2022上海中考數(shù)學(xué)考前30天沖刺復(fù)習(xí)專題2-6二次函數(shù)六種題型綜合與真題訓(xùn)練（含詳解）

2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案(上海專用)

專題2.6二次函數(shù)六種題型綜合與真題訓(xùn)練

題型一：二次函數(shù)中直角三角形的存在性

1.(2019嘉定二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，拋物線y=m*2—2x+n(m、n是常數(shù))

經(jīng)過點(diǎn)4(一2,3)、B(-3,0),與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，如果直線BD和直線BC的夾角為15。，求線段的長(zhǎng)度；

(3)設(shè)點(diǎn)P為此拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△8PC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

yA

2.(2019寶山二模)如圖，已知對(duì)稱軸為直線丫=-1的拋

X

物線丫=必2+"+3與*軸交于4、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中4(1,0).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線BD和直線BC的

夾角為15。，求線段CD的長(zhǎng)度；

(3)設(shè)點(diǎn)尸為拋物線的對(duì)稱軸》=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A8PC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐

題型二：函數(shù)中的等腰三角形分類討論

1.(2019閔行區(qū)二模)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax^-2x+c與x軸交于點(diǎn)A

和點(diǎn)B(1,0),與y軸相交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求證：ZDAB=ZACB；

(3)點(diǎn)Q在拋物線上，且aADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐

2.(2020?浦東新區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-丁+bx+c與x軸的

兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-l,0),8(3,0),與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,求NAC8的正切值；

(3)點(diǎn)P在拋物線上，且NF4B=NACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

題型三：二次函數(shù)平移綜合

1.(2022普陀區(qū)一模24)如圖，在平面直角坐標(biāo)系不。沖，已知拋物線夕=」9+叱。與直線V

3

=-」戶1交于點(diǎn)力(加，0),8(-3,〃)，與辟由交于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)力U

3

(1)求以〃的值和拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)〃在拋物線7=』/+力妙c的對(duì)稱軸上，當(dāng)/月加90°時(shí)，求點(diǎn)幽坐標(biāo)；

3

(3)將△力比平移，平移后點(diǎn)?!仍在拋物線上，記作點(diǎn)R此時(shí)點(diǎn)僚好落在直線48上，求

點(diǎn)/的坐標(biāo).

2(2022年金山一模24)已知：拋物線y=-7+bx+c經(jīng)過點(diǎn)力(0,

1)和6(1,4)頂點(diǎn)為點(diǎn)只拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求/為0的度數(shù)；

(3)把拋物線向上或者向下平移，點(diǎn)B平移到點(diǎn)C的位置，如果BQ=CP,求平移后的拋物線解析

式.

5

4

3

2

1_3(2020閔行一模24).如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy

-5-4-3-2-1,0123456*^

-1

中，直線y=-x+5與無(wú)輔交于點(diǎn)A,與丁軸交于點(diǎn)B.點(diǎn)次拋物線

y=ax2-2a2x++-^a的頂點(diǎn).

(1)用含a的代數(shù)式表示頂點(diǎn)C的坐標(biāo):

(2)當(dāng)頂點(diǎn)C在AAOB內(nèi)部，且SMOC=|時(shí)，求拋物線的表達(dá)式：

(3)如果將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂

點(diǎn)P仍在&AOB內(nèi)，求。的取值范圍.

4(2022奉賢一模24)(本題滿分12分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題每小題滿分4

分)

如圖11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a/+bx+3與x軸交于點(diǎn)

做一1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)將拋物線沿y軸上下平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.

①如果點(diǎn)M落在線段BC上，求乙DBE的度數(shù);

②設(shè)直線ME與x軸正半軸交于點(diǎn)P,與線段BC交于點(diǎn)Q,當(dāng)PE=2PQ時(shí)，求

平移后新拋物線的表達(dá)式.

5.（2021?松江區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系萬(wàn)勿中，直線y=3戶3

與謝、游由分別交于點(diǎn)從B,拋物線尸aV+bx-5/過點(diǎn)4將點(diǎn)8向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到點(diǎn)C

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的對(duì)稱軸；

（3）若拋物線的頂點(diǎn)在40%的內(nèi)部，求a的取值范圍.

6.【2021年靜安區(qū)二模24］（本題滿分12分，其中第（1）小

題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）

在平面直角坐標(biāo)系才以中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（5,0）（如圖），經(jīng)過點(diǎn)力的拋物線y=/+版+5

與諭相交于點(diǎn)8,頂點(diǎn)為點(diǎn)C

（1）求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求N4優(yōu)的正弦值：

（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線

頂點(diǎn)為。，且△圖與相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式.

7.【2021年長(zhǎng)寧二模24】如圖，已知在平面直角坐

標(biāo)系Mr中，拋物線尸a*-免+c經(jīng)過點(diǎn)/(1.

0)、B(3,0),且與成由交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如果將拋物線向左平移勿(?>0)個(gè)單位長(zhǎng)

度，聯(lián)結(jié)/，、BC,當(dāng)拋物線與△力比的三邊有且只有

一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求切的值；

0A

(3)如果點(diǎn)理拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，

聯(lián)結(jié)尸G直線為交通1于點(diǎn)反當(dāng)NPCE=NPE(時(shí),

(第24題圖)求點(diǎn)用］坐標(biāo).

y

0\7B

I一8.【2021年奉賢二模】如圖，在平面直角坐標(biāo)系小中，已知6(0,2),

3

<7(1)-萬(wàn))，點(diǎn)/在看由正半軸上，且〃=2仍，拋物線y=af+6x(aWO)經(jīng)過點(diǎn)4C.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線先向右平移〃介單位，再向上平移1個(gè)單位，此

時(shí)點(diǎn)。恰好落在直線4?上的點(diǎn)C'處，求窺值;

(3)設(shè)點(diǎn)岐于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為6',聯(lián)結(jié)4C,如果點(diǎn)嵇直線"'上，ZACF^

ZBAO,求點(diǎn)，的坐標(biāo).

一9.【2021年浦東新區(qū)二模24】(12分)如圖，在平面直

角坐標(biāo)系x勿中，拋物線產(chǎn)=丁+或經(jīng)過點(diǎn)4(2,0).直線尸工x-2與蔣由交于點(diǎn)6,與游由交

2

于點(diǎn)C

(1)求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將拋物線y=f+"向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)8求平移后拋物線的表達(dá)

式;

（3）將拋物線尸J+bx向下平移，使平移后的拋物線交碎由于點(diǎn)〃，交線段優(yōu)于點(diǎn)只Q,

（點(diǎn)麻點(diǎn)循側(cè)），平移后拋物線的頂點(diǎn)為必，如果〃。〃諭，求乙我摘正弦值.

題型四：二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性

1.(2022青浦一模24).（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系矛以中，拋物線y=x'+Z?x+c與解山

交于點(diǎn)/(-1,0)和點(diǎn)6(3,0)與碑由交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)〃.

（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)版坐標(biāo)；

（2）聯(lián)結(jié)8aBD,求/物的正切值；

（3）若點(diǎn)終於由上一點(diǎn)，當(dāng)△劭嗎△/比相似時(shí)，求點(diǎn)用坐

2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系宜加中，點(diǎn)兒曬

點(diǎn)在直線了=工不上，如圖.二次函數(shù)『aV+"-2的圖象也經(jīng)過點(diǎn)/、曬點(diǎn)，并與逸相

2

交于點(diǎn)C,如果比〃x軸，點(diǎn)/的橫坐標(biāo)是2.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與式交于點(diǎn)〃，點(diǎn)雁游由的負(fù)半軸上，如果以點(diǎn)反

o、￡所組成的三角形與△tmg似，且相似比不為1,求點(diǎn)照坐標(biāo)；

（3）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是亂求tanN4訛的

3

3（202崇明一模）24.如圖，拋物線片戶c與x軸交于點(diǎn)4（4,0）,與斕1交于點(diǎn)8（0,

4

3）,點(diǎn)欣/，0）為線段的上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)姓1垂直于“軸的直線與直線46及拋物線分別交于點(diǎn)

P,N.

（1）求拋物線的解析式,

（備用圖）

并寫出此拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）如果以點(diǎn)只N、B、媯頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求朋的值;

（3）如果以反尺人為頂點(diǎn)的三角形與湘似，求點(diǎn)傭＜］坐標(biāo).

4.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=依2+瓜+4。。0）經(jīng)過點(diǎn)

A（-l,0）、B（3,0）,C（0,3）,頂點(diǎn)為點(diǎn)o.

（i）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo);

->

o1x

(2)聯(lián)結(jié)8。、CD,試判斷ABCD與AAOC是否相似，并證明你的結(jié)論;

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得NP4c=45.如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2022靜安區(qū)一模24)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線尸)十^比經(jīng)過點(diǎn)彳(2,

0)和點(diǎn)5(-1,加，頂點(diǎn)為點(diǎn)〃

(1)求直線/冰J表達(dá)式；

(2)求tan/45?的值；

(3)設(shè)線段班與田軸交于點(diǎn)戶，如果點(diǎn)如x軸上，且與△/(亞相似，求點(diǎn)加J坐標(biāo).

a^+bx-1(a#0)經(jīng)過點(diǎn)4(-2,0),B(1,0)和點(diǎn)〃(-3,n),與逸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)為勺坐標(biāo)；

(2)將拋物線平移，使點(diǎn)。落在點(diǎn)施，點(diǎn)方落在點(diǎn)￡處，求的面積；

(3)如果點(diǎn)/在辟山上，△尸勿與△力比相似，求點(diǎn)順坐標(biāo).

過點(diǎn)/(-1,0),B(4,0),與海交于點(diǎn)4點(diǎn)庭該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限

內(nèi)，聯(lián)結(jié)47、BC、CD、BD.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對(duì)稱軸；

(2)當(dāng)|必靦=45\例時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)躡x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)正是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)4、D、E、F

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo).

角相等或角的和差倍半關(guān)系

1.(2022長(zhǎng)寧一模24)拋物線曠=辦2+2公+。與犬軸相交于48兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左

側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),其頂點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為4.

3A

%(1)求該拋物線的表達(dá)式;

(2)求ZACB的正切值；

(3)點(diǎn)尸在線段CB的延長(zhǎng)線上，且ZAFC=ZDAB,求CF的長(zhǎng).

2.(2022年虹口一模24)已知開口向上的拋物線了=。/-4ak3與并由的交點(diǎn)為4頂點(diǎn)為6,

點(diǎn)4與點(diǎn)淺于對(duì)稱軸對(duì)稱，直線4西比交于點(diǎn)〃

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)器］坐標(biāo)；

(2)當(dāng)//6C=90°時(shí)，求拋物線尸af-4aK3的表達(dá)式；

(3)當(dāng)//6(7=2/驅(qū)時(shí)，求如的長(zhǎng)。

3.（2022黃埔一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax?-3ar-4a（a<0）與

x軸交于A（-LO）,8兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)G點(diǎn),偎拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸/與比交于

（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)碳該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且在線段的下方，

ZCFB=ZBCO,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)

2

4.（2022年松江一模24題）如圖，已知直線y=-§e2與游由交于點(diǎn)力,與諭交于點(diǎn)8,拋物

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）直線x=￡與該拋物線交于點(diǎn)C,與線段力姣于點(diǎn)〃（點(diǎn)〃與點(diǎn)4環(huán)重合），與諭交于

點(diǎn)、E,聯(lián)結(jié)4C、BC.

①當(dāng)D匕F=竽AF時(shí)，求力的值;

CDOE

②當(dāng)切平分N4W,求A/ia的面積.

41n

5.(2022徐匯一模24題)如圖，拋物線、=-§/+三_%+2與蔣由相交于點(diǎn)兒與諭交于點(diǎn)

B,C為線段而上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)誰(shuí)蔣由的垂線，交直線4汗點(diǎn)4交該拋物線于點(diǎn)

(1)求直線/龐勺表達(dá)式，直接寫出頂點(diǎn)就勺坐標(biāo)；

(2)當(dāng)以8,E,〃為頂點(diǎn)的三角形與△CZM相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)當(dāng)N5r)E=2NQ4B時(shí)，求△BDE與ACZM的面積之比.

6.(2021年長(zhǎng)寧二模)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系X0，中，拋物線y=af-竽戶姿過點(diǎn)｛(1,

0)、B(3,0),且與削交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)如果將拋物線向左平移曲(?>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)/C、BC,當(dāng)拋物線與△/1式的三邊有且

只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求〃的值;

(3)如果點(diǎn)。是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)陰勺右側(cè)，聯(lián)結(jié)AC,直線為交碎由于點(diǎn)￡,當(dāng)/戶應(yīng)=

/限時(shí)，求點(diǎn)/酌坐標(biāo).

7.(2021年楊浦二模)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系直線尸x-5與斕1相交于點(diǎn)4與y

軸相交于點(diǎn)8,拋物線y=ax46戶逐過4、6兩點(diǎn).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線與斕1的另一個(gè)交點(diǎn)為G點(diǎn)虛拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)幅直線/吐一點(diǎn)，當(dāng)四邊形

即鋁是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)制坐標(biāo)；

(3)在第(2)小題的條件下，聯(lián)結(jié)。C,在衲作射線勿與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)。，使得

5

4

3

2

AQCD=ZABC,求線段仇的長(zhǎng).

2345x

8.(2021年青浦二模)已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，拋物線尸aV+3x+3的圖象與x

軸交于點(diǎn)1(-1,0)和點(diǎn)6,與辟由交于點(diǎn)G對(duì)稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)是點(diǎn)〃

(1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)刑坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)然該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形尸6比為梯形時(shí)，求點(diǎn)用勺坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)￡為法由正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tanUPBO^/PEO)=5時(shí)，求廢

的長(zhǎng).

題型六：二次函數(shù)中的線段相等與倍半關(guān)系問題

例1(2022楊浦一模24)已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2f+6戶c與諭交于點(diǎn)/

(-1,0)和點(diǎn)6,與諭交于點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)尸是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)

AP、BC,加嗚線段寬相交于點(diǎn)尸.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段6c交于點(diǎn)色如果點(diǎn)/當(dāng)點(diǎn)￡重合，求點(diǎn)用勺坐標(biāo)；

(3)過點(diǎn)續(xù)AGJ_游由，垂足為點(diǎn)G,PG與線段BC交于點(diǎn)、//,如果用=/力，求線段必用勺長(zhǎng)

-3-2-10234x

-1

度.

2.(2020長(zhǎng)寧二模)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=/++九經(jīng)過點(diǎn)

A(2,-2),對(duì)稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)為點(diǎn)B,拋物線與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)6的坐標(biāo)；

(2)將上述拋物線向下平移1個(gè)單位，平移后的拋物線與涮正半軸交于點(diǎn)。，求ABCD

的面積；

(3)如果點(diǎn)尸在原拋物線上，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)3P交線段于點(diǎn)Q,^|=1,求

I------------1------------1—^.

-4-3-2-1O234x

-1

點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.(2021閔行區(qū)二模24)(12分)在平面直角坐標(biāo)系加中，拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)4

(5,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)8,對(duì)稱軸為直線x=3,且對(duì)稱軸與斕1交于點(diǎn)C.直線y=Ax+4經(jīng)過點(diǎn)

A,與線段比交于點(diǎn)E

(1)求拋物線尸-x'+m的表達(dá)式;

(2)聯(lián)結(jié)80、E0.當(dāng)△以乃的面積為3時(shí)，求直線尸比什6的表達(dá)式;

(3)在(2)的條件下，設(shè)點(diǎn)媯”由上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8〃、AD,當(dāng)加=9時(shí)，求/加映余

切值.

3

4.(2021虹口二模24)如圖8,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/：y=—工+匕與x軸、y軸分別

,4

LQ

交于點(diǎn)兒B,與雙曲線〃：y=—交于點(diǎn)〃(2,-),直線x=陽(yáng)分別與直線,和雙曲線〃交于點(diǎn)

x2

E、D.

(1)求俄股的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)￡在線段48上時(shí)，如果ED=B0,求加的值；

(3)點(diǎn)C是碎由上一點(diǎn)，如果四邊形必定是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

點(diǎn)C(0,3),對(duì)稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)直線MN平行于x軸，與拋物線交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，且

3

MN廿’點(diǎn)C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為E,求線段?！甑拈L(zhǎng);

(3)點(diǎn)尸是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)CP、EP,砂交線段5c于點(diǎn)

F,當(dāng)kCM：S△臼=1:2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.(2020青浦二模)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系X。中，二次函數(shù)y=a》2一4ax+3的圖像與

■4由正半軸交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，且tan/C4O=3.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)尸是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP,交對(duì)稱軸于點(diǎn)F,當(dāng)

S.CDF：S/DP=2：3時(shí),求點(diǎn)用勺坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將3沿直線必1翻折，當(dāng)點(diǎn)網(wǎng)合好與點(diǎn)面合時(shí)，折痕加交X軸

于點(diǎn)機(jī)交y軸于點(diǎn)兒求也的值.

ON

【真題訓(xùn)練】

1(2021上海中考真題24).已知拋物線y=ax?+c(a?0)經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(l,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作ABLx軸于點(diǎn)B,以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角

形ABC,

①當(dāng)Q與A重合時(shí)，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；

②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo).

y

0

5

4

23450X

2.(2020上海中考真題24).在平面直角坐標(biāo)系才如

中，直線尸-工戶5與靜由、y軸分別交于點(diǎn)4、△(如圖).拋物線尸(a#0)經(jīng)

2

過點(diǎn)力.

(1)求線段/刪長(zhǎng)；

(2)如果拋物線經(jīng)過線段4吐的另一點(diǎn)C,且6a泥，求這條拋物線的表達(dá)

式；

(3)如果拋物線尸aV+6x的頂點(diǎn)必立于△?!仍內(nèi)，求a的取值范圍.

（12分）在平面直角坐標(biāo)系0中

（如圖），已知拋物線尸f-2x,其頂點(diǎn)為4

（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)力的坐標(biāo)，并說(shuō)明它的變化情況；

（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”.

①試求拋物線y=V-2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②平移拋物線片-2%使所得新拋物線的頂點(diǎn)破該拋物線的“不動(dòng)

點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,且四邊形力比是梯形，求新拋物線的表達(dá)

1

o-i

式.

2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案(上海專用)

專題2.6二次函數(shù)六種題型綜合與真題訓(xùn)練

題型一：二次函數(shù)中直角三角形的存在性

1.(2019嘉定二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，拋物線y=m*2_2x+n(m、n是常數(shù))

經(jīng)過點(diǎn)4(一2,3)、B(-3,0),與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，如果直線8。和直線BC的夾角為15。，求線段的長(zhǎng)度；

(3)設(shè)點(diǎn)P為此拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△8PC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

yA

【分析】

X

(1)將點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求解可得；

(2)先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得出0C=0B=3,ZCB0=45°,據(jù)此知NDB0=30°或60°,依據(jù)

DO=BQ.tanZDBO求出得D0=十或3力，從而得出答案；

(3)設(shè)P(-1,t),知BC?=18,PBM+t*2,PC2=t2-6t+10,再分點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)P直角頂點(diǎn)

三種情況分別求解可得.

【詳解】

(1)依題意得：

解得：｛-1

拋物線的表達(dá)式是y=-X2-2X+3

(2)I?拋物線y=---2芯+3與'軸交點(diǎn)為點(diǎn)。

???點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3),又點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-3,0)

/.0C=0B=3

Z.CBO=45°乙DBO=30?；?0。

在直角△BOD中，DO=BO-tan^DBO

???。。=4或36，??.O)=3-$或3避-3.

(3)由拋物線y=-2%+3得：對(duì)稱軸是直線第=-1

根據(jù)題意：設(shè)P(-IJ)，乂點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-3,0)

ABC2=18-PB2=(-1+3)2+t2=4+t2.PC2=(-I)2+(t-3)2=t2-6t+10.

①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+pg2=pc2即：18+4+t2=t2-6t+io解之得：t=-2,

②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+pc2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4,

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+P(；2=BC2即：4+/+產(chǎn)-6￡+10=18解之得：

_3+舊_3-舊

tl=-2-，t2=~T~'

綜上所述P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-1,4)或(_1,巴/)或(-1,2*).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角

形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

2.(2019寶山二模)如圖，已知對(duì)稱軸為直線刀=-1的拋物線y=ax2+"+3與x軸交于4、

B兩點(diǎn)，與V軸交于C點(diǎn)，其中做L0).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及此拋物線的表達(dá)式：

(2)點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，若直線BD和直線BC的夾角為15。，求線段CD的長(zhǎng)度；

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸》=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ABPC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

【分析】

(1)將A、C坐標(biāo)代入拋物線，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸，解得a、b、c的值，求得拋物線解析式;

(2)求出直線BC的解析式為y=x+3,得出NCBA=45°再求出NDBA=30°或NDBA=60°,再求

出DO即可;

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別以B、C、P為直角頂點(diǎn)，進(jìn)行分類討論，再運(yùn)用勾股定理得到方程式

進(jìn)行求解.

【詳解】解：(1)根據(jù)對(duì)稱軸x=-1,A(1,0),得出B為(-3,0)

,b

(---=-1/CL——1

依題意得：空，解之得：8=一2,

\a+b+c=0(c=3

\c=3

/.拋物線的解析式為y=—E-2X+3.

(2):對(duì)稱軸為》=-1,且拋物線經(jīng)過4(L0),..一(-3,0)

，直線BC的解析式為y=x+3,ZCBA=45°

；直線BD和直線BC的夾角為15°,/DBA=30°或NDBA=60°

SABOD,DO^BOtan/.DBO,BO=3

.?.DO=1或3v3,；.CD=3-1或3b-3.

(3)設(shè)P(ft),又B(—3,0),C(0,3),

ABC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,,

①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2=PC2即：。。2=(-1)2+?-3)2=a_61+10解之得：

￡=-2,

②若點(diǎn)c為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2=PB2即：18+f2—6￡+10=4+產(chǎn)解之得：t=4,

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2=BC2即：解之得：4+C2+t2-6t+10=18

_3+舊_3-V17

G=-y-，f2=-y-

綜上所述P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(一1,4)或

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型二：函數(shù)中的等腰三角形分類討論

1.(2019閔行區(qū)二模)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax?-2x+c與x軸交于點(diǎn)A

和點(diǎn)B(1,0),與y軸相交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求證：ZDAB=ZACB；

(3)點(diǎn)Q在拋物線上，且aADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

整體分析:

(1)把從理標(biāo)代入拋物線解析式中，解方程組即可得到拋物線解析式，從而得到拋物

線頂點(diǎn)坐標(biāo)；

OB?DC|

(2)由tan/OC價(jià)=—.tanZZMC^=—,得到/%小/比力，從而得到結(jié)論;

OC3AC3

(3)令0(%y)且滿足y=-d-2x+3,由制是以4班底的等腰三角形，得到

x-2+2y=0

Q加Q3從而得到尸2+2尸0.解方程組〈，即可得到結(jié)論.

y=-x-2x+3

滿分解答:

解：(1)把6(1,0)和6(0,3)代入y=or2—2x+c中，

9a+6+c=0[a=-1

得：〈C，解得：1.

c=31c=3

二拋物線的解析式是：)=一%2-2x+3,二頂點(diǎn)坐標(biāo)，(一1,4).

(2)令尸0,則一X2—2X+3=0，小=-3,X2=l,：.A(-3,0),：.0400=3,AZ

OBi

CAO￡OCA.在RtZXZ?。舛，tanZ(9C?=—=-

OC3

':心36，DO五,/介2逐，.?./-+正=20,4。=20,：.AC+DC-A￡r,，△/聯(lián)直角三角

DC1

形且N〃7>90°,/.tanZZM^——=-

AC3

又?.?/如療11/2?都是銳角，：.ZDAC=ZOCB,：.4DAOZCAO-乙BCmNOCA,即NZM左/

ACB.

(3)令。(x,y)且滿足y=—X?—2x+3,4(—3,0),〃(-1,4).；△/1國(guó)是以

/媯底的等腰三角形,:.QgQ限即(x+3)2+y2=(x+i)2+(y-4)2,化簡(jiǎn)得:片2+2尸0.

-3+V41-3-V41

x

x-2+2y=0\4

由，2解得：

y=-x-2x+3'11-西11+向'

8y8

./,r,A-z—3+J4111—J41、.-3—>/4111+441、

..點(diǎn)/亦1V1坐標(biāo)H是(■--------,--------),(---------,--------).

4848

2.(2020?浦東新區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-/+bx+c與x軸的

兩個(gè)交點(diǎn)分別為4-1,0),8(3,0),與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,求Z4C8的正切值；(3)點(diǎn)P在拋物線上，S.ZPAB=ZACB,求點(diǎn)P

的坐標(biāo).

【分析】

(1)將點(diǎn)A,B坐標(biāo)代入拋物線y=-x2+bx+c即可；

(2)如圖1,過點(diǎn)A作AH_L3C于，，分別證AOBC和AAH8足等腰直角三角形，可求出

CH,A”的長(zhǎng)，可在RtAAHC中，直接求出NAC3的正切值；

(3)此問需分類討論，當(dāng)ZPAB=ZACB時(shí)，過點(diǎn)P作/W_Lx軸于點(diǎn)M,設(shè)P(a,-a2+2a+3),

由同角的三角函數(shù)值相等可求出a的值，由對(duì)稱性可求出第一種情況.

【解答】

解：(1)將點(diǎn)A(-l,0),8(3,0)代入拋物線丫=-/+如+。中，

「l-"c=°,

[-9+30+c=0

解得，6=2,c=3,

拋物線的表達(dá)式為y=-*2+2x+3；

(2)?.?在y=-f+2x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

C(0,3),

.-.OC=OB=3,

.?.AOBC為等腰直角三角形，NOBC=45°,

BC=V2OC=35/2,

圖1

如圖I,過點(diǎn)A作「H,

^\ZHAB=ZHBA=45°，

是等腰直角三角形，

-,-AB=A,

??.AH=BH=—AB=242,

2

:.CH=BC-BH=^2,

AH7萬(wàn)

??.在RtAAHC中，tanZACH=——=告=2,

CHV2

即ZACB的正切值為2；

(3)①如圖2,當(dāng)NP4B=NACB時(shí)，過點(diǎn)P作/W_Lx軸于點(diǎn)M,

由(1)知，tanZACB=2,

/.tanZ.PAM=2,

PM.

/.---=2，

AM

—a2+2。+3.

—-2,

a+\

解得，ciy=-1(舍去)，4=1,/./](1,4)；

②取點(diǎn)P(l,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(1T),延長(zhǎng)A0交拋物線于P2則此時(shí)

ZP.AB=ZPAM=ZACB，

設(shè)直線P。的解析式為丁=丘+匕，將4(-1,0),。(1,-4)代入，

得，

解得，k=—2th=—2f

二.yAQ=-2x-2,

y=-2x-2

聯(lián)立,

y=-x2+2x+3

x=-1_p,[x=5

解得,y=0'，kb=-12

，6(5,-12)；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4)或(5,-12).

題型三：二次函數(shù)平移綜合

1.(2022普陀區(qū)一模24)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x分中，已知拋物線戶,與直線y

3

=戶1交于點(diǎn)4(a,0),6(-3,n),與辟山交于點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)4C.

3

(1)求以〃的值和拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)屐拋物線尸工「+6科。的對(duì)稱軸上，當(dāng)//切=90°時(shí)，求點(diǎn)加坐標(biāo)；

3

(3)將平移，平移后點(diǎn)/仍在拋物線上，記作點(diǎn)A此時(shí)點(diǎn)。合好落在直線48上，求

點(diǎn)取坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出從曬點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題.

(2)過點(diǎn)必乍磯諭于點(diǎn)〃，由直角三角形的性質(zhì)得出tanN4C0=tanNaV/,則

2

至0,可列出方程求出0的長(zhǎng)，則可得出答案；(3)設(shè)〃(3ltJ^t_2),得出

CODH33

2

N(t-3,lt^t_2-2)，由點(diǎn)A在直線4?上可得出t的值，則可得出答案.

33

【解答】解：(1)將力(加，0)代入y=-Ay+1,

3

解得力=3,

：.A(3,0),

將8(-3,〃)代入尸--JT+1,

3

解得〃=2,

：.B(-3,-2),

把彳(3,0),8(-3,2)代入y=2V+6戶c中,

3

1

yX9+3b+c=0

得1

告X9-3b+c=2

o

b=4

解得4

c=-2

，拋物線的解析式為7=工寸-lx-2.

33

（2）如圖1,過點(diǎn)〃乍以〃_）軸于點(diǎn)//,

???拋物線的解析式為尸上V-lx-2.

33

...拋物線的對(duì)稱軸為了=-旦=工,

2a2

:.DH=L,

2

,：ZACD=90°,

:./ACSNDCH=9Q°,

又,：4DC出NCD490。,:.NACg/CDH,

tanZACO=tanZCDII,

?AOCH

??----二-----,

CODH

由（1）可知。1=3,0C=2,

.3CH

',5"T

~2

:.CH=3,

4

：.D(A,-11)；

24

（3）如圖2,若平移后的三角形為△冏伊;

則妙'=0C=2,PM=0A=3,

設(shè)產(chǎn)(3工一2),

33

2

：.N(t-3,J^tJ^f-2-2),

33

,點(diǎn)八在直線y=戶1上，

3

4=_工(t-3)+1,

333

力=3加或才=-3加，

：.P(3A/2.4-V2)或？(-3料，4+V2).

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)

用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程確定點(diǎn)的坐標(biāo).

2(2022年金山一模24)已知：拋物線y=-/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)/(0,1)和6(1,4)頂點(diǎn)為

點(diǎn)P,拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求/為0的度數(shù)；

把拋物線向上或者向下平移，點(diǎn)B平移到點(diǎn)C的位置，如果BQ=CP,求平移后的拋物線解析式.

5

4

3

2

1

-54-3-2-10123456^

-1

C=1

解：（1）根據(jù)題意4........................................（2

-1+匕+1=4

分)

解得：b=4,c=1o

拋物線的表達(dá)式是y=-x2+4x+\(2分)

（2）y=-x2+4x+l=-（x-2）2+5,二頂點(diǎn)儆坐標(biāo)是（2,5）.

對(duì)稱軸是直線x=2,點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）...............................（1分）

:.PA=2非,QA=y[5,PQ=5：......................................（1分）

APA2+QA2=PQ2,AZC<5!l/=90°,....................................（2分）

（3）根據(jù)題意，BC〃PQ.

如果點(diǎn)C在點(diǎn)方的上方，PC//BQ^,四邊形6。鋁是平行四邊形，

：.BQ=CP,BC=PQ壬,

即拋物線向上平移5個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是y=--+4X+6........（2分）

如果點(diǎn)C在點(diǎn)8的下方，四邊形成0是等腰梯形時(shí)8Q4已

作BE,PQ,CFVPQ,垂足分別為氏F.

根據(jù)題意可得，PE=QF=\,PQ與,BC=EF%,

即拋物線向下平移3個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是y=-x2+4x—2.........（2分）.

綜上所述，平移后的拋物線解析式是y=-/+4x+6或y=—V+4x—2.

3（2020閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Qy中，直線y=-x+5與x軸交

于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.點(diǎn)況拋物線y=ax2-2a2x+a3+-?的頂點(diǎn).

2

*

（1）用含。的代數(shù)式表示頂點(diǎn)C的坐標(biāo)：

（2）當(dāng)頂點(diǎn)C在AAOB內(nèi)部，且S^A0C=|時(shí)，求拋物線的表達(dá)式：（3）如果將拋

物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移!個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂點(diǎn)P仍在△

2

AOB內(nèi)，求”的取值范圍.

【小問1詳解】解：拋物線y=ax2-2a2x+a3+-a=a（x-a）2+—a,

22

...頂點(diǎn)（的坐標(biāo)為（a-a）；

2

【小問2詳解】解：對(duì)于y=-x+5,當(dāng)不=0時(shí)，尸5,當(dāng)尸0時(shí)，尸5,

：.A（5,0）,B（0,5）,

?.?頂點(diǎn)C在△AOB內(nèi)部，且S=1

hA0C，，

/.a=2,

拋物線的表達(dá)式為y=2x2-Sx+9-

【小問3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點(diǎn)用J坐標(biāo)為

22

?.?平移后的拋物線的頂點(diǎn)P仍在AAOB內(nèi)，

a+1>0

11八

/.<—a——>0,

22

,,、

-(?+1)+5u>—1a—1

I22

解得：l<a<3,

即。的取值范圍為l<a<3.

4(2022奉賢一模24)(本題滿分12分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題每小題滿分4

分)

如圖11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)4(一1,0)

和點(diǎn)8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為0.(1)求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)將拋物線沿y軸上下平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為M,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.

①如果點(diǎn)M落在線段BC上，求乙DBE的度數(shù)；

②設(shè)