第4章水彈性力學-流體與剛體、彈性體相互耦合運動理論

(4-SEQ4-\*ARABIC23)自由表面條件，在上 (4-SEQ4-\*ARABIC24) [推導時注意到：，令，則］引入定常速度勢以描述船體無搖蕩，只作定常運動的興波速度勢。具體定解條件為：(4-SEQ4-\*ARABIC25)若船舶還作搖蕩，可令，為非定常部分，包括入射，繞射，輻射三個部分。定解條件為：，流場內(nèi)。上： (4-SEQ4-\*ARABIC26) (4-SEQ4-\*ARABIC27)關于物面條件需作單獨討論。物面條件 平均位置 瞬時位置 固結坐標系 參考坐標系 輔助坐標系點在中位置為，另引入表示角位移以點作為研究對象，其在及中位置見圖。時刻，在參考坐標系中，在動系中。初始位置（平衡位置），顯然有： (4-SEQ4-\*ARABIC28)幾何關系： (4-SEQ4-\*ARABIC29)在原點與重合，而三軸與平行的參考系中： (4-SEQ4-\*ARABIC30)在動坐標系中： (4-SEQ4-\*ARABIC31)由4.1.1知識式中(4-SEQ4-\*ARABIC32) (4-SEQ4-\*ARABIC33)利用上面關系式，可將轉(zhuǎn)至中表達，即絕對速度勢在動坐標系中表達： (4-SEQ4-\*ARABIC34)式中，和類似表達，，為中相應元素。第一項表示在靜止物面(平均濕表面上)的值，法向?qū)?shù)： (4-SEQ4-\*ARABIC35)［注釋：在什么坐標系中表達，也應在相應這個坐標系中表達，由于在中表示所以也應在中表示，而，同時，故有］式中為在參考系中投影。 (4-SEQ4-\*ARABIC36)(注：)(都用表示分量，理由是對應點上(),相對于各自坐標軸上分量不會在運動中改變，亦即剛體在旋轉(zhuǎn)過程中，連體上是不隨改變的，但相對于參考坐標系來講是隨變的)又(同矢量在不同坐標系中表達) (4-SEQ4-\*ARABIC37)式中為的元素，取到二階量，則 (4-SEQ4-\*ARABIC38)由(4-36)t和(4-38)得到 (4-SEQ4-\*ARABIC39)瞬時物面上點速度(先考慮無航速)，則 (4-SEQ4-\*ARABIC40)由前面知識知： (4-SEQ4-\*ARABIC41) (4-SEQ4-\*ARABIC42) (4-SEQ4-\*ARABIC43)因為所以由(4-39)和(4-43)兩者相等，注意到 (4-SEQ4-\*ARABIC44) (4-SEQ4-\*ARABIC45)引入。式中為物面平均位置上法線矢量和位置坐標在參考系坐標軸上投影。［注意到：］從而 (4-SEQ4-\*ARABIC46)現(xiàn)考慮有航速情況，沿以移動。物面條件精確提法為： (4-SEQ4-\*ARABIC47) (4-SEQ4-\*ARABIC48) (4-SEQ4-\*ARABIC49) (4-SEQ4-\*ARABIC50)若，只有定常興波，設此時濕表面為，即在上迭加定常移動興波引起的濕表面變化，此時物面條件： (4-SEQ4-\*ARABIC51)上式與(4-25)中自由表面條件構成精確邊界條件?，F(xiàn)引入非定常運動是微幅的假定，即和均為小量，記作，相應地與差別也是同級小量。先求一任意函數(shù)：取，則而 (4-SEQ4-\*ARABIC52)其中另外注意?(d)異同；表達方式相同，但具體值不同，?中無搖蕩，故；(d)中存在搖擺，令 (4-SEQ4-\*ARABIC53)物理意義：定常繞流速度場，即流體力學中提到的相對速度勢誘導的速度場。則代入(4-50)得 (4-SEQ4-\*ARABIC54)若設 (4-SEQ4-\*ARABIC55)上式稱為Timman&Newmman條件。討論：若還引入船體等移動的定常興波較小，即(對應于細長體一類結構)，則 (4-SEQ4-\*ARABIC56)Timman&Newmman條件其它形式： (4-SEQ4-\*ARABIC57)推導如下：則 令代入(4-50)(4-57)式。具體推導參見《船舶在波浪上運動理論》。下面從Price-Wu方法推導：設總速度勢物面條件：而 (4-SEQ4-\*ARABIC58)令，則?？紤]到小幅搖蕩，即量，則與之間差異亦是同級小量。從而，其中， (4-SEQ4-\*ARABIC59)式中為結構角位移，即，而 (4-SEQ4-\*ARABIC60) (4-SEQ4-\*ARABIC61)代入(4-58)式 (4-SEQ4-\*ARABIC62)可證明，所以(4-62)式可改寫為(4-57)式。4.2彈性體與外流場相互耦合4.1.1坐標系選取及運動量描述坐標系選取與4.1節(jié)中相同，為坐標系，為隨結構物以航速沿作勻速前進的參考系，以表示結構物搖蕩姿態(tài)，為隨體坐標系。為平動參考系，以描述結構旋轉(zhuǎn)運動，具體見圖4.2.1圖4.2-1坐標系選取位移矢量定義：結構上任意一點經(jīng)搖蕩及變形后總位移（相對）為其可以分解為剛體平動位移、轉(zhuǎn)動引起位移及彈性變形引起的位移，分別表示如下：剛體位移：剛體平動位移，在水彈性力學中一般表示為： (4-SEQ4-\*ARABIC63)其中 分量物理意義分別代表縱蕩，垂蕩（升沉）和橫蕩引起的位移2）剛體轉(zhuǎn)動引起的位移： (4-SEQ4-\*ARABIC64)式中(4-SEQ4-\*ARABIC65)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC66)當只考慮到一階量時，（4.64）可改寫為若令，則 (4-SEQ4-\*ARABIC67)在水彈性力學中將改寫成 (4-SEQ4-\*ARABIC68)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC69)各項物理意義是分別由橫搖，艏搖，縱搖引起的位移從(4.69)可以推出：（此式只有在線性化條件下才成立） (4-SEQ4-\*ARABIC70)所以，因剛體轉(zhuǎn)動引起的一階位移量為： (4-SEQ4-\*ARABIC71)3）結構彈性變形引起的位移： (4-SEQ4-\*ARABIC72)式中表示第r階主振動（模態(tài)）下引起的變形位移。轉(zhuǎn)至中表達時，只考慮一階量時，。從而結構上任一點p處總位移（在中）表達式為： (4-SEQ4-\*ARABIC73)若引入主模態(tài)，主坐標的概念，則結構上任意點處位移可表達為另一種形式： (4-SEQ4-\*ARABIC74)式中為結構第r階干模態(tài)，其前6階為剛體模態(tài)，分別對縱蕩，垂蕩（升沉），橫蕩，橫搖，艏搖和縱搖，具體表達式為： (4-SEQ4-\*ARABIC75)另外式(4.74)中表示第r階主坐標，對應剛體運動的前6階模態(tài)分別為： (4-SEQ4-\*ARABIC76)4.1.2結構在流體作用下運動方程經(jīng)有限元離散后總體運動方程為 (4-SEQ4-\*ARABIC77)式中，，分別為廣義質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣，和分別為廣義流體力、廣義集中力和體積力列向量將代入并注意到干模態(tài)正交性，則(4.77)可以改寫為，水彈性力學方程 (4-SEQ4-\*ARABIC78)式中，，分別為干結構廣義質(zhì)量，阻尼和剛度陣。（具體推導見4.2.5）式(4.78)就是同時考慮了剛體運動和彈性變形的水彈性力學方程。4.1.3流體力及廣義水動力流體壓力在固定坐標系中，表達式為： (4-SEQ4-\*ARABIC79)式中，即絕對速度勢在固定系中表達。設在中速度勢表達式為與關系：，，故(4-79)式改寫為： (4-SEQ4-\*ARABIC80)又可分解為即定常，非定常部分，代入上式，式中令（——參考坐標系坐標軸單位矢量；——動坐標系坐標軸單位矢量）則上式可改寫為： (4-SEQ4-\*ARABIC81)又，因為 (4-SEQ4-\*ARABIC82)將上兩式代入p表達式得 (4-SEQ4-\*ARABIC83)上式就是在參考系（平衡系）中在瞬時上計算p的公式。下面將其攝動到平均濕表面上。轉(zhuǎn)換之前首先說明一下與的區(qū)別：表示無航速時，搖蕩平均濕表面，而表示有航速時定常速度勢誘導出的定常速度場（相對而言）引起的平均濕表面位置，兩者僅當定常速度為小量時，誤差才是小量。根據(jù)攝動理論，有： (4-SEQ4-\*ARABIC84)若取，則將(4-83)代入并注意到，可得到 (4-SEQ4-\*ARABIC85)式中若考慮二階量，則(4-SEQ4-\*ARABIC86)廣義水動力 (4-SEQ4-\*ARABIC87)4.2.4物面條件只需將剛體運動中物面條件，即(4-62)式中改寫成：式中，及改寫成，即就可以得到水彈性力學中物面條件： (4-SEQ4-\*ARABIC88)引入主坐標后， (4-SEQ4-\*ARABIC89)式中——入射速度勢，為繞射勢，為輻射勢可以證明（Haskin關系）代入（4-88）得： (4-SEQ4-\*ARABIC90)下面就總速度勢中各項速度勢定解條件作一總結：定常速度勢：繞流速度勢：4.2.5水彈性力學主坐標方程為了克服切片理論或二維水彈性理論無法解決諸如多體、半潛體等非梁、彈性結構等動力問題的局限，必須建立一個適合處理任意形狀的航行于海上的浮體結構的力學模型。本節(jié)將討論此方面問題。4.2.5.1彈性結構的離散化結構的離散化有多種形式，其基本目的就是把一個具有無限多自由度的連續(xù)體簡化為一個只有有限個自由度的多自由度系統(tǒng)。對于靜力學問題，這個離散化的系統(tǒng)與初始系統(tǒng)的等效性是基于哈密爾頓原理，也有不少方法是基于相應的廣義變分原理。當然，也可直接從微分方程出發(fā)，在對劃了的結構引入某些近似假設后，建設離散化的數(shù)學模型(如遷移矩陣法)。積分形式的能量原理或廣義變分原理，可以作為微分形式的平衡方程或運動方程的替代形式。然而，這兩種形式的描述方法并非具有同等的內(nèi)涵。前者反映了作為整體性原理的力學原理，它們要求有關力學場局部可積性，而后者則反映微元的規(guī)律，它們要求有關力學場局部可微。局部可微性并非物理現(xiàn)象中一定成立的條件。嚴格來說，連續(xù)物理場中有關規(guī)律的變分或積分的形式或許是考察這些規(guī)律的唯一自然的嚴密正確的形式。在此僅討論有限元法這種離散形式，有關方程的形式帶有普遍性，可將結論用于其它離散化方法。一個動力學系統(tǒng)中任一點的位移是位置和時間函數(shù)，即，若我們將該連續(xù)體系統(tǒng)劃分成若干個尺度有限元，在每個元的局部坐標中，元上任一點位移(表示局部坐標中表達)，可用該元有限節(jié)點上的位移列陣展開為： (4-SEQ4-\*ARABIC91)上式中為開關函數(shù)，它是函數(shù)。嚴格講，此表達式只適合靜力學系統(tǒng)，因為動力學系統(tǒng)中，單元在慢性力作用下出現(xiàn)了變形。因而也應是函數(shù)。但當單元數(shù)足夠多，單元劃分較小，而又是由系統(tǒng)的動力學方程求得時，這種方法能夠給出較好近似。利用相應結構的物理議程，可以用(4-91)式相對于的微分形式表示結構的內(nèi)力(例如對板、殼、梁元)或借助于幾何關系及物理關系表示結構的應力(三維元、平面聯(lián)元)等。代入應變能表達式，可求得單元剛度陣表達式，代入動能表達式可以從質(zhì)量分布求得單元質(zhì)量陣表達式，即 (4-SEQ4-\*ARABIC92)推導如下：式中分別為幾何關系與物理關系的系數(shù)陣。即其中－泊松系數(shù)，－彈性模量。假如以表示結構中分布粘性阻尼系數(shù)陣，亦即阻尼力為，則單元阻尼陣可通過虛功原理推導為： (4-SEQ4-\*ARABIC93)()由它定義作用在單元節(jié)點上的阻尼力。作用在單元節(jié)點上的集中力及分布作用面力可以通過虛功原理轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點力： (4-SEQ4-\*ARABIC94)其中為單元表面的內(nèi)法線向量。當然公是結構受外載面的一部分。4.2.5.2運動總體方程局部坐標可通過與總體坐標系轉(zhuǎn)換關系陣轉(zhuǎn)至總體坐標系中，表達式為： (4-SEQ4-\*ARABIC95)從而在中任意矢量可在中表達：(4-SEQ4-\*ARABIC96)單元上節(jié)點位移列陣在表達式為： (4-SEQ4-\*ARABIC97)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC98)上面式子中不帶的量為在總體坐標系中表達的相應量。顯然和均為正交陣，即 (4-SEQ4-\*ARABIC99)因此在中表達的廣義質(zhì)量、剛度、阻尼陣及廣義體積力等力可分別表示成： (4-SEQ4-\*ARABIC100)若體積力中只有變力作用，且在總體坐標系中沿軸向下，則 (4-SEQ4-\*ARABIC101)(注：表達在不同總體坐標下，應作變化！)其中［已知，而，從而］利用哈密爾頓原理 (4-SEQ4-\*ARABIC102)又 (4-SEQ4-\*ARABIC103)并將有關式代入得到總體坐標系中單元運動方程： (4-SEQ4-\*ARABIC104)若將各單元相加，則需將(4－102)中改成，并注意到，則整個結構離散后總體坐標系中運動方程： (4-SEQ4-\*ARABIC105)式中分別稱為系統(tǒng)質(zhì)量陣，系統(tǒng)剛度陣和阻尼陣。4.2.5.3結構運動方程的簡化結構固有頻率及主振型自由振動時，令 (4-SEQ4-\*ARABIC106)代入(4-105)，得 (4-SEQ4-\*ARABIC107)若為正定，則上式給出正的特征值，稱之為固有頻率。對于任何一個特征值存在一個特征向量，又稱為階主振型，其幾個元素，每個元素相應于一個節(jié)點的六個自由度的振型位移，即而 (4-SEQ4-\*ARABIC108)將每個單元各個組合對應的子陣用表示，則單元節(jié)點位移可表示為： (4-SEQ4-\*ARABIC109)利用插值函數(shù)及局部坐標轉(zhuǎn)至總體坐標系中轉(zhuǎn)換關系陣及，則單元中任一點的階振型位移表示成： (4-SEQ4-\*ARABIC110)剛體振型結構物完全自由，如自由浮體，則是半正定的，且，頻率方程(4-107)變?yōu)椋簭亩鴮е铝鶄€零根，即此時需利用剛體運動理論定出其振型。假定旋轉(zhuǎn)中心在質(zhì)心C處(原點不一定在C處)，且處于平衡位置時，與參考系重合，并用表示質(zhì)心處位移和角位移，且假定這些位移是一階小量，則可發(fā)現(xiàn)6階剛體位移振型在第點處的六個分量可以用矩陣形式表示成如下一般形式： (4-SEQ4-\*ARABIC111)注：上式可以從導出，其中其中與r階振型相應的質(zhì)心線位移與角位移為任意選取的常數(shù)，不同取法對應于剛體不同的定義方式。情況A：因為剛體振型的特征向量可以按任意比例常數(shù)定性幅值，也可按所需形式歸一化(正比例)，譬如將其表達為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖等六個熟悉的形式，即 (4-SEQ4-\*ARABIC112)代入(4-111)可得到對應各階振型： (4-SEQ4-\*ARABIC113)剛體上任一點處位移振型可表達為： (4-SEQ4-\*ARABIC114)情況B：剛體振型的另一個取法是水彈性力學中常用的方法，即將結構上某一參照點的位移取為一個單位，按此振型歸一化。這樣的目的是使主坐標具有更直接的物理含義，也即表示第r階振型的響應分量在點給定方向的位移中的貢獻。(對應r階點最好取在r階位移振型最大處，如船舶尾部垂向位移往往最大，故取) (4-SEQ4-\*ARABIC115)此時剛體上任一點位移振型為： (4-SEQ4-\*ARABIC116)情況C：旋轉(zhuǎn)中心直接選在動坐標系原點(通常坐標原點選在C處)，則只需將第一種情況中改為零便可得到六階剛體振型及結構上任一點處位移振型，即 (4-SEQ4-\*ARABIC117)正交條件設與為兩個主振型，顯然有 (a) (b)前乘，(b)式轉(zhuǎn)置后乘，然后兩式相減得到這意味著 (4-SEQ4-\*ARABIC118)式