2022中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題(10個專題)

2022年中考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)（精選2022年中考試題）專題一選擇題解題方法一、中考專題詮釋選擇題是各地中考必考題型之一，2022年各地命題設(shè)置上，選擇題的數(shù)目穩(wěn)定在8～14題，這說明選擇題有它不可替代的重要性.選擇題具有題目小巧，答案簡明；適應(yīng)性強，解法靈活；概念性強、知識覆蓋面寬等特征，它有利于考核學(xué)生的基礎(chǔ)知識，有利于強化分析判斷能力和解決實際問題的能力的培養(yǎng).二、解題策略與解法精講選擇題解題的基本原則是：充分利用選擇題的特點，小題小做，小題巧做，切忌小題大做.解選擇題的基本思想是既要看到各類常規(guī)題的解題思想，但更應(yīng)看到選擇題的特殊性，數(shù)學(xué)選擇題的四個選擇支中有且僅有一個是正確的，又不要求寫出解題過程.因而，在解答時應(yīng)該突出一個“選”字，盡量減少書寫解題過程，要充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息，依據(jù)題目的具體特點，靈活、巧妙、快速地選擇解法，以便快速智取，這是解選擇題的基本策略.具體求解時，一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；二是題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件.事實上，后者在解答選擇題時更常用、更有效.三、中考典例剖析考點一：直接法從題設(shè)條件出發(fā)，通過正確的運算、推理或判斷，直接得出結(jié)論再與選擇支對照，從而作出選擇的一種方法。運用此種方法解題需要扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).例1（2022?陜西）根據(jù)表中一次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，可得p的值為（）x-201y3p0A．1 B．-1 C．3 D．-3思路分析：設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0），再把x=-2，y=3；x=1時，y=0代入即可得出kb的值，故可得出一次函數(shù)的解析式，再把x=0代入即可求出p的值．解：一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵x=-2時y=3；x=1時y=0，

∴，

解得，

∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+1，

∴當(dāng)x=0時，y=1，即p=1．

故選A．點評：本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，即一次函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2022?安順）若y=(a+1)xa2-2是反比例函數(shù)，則a的取值為（）A．1 B．-l C．±l D．任意實數(shù)1．A考點二：篩選法（也叫排除法、淘汰法）分運用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個正確選擇支這一信息，從選擇支入手，根據(jù)題設(shè)條件與各選擇支的關(guān)系，通過分析、推理、計算、判斷，對選擇支進行篩選，將其中與題設(shè)相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結(jié)論的方法。使用篩選法的前提是“答案唯一”，即四個選項中有且只有一個答案正確.例2（2022?萊蕪）如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，三角形邊上的動點M從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向運動，到達點C時停止．設(shè)點M運動的路程為x，MN2=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．思路分析：注意分析y隨x的變化而變化的趨勢，而不一定要通過求解析式來解決．解：∵等邊三角形ABC的邊長為3，N為AC的三等分點，

∴AN=1．

∴當(dāng)點M位于點A處時，x=0，y=1．

①當(dāng)動點M從A點出發(fā)到AM=1的過程中，y隨x的增大而減小，故排除D；

②當(dāng)動點M到達C點時，x=6，y=3-1=2，即此時y的值與點M在點A處時的值不相等．故排除A、C．

故選B．點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題應(yīng)首先看清橫軸和縱軸表示的量，然后根據(jù)動點的行程判斷y的變化情況．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2022?自貢）如圖，已知A、B是反比例函數(shù)y=(k＞0，x＞0)上的兩點，BC∥x軸，交y軸于C，動點P從坐標(biāo)原點O出發(fā)，沿O→A→B→C勻速運動，終點為C，過運動路線上任意一點P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，設(shè)四邊形OMPN的面積為S，P點運動的時間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．2．A考點三：逆推代入法將選擇支中給出的答案或其特殊值，代入題干逐一去驗證是否滿足題設(shè)條件，然后選擇符合題設(shè)條件的選擇支的一種方法.在運用驗證法解題時，若能據(jù)題意確定代入順序，則能較大提高解題速度.例3（2022?邵陽）下列四個點中，在反比例函數(shù)y＝?的圖象上的是（）A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）思路分析：根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy的特點進行解答即可．解：A、∵3×（-2）=-6，∴此點在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項正確；

B、∵3×2=6≠-6，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項錯誤；

C、∵2×3=6≠-6，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項錯誤；

D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項錯誤．

故選A．點評：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知反比例函數(shù)y=中，k=xy為定值是解答此題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練3．（2022?重慶）已知正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點（1，-2），則這個正比例函數(shù)的解析式為（）A．y=2x B．y=-2x C．y＝x D．y＝?x3．B考點四：直觀選擇法利用函數(shù)圖像或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義，將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、求最值，求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來，利用直觀幾性，再輔以簡單計算，確定正確答案的方法。這種解法貫穿數(shù)形結(jié)合思想，每年中考均有很多選擇題(也有填空題、解答題)都可以用數(shù)形結(jié)合思想解決，既簡捷又迅速.例4（2022?鄂州）一個大燒杯中裝有一個小燒杯，在小燒杯中放入一個浮子（質(zhì)量非常輕的空心小圓球）后再往小燒杯中注水，水流的速度恒定不變，小燒杯被注滿后水溢出到大燒杯中，浮子始終保持在容器的正中間．用x表示注水時間，用y表示浮子的高度，則用來表示y與x之間關(guān)系的選項是（）A．B．C．D．思路分析：分三段考慮，①小燒杯未被注滿，這段時間，浮子的高度快速增加；②小燒杯被注滿，大燒杯內(nèi)水面的高度還未達到小燒杯的高度，此時浮子高度不變；③大燒杯內(nèi)的水面高于小燒杯，此時浮子高度緩慢增加．解：①小燒杯未被注滿，這段時間，浮子的高度快速增加；

②小燒杯被注滿，大燒杯內(nèi)水面的高度還未達到小燒杯的高度，此時浮子高度不變；

③大燒杯內(nèi)的水面高于小燒杯，此時浮子高度緩慢增加．

結(jié)合圖象可得B選項的圖象符合．

故選B．點評：本題考查了函數(shù)的圖象，解答本題需要分段討論，另外本題重要的一點在于：浮子始終保持在容器的正中間．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2022?巴中）在物理實驗課上，小明用彈簧稱將鐵塊A懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起（不考慮水的阻力），直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧稱的讀數(shù)y（單位N）與鐵塊被提起的高度x（單位cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A．B．C．D．4．D考點五：特征分析法對有關(guān)概念進行全面、正確、深刻的理解或根據(jù)題目所提供的信息，如數(shù)值特征、結(jié)構(gòu)特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判斷和選擇的方法例5（2022?三明）如圖，已知直線y=mx與雙曲線的一個交點坐標(biāo)為（3，4），則它們的另一個交點坐標(biāo)是（）A．（-3，4） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（4，3）思路分析：反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱．解：因為直線y=mx過原點，雙曲線的兩個分支關(guān)于原點對稱，

所以其交點坐標(biāo)關(guān)于原點對稱，一個交點坐標(biāo)為（3，4），另一個交點的坐標(biāo)為（-3，-4）．

故選：C．點評：此題考查了函數(shù)交點的對稱性，通過數(shù)形結(jié)合和中心對稱的定義很容易解決．對應(yīng)訓(xùn)練5．（2022?寧波）已知一個函數(shù)的圖象與y=的圖象關(guān)于y軸成軸對稱，則該函數(shù)的解析式為．5．y=-考點六：動手操作法與剪、折操作有關(guān)或者有些關(guān)于圖形變換的試題是各地中考熱點題型，只憑想象不好確定，處理時要根據(jù)剪、折順序動手實踐操作一下，動手可以直觀得到答案，往往能達到快速求解的目的.例6（2022?寧波）下列四張正方形硬紙片，剪去陰影部分后，如果沿虛線折疊，可以圍成一個封閉的長方形包裝盒的是（）A． B． C． D．思路分析：嚴(yán)格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現(xiàn)出來．解：A、剪去陰影部分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合題意；

B、剪去陰影部分后，無法組成長方體，故此選項不合題意；

C、剪去陰影部分后，能組成長方體，故此選項正確；

D、剪去陰影部分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合題意；

故選：C．點評：此題主要考查了展開圖折疊成幾何體，培養(yǎng)了學(xué)生的動手操作能力和空間想象能力．對應(yīng)訓(xùn)練6．（2022?菏澤）如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個鈍角為120°

的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應(yīng)為（）

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°6．D四、中考真題演練1．（2022?邵陽）下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．1．B2．（2022?湖州）若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點（1，2），則k的值為（）A．- B．-2 C． D．22．D3．（2022?天門）下列事件中，是必然事件的為（）A．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面朝上B．江漢平原7月份某一天的最低氣溫是-2℃C．通常加熱到100℃時，水沸騰D．打開電視，正在播放節(jié)目《男生女生向前沖》3．C4．（2022?徐州）下列函數(shù)中，y隨x的增大而減少的函數(shù)是（）A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x4．C5．（2022?鹽城）下面的幾何體中，主視圖不是矩形的是（）A． B． C． D．5．C6．（2022?達州）下列說法正確的是（）A．一個游戲中獎的概率是，則做100次這樣的游戲一定會中獎B．為了了解全國中學(xué)生的心理健康狀況，應(yīng)采用普查的方式C．一組數(shù)據(jù)0，1，2，1，1的眾數(shù)和中位數(shù)都是1D．若甲組數(shù)據(jù)的方差＝，乙組數(shù)據(jù)的方差＝，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定6．C7．（2022?貴陽）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的位置是（）A． B． C． D．7．A8．（2022?三明）如圖，已知直線y=mx與雙曲線y=的一個交點坐標(biāo)為（3，4），則它們的另一個交點坐標(biāo)是（）A．（-3，4） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（4，3）8．C9．（2022?天津）下列標(biāo)志中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．D10．（2022?義烏）為支援雅安災(zāi)區(qū)，小慧準(zhǔn)備通過愛心熱線捐款，她只記得號碼的前5位，后三位由5，1，2，這三個數(shù)字組成，但具體順序忘記了，他第一次就撥通電話的概率是（）A． B． C． D．10．C11．（2022?南寧）小樂用一塊長方形硬紙板在陽光下做投影實驗，通過觀察，發(fā)現(xiàn)這塊長方形硬紙板在平整的地面上不可能出現(xiàn)的投影是（）A．三角形 B．線段 C．矩形 D．正方形11．A12．（2022?泰州）下列標(biāo)志圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．12．B13．（2022?臺州）有一籃球如圖放置，其主視圖為（）A． B． C． D．13．B14．（2022?長沙）在下列某品牌T恤的四個洗滌說明圖案的設(shè)計中，沒有運用旋轉(zhuǎn)或軸對稱知識的是（）A． B． C． D．14．C15．（2022?達州）下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子，將它們按時間先后順序正確的是（）

A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）15．C16．（2022?陜西）如圖，下面的幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成的，則它的俯視圖是（）A． B． C． D．16．D17．（2022?廣州）在6×6方格中，將圖1中的圖形N平移后位置如圖2所示，則圖形N的平移方法中，正確的是（）

A．向下移動1格 B．向上移動1格C．向上移動2格 D．向下移動2格17．D18．（2022?玉林）若∠α=30°，則∠α的補角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°18．D19．（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，∠B=40°，∠ACD=120°，則∠A等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°19．C20．（2022?宜昌）某幾何體的三種視圖如圖所示，則該幾何體是（）A．三棱柱 B．長方體 C．圓柱 D．圓錐20．C21．（2022?遂寧）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，-2），則k的值為（）A．4 B．- C．-4 D．-221．C22．（2022?欽州）下列四個圖形中，是三棱柱的平面展開圖的是（）A． B． C． D．22．B23．（2022?錦州）為響應(yīng)“節(jié)約用水”的號召，小剛隨機調(diào)查了班級35名同學(xué)中5名同學(xué)家庭一年的平均用水量（單位：噸），記錄如下：8，9，8，7，10，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．8，8 B．，8 C．， D．8，23．B24．（2022?恩施州）如圖所示，下列四個選項中，不是正方體表面展開圖的是（）A． B． C． D．24．C25．（2022?巴中）如圖，是一個正方體的表面展開圖，則原正方體中“夢”字所在的面相對的面上標(biāo)的字是（）A．大 B．偉 C．國 D．的25．D26．（2022?懷化）如圖，在方格紙上上建立的平面直角坐標(biāo)系中，將OA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到OA′，則點A′的坐標(biāo)為（）A．（3，1） B．（3，-1） C．（1，-3） D．（1，3）26．B27．（2022?宜昌）如圖，點B在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，橫坐標(biāo)為1，過點B分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為A，C，則矩形OABC的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．427．B28．（2022?吉林）端午節(jié)期間，某市一周每天最高氣溫（單位：℃）情況如圖所示，則這組表示最高氣溫數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．22 B．24 C．25 D．2728．B29．（2022?黑龍江）如圖，爸爸從家（點O）出發(fā)，沿著扇形AOB上OA→→BO的路徑去勻速散步，設(shè)爸爸距家（點O）的距離為S，散步的時間為t，則下列圖形中能大致刻畫S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．29．C30．（2022?北京）如圖，為估算某河的寬度，在河對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上．若測得BE=20m，CE=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m30．31．（2022?荊門）在平面直角坐標(biāo)系中，線段OP的兩個端點坐標(biāo)分別是O（0，0），P（4，3），將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到OP′位置，則點P′的坐標(biāo)為（）A．（3，4） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（4，-3）31．C32．（2022?鹽城）如圖①是3×3正方形方格，將其中兩個方格涂黑，并且使涂黑后的整個圖案是軸對稱圖形，約定繞正方形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案，例如圖②中的四幅圖就視為同一種圖案，則得到的不同圖案共有（）

A．4種 B．5種 C．6種 D．7種32．C33．（2022?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（）A． B． C． D．33．C34．（2022?雅安）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠CDB=30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于E，則sin∠E的值為（）A． B． C． D．34．A35．（2022?衢州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊上一動點，沿A→D→C→B→A

的路徑勻速移動，設(shè)P點經(jīng)過的路徑長為x，△APD的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A．B．C．D．35．B36．（2022?柳州）如圖，點P（a，a）是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象上的一個點，以點P為頂點作等邊△PAB，使A、B落在x軸上，則△POA的面積是（）A．3 B．4 C． D．36．D37．（2022?蘇州）已知二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根是（）A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=337．B38．（2022?賀州）直線AB與⊙O相切于B點，C是⊙O與OA的交點，點D是⊙O上的動點（D與B，C不重合），若∠A=40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．25°或155° B．50°或155° C．25°或130° D．50°或130°38．A39．（2022?萊蕪）下列說法錯誤的是（）A．若兩圓相交，則它們公共弦的垂直平分線必過兩圓的圓心B．2+與2-互為倒數(shù)C．若a＞|b|，則a＞bD．梯形的面積等于梯形的中位線與高的乘積的一半39．D40．（2022?無錫）已知點A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．記N（t）為?ABCD內(nèi)部（不含邊界）整點的個數(shù)，其中整點是指橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則N（t）所有可能的值為（）A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、940．C41．2022?南充）下列圖形中，∠2＞∠1的是（）A． B． C． D．41．C42．（2022?貴陽）在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，有一個半徑為1的硬幣與邊AB、AD相切，硬幣從如圖所示的位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，硬幣自身滾動的圈數(shù)大約是（）A．1圈 B．2圈 C．3圈 D．4圈42．B43．（2022?欽州）如圖，圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路線圖（箭頭表示行進的方向）．其中E為AB的中點，AH＞HB，判斷三人行進路線長度的大小關(guān)系為（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙43．D44．（2022?福州）如圖，已知△ABC，以點B為圓心，AC長為半徑畫??；以點C為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，且點A，點D在BC異側(cè)，連結(jié)AD，量一量線段AD的長，約為（）A． B． C． D．44．B45．（2022?佛山）半徑為3的圓中，一條弦長為4，則圓心到這條弦的距離是（）A．3 B．4 C． D．45．C46．（2022?達州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓?。磮D中弧CD，點O是弧CD的圓心），其中CD=600米，E為弧CD上一點，且OE⊥CD，垂足為F，OF=300米，則這段彎路的長度為（）A．200π米 B．100π米 C．400π米 D．300π米46．A47．（2022?綏化）如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE=4，CD=6，則AE的長為（）A．4 B．5 C．6 D．747．B48．（2022?紅河州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA48．D49．（2022?邗江區(qū)一模）一張圓形紙片，小芳進行了如下連續(xù)操作：

（1）將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖（2）所示．

（2）將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點重合，折痕CD與AB相交于M，如圖（3）所示．

（3）將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點重合，折痕EF與AB相交于N，如圖（4）所示．

（4）連結(jié)AE、AF，如圖（5）所示．

經(jīng)過以上操作小芳得到了以下結(jié)論：

①CD∥EF；②四邊形MEBF是菱形；③△AEF為等邊三角形；④S△AEF：S圓=3：4π，

以上結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個49．D50．（2022?恩施州）如甲、乙兩圖所示，恩施州統(tǒng)計局對2022年恩施州各縣市的固定資產(chǎn)投資情況進行了統(tǒng)計，并繪成了以下圖表，請根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題：

2022年恩施州各縣市的固定資產(chǎn)投資情況表：（單位：億元）單位恩施市利川縣建始縣巴東縣宜恩縣咸豐縣來鳳縣鶴峰縣州直投資額602824231416155

下列結(jié)論不正確的是（）A．2022年恩施州固定資產(chǎn)投資總額為200億元B．2022年恩施州各單位固定資產(chǎn)投資額的中位數(shù)是16億元C．2022年來鳳縣固定資產(chǎn)投資額為15億元D．2022年固定資產(chǎn)投資扇形統(tǒng)計圖中表示恩施市的扇形的圓心角為110°50．D專題二新定義型問題一、中考專題詮釋所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進行理解，根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.“新定義”型問題成為近年來中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點.在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識解決問題的能力二、解題策略和解法精講“新定義型專題”關(guān)鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情景的變化，通過認真思考，合理進行思想方法的遷移．三、中考典例剖析考點一：規(guī)律題型中的新定義例1（2022?湛江）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：

sin30°=，cos30°=，則sin230°+cos230°=；①

sin45°=，cos45°=，則sin245°+cos245°=；②

sin60°=，cos60°=，則sin260°+cos260°=．③

…

觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A=．④

（1）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對∠A證明你的猜想；

（2）已知：∠A為銳角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．思路分析：①②③將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可求出其值；

④由前面①②③的結(jié)論，即可猜想出：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A=1；

（1）如圖，過點B作BD⊥AC于D，則∠ADB=90°．利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=，cosA=，則sin2A+cos2A=，再根據(jù)勾股定理得到BD2+AD2=AB2，從而證明sin2A+cos2A=1；

（2）利用關(guān)系式sin2A+cos2A=1，結(jié)合已知條件cosA＞0且sinA=，進行求解．解：∵sin30°=，cos30°=，

∴sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；①

∵sin45°=，cos45°=，

∴sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；②

∵sin60°=，cos60°=，

∴sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③

觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A=1．④

（1）如圖，過點B作BD⊥AC于D，則∠ADB=90°．

∵sinA=，cosA=，

∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，

∵∠ADB=90°，

∴BD2+AD2=AB2，

∴sin2A+cos2A=1．

（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A為銳角，

∴cosA=．點評：本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2022?綿陽）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題：

（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長交BC于D，證明：；

（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；

（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值．

2.（1）證明：如答圖1所示，連接CO并延長，交AB于點E．

∵點O是△ABC的重心，∴CE是中線，點E是AB的中點．

∴DE是中位線，

∴DE∥AC，且DE=AC．

∵DE∥AC，

∴△AOC∽△DOE，

∴=2，

∵AD=AO+OD，

∴=．

（2）答：點O是△ABC的重心．

證明：如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．

由（1）可知，=，

而=，

∴點Q與點O重合（是同一個點），

∴點O是△ABC的重心．

（3）解：如答圖3所示，連接DG．

設(shè)S△GOD=S，由（1）知=，即OA=2OD，

∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．

為簡便起見，不妨設(shè)AG=1，BG=x，則S△BGD=3xS．

∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，

∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．

設(shè)OH=k?OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，

∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．

∴S四邊形BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．

∴==

①

如答圖3，過點O作OF∥BC交AC于點F，過點G作GE∥BC交AC于點E，則OF∥GE．

∵OF∥BC，

∴，

∴OF=CD=BC；

∵GE∥BC，

∴，

∴GE=；

∴=，

∴=．

∵OF∥GE，

∴，

∴，

∴k=，代入①式得：

==-x2+x+1=-（x-）2+，

∴當(dāng)x=時，有最大值，最大值為．考點二：運算題型中的新定義例2（2022?河北）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5。

（1）求（-2）⊕3的值；

（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范圍，并在圖所示的數(shù)軸上表示出來．

思路分析：（1）按照定義新運算a⊕b=a（a-b）+1，求解即可；

（2）先按照定義新運算a⊕b=a（a-b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范圍，即可在數(shù)軸上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a-b）+1，

∴（-2）⊕3=-2（-2-3）+1=10+1=11；

（2）∵3⊕x＜13，

∴3（3-x）+1＜13，

9-3x+1＜13，

-3x＜3，

x＞-1．

在數(shù)軸上表示如下：

點評：本題考查了有理數(shù)的混合運算及一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題，理解新定義法則是解題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2022?十堰）定義：對于實數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[]=5，[5]=5，[-π]=-4．

（1）如果[a]=-2，那么a的取值范圍是．

（2）如果[]=3，求滿足條件的所有正整數(shù)x．2．解：（1）∵[a]=-2，

∴a的取值范圍是-2≤a＜-1；

（2）根據(jù)題意得：

3≤[]＜4，

解得：5≤x＜7，

則滿足條件的所有正整數(shù)為5，6．考點三：探索題型中的新定義例3（2022?欽州）定義：直線l1與l2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，點M到直線l1、l2的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析： “距離坐標(biāo)”是（1，2）的點表示的含義是該點到直線l1、l2的距離分別為1、2．由于到直線l1的距離是1的點在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上，到直線l2的距離是2的點在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，它們有4個交點，即為所求．解：如圖，

∵到直線l1的距離是1的點在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上，

到直線l2的距離是2的點在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，

∴“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點是M1、M2、M3、M4，一共4個．

故選C．點評：本題考查了點到直線的距離，兩平行線之間的距離的定義，理解新定義，掌握到一條直線的距離等于定長k的點在與已知直線相距k的兩條平行線上是解題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練3.（2022?臺州）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．

（1）請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；

（2）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求證：△ABC是“好玩三角形”；

（3））如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點C運動，記點P經(jīng)過的路程為s．

①當(dāng)β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；

②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．請直接寫出tanβ的取值范圍．

（4）（本小題為選做題，作對另加2分，但全卷滿分不超過150分）

依據(jù)（3）的條件，提出一個關(guān)于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1）

3．解：（1）如圖1，①作一條線段AB，

②作線段AB的中點O，

③作線段OC，使OC=AB，

④連接AC、BC，

∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如圖2，取AC的中點D，連接BD

∵∠C=90°，tanA=，

∴=，

∴設(shè)BC=x，則AC=2x，

∵D是AC的中點，

∴CD=AC=x

∴BD==2x，

∴AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）①如圖3，當(dāng)β=45°，點P在AB上時，

∴∠ABC=2β=90°，

∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，

當(dāng)P在BC上時，連接AC交PQ于點E，延長AB交QP的延長線于點F，

∵PC=CQ，

∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴．

∵PE=CE，

∴．

Ⅰ當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時，即AE=PQ時，

=2，

∴=，

Ⅱ當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時，

作QN⊥AP于N，如圖4

∴MN=AN=MP．

∴QN=MN，

∴tan∠APQ==，

∴tan∠APE==，

∴=+。

②由①可知，當(dāng)AE=PQ和AP=QM時，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”，

∴＜tanβ＜2時，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．

（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，

則在P、Q的運動過程中，使得△APQ成為“好玩三角形”的個數(shù)為2．考點四：開放題型中的新定義例4（2022?寧波）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．

（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；

（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．思路分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；

（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點到頂點的距離相等，只要D在上任意一點構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，

（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．解：（1）∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ADB，

∴△ADB是等腰三角形．

在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，

∴∠BDC=∠C=75°，

∴△BCD為等腰三角形，

∴BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）由題意作圖為：圖2，圖3

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，

∴△ACD是等腰三角形．

∵AB=AD=BC，

如圖4，當(dāng)AD=AC時，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC

∴△ABC是正三角形，

∴∠BAC=∠BCA=60°．

∵∠BAD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°，

∴∠BCD=60°+75°=135°．

如圖5，當(dāng)AD=CD時，

∴AB=AD=BC=CD．

∵∠BAD=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°

如圖6，當(dāng)AC=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD．CE⊥AD，

∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．

∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，

∴四邊形ABFE是矩形．

∴BF=AE．

∵AB=AD=BC，

∴BF=BC，

∴∠BCF=30°．

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC．

∵AB∥CE，

∴∠BAC=∠ACE，

∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，

∴∠BCD=15°×3=45°．點評：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2022?常州）用水平線和豎起線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形．設(shè)格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數(shù)和為a，內(nèi)部的格點個數(shù)為b，則S=a+b-1（史稱“皮克公式”）．

小明認真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對正三角開形網(wǎng)格中的類似問題進行探究：正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，下圖是該正三角形格點中的兩個多邊形：

根據(jù)圖中提供的信息填表：

格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)格點邊多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)格點多邊形的面積多邊形181

多邊形273

…………一般格點多邊形abS則S與a、b之間的關(guān)系為S=（用含a、b的代數(shù)式表示）．4．解：填表如下：格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)格點邊多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)格點多邊形的面積多邊形1818多邊形27311…………一般格點多邊形abS則S與a、b之間的關(guān)系為S=a+2（b-1）（用含a、b的代數(shù)式表示）．考點五：閱讀材料題型中的新定義例5（2022?舟山）對于點A（x1，y1），B（x2，y2），定義一種運算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（-5，4），B（2，-3），A⊕B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四點C，D，E，F(xiàn)，滿足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，則C，D，E，F(xiàn)四點（）A．在同一條直線上B．在同一條拋物線上C．在同一反比例函數(shù)圖象上D．是同一個正方形的四個頂點思路分析：如果設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6），先根據(jù)新定義運算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），則x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，則C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）都在直線y=-x+k上．解：∵對于點A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），

如果設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6），

那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），

D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），

E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），

F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），

又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，

∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），

∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，

令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，

則C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）都在直線y=-x+k上，

∴互不重合的四點C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上．

故選A．點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，以及學(xué)生的閱讀理解能力，有一定難度．對應(yīng)訓(xùn)練5．（2022?天門）一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．

（1）判斷與操作：

如圖2，矩形ABCD長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由．

（2）探究與計算：

已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．

（3）歸納與拓展：

已知矩形ABCD兩鄰邊的長分別為b，c（b＜c），且它是4階奇異矩形，求b：c（直接寫出結(jié)果）．7．解：（1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：

（2）裁剪線的示意圖如下：

（3）b：c的值為，

規(guī)律如下：第4次操作前短邊與長邊之比為：；

第3次操作前短邊與長邊之比為：；

第2次操作前短邊與長邊之比為：；

第1次操作前短邊與長邊之比為：．四、中考真題演練一、選擇題1．（2022?成都）在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)的圖象經(jīng)過原點的是（）A．y=-x+3B．y=C．y=2xD．y=-2x2+x-71．C2．（2022?紹興）若圓錐的軸截圖為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．90° B．120° C．150° D．180°2．D3．（2022?濰坊）對于實數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[]=1，[3]=3，[]=-3，若[]=5，則x的取值可以是（）A．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2022?烏魯木齊）對平面上任意一點（a，b），定義f，g兩種變換：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．據(jù)此得g（f（5，-9））=（）A．（5，-9） B．（-9，-5） C．（5，9） D．（9，5）4．D 5．（2022?常德）連接一個幾何圖形上任意兩點間的線段中，最長的線段稱為這個幾何圖形的直徑，根據(jù)此定義，圖（扇形、菱形、直角梯形、紅十字圖標(biāo)）中“直徑”最小的是（）A． B． C． D．5．C二、填空題6．（2022?上海）當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為．6．30°7．（2022?宜賓）如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是．7．4π8．（2022?淄博）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A，B），過點P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線．如圖，∠A=36°，AB=AC，當(dāng)點P在AC的垂直平分線上時，過點P的△ABC的相似線最多有條．8．39．（2022?樂山）對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負整數(shù)時，若n-≤x＜n+，則（x）=n．如（）=0，（）=4．

給出下列關(guān)于（x）的結(jié)論：

①（）=1；

②（2x）=2（x）；

③若（x-1）=4，則實數(shù)x的取值范圍是9≤x＜11；

④當(dāng)x≥0，m為非負整數(shù)時，有（m+2022x）=m+（2022x）；

⑤（x+y）=（x）+（y）；

其中，正確的結(jié)論有（填寫所有正確的序號）．9．①③④三、解答題10．（2022?莆田）定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．

如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．

（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；

（2）求出線段AD的長．10．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，

∴AD=BD，BC=BD，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即，

∴AD2=AC?CD．

∴點D是線段AC的黃金分割點．

（2）∵點D是線段AC的黃金分割點，

∴AD=AC=．11．（2022?大慶）對于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：

sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）

（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；

（2）若一個三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個三角形的兩個頂點，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的兩個不相等的實數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的大?。?1．解：（1）由題意得，

sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=，

cos120°=-cos（180°-120°）=-cos60°=-，

sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=；

（2）∵三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，

∴三個內(nèi)角分別為30°，30°，120°，

①當(dāng)∠A=30°，∠B=120°時，方程的兩根為，-，

將代入方程得：4×（）2-m×-1=0，

解得：m=0，

經(jīng)檢驗-是方程4x2-1=0的根，

∴m=0符合題意；

②當(dāng)∠A=120°，∠B=30°時，兩根為，，不符合題意；

③當(dāng)∠A=30°，∠B=30°時，兩根為，，

將代入方程得：4×（）2-m×-1=0，

解得：m=0，

經(jīng)檢驗不是方程4x2-1=0的根．

綜上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．12．（2022?安徽）我們把由不平行于底的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”．其中∠B=∠C．

（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；

（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E為邊BC上一點，若AB∥DE，AE∥DC，求證：；

（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E．若EB=EC，請問當(dāng)點E在四邊形ABCD內(nèi)部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何？寫出你的結(jié)論．（不必說明理由）12．解：（1）如圖1，過點D作DE∥BC交PB于點E，則四邊形ABCD分割成一個等腰梯形BCDE和一個三角形ADE；

（2）∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEC，

∵AE∥DC，

∴∠AEB=∠C，

∵∠B=∠C，

∴∠B=∠AEB，

∴AB=AE．

∵在△ABE和△DEC中，

，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

∴；

（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

∴∠BFE=∠CHE=90°．

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴EF=EG=EH，

在Rt△EFB和Rt△EHC中

，

∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），

∴∠3=∠4．

∵BE=CE，

∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠4

即∠ABC=∠DCB，

∵ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

∴ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．

當(dāng)點E不在四邊形ABCD的內(nèi)部時，有兩種情況：

如圖4，當(dāng)點E在BC邊上時，同理可以證明△EFB≌△EHC，

∴∠B=∠C，

∴ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．

如圖5，當(dāng)點E在四邊形ABCD的外部時，同理可以證明△EFB≌△EHC，

∴∠EBF=∠ECH．

∵BE=CE，

∴∠3=∠4，

∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4，

即∠1=∠2，

∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．13．（2022?北京）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點．已知點D（，），E（0，-2），F(xiàn)（2，0）．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時，

①在點D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是．

②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍．13．解：（1）①如圖1所示，過點E作⊙O的切線設(shè)切點為R，

∵⊙O的半徑為1，∴RO=1，

∵EO=2，

∴∠OER=30°，

根據(jù)切線長定理得出⊙O的左側(cè)還有一個切點，使得組成的角等于30°，

∴E點是⊙O的關(guān)聯(lián)點，

∵D（，），E（0，-2），F(xiàn)（2，0），

∴OF＞EO，DO＜EO，

∴D點一定是⊙O的關(guān)聯(lián)點，而在⊙O上不可能找到兩點使得組成的角度等于60°，

故在點D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是D，E；

故答案為：D，E；

②由題意可知，若P要剛好是⊙C的關(guān)聯(lián)點，

需要點P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，

由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，

連接BC，則PC==2BC=2r，

∴若P點為⊙C的關(guān)聯(lián)點，則需點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r；

由上述證明可知，考慮臨界點位置的P點，

如圖3，點P到原點的距離OP=2×1=2，

過點O作l軸的垂線OH，垂足為H，tan∠OGF==，

∴∠OGF=60°，

∴OH=OGsin60°=；

sin∠OPH=，

∴∠OPH=60°，

可得點P1與點G重合，

過點P2作P2M⊥x軸于點M，

可得∠P2OM=30°，

∴OM=OP2cos30°=，

從而若點P為⊙O的關(guān)聯(lián)點，則P點必在線段P1P2上，

∴0≤m≤；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點；

考慮臨界情況，如圖4，

即恰好E、F點為⊙K的關(guān)聯(lián)時，則KF=2KN=EF=2，

此時，r=1，

故若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，這個圓的半徑r的取值范圍為r≥1．專題三開放型問題一、中考專題詮釋開放型問題是相對于有明確條件和明確結(jié)論的封閉型問題而言的，它是條件或結(jié)論給定不完全、答案不唯一的一類問題．這類試題已成為近年中考的熱點，重在考查同學(xué)們分析、探索能力以及思維的發(fā)散性，但難度適中．根據(jù)其特征大致可分為：條件開放型、結(jié)論開放型、方法開放型和編制開放型等四類．二、解題策略與解法精講解開放性的題目時，要先進行觀察、試驗、類比、歸納、猜測出結(jié)論或條件，然后嚴(yán)格證明；同時，通常要結(jié)合以下數(shù)學(xué)思想方法：分類討論，數(shù)形結(jié)合，分析綜合，歸納猜想，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型等。三、中考考點精講考點一：條件開放型條件開放題是指結(jié)論給定，條件未知或不全，需探求與結(jié)論相對應(yīng)的條件．解這種開放問題的一般思路是：由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探求．例1（2022?鹽城）寫出一個過點（0，3），且函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的一次函數(shù)關(guān)系式：．（填上一個答案即可）思路分析：首先可以用待定系數(shù)法設(shè)此一次函數(shù)關(guān)系式是：y=kx+b（k≠0）．根據(jù)已知條件確定k，b應(yīng)滿足的關(guān)系式，再根據(jù)條件進行分析即可．解：設(shè)此一次函數(shù)關(guān)系式是：y=kx+b．

把x=0，y=3代入得：b=3，

又根據(jù)y隨x的增大而減小，知：k＜0．

故此題只要給定k一個負數(shù)，代入解出b值即可．如y=-x+3．（答案不唯一）

故答案是：y=-x+3．點評：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．掌握待定系數(shù)法，首先根據(jù)已知條件確定k，b應(yīng)滿足的關(guān)系式，再根據(jù)條件進行分析即可．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2022?達州）已知（x1，y1），（x2，y2）為反比例函數(shù)圖象上的點，當(dāng)x1＜x2＜0時，y1＜y2，則k的一個值可為．（只需寫出符合條件的一個k的值）1．-1考點二：結(jié)論開放型：給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，這些問題都是結(jié)論開放問題．這類問題的解題思路是：充分利用已知條件或圖形特征，進行猜想、類比、聯(lián)想、歸納，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論，然后經(jīng)過論證作出取舍．例2（2022?常德）請寫一個圖象在第二、四象限的反比例函數(shù)解析式：．思路分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得k＜0，寫一個k＜0的反比例函數(shù)即可．解：∵圖象在第二、四象限，

∴y=-，

故答案為：y=-．點評：此題主要考查了反比例函數(shù)y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2022?山西）四川雅安發(fā)生地震后，某校九（1）班學(xué)生開展獻愛心活動，積極向災(zāi)區(qū)捐款．如圖是該班同學(xué)捐款的條形統(tǒng)計圖．寫出一條你從圖中所獲得的信息：．（只要與統(tǒng)計圖中所提供的信息相符即可得分）2．該班有50人參與了獻愛心活動（答案不唯一）考點三：條件和結(jié)論都開放的問題：此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有多樣性，因此必須認真觀察與思考，將已知的信息集中分析，挖掘問題成立的條件或特定條件下的結(jié)論，多方面、多角度、多層次探索條件和結(jié)論，并進行證明或判斷．例3（2022?廣東）如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構(gòu)造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C．

（1）設(shè)Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；

（2）寫出如圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明．思路分析：（1）根據(jù)S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，選擇一對進行證明即可．解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，

∴S1=S矩形BDEF，

∴S2+S3=S矩形BDEF，

∴S1=S2+S3．

（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．

證明△BCD∽△DEC；

證明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，

∴∠EDC=∠CBD，

又∵∠BCD=∠DEC=90°，

∴△BCD∽△DEC．點評：本題考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最經(jīng)常用的就是兩角法，此題難度一般．對應(yīng)訓(xùn)練3．（2022?荊州）如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，連結(jié)BE．請找出一對全等三角形，并說明理由．3．解：△ACD≌△BCE．

證明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，

即∠ACD=∠BCE．

∵△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴CA=CB，CD=CE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE．四、中考真題演練一、填空題1．（2022?徐州）請寫出一個是中心對稱圖形的幾何圖形的名稱：．1．平行四邊形2．（2022?欽州）請寫出一個圖形經(jīng)過一、三象限的正比例函數(shù)的解析式．2．y=x（答案不唯一）．3．（2022?連云港）若正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)值y隨著x的增大而減小，則k的值可以是．（寫出一個即可）3．-24．（2022?連云港）若正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)值y隨著x的增大而減小，則k的值可以是．（寫出一個即可）4．-25．（2022?北京）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，1）的拋物線的解析式，y=．5．x2+1（答案不唯一）6．（2022?莆田）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，BE=CF，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEF．6．AB=DE7．（2022?綏化）如圖，A，B，C三點在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件，使得△EAB≌△BCD．7．AE=CB8．（2022?義烏市）如圖，已知∠B=∠C，添加一個條件使△ABD≌△ACE（不標(biāo)注新的字母，不添加新的線段），你添加的條件是．8．AC=AB9．（2022?齊齊哈爾）如圖，要使△ABC與△DBA相似，則只需添加一個適當(dāng)?shù)臈l件是（填一個即可）9．∠C=∠BAD10．（2022?邵陽）如圖所示，弦AB、CD相交于點O，連結(jié)AD、BC，在不添加輔助線的情況下，請在圖中找出一對相等的角，它們是．10．∠A與∠C（答案不唯一）11．（2022?吉林）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，連接OA、OB．點P是半徑OB上任意一點，連接AP．若OA=5cm，OC=3cm，則AP的長度可能是cm（寫出一個符合條件的數(shù)值即可）11．612．（2022?昭通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∠ABC=60°．若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)在AB上沿著A→B→A運動，設(shè)運動時間為t（s）（0≤t＜16），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t（s）的值為．（填出一個正確的即可）12．4s三、解答題13．（2022?杭州）（1）先求解下列兩題：

①如圖①，點B，D在射線AM上，點C，E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數(shù)；

②如圖②，在直角坐標(biāo)系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B，C的橫坐標(biāo)都是3，且BC=2，點D在AC上，且橫坐標(biāo)為1，若反比例函數(shù)(x＞0)的圖象經(jīng)過點B，D，求k的值．

（2）解題后，你發(fā)現(xiàn)以上兩小題有什么共同點？請簡單地寫出．

13．解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，

∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，

又∵∠EDM=84°，

∴∠A+3∠A=84°，

解得，∠A=21°；

②∵點B在反比例函數(shù)y=圖象上，點B，C的橫坐標(biāo)都是3，

∴點B（3，），

∵BC=2，

∴點C（3，+2），

∵AC∥x軸，點D在AC上，且橫坐標(biāo)為1，

∴A（1，+2），

∵點A也在反比例函數(shù)圖象上，

∴+2=k，

解得，k=3；

（2）用已知的量通過關(guān)系去表達未知的量，使用轉(zhuǎn)換的思維和方法．（開放題）14．（2022?鹽城）市交警支隊對某校學(xué)生進行交通安全知識宣傳，事先以無記名的方式隨機調(diào)查了該校部分學(xué)生闖紅燈的情況，并繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中的信息回答下列問題：

（1）本次共調(diào)查了多少名學(xué)生？

（2）如果該校共有1500名學(xué)生，請你估計該校經(jīng)常闖紅燈的學(xué)生大約有多少人；

（3）針對圖中反映的信息談?wù)勀愕恼J識．（不超過30個字）14．解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：55+30+15=100（人）；

（2）經(jīng)常闖紅燈的人數(shù)是：1500×=225（人）；

（3）學(xué)生的交通安全意識不強，還需要進行教育．專題四探究型問題一、中考專題詮釋探究型問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補充并加以證明的一類問題．根據(jù)其特征大致可分為：條件探究型、結(jié)論探究型、規(guī)律探究型和存在性探究型等四類．二、解題策略與解法精講由于探究型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們在復(fù)習(xí)時，首先對于基礎(chǔ)知識一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習(xí)，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強、結(jié)構(gòu)獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：1．利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類討論法．當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不惟一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．4．類比猜想法．即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證．以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應(yīng)更注重數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用．三、中考考點精講考點一：條件探索型：此類問題結(jié)論明確，而需探究發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件．例1（2022?襄陽）如圖1，點A是線段BC上一點，△ABD和△ACE都是等邊三角形．

（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE=CD；

（2）如圖2，將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′．

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為度時，邊AD′落在AE上；

②在①的條件下，延長DD’交CE于點P，連接BD′，CD′．當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．

思路分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“邊角邊”證明△BAE和△DAC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；

（2）①求出∠DAE，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)；

②當(dāng)AC=2AB時，△BDD′與△CPD′全等．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四邊形ABDD′是菱形，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的對邊平行可得DP∥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠PCD′=∠ACD′=30°，從而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角邊角”證明△BDD′與△CPD′全等．解答：（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形．

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

即∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

，

∴△BAE≌△DAC（SAS），

∴BE=CD；

（2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠DAE=180°-60°×2=60°，

∵邊AD′落在AE上，

∴旋轉(zhuǎn)角=∠DAE=60°；

②當(dāng)AC=2AB時，△BDD′與△CPD′全等．

理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，AB′與AD重合，

∴AB=BD=DD′=AD′，

∴四邊形ABDD′是菱形，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC，

∵△ACE是等邊三角形，

∴AC=AE，∠ACE=60°，

∵AC=2AB，

∴AE=2AD′，

∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，

又∵DP∥BC，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，

在△BDD′與△CPD′中，

，

∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．

故答案為：60．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不大，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的判定是姐提到過．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2022?新疆）如圖，?ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與BA、DC的延長線分別交于點E、F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）請連接EC、AF，則EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．1．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=OC，AB∥CD．

∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）如圖，連接EC、AF，則EF與AC滿足EF=AC時，四邊形AECF是矩形，

理由如下：

由（1）可知△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∵AO=CO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵EF=AC，

∴四邊形AECF是矩形．考點二：結(jié)論探究型：此類問題給定條件但無明確結(jié)論或結(jié)論不惟一，而需探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論．例2（2022?牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是過點A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點B，如圖（1）．易證BD+AB=CB，過程如下：

過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．

∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．

∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．

又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．

又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．

（1）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明．

（2）MN在繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD=時，則CD=，CB=．

思路分析：（1）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE=CB，根據(jù)BE=AB-AE即可證得；

（2）過點B作BH⊥CD于點H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．解：（1）如圖（2）：AB-BD=CB．

證明：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，

∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE=CB．

又∵BE=AB-AE，

∴BE=AB-BD，

∴AB-BD=CB．

如圖（3）：BD-AB=CB．

證明：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE=CB．

又∵BE=AE-AB，

∴BE=BD-AB，

∴BD-AB=CB．

（2）如圖（2），過點B作BH⊥CD于點H，

∵∠ABC=45°，DB⊥MN，

∴∠CBD=135°，

∵∠BCD=30°，

∴∠CBH=60°，

∴∠DBH=75°，

∴∠D=15°，

∴BH=BD?sin45°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴DH=BH=BD=×=1，

∵∠BCD=30°

∴CD=2DH=2，

∴CH=，

∴CB=CH+BH=+1；點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角