優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學選擇性必修第三冊612導數(shù)及其幾何意義

6.1.2導數(shù)及其幾何意義1.(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0附近有定義,自變量在x=x0處的改變量為Δx,當Δx無限接近于0時,若平均變化率無限接近于一個常數(shù)k,那么稱常數(shù)k為函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率,此時,也稱f(x)在x0處可導,并稱k為f(x)在x=x0處的導數(shù),記作f′(x0)=k.【思考】“當Δx無限接近于0時,無限接近于常數(shù)k”還可以怎樣表示?提示:還可以表示為,當Δx→0時,→k,或者寫成=k,即f′(x0)=.(2)瞬時變化率f′(x0)的實際意義:當自變量在x=x0處改變量Δx很小時,因變量對應(yīng)的改變量的近似值為f′(x0)Δx.【思考】(1)函數(shù)y=在x=x0處的導數(shù)一定存在嗎?提示:當Δx→0時,平均變化率的極限存在,則函數(shù)y=在x=x0處可導,否則在x=x0處不可導或無導數(shù).(2)函數(shù)y=在x=x0處的導數(shù)的定義還可以用別的式子表示嗎?提示:還可以表示為等.2.導數(shù)的幾何意義(1)割線:一般地,設(shè)S是平面上的一條曲線,P0是曲線S上的一個定點,P是曲線S上P0附近的點,則稱直線___為曲線S的割線.(2)切線:如果P無限接近于P0時,割線PP0無限接近于_________________,則稱直線l為曲線S在點P0處的切線.f′(x0)就是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處(也稱在x=x0處)的切線的斜率.切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).PP0通過P0的一條直線l【思考】(1)曲線的切線與曲線一定只有一個公共點嗎?提示:曲線的切線并不一定與曲線只有一個公共點,可以有多個,甚至可以有無窮多個.(2)曲線的切線與導數(shù)有什么關(guān)系?提示:①函數(shù)f(x)在x=x0處有導數(shù),則函數(shù)f(x)在該點處必有切線,并且導數(shù)值就是該切線的斜率.②函數(shù)f(x)表示的曲線在點(x0,f(x0))處有切線,但函數(shù)f(x)在該點處不一定可導,例如f(x)=在x=0處有切線,但不可導.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的函數(shù)值. (

)(2)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值. (

)(3)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率. (

)(4)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是點(x0,f(x0))與點(0,0)連線的斜率. (

)提示:(1)×.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的導數(shù)值.(2)×.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線傾斜角的正切值.(3)√.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率.(4)×.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率,不是點(x0,f(x0))與點(0,0)連線的斜率.2.函數(shù)f(x)在x0處可導,則 (

)A.與x0,h都有關(guān) B.僅與x0有關(guān),而與h無關(guān)C.與x0,h均無關(guān) D.僅與h有關(guān),而與x0無關(guān)【解析】選B.因為f′(x0)=,所以f′(x0)僅與x0有關(guān),與h無關(guān).3.已知函數(shù)y=f(x)在點(2,1)處的切線與直線3x-y-2=0平行,則y′|x=2等于________.

【解析】因為直線3x-y-2=0的斜率為3,所以由導數(shù)的幾何意義可知y′|x=2=3.答案:3類型一求函數(shù)在某點處的導數(shù)【典例】求函數(shù)y=x+在x=1處的導數(shù).【思維·引】先求,再求得結(jié)果.【解析】因為Δy=(1+Δx)+-(1+1)=Δx+-1,所以,所以=0.【素養(yǎng)·探】在求函數(shù)在某點處的導數(shù)時,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算,運用導數(shù)定義,通過計算求得.將本例中的函數(shù)改為y=3x+2,結(jié)果如何?【解析】【類題·通】求函數(shù)y=f(x)在點(x0,f(x0))處的導數(shù)的三個步驟簡稱:一差、二比、三極限.【習練·破】利用導數(shù)的定義,求函數(shù)y=+2在x=1處的導數(shù).【解析】因為所以y′|x=1==-2.【加練·固】已知函數(shù)f(x)在x=1處存在導數(shù),則= (

)A.f′(1)

B.3f′(1)

C.f′(1)

D.f′(3)【解析】選C.類型二導數(shù)的意義在實際問題中的應(yīng)用【典例】一質(zhì)點做拋物線運動,已知在ts時,質(zhì)點的運動路程(單位:m)為=8-3t2.(1)求質(zhì)點在[1,1+Δt]這段時間內(nèi)的平均速度;(2)求質(zhì)點在t=1s時的瞬時速度,并說明它們的意義.【思維·引】(1)按照平均速度的定義式計算;(2)取平均速度的極限即為瞬時速度.【解析】(1)因為=8-3t2,所以Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,所以質(zhì)點在[1,1+Δt]這段時間內(nèi)的平均速度為:=-6-3Δt.(2)質(zhì)點在t=1s時的瞬時速度即s′(1).(-6-3Δt)=-6.質(zhì)點在t=1s時的瞬時速度為-6m/s,說明在第1s附近,質(zhì)點的運動路程每秒大約減少6m.【內(nèi)化·悟】本例中當導數(shù)值為正或負時,有什么不同的意義?提示:當導數(shù)值為正時,則在某一時刻附近,質(zhì)點的運動路程是增加的;當導數(shù)值為負時,則在某一時刻附近,質(zhì)點的運動路程是減少的.

【類題·通】關(guān)于導數(shù)的實際意義根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度與加速度、求已知曲線的切線直接促使了導數(shù)的產(chǎn)生.可以利用上述實際問題理解導數(shù)的實際意義,導數(shù)是在某一時刻附近的瞬時變化率,是路程、速度等在這一時刻附近增加(減小)的大小.

【習練·破】柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的.鋪路工人需要對瀝青加熱使其由固體變成粘稠液體,如果開始加熱后第xh的瀝青溫度(單位:℃)為y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1,求f′(0.25),并說明它的實際意義.【解析】因為f(x)=80x2+20,0≤x≤1,所以所以=40.它的實際意義表示,在x=0.25h附近,瀝青的溫度以40℃/h速率上升.【加練·固】一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里,它的溫度會逐漸下降,溫度T(單位:℃)與時間t(單位:min)之間的關(guān)系由函數(shù)T=f(t)給出,請問(1)f′(t)是正數(shù)還是負數(shù)?有什么實際意義?(2)f′(3)=-4的實際意義是什么?【解析】(1)f′(t)<0,其意義為在t附近溫度的瞬時變化率,f′(t)為負數(shù),說明f(t)的值在t附近紅茶的溫度降低.(2)f′(3)=-4的實際意義是:在3min附近紅茶的溫度以4℃/min的速率下降.類型三導數(shù)幾何意義的應(yīng)用【典例】已知直線l1為曲線y=x2+x-2在(1,0)處的切線,l2為該曲線的另一條切線,且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程.(2)求由直線l1,l2和x軸圍成的三角形的面積.【思維·引】(1)先由已知求出l1的斜率,再由l1⊥l2,求出l2的斜率,進而求出切點坐標,得出l2的方程.(2)先求出l1與l2的交點坐標,l1,l2與x軸的交點,進而求出直線l1,l2和x軸圍成的三角形的面積.【解析】(1)y′==2x+1.所以y′|x=1=2×1+1=3,所以直線l1的方程為y=3(x-1),即y=3x-3.設(shè)直線l2過曲線y=x2+x-2上的點B(b,b2+b-2),則l2的方程為y=(2b+1)x-b2-2.因為l1⊥l2,則有2b+1=-,b=-,B,所以直線l2的方程為y=.(2)解方程組得所以直線l1和l2的交點坐標為.l1,l2與x軸交點的坐標分別為(1,0),.所以所求三角形的面積S=.

【素養(yǎng)·探】在導數(shù)幾何意義的應(yīng)用問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算,運用導數(shù)的雙重性和切點的雙重性,列方程,通過計算得到答案.將本例中“l(fā)1⊥l2”改為“l(fā)1與l2傾斜角互補”結(jié)果如何?【解析】(1)由典例可知直線l1的斜率為3,方程為y=3x-3.因為l1與l2傾斜角互補,所以直線l2的斜率為-3,所以2b+1=-3,b=-2,B(-2,0),所以直線l2的方程為y=-3x-6.(2)解方程組解得所以直線l1和l2的交點坐標為,l1,l2與x軸交點的坐標分別為(1,0),(-2,0),所以所求三角形的面積S=×3×=.【類題·通】利用導數(shù)的幾何意義處理綜合應(yīng)用題的兩種思路(1)與導數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識,如直線的方程、直線間的位置關(guān)系等,因此要綜合應(yīng)用所學知識解題.(2)與導數(shù)的幾何意義相關(guān)的綜合問題解題的關(guān)鍵是函數(shù)在某點處的導數(shù),已知切點可以求斜率,已知斜率也可以求切點,切點的坐標是常設(shè)的未知量.

【習練·破】1.若曲線y=x2上的點P處的切線與直線y=-x+1垂直,則在點P處的切線方程為

(

)A.2x-y-1=0

B.2x-y-2=0C.x+2y+2=0 D.2x-y+1=0【解析】選A.與直線y=-

x+1垂直的直線的斜率為k=2.由y=x2知,y′=

=2x.設(shè)點P的坐標為(x0,y0),則2x0=2,即x0=1,故y0=1.所以在點P處的切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.2.求拋物線y=x2上的一點到直線x-y-2=0的最短距離.【解析】根據(jù)題意可得,與直線x-y-2=0平行的拋物線y=x2的切線對應(yīng)的切點到直線x-y-2=0的距離最短,由y=x2知,y′=(2x+Δx)=2x.設(shè)切點坐標為(x0,).根據(jù)定義可求導數(shù)=2x0=1,所以x0=,所以切點坐標為.切點到直線x-y-2=0的距離d=.所以拋物線上的點到直線x-y-2=0的最短距離為.1.設(shè)f′(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線 (

)

A.不存在 B.與x軸平行或重合C.與x軸垂直 D.與x軸斜交【解析】選B.f′(x0)=0,說明曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線斜率為0,所以與x軸平行或重合.2.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是 (

)A.0>f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)<0C.f′(xA)=f′(xB) D.f′(xA)>f′(xB)>0【解析】選B.f′(xA)和f′(xB)分別表示函數(shù)圖象在點A,B處的切線斜率,故f′(xA)<f′(xB)<0.3.若函數(shù)y=f(x)在x=1處的導數(shù)為1,則 (

)A.2 B.1 C. D.【解析】選B.根據(jù)導數(shù)的定義,=f′(1)=1.4.已知直線y=3x+1與曲線y=x3+ax+3相切于點(1,4),則a=________.

【解析】由于切點(1,4)在曲線y=x3+ax+3上,所以4=13+a+3,解得a=0.答案:0

【新情境·新思維】李華在參加一次同學聚會時,用如圖所示的圓口杯喝飲料,他想:如果向杯子中倒飲料的速度一定(即單位時間內(nèi)倒入的飲料量相同),那么杯子中飲料的高度h是關(guān)于時間t的函數(shù)h(t),則函數(shù)h(t)的圖象可能是 (

)【解析】選B.由于圓口杯是“下細上粗”,又向杯子中倒飲料的速度一定,則開始飲料高度增加較快,以后飲料高度增加得越來越慢,僅有B符合.十四導數(shù)及其幾何意義【基礎(chǔ)練】(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2020·滄州高二檢測)設(shè)f(x)在x=2處可導,且f′(2)=,則的值為 (

)A.1 B.-1 C. D.-【解析】選C.因為f′(2)=,則.2.甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系如圖所示,則治污效果較好的是 (

)

A.甲 B.乙C.相同 D.不確定【解析】選B.在t0處,W1(t0)=W2(t0),但W1(t0-Δt)<W2(t0-Δt),則所以,在相同的時間Δt內(nèi),甲廠比乙廠的平均治污率小,即乙廠的治污效果較好.3.一物體的運動方程為f(x)=x2-3x,則f′(0)= (

)A.Δx-3 B.(Δx)2-3ΔxC.-3 D.0【解析】選C.f′(0)==-3.4.已知點P(x0,y0)是拋物線y=3x2+6x+1上一點,且f′(x0)=0,則點P的坐標為 (

)A.(1,10) B.(-1,-2)C.(1,-2) D.(-1,10)【解析】選B.=3Δx+6x0+6,所以f′(x0)= =6x0+6=0,所以x0=-1.把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y0=-2.所以P點坐標為(-1,-2).二、填空題(每小題5分,共10分)5.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3,若f′(1)=3,則a=________.

【解析】f′(1)==a=3.答案:36.曲線f(x)=x3在點(a,a3)(a≠0)處的切線與x軸,直線x=a圍成的三角形的面積為,則a=________.

【解析】因為f′(a)==3a2,所以曲線在點(a,a3)處的切線方程為y-a3=3a2(x-a).令y=0,得切線與x軸的交點為,由題設(shè)知三角形面積為,解得a=±1.答案:±1三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知拋物線y=f(x)=x2+3與直線y=2x+2相交,求它們交點處的切線方程.【解析】由方程組得x2-2x+1=0,解得x=1,y=4,所以交點坐標為(1,4),又=Δx+2.當Δx趨近于0時,Δx+2趨近于2.所以在點(1,4)處的切線斜率k=2.所以切線方程為y-4=2(x-1),即y=2x+2.8.已知曲線C:y=x3.(1)求曲線C上橫坐標為1的點處的切線方程.(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點?【解析】(1)將x=1代入y=x3得y=1,所以切點為P(1,1).因為y′==3x2,所以y′|x=1=3.所以過P點的切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=1,x2=-2.從而求得公共點為(1,1)或(-2,-8).說明切線與曲線C的公共點除了切點P外,還有另外的點(-2,-8).【能力練】(15分鐘·30分)1.(5分)(2020·瓊山高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax,且=1,則a= (

)A.- B.- C.1 D.-1【解析】選D.若=1,即=2+a=1,解得a=-1.2.(5分)已知函數(shù)f(x)=x2+2bx的圖象在點A(0,f(0))處的切線l與直線x+y+3=0垂直,若數(shù)列的前n項和為Sn,則S2020的值為 (

)【解析】選D.由題意可得A(0,0),函數(shù)f(x)=x2+2bx的圖象在點A(0,0)處的切線l的斜率 =2b,由l與直線x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b=.因為f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以故數(shù)列的前n項和為

,所以S2020=1-3.(5分)已知直線x-y-1=0與拋物線y=ax2相切,則a=________.

【解析】由導數(shù)的定義可求得y′= =2ax,所以曲線斜率k=2ax=1,所以x=,y=-1.代入y=ax2,可解得a=.答案:

4.(5分)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax(a∈R).若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線,則實數(shù)a