人教版高數(shù)必修四第7講：平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

xx平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算腦體頁)作業(yè)完成情況］教學(xué)目標(biāo)〕1?掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2?會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算.3?會用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件，進(jìn)而解決一些相關(guān)問題.4?了解平面向量的基本定理及其意義.&趣味引入)忌知識梳理)一、平面向量基本定理：1?平面向量基本定理：如果e,e是同一平面內(nèi)的兩個不共線不共線向量，那么對于12這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)入，入使a二入e+入e121122特別提醒：我們把不共線向量e、e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；12基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；>>由定理可將任一向量a在給出基底e、e的條件下進(jìn)行分解；12基底給定時，分解形式惟一入，d是被a，7，7唯一確定的數(shù)量1212TOC\o"1-5"\h\z二、平面向量的坐標(biāo)表示：.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個—單位向量i、j作為基底+任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有a且只有一對實(shí)數(shù)丄、y，使得a=xi+yjQ，!我們把(x,y)叫做向量a我們把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a=(x,y)其中X叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，Q式叫做向量的坐標(biāo)表示.與a相等的向量的坐標(biāo)也為(x,y)????????????—?特別地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)?特別提醒：設(shè)OA=xi士yj，則向量OA的坐標(biāo)(x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x,y)，b=(x,y)，則a+b=(x+x,y+y)，11221212a-b二(x-x,y-y)__1212兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差―?―?若A(x,y)，B(x,y)，則AB=(x-x,y-y)11222121一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)若a=(x,y)和實(shí)數(shù)九，貝Ma=(九x,九y)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè)a=久，y)，b=(x2,y2)其中b豐aa〃b(b豐0)的充要條件是xy-xy=01221類型一平面向量基本定理的應(yīng)用類型一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】(2012?南京質(zhì)檢)如圖所示，在AABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若Am=2AB+^AC，則久+〃=.［審題視點(diǎn)］由B,H,C三點(diǎn)共線可用向量Ab,AC來表示AH.解析由B,H,C三點(diǎn)共線，可令A(yù)H=xAB+(1-x)AC，又M是AH的中點(diǎn)，所以AM卜2(1—x)AC,又AM=2AB+〃AC.所以久+〃=2兀+2(1—x)=2?

答案1方法總結(jié)》應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用.當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的.【訓(xùn)練1】如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起.若AD=xAB+yAC，則x=ABAB解析以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖,令A(yù)B=2,則AB=(2,0),AC=(0,2),過D作DF丄AB交AB的延長線于F,由已知得DF=BF=f3，則AD=(2+羽，羽).vAD=xAB+yAC,.?.(2+^3,vAD=xAB+yAC,.?.(2+^3,￡)=(2x,2y).即有2+述3=2x,X1'3=2y,解得x=1+<另解：AD=AF+FD=fi+23AB+所以x=1+/,y=害.答案i+亨￥［例1］在AOAB中，OC=—OA,OD=—OB,AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)OA=a,OB=b,用a,b4^2表示om._/Tv［解題思路］:若e,巨2是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，則根據(jù)平面向量的基/\CM

本定理，平面內(nèi)的任何向量都可用e,e線性表示.本例中向量a,b可作基底,故可設(shè)OM=ma+nb,12為求實(shí)數(shù)m,n,需利用向量AM與AD共線，向量CM與CB共線，■建立關(guān)于m,n的兩個方程.解析：設(shè)OM二ma+nb,則AM=(m-l)a+nb,AD=-a+—b2^???點(diǎn)七M(jìn)、D共線，上AM與AD共線,TOC\o"1-5"\h\zm—1n——，Am+2n=1.①—10.5而CM—OM—OC=(m——)a+nb，CB=——a+b44???I、B共線FCM與CB共細(xì)1m——4n—廠—1，?:4m+n=1.②_4\o"CurrentDocument"1313練習(xí)：i.若已知e聯(lián)立①②解得:m二7，n=7，???OM—練習(xí)：i.若已知ee2是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是（）A.e與——e12答案：D2.在△ABCA.e與——e12答案：D2.在△ABC中,已知AM:AB=1:3,B.3ei與2"2C.e+e與e—e1_AN：ACD.e與2e1=1：4,BN與CM交于點(diǎn)P,且AB—a,AC—b，試用a,b表示AP.解：AM:AB=1:3,AN:AC=1：4,,111??.AM——AB——a,334???M、P、C三點(diǎn)共線，故可設(shè)MP—tMC,t^R,于是，、、―A、、―AAP—A^M+.MP——a+tMC——a+1(b——a)—(——)a+tb①3T「3331s同理可設(shè)設(shè)NP—sNB，sFR,AP—AN+NP—(^—4)b七sa.…②.?「AM—1AB—17,AN二AC—1b,3344TOC\o"1-5"\h\z1t1s由①②得仔-7^+(t—^=)b—°，-334432由此解得s-—,t-—，?:AP—a+b-11111111類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例2】(2011.合肥模擬)已知A(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4)，且CM=3CA,CN=2CB.求M,N的坐標(biāo)和MN.［審題視點(diǎn)］求CA,CB的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求m,n.解VA(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4),???CA=(1,8),CB=(6,3).???CM=3CA=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6).設(shè)M(x,y),則CM=(x+3,y+4).x+x+3=3,,y+4=24,得x=0,尸20.???M(0'20)?同理可得N(9,2),???MN=(9—0,2—20)=(9,—18).方法總結(jié)》利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標(biāo).【訓(xùn)練2】在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線，若AB=(2,4),AC=(1,3),則BD=().A.(—2,—4)B.(—3,—5)C.(3,5)D.(2,4)解析由題意得Bd=Ad-AB=Bc-AB=(Ac-AB)-AB=Ac-2AB=(1,3)-2(2,4)=(―3,—5).答案B若A(0,1),B(l,2),C(3,4)則AB—2BC=答案：(-3,-3)解：AB—2BC=(1,1)—2(2,2)=(-3,-3)—-1若M(3,-2)N(-5,-1)且MP=-MN,求P點(diǎn)的坐標(biāo);厶、11解：設(shè)P(x,y)則(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,二)x=—x=—13y=——23???p點(diǎn)坐標(biāo)為(-1‘-)類型三平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】已知a=(l,2),乃=(一3,2),是否存在實(shí)數(shù)k,使得ka+b與a_3b共線，且方向相反？［審題視點(diǎn)］根據(jù)共線條件求k,然后判斷方向.解若存在實(shí)數(shù)k,貝Vka+b=k(1,2)+(—3,2)=(k—3,2k+2),a—3b=(1,2)—3(—3,2)=(10,-4).若這兩個向量共線，則必有(k—3)X(—4)—(2k+2)X10=0.小/口1、、」(104、解得k=—3.這時ka+b=(—~3,3、，所以ka+b=—|(a—3b).即兩個向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在.竝軽衛(wèi)向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值.【訓(xùn)練3】(2011西安質(zhì)檢)已知向量a=(1,2),b=(2,—3)，若向量c滿足(c+a)〃b.c丄(a+b)，則cc丄(a+b)，則c=().A.779，3B.3'C.773，9d(-9,解析設(shè)c=(m,n),則a則a+c=(1+m,2+n).a+b—(3,—1).°.°(c+a)〃b,.°.—3X(1+m)—2X(2+n)，又c丄(a+b).773m—n—0,解得m——9,n——3.答案D9.已知a二(1,2),b二(-3,2),當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時，ka+2b與2a—4b平行?【解析】方法一：???2a—4b豐0,.??存在唯一實(shí)數(shù)九使ka+2b=X(2a—4b)將a、b的坐標(biāo)代入上式得(k—6,2k+4)=九(14,—4)

得k—6=14九且2k+4二一4九，解得k=—1方法二：同法一有ka+2b=九（2a—4b），即（k—2九）a+（2+4九）b=0--「k-2九二0???a與b不共線，???<1c:,k=—1I2+4入二0一、選擇題一、選擇題設(shè)勺、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（）A.ei+e2和ei~e2B3ei~2e2和4e2_6eiC.ei+2e2和e2+2eiD.e2和ei+e2［答案］B［解析］T4e2—6纟］=—2（3纟］—2e2）,/.3ei—2e2與4e2—6ei共線，不能作為基底.下面給出了三個命題：非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行；向量a與b共線的條件是當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)人、久2，使得人a=3；平面內(nèi)的任一向量都可用其它兩個向量的線性組合表示.其中正確命題的個數(shù)是（）A.0B.IC.2D.3［答案］B［解析］命題①兩共線向量a與b所在的直線有可能重合;命題③平面內(nèi)的任一向量都可用其它兩個不共線向量的線性組合表示?故①③都不正確.給出下列結(jié)論：①若aMb,貝yia+blvlal+lbl；②非零向量a、b共線，貝Jla+bl>0:③對任意TOC\o"1-5"\h\z向量a、b，la-bl^0；④若非零向量a、b共線且反向，貝Vla-bl>lal.其中正確的有（）個.（）A.iB.2C.3D.4［答案］B［解析］①中有一個為零向量時不成立；②中a,b若是相反向量則不成立；③、④正確，故選B.已知向量e1>e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足（x—y）e1+（2x+y）e2=6e1+3e2，則x—y的值等于（）D.—6A.3BD.—6C.6［答案］C

懈析］??勺、勺不共線，二由平面向量基本定理可得1懈析］??勺、勺不共線，二由平面向量基本定理可得1；匚二，解得］2x+y—3x=3設(shè)一直線上三點(diǎn)a,b,p滿足AP=iPBaz±1),o為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則OP用OA、OB表示為()a.OP=OA+久OBB.OP=kOA+(1+X)OB一OA+久OBC.OP=1^d.a.OP=OA+久OBB.OP=kOA+(1+X)OB一OA+久OBC.OP=1^d.OP#OA+1—5B［答案］C?>■>■>■>■>■>■>■>■>■［解析］?/OP=OA+XPB=OA+k(OB—OP)=OA+XOB-XOP,.?.(1+“op=oa+%ob,.?.op=oa=^0^6.(2014?廣東文，3)已知向量a=(1,2)、b=(3,1),則b_a=()A.(—2,1)B.(2,—1)C.(2,0)［答案］B［解析］?.?a=(1,2)、〃=(3,1),.?.〃一a=(3—1,1—2)=(2,—1).D.(4,3)7.若向量BA=(2,3)、CA=(4,7),貝^BC=()A.(—2,—4)B.(2,4)C.(6,10)［答案］AD.(—6,—10)［解析］BC=BA+AC=BA—CA=(2,3)—(4,7)=(—2,—4).8.(2014?北京文，3)已知向量a=(2,4)、b=(—1,1),則2a—b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)［答案］A［解析］2a—^=(4,8)—(—1,1)=(5,7)D.(3,9)9.已知AB=(5,—3)、C(—1,3)、CD=2AB,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是()A.(11,9)B.(4,0)C.(9,3)［答案］DD.(9,—3)［解析］?.?AB=(5,—3),.?.CD=2AB=(10,—6),設(shè)D(x,y),又C(—1,3),.?.CD=(x+1,y—3),TOC\o"1-5"\h\zx+1=10fx=9??<<??????Lx—3=—6［y=_34-_-B.10.已知△ABC中，點(diǎn)A(—2,3)、點(diǎn)B(—3，—5)，重心M(1，—2)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為4-_-B.A.(—4,8)由重心坐標(biāo)公式,—2由重心坐標(biāo)公式,—2+(—3)+x3-2=吐嚴(yán)C.(8,—4)D.(7,—2)［答案］C懈析］設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),x=8解得［y=—411.已知i、j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點(diǎn)，設(shè)OA=(x2+x+1)i—(x2—x+1j(其中x￡R)，則點(diǎn)A位于()A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限［答案］D［解析］*/x2+x+1>0,—(x2—x+1)<0,.?.點(diǎn)A位于第四象限.二、填空題12.在ABCD中，AB=a,AD=b,AN=32vC,M為BC的中點(diǎn)，貝則麗=(用a、b表示).［答案］—4a+1b［解析］vAN=32vC,A4AN=3Ac=3(a+b),AM=a+|b,13.已知向量a與b不共線，實(shí)數(shù)x、滿足等式3xa+(10—y)b=(4y+7)a+2xb,則x=y=“宀4716［合案］4!16懈析］Ta、b不共線,懈析］Ta、b不共線,3x=4y+710—y=2x<，解得47x=11165=11若點(diǎn)0(0,0)、A(1,2)、B(—1,3),且O孑/=2OA,OB'=3(OB，則點(diǎn)A，的坐標(biāo)為.點(diǎn)B，的坐標(biāo)為，向量A'BB'的坐標(biāo)為.［答案］(2,4)(—3,9)(—5,5)［解析］VO(0,0),A(1,2),B(—1,3),???0A=(1,2),0B=(—1,3),OA'=2X(1,2)=(2,4),OB'=3X(—1,3)=(—3,9)?/.A'(2,4),B'(—3,9),A'A'=(—3—2,9—4)=(—5,5).在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若AB=(2,4),AC=(1,3),則BD=.［答案］(—3，—5)［解析］AD=BC=AC—AB=(—1,—1)./?BD=AD—AB=(—3,—5).三、解答題如圖，已知A4BC中，M、N、P順次是AB的四等分點(diǎn)，CB=e，CA=e2，試用e，ce2表TOC\o"1-5"\h\z—B—B—B示CM、CN、CP.［解析］利用中點(diǎn)的向量表達(dá)式得：A1,1—1,3CN=2e1+2e2；CM=4e1+4e2；A3,1CP=4e1+4e2?17.(1)設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是(一2,2)、(3，—5)，求a+b，a—b,2a+3b的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量a、b、c的坐標(biāo)分別為(1，—3)、(一2,4)、(0,5)，求3a—b+c的坐標(biāo).［解析］(1)a+b=(—1,2)+(3,—5)=(—1+3,2—5)=(2,—3)；a—b=(—1,2)—(3,—5)=(—1—3,2+5)=(—4,7)；2a+3b=2(—1,2)+3(3,—5)=(—2,4)+(9,—15)=(—2+9,4—15)=(7,—11).(2)3a—b+c=3(1,—3)—(—2,4)+(0,5)=(3,—9)—(—2,4)+(0,5)=(3+2+0,—9—4+5)=(5,—8)?基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.已知a=(—l,3)、〃=(x,—l)，且allb則x等于()3-3-1-31-3-3

BD［答案］C懈析］由allb,得(一1)X(—1)—3x=0,解得x=3>(2014.安徽宿州市朱仙莊煤礦中學(xué)高一月考)若A(3,—6)、B(—5,2)、C(6,y)三點(diǎn)共線，則y=()A.13B.—13C.9D.—9［答案］D［解析］TA、B、C共線，.?.AB與AC共線，VAB=(—8,8),AC=(3,y+6),/.—8(y+6)=24,.：y=—9.TOC\o"1-5"\h\z向量a=(3,1)、b=(1,3)、c=(k,7)，若(a—c)〃b,則k等于()A.3B.—3C.5D.—5［答案］C［解析］a—c=(3—k,—6),b=(1,3),由題意得，9—3k=—6,Ak=5.設(shè)e^e2是兩個不共線的向量，向量a=e1+Ae2(A￡R)與向量b=—(e2—2e1)共線，貝9()A.久=0B.A=—1C.A=——2D.A=——2［答案］D［解析］由共線向量定理，存在t^R，使a=tb,即e1+Ae2=t(—e2+2e1),TOC\o"1-5"\h\z⑵=11?e.,e2不共線，，解得A=—2.12A=—t25.已知向量a=(3,4)、b=(cosa,sina),且alb，貝Vtana=()44A.B-A.B-D.［答案］B懈析］??懈析］???a〃b,/.3sina—4cos?=0,??tana=3.6.(2014.山東濟(jì)南商河弘德中學(xué)高一月考)若向量b與向量a=(2,l)平行，且01=2遠(yuǎn)，則b=()A.(4,2)B.(—4,2)C.(6,—3)D.(4,2)或(一4,—2)［答案］Dx2+y2=20TOC\o"1-5"\h\z［解析］設(shè)b=(x,y),由題意，得*,〔x=2yfx=4fx=—4解得｛小或｛c［y=2［y=_2二、填空題7?設(shè)i、j分別為x、y軸方向的單位向量，已知OA=2i,OB=4i+2j,AB=—2AC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.［答案］(1,一1)懈析］由已知OA=(2,0),OB=(4,2),?AB=(2,2),設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則AC=(x—2,y),VAB=—2VAB=—2AC,/.(2,2)=—2(x—2,y),一2(x—2)=2—2y=2x=1.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,—1).8.設(shè)向量a=(4sina,3)、b=(2,3sina)，且a〃b,則銳角a=［答案］n［解析］由已知，得12sin2a=6,?.sin?.sinan.?a為銳角，??a=4?三、解答題9.設(shè)向量OA=(k,12)、OB=(4,5)、OC=(10,k),當(dāng)k為何值時，A、B、C三點(diǎn)共線.［解析］?.?OA=(k,12)、OB=(4,5).OC=(10,k),/.AB=OB—(9A=(4,5)—(k,12)=(4—k,—7),BC=OC—OB=(10,k)—(4,5)=(6,k—5).?.?a、b、c三點(diǎn)共線與BC共線，/.(4—k)(k—5)—6X(—7)=0,解得k=11或k=—2.能力提升一、選擇題已知向量纟］工0,久WR,a=e1+Ae2，b=2e{,若向量a與b共線，貝9()A.A=0B.e=02C.eJe2D.eJe2或久=0［答案］D［解析］Ta、b共線，二存在t^R,使a=tb,?.e］+加2=2/纟1，TOC\o"1-5"\h\z/.(1—2力1+加2=0①若e「e^共線，則一定存在t、久.使①式成立；C1—2t=0若e〔、e2不共線，貝.12［久=0已知平面向量a=(1,2)、b=(—2,m),且a〃b，貝V2a+3b=()A.(一2,一4)B.(一3,一6)C.(—4,—8)D.(—5,—10)［答案］C懈析］?.?a〃b,.?.1Xm—2X(—2)=0,/.m=—4.?2a+3b=(2,4)+(—6,—12)=(—4,—8).已知平面向量a=(x,1)、b=(—x,x2),則向量a+b()A.平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線［答案］C［解析］Ta=(x,1),b=(—x,x2),?a+b=(0,x2+1),?.?1+x2工0,?向量a+b平行于y軸.已知向量a=(1,0)、b=(0,1)、c=ka+b(kWR),d=a_b,如果c〃d,那么()A.k=1且c與d同向B.k=1且c與d反向C.k=—1且c與d同向D.k=—1且c與d反向［答案］D［解析］Tc〃d,.?.c=Ad，即ka+b=A(a—b),

［k=X仏=—1又a、b不共線，.詁，.訂.1=—久［k=—1.'.c=—d,??c與d反向.二、填空題已知a=(—2,3),b^a,b的起點(diǎn)為A(l,2),終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，則B點(diǎn)坐標(biāo)為［答案］(o,D或g，0)［解析］由b〃a,可設(shè)b=A