2022上海中考數學考前30天沖刺復習專題2-6二次函數六種題型綜合與真題訓練（含詳解）

2022年中考數學考前30天迅速提分復習方案(上海專用)

專題2.6二次函數六種題型綜合與真題訓練

題型一：二次函數中直角三角形的存在性

1.(2019嘉定二模)在平面直角坐標系xOy中，如圖，拋物線y=m*2—2x+n(m、n是常數)

經過點4(一2,3)、B(-3,0),與y軸的交點為點C.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)點。為y軸上一點，如果直線BD和直線BC的夾角為15。，求線段的長度；

(3)設點P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，當△8PC為直角三角形時，求點P的坐標.

yA

2.(2019寶山二模)如圖，已知對稱軸為直線丫=-1的拋

X

物線丫=必2+"+3與*軸交于4、B兩點，與y軸交于C點，其中4(1,0).

(1)求點B的坐標及此拋物線的表達式；(2)點D為y軸上一點，若直線BD和直線BC的

夾角為15。，求線段CD的長度；

(3)設點尸為拋物線的對稱軸》=-1上的一個動點，當A8PC為直角三角形時，求點P的坐

題型二：函數中的等腰三角形分類討論

1.(2019閔行區(qū)二模)如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax^-2x+c與x軸交于點A

和點B(1,0),與y軸相交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式和頂點D的坐標；

(2)求證：ZDAB=ZACB；

(3)點Q在拋物線上，且aADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點的坐

2.(2020?浦東新區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-丁+bx+c與x軸的

兩個交點分別為A(-l,0),8(3,0),與y軸相交于點C.

(1)求拋物線的表達式：

(2)聯結AC、BC,求NAC8的正切值；

(3)點P在拋物線上，且NF4B=NACB,求點P的坐標.

題型三：二次函數平移綜合

1.(2022普陀區(qū)一模24)如圖，在平面直角坐標系不。沖，已知拋物線夕=」9+叱。與直線V

3

=-」戶1交于點力(加，0),8(-3,〃)，與辟由交于點。，聯結力U

3

(1)求以〃的值和拋物線的表達式；

(2)點〃在拋物線7=』/+力妙c的對稱軸上，當/月加90°時，求點幽坐標；

3

(3)將△力比平移，平移后點?!仍在拋物線上，記作點R此時點僚好落在直線48上，求

點/的坐標.

2(2022年金山一模24)已知：拋物線y=-7+bx+c經過點力(0,

1)和6(1,4)頂點為點只拋物線的對稱軸與x軸相交于點Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求/為0的度數；

(3)把拋物線向上或者向下平移，點B平移到點C的位置，如果BQ=CP,求平移后的拋物線解析

式.

5

4

3

2

1_3(2020閔行一模24).如圖，在平面直角坐標系xQy

-5-4-3-2-1,0123456*^

-1

中，直線y=-x+5與無輔交于點A,與丁軸交于點B.點次拋物線

y=ax2-2a2x++-^a的頂點.

(1)用含a的代數式表示頂點C的坐標:

(2)當頂點C在AAOB內部，且SMOC=|時，求拋物線的表達式：

(3)如果將拋物線向右平移一個單位，再向下平移1個單位后，平移后的拋物線的頂

點P仍在&AOB內，求。的取值范圍.

4(2022奉賢一模24)(本題滿分12分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題每小題滿分4

分)

如圖11,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a/+bx+3與x軸交于點

做一1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C,頂點為D.

(1)求該拋物線的表達式的頂點D的坐標；

(2)將拋物線沿y軸上下平移，平移后所得新拋物線頂點為點C的對應點為E.

①如果點M落在線段BC上，求乙DBE的度數;

②設直線ME與x軸正半軸交于點P,與線段BC交于點Q,當PE=2PQ時，求

平移后新拋物線的表達式.

5.（2021?松江區(qū)二模）在平面直角坐標系萬勿中，直線y=3戶3

與謝、游由分別交于點從B,拋物線尸aV+bx-5/過點4將點8向右平移5個單位長

度，得到點C

（1）求點C的坐標；

（2）求拋物線的對稱軸；

（3）若拋物線的頂點在40%的內部，求a的取值范圍.

6.【2021年靜安區(qū)二模24］（本題滿分12分，其中第（1）小

題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）

在平面直角坐標系才以中，點/的坐標為（5,0）（如圖），經過點力的拋物線y=/+版+5

與諭相交于點8,頂點為點C

（1）求此拋物線表達式與頂點C的坐標；

（2）求N4優(yōu)的正弦值：

（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線

頂點為。，且△圖與相似，求平移后的新拋物線的表達式.

7.【2021年長寧二模24】如圖，已知在平面直角坐

標系Mr中，拋物線尸a*-免+c經過點/(1.

0)、B(3,0),且與成由交于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如果將拋物線向左平移勿(?>0)個單位長

度，聯結/，、BC,當拋物線與△力比的三邊有且只有

一個公共點時，求切的值；

0A

(3)如果點理拋物線上一動點，且在點B的右側，

聯結尸G直線為交通1于點反當NPCE=NPE(時,

(第24題圖)求點用］坐標.

y

0\7B

I一8.【2021年奉賢二?！咳鐖D，在平面直角坐標系小中，已知6(0,2),

3

<7(1)-萬)，點/在看由正半軸上，且〃=2仍，拋物線y=af+6x(aWO)經過點4C.

(1)求這條拋物線的表達式；(2)將拋物線先向右平移〃介單位，再向上平移1個單位，此

時點。恰好落在直線4?上的點C'處，求窺值;

(3)設點岐于原拋物線對稱軸的對稱點為6',聯結4C,如果點嵇直線"'上，ZACF^

ZBAO,求點，的坐標.

一9.【2021年浦東新區(qū)二模24】(12分)如圖，在平面直

角坐標系x勿中，拋物線產=丁+或經過點4(2,0).直線尸工x-2與蔣由交于點6,與游由交

2

于點C

(1)求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；

(2)將拋物線y=f+"向右平移，使平移后的拋物線經過點8求平移后拋物線的表達

式;

（3）將拋物線尸J+bx向下平移，使平移后的拋物線交碎由于點〃，交線段優(yōu)于點只Q,

（點麻點循側），平移后拋物線的頂點為必，如果〃?！ㄖI，求乙我摘正弦值.

題型四：二次函數背景下的相似三角形的存在性

1.(2022青浦一模24).（12分）如圖，在平面直角坐標系矛以中，拋物線y=x'+Z?x+c與解山

交于點/(-1,0)和點6(3,0)與碑由交于點C,頂點為點〃.

（1）求該拋物線的表達式及點版坐標；

（2）聯結8aBD,求/物的正切值；

（3）若點終於由上一點，當△劭嗎△/比相似時，求點用坐

2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標系宜加中，點兒曬

點在直線了=工不上，如圖.二次函數『aV+"-2的圖象也經過點/、曬點，并與逸相

2

交于點C,如果比〃x軸，點/的橫坐標是2.

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）設這個二次函數圖象的對稱軸與式交于點〃，點雁游由的負半軸上，如果以點反

o、￡所組成的三角形與△tmg似，且相似比不為1,求點照坐標；

（3）設這個二次函數圖象的頂點是亂求tanN4訛的

3

3（202崇明一模）24.如圖，拋物線片戶c與x軸交于點4（4,0）,與斕1交于點8（0,

4

3）,點欣/，0）為線段的上一動點，過點姓1垂直于“軸的直線與直線46及拋物線分別交于點

P,N.

（1）求拋物線的解析式,

（備用圖）

并寫出此拋物線的對稱軸和頂點坐標;

（2）如果以點只N、B、媯頂點的四邊形為平行四邊形，求朋的值;

（3）如果以反尺人為頂點的三角形與湘似，求點傭＜］坐標.

4.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=依2+瓜+4。。0）經過點

A（-l,0）、B（3,0）,C（0,3）,頂點為點o.

（i）求拋物線的表達式及頂點。的坐標;

->

o1x

(2)聯結8。、CD,試判斷ABCD與AAOC是否相似，并證明你的結論;

(3)拋物線上是否存在點P,使得NP4c=45.如果存在，請求出點尸的坐標；如果不

存在，請說明理由.

5.(2022靜安區(qū)一模24)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線尸)十^比經過點彳(2,

0)和點5(-1,加，頂點為點〃

(1)求直線/冰J表達式；

(2)求tan/45?的值；

(3)設線段班與田軸交于點戶，如果點如x軸上，且與△/(亞相似，求點加J坐標.

a^+bx-1(a#0)經過點4(-2,0),B(1,0)和點〃(-3,n),與逸交于點C.

(1)求該拋物線的表達式及點為勺坐標；

(2)將拋物線平移，使點。落在點施，點方落在點￡處，求的面積；

(3)如果點/在辟山上，△尸勿與△力比相似，求點順坐標.

過點/(-1,0),B(4,0),與海交于點4點庭該拋物線上一點，且在第四象限

內，聯結47、BC、CD、BD.

(1)求拋物線的函數解析式，并寫出對稱軸；

(2)當|必靦=45\例時，求點〃的坐標；

(3)在(2)的條件下，如果點躡x軸上的一點，點正是拋物線上一點，當點4、D、E、F

為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點￡的坐標.

角相等或角的和差倍半關系

1.(2022長寧一模24)拋物線曠=辦2+2公+。與犬軸相交于48兩點(點A在點B左

側)，與y軸交于點C(0,3),其頂點。的縱坐標為4.

3A

%(1)求該拋物線的表達式;

(2)求ZACB的正切值；

(3)點尸在線段CB的延長線上，且ZAFC=ZDAB,求CF的長.

2.(2022年虹口一模24)已知開口向上的拋物線了=。/-4ak3與并由的交點為4頂點為6,

點4與點淺于對稱軸對稱，直線4西比交于點〃

(1)求點C的坐標，并用含a的代數式表示點器］坐標；

(2)當//6C=90°時，求拋物線尸af-4aK3的表達式；

(3)當//6(7=2/驅時，求如的長。

3.（2022黃埔一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax?-3ar-4a（a<0）與

x軸交于A（-LO）,8兩點與y軸交于點G點,偎拋物線的頂點，拋物線的對稱軸/與比交于

（3）在（2）的條件下，已知點碳該拋物線對稱軸上一點，且在線段的下方，

ZCFB=ZBCO,求點尸的坐標

2

4.（2022年松江一模24題）如圖，已知直線y=-§e2與游由交于點力,與諭交于點8,拋物

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）直線x=￡與該拋物線交于點C,與線段力姣于點〃（點〃與點4環(huán)重合），與諭交于

點、E,聯結4C、BC.

①當D匕F=竽AF時，求力的值;

CDOE

②當切平分N4W,求A/ia的面積.

41n

5.(2022徐匯一模24題)如圖，拋物線、=-§/+三_%+2與蔣由相交于點兒與諭交于點

B,C為線段而上的一個動點，過點誰蔣由的垂線，交直線4汗點4交該拋物線于點

(1)求直線/龐勺表達式，直接寫出頂點就勺坐標；

(2)當以8,E,〃為頂點的三角形與△CZM相似時，求點C的坐標;

(3)當N5r)E=2NQ4B時，求△BDE與ACZM的面積之比.

6.(2021年長寧二模)如圖，已知在平面直角坐標系X0，中，拋物線y=af-竽戶姿過點｛(1,

0)、B(3,0),且與削交于點C

(1)求拋物線的表達式;

(2)如果將拋物線向左平移曲(?>0)個單位長度，聯結/C、BC,當拋物線與△/1式的三邊有且

只有一個公共點時，求〃的值;

(3)如果點。是拋物線上一動點，且在點陰勺右側，聯結AC,直線為交碎由于點￡,當/戶應=

/限時，求點/酌坐標.

7.(2021年楊浦二模)如圖，已知在平面直角坐標系直線尸x-5與斕1相交于點4與y

軸相交于點8,拋物線y=ax46戶逐過4、6兩點.

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)設拋物線與斕1的另一個交點為G點虛拋物線上一點，點幅直線/吐一點，當四邊形

即鋁是平行四邊形時，求點制坐標；

(3)在第(2)小題的條件下，聯結。C,在衲作射線勿與拋物線的對稱軸相交于點。，使得

5

4

3

2

AQCD=ZABC,求線段仇的長.

2345x

8.(2021年青浦二模)已知：如圖，在平面直角坐標系X。中，拋物線尸aV+3x+3的圖象與x

軸交于點1(-1,0)和點6,與辟由交于點G對稱軸是直線x=l,頂點是點〃

(1)求該拋物線的解析式和頂點刑坐標；

(2)點然該拋物線第三象限上的一點，當四邊形尸6比為梯形時，求點用勺坐標；

(3)在(2)的條件下，點￡為法由正半軸上的一點，當tanUPBO^/PEO)=5時，求廢

的長.

題型六：二次函數中的線段相等與倍半關系問題

例1(2022楊浦一模24)已知在平面直角坐標系中，拋物線y=-2f+6戶c與諭交于點/

(-1,0)和點6,與諭交于點C(0,2),點尸是該拋物線在第一象限內一點，聯結

AP、BC,加嗚線段寬相交于點尸.

(1)求拋物線的表達式；

(2)設拋物線的對稱軸與線段6c交于點色如果點/當點￡重合，求點用勺坐標；

(3)過點續(xù)AGJ_游由，垂足為點G,PG與線段BC交于點、//,如果用=/力，求線段必用勺長

-3-2-10234x

-1

度.

2.(2020長寧二模)如圖7,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=/++九經過點

A(2,-2),對稱軸是直線x=l,頂點為點B,拋物線與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式和點6的坐標；

(2)將上述拋物線向下平移1個單位，平移后的拋物線與涮正半軸交于點。，求ABCD

的面積；

(3)如果點尸在原拋物線上，且在對稱軸的右側，聯結3P交線段于點Q,^|=1,求

I------------1------------1—^.

-4-3-2-1O234x

-1

點P的坐標.

3.(2021閔行區(qū)二模24)(12分)在平面直角坐標系加中，拋物線y=經過點4

(5,0),頂點為點8,對稱軸為直線x=3,且對稱軸與斕1交于點C.直線y=Ax+4經過點

A,與線段比交于點E

(1)求拋物線尸-x'+m的表達式;

(2)聯結80、E0.當△以乃的面積為3時，求直線尸比什6的表達式;

(3)在(2)的條件下，設點媯”由上的一點，聯結8〃、AD,當加=9時，求/加映余

切值.

3

4.(2021虹口二模24)如圖8,在平面直角坐標系xQy中，直線/：y=—工+匕與x軸、y軸分別

,4

LQ

交于點兒B,與雙曲線〃：y=—交于點〃(2,-),直線x=陽分別與直線,和雙曲線〃交于點

x2

E、D.

(1)求俄股的值；

(2)當點￡在線段48上時，如果ED=B0,求加的值；

(3)點C是碎由上一點，如果四邊形必定是菱形，求點C的坐標.

點C(0,3),對稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的表達式;

(2)直線MN平行于x軸，與拋物線交于M、N兩點(點M在點N的左側)，且

3

MN廿’點C關于直線MN的對稱點為E,求線段?！甑拈L;

(3)點尸是該拋物線上一點，且在第一象限內，聯結CP、EP,砂交線段5c于點

F,當kCM：S△臼=1:2時，求點P的坐標.

6.(2020青浦二模)如圖7,在平面直角坐標系X。中，二次函數y=a》2一4ax+3的圖像與

■4由正半軸交于點A、B,與y軸相交于點C,頂點為。，且tan/C4O=3.

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)點尸是對稱軸右側拋物線上的點，聯結CP,交對稱軸于點F,當

S.CDF：S/DP=2：3時,求點用勺坐標；

(3)在(2)的條件下，將3沿直線必1翻折，當點網合好與點面合時，折痕加交X軸

于點機交y軸于點兒求也的值.

ON

【真題訓練】

1(2021上海中考真題24).已知拋物線y=ax?+c(a?0)經過點P(3,0)、Q(l,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點A在直線PQ上，過點A作ABLx軸于點B,以AB為斜邊在其左側作等腰直角三角

形ABC,

①當Q與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C落在拋物線上，求C的坐標.

y

0

5

4

23450X

2.(2020上海中考真題24).在平面直角坐標系才如

中，直線尸-工戶5與靜由、y軸分別交于點4、△(如圖).拋物線尸(a#0)經

2

過點力.

(1)求線段/刪長；

(2)如果拋物線經過線段4吐的另一點C,且6a泥，求這條拋物線的表達

式；

(3)如果拋物線尸aV+6x的頂點必立于△?!仍內，求a的取值范圍.

（12分）在平面直角坐標系0中

（如圖），已知拋物線尸f-2x,其頂點為4

（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點力的坐標，并說明它的變化情況；

（2）我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

①試求拋物線y=V-2x的“不動點”的坐標；

②平移拋物線片-2%使所得新拋物線的頂點破該拋物線的“不動

點”，其對稱軸與x軸交于點C,且四邊形力比是梯形，求新拋物線的表達

1

o-i

式.

2022年中考數學考前30天迅速提分復習方案(上海專用)

專題2.6二次函數六種題型綜合與真題訓練

題型一：二次函數中直角三角形的存在性

1.(2019嘉定二模)在平面直角坐標系xOy中，如圖，拋物線y=m*2_2x+n(m、n是常數)

經過點4(一2,3)、B(-3,0),與y軸的交點為點C.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)點。為y軸上一點，如果直線8。和直線BC的夾角為15。，求線段的長度；

(3)設點P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，當△8PC為直角三角形時，求點P的坐標.

yA

【分析】

X

(1)將點A和點B坐標代入解析式求解可得；

(2)先求出點C坐標，從而得出0C=0B=3,ZCB0=45°,據此知NDB0=30°或60°,依據

DO=BQ.tanZDBO求出得D0=十或3力，從而得出答案；

(3)設P(-1,t),知BC?=18,PBM+t*2,PC2=t2-6t+10,再分點B、點C和點P直角頂點

三種情況分別求解可得.

【詳解】

(1)依題意得：

解得：｛-1

拋物線的表達式是y=-X2-2X+3

(2)I?拋物線y=---2芯+3與'軸交點為點。

???點C的坐標是(0,3),又點B的坐標是(-3,0)

/.0C=0B=3

Z.CBO=45°乙DBO=30?；?0。

在直角△BOD中，DO=BO-tan^DBO

???。。=4或36，??.O)=3-$或3避-3.

(3)由拋物線y=-2%+3得：對稱軸是直線第=-1

根據題意：設P(-IJ)，乂點。的坐標是(0,3),點B的坐標是(-3,0)

ABC2=18-PB2=(-1+3)2+t2=4+t2.PC2=(-I)2+(t-3)2=t2-6t+10.

①若點B為直角頂點，則BC2+pg2=pc2即：18+4+t2=t2-6t+io解之得：t=-2,

②若點C為直角頂點，則BC2+pc2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4,

③若點P為直角頂點，則PB2+P(；2=BC2即：4+/+產-6￡+10=18解之得：

_3+舊_3-舊

tl=-2-，t2=~T~'

綜上所述P的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或(_1,巴/)或(-1,2*).

【點睛】本題是二次函數的綜合題，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式、等腰三角

形的性質、兩點間的距離公式及直角三角形的性質等知識點.

2.(2019寶山二模)如圖，已知對稱軸為直線刀=-1的拋物線y=ax2+"+3與x軸交于4、

B兩點，與V軸交于C點，其中做L0).

(1)求點B的坐標及此拋物線的表達式：

(2)點D為y軸上一點，若直線BD和直線BC的夾角為15。，求線段CD的長度；

(3)設點P為拋物線的對稱軸》=-1上的一個動點，當ABPC為直角三角形時，求點P的坐

標.

【分析】

(1)將A、C坐標代入拋物線，結合拋物線的對稱軸，解得a、b、c的值，求得拋物線解析式;

(2)求出直線BC的解析式為y=x+3,得出NCBA=45°再求出NDBA=30°或NDBA=60°,再求

出DO即可;

(3)設點P的坐標，分別以B、C、P為直角頂點，進行分類討論，再運用勾股定理得到方程式

進行求解.

【詳解】解：(1)根據對稱軸x=-1,A(1,0),得出B為(-3,0)

,b

(---=-1/CL——1

依題意得：空，解之得：8=一2,

\a+b+c=0(c=3

\c=3

/.拋物線的解析式為y=—E-2X+3.

(2):對稱軸為》=-1,且拋物線經過4(L0),..一(-3,0)

，直線BC的解析式為y=x+3,ZCBA=45°

；直線BD和直線BC的夾角為15°,/DBA=30°或NDBA=60°

SABOD,DO^BOtan/.DBO,BO=3

.?.DO=1或3v3,；.CD=3-1或3b-3.

(3)設P(ft),又B(—3,0),C(0,3),

ABC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,,

①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2即：。。2=(-1)2+?-3)2=a_61+10解之得：

￡=-2,

②若點c為直角頂點，則BC2+PC2=PB2即：18+f2—6￡+10=4+產解之得：t=4,

③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2即：解之得：4+C2+t2-6t+10=18

_3+舊_3-V17

G=-y-，f2=-y-

綜上所述P的坐標為(-1,-2)或(一1,4)或

【點睛】本題主要考查一次函數的圖象與性質和二次函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數

的圖象與性質和二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

題型二：函數中的等腰三角形分類討論

1.(2019閔行區(qū)二模)如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax?-2x+c與x軸交于點A

和點B(1,0),與y軸相交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式和頂點D的坐標；

(2)求證：ZDAB=ZACB；

(3)點Q在拋物線上，且aADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點的坐標.

整體分析:

(1)把從理標代入拋物線解析式中，解方程組即可得到拋物線解析式，從而得到拋物

線頂點坐標；

OB?DC|

(2)由tan/OC價=—.tanZZMC^=—,得到/%小/比力，從而得到結論;

OC3AC3

(3)令0(%y)且滿足y=-d-2x+3,由制是以4班底的等腰三角形，得到

x-2+2y=0

Q加Q3從而得到尸2+2尸0.解方程組〈，即可得到結論.

y=-x-2x+3

滿分解答:

解：(1)把6(1,0)和6(0,3)代入y=or2—2x+c中，

9a+6+c=0[a=-1

得：〈C，解得：1.

c=31c=3

二拋物線的解析式是：)=一%2-2x+3,二頂點坐標，(一1,4).

(2)令尸0,則一X2—2X+3=0，小=-3,X2=l,：.A(-3,0),：.0400=3,AZ

OBi

CAO￡OCA.在RtZXZ?。舛，tanZ(9C?=—=-

OC3

':心36，DO五,/介2逐，.?./-+正=20,4。=20,：.AC+DC-A￡r,，△/聯直角三角

DC1

形且N〃7>90°,/.tanZZM^——=-

AC3

又?.?/如療11/2?都是銳角，：.ZDAC=ZOCB,：.4DAOZCAO-乙BCmNOCA,即NZM左/

ACB.

(3)令。(x,y)且滿足y=—X?—2x+3,4(—3,0),〃(-1,4).；△/1國是以

/媯底的等腰三角形,:.QgQ限即(x+3)2+y2=(x+i)2+(y-4)2,化簡得:片2+2尸0.

-3+V41-3-V41

x

x-2+2y=0\4

由，2解得：

y=-x-2x+3'11-西11+向'

8y8

./,r,A-z—3+J4111—J41、.-3—>/4111+441、

..點/亦1V1坐標H是(■--------,--------),(---------,--------).

4848

2.(2020?浦東新區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-/+bx+c與x軸的

兩個交點分別為4-1,0),8(3,0),與y軸相交于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)聯結AC、BC,求Z4C8的正切值；(3)點P在拋物線上，S.ZPAB=ZACB,求點P

的坐標.

【分析】

(1)將點A,B坐標代入拋物線y=-x2+bx+c即可；

(2)如圖1,過點A作AH_L3C于，，分別證AOBC和AAH8足等腰直角三角形，可求出

CH,A”的長，可在RtAAHC中，直接求出NAC3的正切值；

(3)此問需分類討論，當ZPAB=ZACB時，過點P作/W_Lx軸于點M,設P(a,-a2+2a+3),

由同角的三角函數值相等可求出a的值，由對稱性可求出第一種情況.

【解答】

解：(1)將點A(-l,0),8(3,0)代入拋物線丫=-/+如+。中，

「l-"c=°,

[-9+30+c=0

解得，6=2,c=3,

拋物線的表達式為y=-*2+2x+3；

(2)?.?在y=-f+2x+3中，當x=0時，y=3,

C(0,3),

.-.OC=OB=3,

.?.AOBC為等腰直角三角形，NOBC=45°,

BC=V2OC=35/2,

圖1

如圖I,過點A作「H,

^\ZHAB=ZHBA=45°，

是等腰直角三角形，

-,-AB=A,

??.AH=BH=—AB=242,

2

:.CH=BC-BH=^2,

AH7萬

??.在RtAAHC中，tanZACH=——=告=2,

CHV2

即ZACB的正切值為2；

(3)①如圖2,當NP4B=NACB時，過點P作/W_Lx軸于點M,

由(1)知，tanZACB=2,

/.tanZ.PAM=2,

PM.

/.---=2，

AM

—a2+2。+3.

—-2,

a+\

解得，ciy=-1(舍去)，4=1,/./](1,4)；

②取點P(l,4)關于x軸的對稱點Q(1T),延長A0交拋物線于P2則此時

ZP.AB=ZPAM=ZACB，

設直線P。的解析式為丁=丘+匕，將4(-1,0),。(1,-4)代入，

得，

解得，k=—2th=—2f

二.yAQ=-2x-2,

y=-2x-2

聯立,

y=-x2+2x+3

x=-1_p,[x=5

解得,y=0'，kb=-12

，6(5,-12)；

綜上所述，點P的坐標為(1,4)或(5,-12).

題型三：二次函數平移綜合

1.(2022普陀區(qū)一模24)如圖，在平面直角坐標系x分中，已知拋物線戶,與直線y

3

=戶1交于點4(a,0),6(-3,n),與辟山交于點C,聯結4C.

3

(1)求以〃的值和拋物線的表達式；

⑵點屐拋物線尸工「+6科。的對稱軸上，當//切=90°時，求點加坐標；

3

(3)將平移，平移后點/仍在拋物線上，記作點A此時點。合好落在直線48上，求

點取坐標.

【分析】(1)利用待定系數法求出從曬點坐標即可解決問題.

(2)過點必乍磯諭于點〃，由直角三角形的性質得出tanN4C0=tanNaV/,則

2

至0,可列出方程求出0的長，則可得出答案；(3)設〃(3ltJ^t_2),得出

CODH33

2

N(t-3,lt^t_2-2)，由點A在直線4?上可得出t的值，則可得出答案.

33

【解答】解：(1)將力(加，0)代入y=-Ay+1,

3

解得力=3,

：.A(3,0),

將8(-3,〃)代入尸--JT+1,

3

解得〃=2,

：.B(-3,-2),

把彳(3,0),8(-3,2)代入y=2V+6戶c中,

3

1

yX9+3b+c=0

得1

告X9-3b+c=2

o

b=4

解得4

c=-2

，拋物線的解析式為7=工寸-lx-2.

33

（2）如圖1,過點〃乍以〃_）軸于點//,

???拋物線的解析式為尸上V-lx-2.

33

...拋物線的對稱軸為了=-旦=工,

2a2

:.DH=L,

2

,：ZACD=90°,

:./ACSNDCH=9Q°,

又,：4DC出NCD490。,:.NACg/CDH,

tanZACO=tanZCDII,

?AOCH

??----二-----,

CODH

由（1）可知。1=3,0C=2,

.3CH

',5"T

~2

:.CH=3,

4

：.D(A,-11)；

24

（3）如圖2,若平移后的三角形為△冏伊;

則妙'=0C=2,PM=0A=3,

設產(3工一2),

33

2

：.N(t-3,J^tJ^f-2-2),

33

,點八在直線y=戶1上，

3

4=_工(t-3)+1,

333

力=3加或才=-3加，

：.P(3A/2.4-V2)或？(-3料，4+V2).

【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，一次函數的性質，直角三

角形的性質，銳角三角函數的定義，平移的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會

用轉化的思想思考問題，學會利用參數構建方程確定點的坐標.

2(2022年金山一模24)已知：拋物線y=-/+bx+c經過點/(0,1)和6(1,4)頂點為

點P,拋物線的對稱軸與x軸相交于點Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求/為0的度數；

把拋物線向上或者向下平移，點B平移到點C的位置，如果BQ=CP,求平移后的拋物線解析式.

5

4

3

2

1

-54-3-2-10123456^

-1

C=1

解：（1）根據題意4........................................（2

-1+匕+1=4

分)

解得：b=4,c=1o

拋物線的表達式是y=-x2+4x+\(2分)

（2）y=-x2+4x+l=-（x-2）2+5,二頂點儆坐標是（2,5）.

對稱軸是直線x=2,點的坐標為（2,0）...............................（1分）

:.PA=2非,QA=y[5,PQ=5：......................................（1分）

APA2+QA2=PQ2,AZC<5!l/=90°,....................................（2分）

（3）根據題意，BC〃PQ.

如果點C在點方的上方，PC//BQ^,四邊形6。鋁是平行四邊形，

：.BQ=CP,BC=PQ壬,

即拋物線向上平移5個單位，平移后的拋物線解析式是y=--+4X+6........（2分）

如果點C在點8的下方，四邊形成0是等腰梯形時8Q4已

作BE,PQ,CFVPQ,垂足分別為氏F.

根據題意可得，PE=QF=\,PQ與,BC=EF%,

即拋物線向下平移3個單位，平移后的拋物線解析式是y=-x2+4x—2.........（2分）.

綜上所述，平移后的拋物線解析式是y=-/+4x+6或y=—V+4x—2.

3（2020閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標系尤Qy中，直線y=-x+5與x軸交

于點A,與y軸交于點B.點況拋物線y=ax2-2a2x+a3+-?的頂點.

2

*

（1）用含。的代數式表示頂點C的坐標：

（2）當頂點C在AAOB內部，且S^A0C=|時，求拋物線的表達式：（3）如果將拋

物線向右平移一個單位，再向下平移!個單位后，平移后的拋物線的頂點P仍在△

2

AOB內，求”的取值范圍.

【小問1詳解】解：拋物線y=ax2-2a2x+a3+-a=a（x-a）2+—a,

22

...頂點（的坐標為（a-a）；

2

【小問2詳解】解：對于y=-x+5,當不=0時，尸5,當尸0時，尸5,

：.A（5,0）,B（0,5）,

?.?頂點C在△AOB內部，且S=1

hA0C，，

/.a=2,

拋物線的表達式為y=2x2-Sx+9-

【小問3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點用J坐標為

22

?.?平移后的拋物線的頂點P仍在AAOB內，

a+1>0

11八

/.<—a——>0,

22

,,、

-(?+1)+5u>—1a—1

I22

解得：l<a<3,

即。的取值范圍為l<a<3.

4(2022奉賢一模24)(本題滿分12分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題每小題滿分4

分)

如圖11,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點4(一1,0)

和點8(3,0),與y軸交于點C,頂點為0.(1)求該拋物線的表達式的頂點D的坐標;

(2)將拋物線沿y軸上下平移，平移后所得新拋物線頂點為M,點C的對應點為E.

①如果點M落在線段BC上，求乙DBE的度數；

②設