分塊矩陣行列式

和MN=nn22222和MN=nn2222222=2n(n)Fnmnmnnnn2nnnnnmnFnmCD分塊矩陣行列式約翰r.西爾維斯特1引言b讓我們先考慮階矩陣和N=cd

f

.們的和與乘積為M+N=

bfc

dgcfdh

.其中的字母a來自數(shù)域，例如實(shí)數(shù)域，或者更普遍的來自于環(huán)，可交換或不可交換。的確，假如是一個(gè)數(shù)域，然后集合R在

F

的所有n階矩陣形成環(huán)（假如n≥2非可交換），因?yàn)樗脑乜梢韵嗉?，相減，相乘和所有的環(huán)公理（associativity、distributivity等等如a;b…….h是來自環(huán)，然后可認(rèn)為無論是來自R（在R上的×2階矩陣）或是來自F，這是大家所共知的我們留下給讀者調(diào)查我們是否把這些矩陣作為×2n階矩陣或作為2×2“分塊”矩陣來計(jì)算（那些a;b;…是階矩陣，i.e…是R中的元素）不產(chǎn)生變化就矩陣的加法，減法和相乘而言。在符號中，環(huán)和可被看作是相同的：RF,者

2

n

F

2

2n

2n

通常，我們可以把mn×mn階矩陣分成為n塊m矩陣即(F)=F本文的要點(diǎn)是分塊矩陣的行列式。如果a;c;d是在環(huán)，然后規(guī)定R在可交換的條件下是M的一個(gè)行列式，因而我們將它寫為d，因此detM=ad-bc。當(dāng)然這是在R，如果是不可交換的，這些元素d-bc，ad-cb,da-bc,da-cb可能不相同。并且我們不知道他們中的哪些（若有）detM合適的選擇。這是正確的情況，如果，其中是數(shù)域（或可交換環(huán)）且n≥2，為了避免困難們采取R是一些可交換的子集F不是整個(gè)的矩陣環(huán)。行列式的一般理論在

R

2

上及更多的

R

上成立對于

R

m我們能很容易求出其行列式的值該值是R中的一個(gè)元素但是F故M的行列式實(shí)際上是F的一個(gè)矩陣。并且我們可以計(jì)算出det(det那些將是F中的元素。F另一方面R有R(F)=所以我們能計(jì)算出detM,它同樣也是F中的元素。我們的主要結(jié)論是，這兩項(xiàng)計(jì)算，得到相同的結(jié)果：定理1是F中的可交換子集F是數(shù)是可交換的使MR。則detM=(detM)(1)FB例如：假，其A,B,C,是上的n×n階矩陣，那些都具有相關(guān)性，定理1說：detdet(AD-BC)F定理1以后將被證明。首先，在部分中，我們應(yīng)注意限制的情m=2并給予一些初步的（和熟悉的）結(jié)果。關(guān)于分塊對角和分塊三角矩陣，作為副的，分塊矩

CDFFFCFFCDFFFCFFFFFIFF陣的證明由行列式乘法決定。在第部分中，相比定理1我們要證明的東西多一點(diǎn)在條件m=2的情況下，關(guān)于定理本身，對于一般情況下的m將在第四部分中給出證明。2乘性設(shè)

M

，M=

，

AC,DFn

，如果

BO

是

的零矩陣，使得M一個(gè)對角矩陣，那么我們?nèi)菀椎贸觯篸etAdet

（）觀察仔細(xì)的讀者將會馬上注意到這樣一個(gè)事實(shí)，由于D()FFF式（3）是式（2）

時(shí)的特殊情況。不過，我們先不討論這步，因?yàn)槲覀兛梢孕⌒牡氐玫揭粋€(gè)4的證明，這是由主要結(jié)論所帶來的。其中一個(gè)證明的方法是利用M的行列式前行拉拉斯擴(kuò)展，結(jié)果顯然而知。一個(gè)更基本的證明更加深化：歸納到一種情況，當(dāng)是r時(shí)D仍可以是n。時(shí)如果對第一行進(jìn)行擴(kuò)展這個(gè)結(jié)果是明顯的因此對r進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納第一步是擴(kuò)展第一行具體細(xì)節(jié)留給讀者自己證明。即使我們僅知道BO我們得到了：OdetAdet

，這個(gè)結(jié)論仍然成立，而且證明過程很簡單。通過重置或以列代替行反復(fù)證明，時(shí)我們一樣可以得出這樣一個(gè)結(jié)果，即detAdet

為了證（4們需要對行列式作出相關(guān)假定如增加一行的倍（分別列）到另一行（分別，列）而不改變行列式。在矩陣A的左邊（分別，右邊）乘以一個(gè)可逆矩陣，對應(yīng)于在行或列有上述變化，但都不改變行列式的值。（一個(gè)unitriangular矩陣是斜對角線上全是1的三角形矩陣）。我們同時(shí)給定detI，其中I是n的單位矩陣，故下面得出：Fnn

I

I

I

I

D

detC

FFFFCCFFFFCCII因?yàn)椋?）的左側(cè)的前三個(gè)矩陣是unitriangular陣，根據(jù)（5）和（6）可得Bdet(

而且

D

D

在左邊的第二個(gè)矩陣是unitriangular陣，于是利用行列式及5）和8）的第一部分，我們有：detdetI(AD)FnF

;由detI）中的乘法法則對于F中所有的矩陣均成立。Fn3二分矩的列既然我們已經(jīng)知detAD(FFF

，以及()detBB()(B(det()FFFFFF（8我們可以得到：

，據(jù)（）和（）及定理、如果

M

ABC

，那么

det()F

（9當(dāng)且僅當(dāng)矩陣中少有一個(gè)為零（2）比較）我們現(xiàn)在設(shè)法推斷一些東西，假設(shè)分塊與D可交換，即

DC

，那么有：D

DCD

（）我們證明在F中4對任意成立，因此我們能運(yùn)用它，得出）和（6）MdetDdet()DFFFF以及

Mdet()DFFF現(xiàn)在，如果

DF

不等于