高中數(shù)學(xué)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)教案人教版必修3A

第一、二課時(shí)展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1）教課目的a）知識(shí)與技術(shù)1.理解展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中包含的數(shù)學(xué)原理，并能依據(jù)這些原理進(jìn)行算法剖析。基本能依據(jù)算法語(yǔ)句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完好的程序框圖并寫(xiě)出算法程序。（b）過(guò)程與方法在展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大條約數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)照我們常有的約分求公因式的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系牟顒e，并從程序的學(xué)習(xí)中領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的謹(jǐn)慎，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)算法計(jì)算機(jī)辦理的聯(lián)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)變成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的一般步驟。（c）神態(tài)與價(jià)值1.經(jīng)過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法事例，領(lǐng)會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)識(shí)題的方法的過(guò)程中培育謹(jǐn)慎的邏輯思維能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)識(shí)題的過(guò)程中培育理性的精神和著手實(shí)踐的能力。2）教課重難點(diǎn)要點(diǎn)：理解展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大條約數(shù)的方法。難點(diǎn)：把展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法變換成程序框圖與程序語(yǔ)言。3）學(xué)法與教課器具學(xué)法：在理解最大條約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并能模擬已經(jīng)學(xué)過(guò)的程序框圖與算法語(yǔ)句設(shè)計(jì)出展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序。教課器具：電腦，計(jì)算器，圖形計(jì)算器（4）教課假想（一）創(chuàng)建情形，揭露課題1.教師第一提出問(wèn)題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)求最大條約數(shù)的知識(shí)，你能求出18與30的條約數(shù)嗎？接著教師進(jìn)一步提出問(wèn)題，我們都是利用找條約數(shù)的方法來(lái)求最大公約數(shù)，假如條約數(shù)比較大并且依據(jù)我們的察看又不可以獲得一些條約數(shù)，我們又應(yīng)當(dāng)如何求它們的最大條約數(shù)？比方求8251與6105的最大條約數(shù)？這就是我們這一堂課所要商討的內(nèi)容。（二）研探新知展轉(zhuǎn)相除法例1求兩個(gè)正數(shù)8251和6105的最大條約數(shù)。（剖析：8251與6105兩數(shù)都比較大，并且沒(méi)有明顯的條約數(shù)，如能把它們都變小一點(diǎn)，依據(jù)已有的知識(shí)即可求出最大條約數(shù)）解：8251＝6105×1＋2146明顯8251的最大條約數(shù)也必是數(shù)也必是8251的約數(shù)，因此8251的最大條約數(shù)。

2146的約數(shù)，相同6105與與6105的最大條約數(shù)也是

2146的條約6105與21466105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0則37為8251與6105的最大條約數(shù)。以上我們求最大條約數(shù)的方法就是展轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右第一提出的。利用展轉(zhuǎn)相除法求最大條約數(shù)的步驟以下：第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n獲得一個(gè)商q和一個(gè)余數(shù)r；00第二步：若r0＝0，則n為m，n的最大條約數(shù)；若r0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0獲得一個(gè)商q1和一個(gè)余數(shù)r1；第三步：若r＝0，則r為m，n的最大條約數(shù)；若r≠0，則用除數(shù)r0111除以余數(shù)r1獲得一個(gè)商q2和一個(gè)余數(shù)r2；挨次計(jì)算直至rn＝0，此時(shí)所獲得的rn－1即為所求的最大條約數(shù)。練習(xí)：利用展轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大條約數(shù)（答案：53）2.更相減損術(shù)我國(guó)初期也有解決求最大條約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。更相減損術(shù)求最大條約數(shù)的步驟以下：可半者半之，不行半者，副置分母·子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯出來(lái)為：第一步：隨意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們能否都是偶數(shù)。假如，用2約簡(jiǎn)；若不是，履行第二步。第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。持續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大條約數(shù)。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大條約數(shù).解：因?yàn)?3不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并展轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝1414－7＝7因此，98與63的最大條約數(shù)是

7。練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)

84與

72的最大條約數(shù)。（答案：

12）比較展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的差別1）都是求最大條約數(shù)的方法，計(jì)算上展轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上展轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小差別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的差別較明顯。（2）從結(jié)果表現(xiàn)形式來(lái)看，展轉(zhuǎn)相除法表現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則獲得，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而獲得展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)計(jì)算的程序框圖及程序利用展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的計(jì)算算法，我們能夠設(shè)計(jì)出程序框圖以及BSAIC程序來(lái)在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大條約數(shù)，下邊由同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)相應(yīng)框圖并互相之間檢查框圖與程序的正確性，并在計(jì)算機(jī)上考證自己的結(jié)果。（1）展轉(zhuǎn)相除法的程序框圖及程序程序框圖：程序：INPUT“m=”;mINPUT“n=”;nIFm<nTHENx=mm=nn=xENDIFr=mMODnWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND5.講堂練習(xí)一.用展轉(zhuǎn)相除法求以下各組數(shù)的最大條約數(shù)，并在自己編寫(xiě)的程序中考證。

BASIC1）225；135（2）98；196（3）72；168（4）153；119二.思慮：用求質(zhì)因數(shù)的方法能否求上述4組數(shù)的最大條約數(shù)？能否利用求質(zhì)因數(shù)的算法設(shè)計(jì)出程序框圖及程序？若能，在電腦上測(cè)試自己的程序；若不可以說(shuō)明沒(méi)法實(shí)現(xiàn)的原因。三。思慮：利用展轉(zhuǎn)相除法能