答案；

（2）連接BC,設(shè)OF=t,證OF為aABC中位線及△DEF0ZSBEC得BC=DF=2t,由DF=1-t可得t=

即可知BC=DF=],繼而求得EF=^AC=①,由余切函數(shù)定義可得答案；

3343

（3）先求出BC、CD、AD所對圓心角度數(shù)，從而求得BC=AD=Q、OF-2^,從而根據(jù)三角形

面積公式計算可得.

【詳解】（1）VOD±AC,AAD=CD>ZAF0=90°,

又；AC=BD,二AC=8O，即AO+CO=CO+8C，

AAD=BC>AD=CD=BC'AZA0D=ZD0C=ZB0C=60°,

VAB=2,.?.AO=BO=1,.,.AF=AOsinZAOF=l貝l」AC=2AF=6；

22

（2）如圖1,連接BC,

O

圖1

YAB為直徑，OD±AC,.,.ZAF0=ZC=90",；.OD〃BC,.\ZD=ZEBC,

VDE=BE,NDEF=NBEC,.,.△DEF^ABEC（ASA）,

.?.BC=DF、EC=EF,又?.?△（）二（?,OF是△ABC的中位線，

設(shè)OF=t,貝UBC=DF=2t,VDF=DO-OF=1-t,1-t=2t,

解得：則DF=BC=g、AC-^AB2-BC2-J22-

.,.EF=—FC=-AC=—,

243

2

DF3rr

V0B=0D,.??NABD二ND,貝iJcotNABD=cotND二戶=—二，2；

EFyj2

~T

（3）如圖2,

c

：BC是?0的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是。。的內(nèi)接正（n+4）邊形的一

A03

圖2

邊，

360360…36（）360

AZB0C-——、NA0D二NC0D二---則------卜2X=180,

nn+4nn+4

解得：n=4,/.ZB0C=90°、ZA0D=ZC0D=45°,.,.BC=AC=^,

,/ZAF0=90°,.\0F=A0cosZA0F=—,

2

則DF=OD-0F=l--,二SA—-AC?DF=-XJ2X（1--）=2^11.

222、22

【點睛】本題考查了圓的綜合題、解直角三角形的應(yīng)用等，綜合性較強，有一定的難度，熟

練掌握和靈活應(yīng)用垂徑定理、正弦二角函數(shù)、余弦三角函數(shù)、余切三角函數(shù)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、正多邊形與圓等知識是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?上海中考真題)如圖，△/a中，AB=AC,。超比的外接圓，加勺延長交邊

力行點。

(1)求證：ZBAg/ABD；

(2)當(dāng)是等腰三角形時，求/及力的大小;

(3)當(dāng)4/=2,時，求邊比的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）/及力的值為67.5°或72°；（3）

5A/2

F

【分析】（1）連接0A.利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)分三種情形：①若BD=CB,則/C=/BDC=/ABD+/BAC=3NABD.②若CD=CB,則

ZCBD=ZCDB=3ZABD.③若DB=DC,則D與A重合，這種情形不存在.分別利用三角形內(nèi)角和

定理構(gòu)建方程求解即可.

o3

⑶如圖3中，作AE〃BC交BD的延長線于E.則A把p=2A±n=*,進而得到A工O=把AF=巳

BCDC3OHBH4

設(shè)0B=0A=4a,0H=3a,根據(jù)BH'ABJAH三0B2-0H-',構(gòu)建方程求出a即可解決問題.

【詳解】解:（D連接見，如下圖1所示:

,：AB-AC,：.AB=AC>:?OALBC,：.ABAO-CAO.

'：OA=OB,/.Z.ABD-￡BAO,：.Z.BAC-2^ABD.

（2）如圖2中，延長4餃比于"

①若BD-CB,則/俏NBDONABDN8AC=3N4BD.

'：AB-AC,：.AABOAC,：.ZDBO2ZABD.

,:NDBa/C+NBDO\80°,：.8ZA^18O0,AZO3ZJ2?=67.5°.

②若必="，則NCBANCDB=3NABD,/俏4/4切.

,：ZDBC+ZC+ZC/)B=[80°,...IO//盼180°,:.NBC-B兇2°.

③若游zr,則〃與/重合，這種情形不存在.

綜上所述：/曲值為67.5°或72°.

（3）如圖3中，過力點作4￡〃成交加的延長線于￡.

圖3

設(shè)防=〃=44,阱3a.則在業(yè)仍和以△巡沖，

25

'：Blf=AI}-AHf=Off-Oft,，25-49J=16J-9a2,.?.一=——，

56

:.B居也■,.?.除2腓雙L故答案為：

422

【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角

形，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決

問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型.

題型二：圓中的分類討論問題（三角形的存在性）

1.（2015?上海中考真題）（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5

分，第（3）小題滿分5分）已知：如圖，A8是半圓。的直徑，弦CD//AB,動點P、Q

分別在線段OC、CO上，且QQ=OP,AP的延長線與射線。。相交于點E、與弦8相

4

交于點F（點產(chǎn)與點C、。不重合），AB=20,cosZAOC=-.設(shè)OP=x,ACPE的

AP=OQ.

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域;

（3）當(dāng)AOPE是直角三角形時，求線段OP的長.

【答案】證明見解析；

（1）（2）y=3X--60X+300（50<X<1Q）.（3）OP=8

x13

【分析】（1）證明線段相等的方法之一是證明三角形全等，通過分析己知條件，

OP=DQ,聯(lián)結(jié)0。后還有。4=DO.再結(jié)合要證明的結(jié)論AP=OQ,則可肯定需證明

二角形全等，尋找已知對應(yīng)邊的夾角，即NPQA=NQ。。即可；

（2）根據(jù)APFCsAR4O,將面積轉(zhuǎn)化為相似三角形對應(yīng)邊之比的平方來求；（3）分成三

4

種情況討論，充分利用己知條件cosNAOC=g、以及（1）（2）中已證的結(jié)論，注意要對

不符合（2）中定義域的答案舍去.

【詳解】（1）聯(lián)結(jié)：OC=OD,N08=N0DC，

VCDIIAB,：.ZOCD^ZCOA,：.^POA=ZQDO.

OP=DQ

在A4QP和AO。。中，｛ZPQA=NQOO,AAW0AOOQ,

OA=DO

：.AP=OQ.

(2)作P”_LQ4,交OA于“，

4

*/cosNAOC=—,

4431

AOH=-0P=-x,PH=-x,：.S=-A0PH=3X.

555^AAOOPP2

?/CD//AB，

APFC^^PAO,

CP210-x2

OPx'

.3X2-60X+300

??y=-------------,當(dāng)F與點。重合時,

x

4

CD=2OCcosZ(?CD=2xl0x-=16,

5

x坐，解得x=50

10-xTI

3X2-60X+30050小

一；一丁Z、(⑼

(3)①當(dāng)NOPE=90°時，ZOPA=90\

4

，OP=OAcosZAOC=l()x-=8；

OC1()1()25

C。=---------------------=—=—

②當(dāng)N尸OE=90°時，cosZgCOcosZAOC42

5

25257

OP=DQ=CD-CQ=CD~—=[6--=-,

?：—<OP<1(),

13

7

-,-OP=-(舍去)；

2

③當(dāng)NPEO=90°時，,:CDUAB,

：.ZAOQ=ZDQO,

?：AAOPgAOOQ,

ZDQO=ZAPO,

：.ZAOQ=ZAPO,

ZAEO=ZAOP^90,此時弦CO不存在，故這種情況不符合題意，舍去;

綜上，線段OP的長為8.

【模擬題訓(xùn)練】

1.12021靜安二模25］（本題滿分14分，其中第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小

題4分）

如圖，已知半圓加勺直徑718%,點P在線段的上，半圓尸與半圓/目切于點4點C在半圓R上，

COA.AB,/亦延長線與半圓價目交于點〃，如與比相交于點反

（1）求證：ADAP-ODAC^

（2）設(shè)半圓P的半徑為x,線段切的長為y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

（3）當(dāng)點￡在半圓戶上時，求半圓。的半徑.

【答案】25.解：（1）聯(lián)結(jié)0G在半圓尸

與半圓舛,

；PC=PA,OD=OA,：.NPCA=NA=ND.（2分）

：.PC//0D.（1分）

,4J仞A。

'?壽一而一而（1分）

：.AI>AP-OI>AC..........................................（1分）

（2）在右△8舛，OP^OA-AP^-AB-AP=2-x,

2

OC-^CP--OP-=X2-（2-x）2=4x-4......................（1分）

在股△的舛，AOSIAO2+OC2=V22+4x-4=2y［x...........（1分）

CDPC

?:PC〃OD,：.—=—,...............................（1分）

ACAO

:工=正,...y=（4-2x）石............................（］分）

2-xxx

定義域為1<X<2......................................（1分）

（3）'：COLAB,AO-BO-2,：.BOAOl4x,'：PC//OD,：.—=—,

OPBP

￡￡=也，cg=2（2~-^....................................（1分）

2-x4-x4-x

過點祚磯龍，垂足為〃.ACH=—=（2-V）^,

24-x

BH=BC—CH=2?—（2-X）正=3-￡巫...............（［分）

4-x4-x

?-cosB=—.:?BH*CFOB、BP,

?BPCB

...（6T）五.2?=2（4r）,.............................（1分）

6x-x2=16-8x+x2,x2-7x+8=0?7土.

2

其中產(chǎn)2^^不符合題意，所以半圓成半徑為戶上姮.?（1分）

22

2.12021虹口二模25］（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5

分）

3

在應(yīng)△/式中，//吐90°,tanA=-,AC=5,點力偲射線上一點，以.作為半徑的。，姣

4

直線06T點〃.

（1）如圖9,當(dāng)心1CH寸，求功的長；

（2）當(dāng)點〃在線段勺延長線上時，設(shè)區(qū)佐x,四邊形以⑼的面積為八求y關(guān)于x的函數(shù)解

析式，并寫出它的定義域；

（3）如果直線」如與射線比相交于點反且△宓9與△?先相似，求線段切的長.

備用圖<,

解：（1）過

在色△力比中，易得A8=4Ccos4=4.…，（1分）

"：M（=AC,N4叱90°滬24戶8.?.在AYZ\4硒,

432

AH=AM?cos4=8x—=—..................（1分）

55

7

ACH=AH-AC=-................................（1分）

5

工由垂徑定理，得CD=2CH=*.............................（1分）

5

（2）過點M乍,郵叱G9,垂足為點〃

在.Rt/XAM網(wǎng),MH=AATsinA=（4+x>|=^^.........（1分）

44x4-16

A/7=AWcosA=（4+x）-=---------.

4r-9

.??CH=AH-AC=^-^-（i分）

5

.。1cc18X—183x+1212X2+21X-108

..S/\c）M=iCD-MH----------------------------.…（1分）

△CH225525

13r

又S&CBM=5BM-CB=W

.3x12X2+21X-10824x2+117x-216

..y-——+-------------,即nny-........................（1分）

o

定義域為x>2...................................（1分）

4

（3）①當(dāng)點跖445的延長線上時（如圖9）,

△ECg△酸相似，/EDO/EMC,

：.4EDC=NECM.........................................（1分）

，NCDH3cM.

而由，哈，物可得，AMCD=ACDM,:.NBCM=NMCD.

可證得儂△<：瀏/,/.CB=CH.........................（1分）

??默-9-_2J?

5

解得％=6，即BM=6.....................................（1分）

②當(dāng)點.麻線段力肚時（如下圖），

同①可得二/水力，C*CH,MFMH.................（1分）

，AH=5-3=2,AM=4-x.

Ai-f4?4

在此△/1例中，cosZMA/7=—=-,BP-=-=-

AM54-x5

解得x=±.........................（1分）

2

綜上所述，線段卸做長為6或3.

2

3.12021長寧二模】已知半圓曲勺直徑力后4,點C、〃在半圓。上

ACOB-ADBO,弦劭與半徑06相交于點￡,CHLAB,垂足為點//,

（1）如圖1,當(dāng)點〃是AC的中點時，求鹿勺度數(shù)；

（2）如圖2,設(shè)法X,三=力求y關(guān)于x函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)如、OF,如

果△仇心是等腰三角形，求線段如長.

【答案】（1）NC施=36°.（2）y=〃-/（0cx<2）.（3）%的值為翌二1或④.

【分析】（1）連接6G想辦法證明NO華/吩2NCZ歷，可得結(jié)論.

（2）如圖2中，過點因乍&L終于/首先證明由跖再利用平行線分線段成比例定理解決

問題即可.

（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)小尸為寸，證明砂尸設(shè)砂廠363吩x,則

EC-EF-2-x,游2尸2,盼3尸2,證明△加七△應(yīng)已利用相似三角形的性質(zhì)求解.如圖3-2

中，當(dāng)吩》?時，證明△施7Z是等腰直角三角形即可求解.

【詳解】解：（1）如圖1中，連接加：

=CD，

：?/ABD=/DBC,

?：4C0F/ABD,

：?40BO2/C0B,

'設(shè)/COFx,

■:oB-oa

：./0CF40BC-2x,

■：/C0m/0CA/OBgW,

???武2戶2戶180°,

???尸36°,

???/32伊36°；

D

(2)如圖2中，過點因乍￡了!"于/

OHB

圖2

■:CHLOB,

：.ZCHO=ZCf/&=90Q,

?.,NCZ野N俏90°,NAB比/HFF90

：.4O/HFB,

Y4H眸/CFE,

"O4CFE,

:.EC=EF、

、：EJ1CF,

:?CrJF，

1

?.?妗一/1氏2,Olkx,

2

CH—V22—x2=^4—x2‘

'：EJ//on,

.ECCJ

"~OC~~CH

.CJCH

"CE-OC

.2CJ2CH

??=,

CEOC

.CF274-x2

??--=------------,

CE2

**?y=A/4-X2(0<x<2)；

(3)如圖3-1中，當(dāng)&上加時,

圖3-1

?:FD-FO,OD-OB,

：?4D-4F0D-4B,

?：4E0斤4B,

???4A/D0用/F/EOB,

:AFDgXEOBQASA),

:.FAFOEWEB,

、設(shè)FD=FO=EO=EB=x,貝U除小2一筋B—盼3『2,

.:叢BOD^ABEO,

.BDOB

??一,

OBBE

.3x-22

?.-------=一,

2x

解得》=上口叵或上2叵(舍棄)，

33

經(jīng)檢驗x=l1姮是原方程的解，

3

'.OF2-OH2=BF2-BH2,

：.OF2-OH-=BF2-(2-OH)2,

24

...（1±普）2=（^1~）2-4+40/7，

:，OH

如圖3-2中，當(dāng)給以時,

丁OOOD,

:.DF-0C,

.：EOEF,

:?D即0E,

???/慶N〃陽

,/0IA0B,

,：4C0土4B,

：.Z/）=Z&=ZEOB=ZDOB=450,

TCH工0B,

???△戈旗等腰直角三角形，

5

^0H=—0C=y/2,

2

綜上所述，。部J值為普二1或血.

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的

判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三

角形解決問題，需要利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.

3

4.12021楊浦二?！咳鐖D，已知碇亦邊力WL一點，第=15,cotN胡。=7,點理射線

力吐一點，聯(lián)結(jié)網(wǎng)，。儂過點力且與明i切于點與邊力甥交于另一點〃

(1)當(dāng)圓心。在射線44上時，求。幽半徑；

(2)當(dāng)圓心砥直線”砸距離為:時'求線段解勺長;

（3）試討論以線段做長為半徑的。尸與。曲位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)的線段加取值范

內(nèi)切時，AP=\2..當(dāng)。。與。4H交時，12<J^<18

【分析】（1）解直角三角形求出處即可.

（2）分兩種情形：如圖，當(dāng)點稱射線4蹄J上方時，，當(dāng)點。在射線/加勺下方時，分別利用

相似三角形的性質(zhì)求解即可.

（3）求出兩圓內(nèi)切時加的值，條件。0與力麗切于時/時，力由］值，即可判斷.

詳解［解：（1）如圖，

:.PQ1AP,

AP3

VcotZM4^==一,

4

.,.可以假設(shè)用=3〃,聞=4%則附=5仁15,

.?.4=3,

.?.必=9,PQ=\2,

9

布半徑為一.

2

（2）如圖，當(dāng)點麻射線力的上方時，過點碓。吐力好用，過點。乍M49T

c

Q,

???河是。施勺切線，

PHO=40PQ=/PKQ=9G,

：.20Pm/QPK=9V,/QPK+/PQKS,

:?叢PH(AXQKP,

?_P_H___O__H

^~QK~~PK

設(shè)為=2/〃，則/〃=/7/=勿，PK=9-2m,

3

/.rn__4

12-9-2/7?

3

解得，/〃=—或-3,

2

3

經(jīng)檢救，x=一是分式方程的解，且符合題意.

2

：.AP=3.

如圖，當(dāng)點。在射線4砸下方時，同法可得后9+3如

2

綜上所述，滿足條件的加的值為3或上史叵

2

（3）如圖，當(dāng)。嗎。訥切時,

?：OHLAP,

：.AH=PH,

：.AP=2PH,QK=2PH,

：.PA=QK=\2,

如圖，當(dāng)。。與水相切于點力時,

IN0PQ=9Q°,OQ=OQ,OA=-OP,

.?.Rt△的四Rt△0。（兒），

：.AQ=PQ,

'：OA=OP,

.?.他速直平分線段/R

：.AP^2A/^18,觀察圖像可知：當(dāng)。。與0陋含時，0<心<12.

當(dāng)。。與0陋切時，AP=12.

當(dāng)。。與。加交時，12<^<18.

【點睛】本題相似三角形、全等三角形的判定、圓與圓的位置關(guān)系.分類討論思想是難

點.靈活進行角的轉(zhuǎn)換證明相似是重點.

5.12021嘉定二模25】已知：。徽半徑長是5,是。碑］直徑，）是。的］弦.分別過點4

晌直線。祚垂線，垂足分別為區(qū)F.

（1）如圖1,當(dāng)點4、身立于直線以洞側(cè)，求證：CF=DE；

（2）如圖2,當(dāng)點4、洌立于直線以兩側(cè)，NBAE=30°,旦AE=2BF,求弦位的長；

（3）設(shè)弦制的長為1,線段友的長為如線段分的長為〃，探究/與小〃之間的數(shù)量關(guān)系，并

用含勿、〃的代數(shù)式表示/.

案】（1）證明見解析部分;

(3)/=J100-(/〃+〃)2或Z=-^100-(m-H)2-

【分析】（1）如圖1中，連接陽，過點例乍明1_/于應(yīng)證明止戰(zhàn)HD-HC,即可解決問題.

（2）連接陽，過點外O/LLC吁H,談A皎C吁工利用相似三角形的性質(zhì)求出"OJ,0H,

再利用勾股定理，可得結(jié)論.

（3）分兩種情形：如圖1,當(dāng)點兒就立于直線切司側(cè)時，如圖2中，如圖2,當(dāng)點4面立于直

線以訥側(cè)時，利用勾股定理分別求解即可.

：.BF//OH//AE,

,?OA=OB,

:OHA.CD,

???C舊DH,

：.C用DE,,

(2)連接山，過點祚。從LC奸兒設(shè)A咬C葉J.

AELCD,

圖2

:?/BF戶/AE呼°,

?：4BJ用4AJE,

:ZFJSXAEJ,

.BJ_BF

**A/-AE"2?

BJ=-AB=—,

33

八1()5

33

'：OH//AE,

，乙JOH=4BAE=30°,

.?.叱。/?cos30°=鼠蟲=地,

326

(3)如圖1,當(dāng)點4啦于直線必同側(cè)時,

'：0H=—(BF+AE)=—(帕加，

22

在RtZ\O處中，切=組+刎，

.\52=-(研加2+-/,

44

(Z77+-77)'+『=100,

??l=\J100-(m+/I)?，

如圖2中，當(dāng)點4、啦于直線切兩側(cè)時，OH=^\nrn\,

在Rt△煙中，0^0/f+D/f,

51

?-?4(nm)+—

4

Z.(m~n)2+A100,

/=J]00-(_一〃)2,

綜上所述，1=J100-(/〃+“)2或/=^lOO-(m-n)2.

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，平行線等分線段定理，勾股定理，梯形的中

位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識并能夠靈活應(yīng)用.

6.12021奉賢二?！咳鐖D，已知扇形力幽勺半徑的=4,//必=90°,點C、〃分別在半徑的、

0B上(點壞與點/重合)，聯(lián)結(jié)圈.點/是弧4?上一點，PC=PD.

3

(1)當(dāng)cot/ODC=-，以以為半徑的圓〃與圓碑目切時，求山的長；

4

(2)當(dāng)點〃與點￡重合，點￡為弧48的中點時，求/歐的度數(shù)；

【分析】(1)由題意/C〃〃=90°,cotZ6?C=^=|.可以假設(shè)切=34，0C=4k,則必

=5A,證明/G=%=4A=2,推出衣=工，可得結(jié)論.

2

(2)如圖2中，連接打過點琳密1_處于反PFLOm-F.利用全等三角形的性質(zhì)證明△夕必

是等腰直角三角形，可得結(jié)論.

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)％〃以時，如圖3-2中，當(dāng)尸勿如寸,分別求解即可.

【詳解】解：(1)如圖1中，

0D3

cotNODC-=一

OC4

圖1

???設(shè)勿=3h0C=4k,則勿=5h

,/以初為半徑的圓〃與圓冰目切,

:.CD=DB=3k,

：.0B=0A=8k,

：.AC=OC=4k=2f

：.CD=-.(2)如圖2中，連接。用過點內(nèi)乍分工小于反PFIO吁F.

2

圖2

:./A0P=/P0B,

■:PE10A,PF10B,

:.PE=PF,

■:/PEC=/PFB=9G0,PD=PC,

:.RtXPESRMPFBQHD,

:?/EPC=/FPB,

"?ZPEO=ZEOF=ZOFP=90°,

，N￡7方=90°,

:?/EPF=/CPB=9G,

：.ZPCB=ZPBC=45°,

?/0P=OB,〃如=45。,

：.AOBP=ZOPB=<ol.5°,

；.N6W=67.5°-45°=22.5°,

：.ZOCD=90°-22.5°=67.5°.

(3)如圖3-1中，當(dāng)。?！ㄒ矔r，

OC//PD,

圖3-1

:./ppg/Aoggy,

,：CEVPD,:./CED=9N,

四邊形況勖矩形，

：.0C=DE=2,CE=OD,

設(shè)PC=PD=x,EC=OD=y,

Jx2+y2=16

則3y2+(一)2

解得小=2布-2,xz=-2瓜-2（不合題意，舍去），

:.PA2娓-2,

0AoeD

如圖3-2中，當(dāng)/r〃應(yīng)時,

?：PC〃0D,

圖3-2

：.AC0D=A0CE=ACED=^°,

???四邊形紇叨是矩形，

：.0C=DE=2,CE=OD,

'：0P=\,0C=2,

PC=y]0P2-0C2=>/42-22=273,

:.PD=PC=2&,

PE=^PDr-DE1=7（273）2-22=2夜，

:.EC=01）=26—2及，

:?箸=^==3+折

s

綜上所述，產(chǎn)?的值為#-1或3+卡.

、XOCD

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關(guān)系，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，

梯形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中

考壓軸題.

7.12021青浦二?！恳阎涸诎霃綖?的扇形4如中，NA0B=m°(0</W180),點提右上

的一個動點，直線4占直線的相交于點。

(1)如圖1,當(dāng)0〈加<90,△版是等腰三角形時，求N加大小(用含"粕代數(shù)式表

示)；

(2)如圖2,當(dāng)加90點庭標的中點時，聯(lián)結(jié)力8,求S^ABD的值;

SAABC

(3)將標沿〃所在的直線折疊，當(dāng)折疊后的圓弧與a所在的直線相切于點￡；且比=1

時，求線段題的長.

析】(1)珠/用線上，所以/眥為銳角，N儂為鈍角，則僅是等腰三角形，僅有

8。=6〃這一種情況，扇形46?中，OA=OC=OB,BC=BD,由邊相等得對應(yīng)角相等，三角形

內(nèi)角和為180°,可得/Q且二；

2

(2)過加乍〃ML業(yè)的延長線于M,連接OC,C為中點，可知4、=及7,ZAOC=/COB=

45°,AO=CO=BO,邊相等得對應(yīng)角相等，即可求得/水石=135°,NBCD=45°,Z

CBO為△BCD的外角,可得//勿=/〃，NCAB=NCBA,由角相等可推出/8=劭，在口△

力6!5中，由勾股定理知闞=2,在等腰直角△力^!5中4V=]/15=&,由。歸_被DMLAB',

得出匕ANCsXAVD,面積比等于相似比的平方可得結(jié)果；

(3)E為弧4EC與08切前,知/、E、C在半徑為2的另一個圓上，在RtZkO仇沖，由勾股

定理知比'=巡，得四邊形/0C。'是菱形，由菱形對角線性質(zhì)，可以推出△〃'QEs*

DOP,得?！?，在Rta/。'中，由勾股定理得4/三Y|l,即可求出/游]長.

【解答】解：(1)珠如弧線上，

:.NOB明銳角,

媯鈍角，

則△及渥等腰三角形時，僅有公領(lǐng)一種情況，

：./D=NBCD,連接比則以=%=仍，

J.ZOAC^ZOCA,AOCD^ZOBC,

/.ZOBC=ZZ>ZBCD=2AD,

在Z\0C/沖,NC眥2N/2/片180°,

:.NA0C=m°-AC0D=m+4ZD-180°,

.?.N/0C=2X