2022年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型專題提升：第13講 數(shù)列性質(zhì)：單調(diào)性（解析版）

第13講數(shù)列性質(zhì):單調(diào)性

參考答案與試題解析

一.填空題（共6小題）

1.（2021?南通模擬）已知｛〃,,｝為遞減數(shù)列，且對于任意正整數(shù)〃，《川恒成立,

4=-/+2〃恒成立，則；I的取值范圍是

【解答】解：恒成立

2

又由an=-n+An

-（n+1）2+2（/z+1）<-n2+AnT亙成立

即2<2"+l

又由〃wN+

:.A<3

故答案為：A<3

2.（2021秋?秀嶼區(qū)校級月考）已知數(shù)列｛/｝滿足:4=1,=24+左2"（氏是與"無關(guān)的

常數(shù)且左二0）,若數(shù)列｛《,｝是單調(diào)遞減數(shù)列，則”的取值范圍為

【解答］解：“的=2%+叱”是與〃無關(guān)的常數(shù)且心0）,，翁喙+3,

...數(shù)列｛/｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為*=；,公差為2,

ft1k

.?.才=]+(〃一1)ean=2"-'[1+(〃-1)燈.

?.?數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞減數(shù)列，

-|

a,^-an=2"(1+nk)-2"[1+(?-1)*]=2"-'[1+(n+1)對<0對于eN*都成立.

/.k<---對于GN*都成立ok<（----）疝〃.

〃+1n+i

令/（?）=-―L,則/（?）是關(guān)于〃的單調(diào)遞增數(shù)列,

n+\

型、1

,?J（〃焉=一萬?

/.k<—?

2

.?.2的取值范圍為（-O0,-；）.

故答案為（73,-g）.

3.(2021?衡水模擬)若數(shù)列｛〃〃｝滿足生一4>a3-a2>a4-a3>...>aIJ+i-a/｝>...,則稱數(shù)列

｛??｝為“差遞減”數(shù)列，若數(shù)列｛??)是“差遞減”數(shù)列，且其通項(xiàng)an與其前〃項(xiàng)和S“(〃€N*)

滿足2S?=3a〃+24-1(〃eN*),則實(shí)數(shù)A的取值范圍是

【解答】解：???2S?=3an+2A-l(neN*),

”=1時，24=34+22—1,解得a,=1-22.

〃..2時,2an=7>an-3an_i,化為4=3%.

同理可得：%=3(1-22),a,=9(1-24),4=27(1-22).

a?！?/1-2(1—24)rq—a?—6(1—2A)，q—q=18(1—2丸)，

?/a2—a｝>a3—a2>a4—a3>...,

???2(1-22)>6(1-22)>18(1-22),

解得：A>~.

2

則實(shí)數(shù)2的取值范圍是2>1.

2

故答案為：2>1.

2

4.(2021?東湖區(qū)校級模擬)若數(shù)列｛a“｝滿足4=-g,且q=67+(-2)"(〃..2),若使不等

式|4I,,Z成立的a“有且只有三項(xiàng)，則2的取值范圍為—嚀,

【解答】解：當(dāng)〃..2時,《,=(4一％)+(%-*)+(%-2-4-3)+…+4-4)+4，

于是有：4=(-2)"+(-2)-1+(-2)7+…+(-2)2+(-1)=產(chǎn)1_1,

31—(—2)3

所以q=l_g(_2嚴(yán)，顯然也適合，因此數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為：a,,=l-g(-2嚴(yán).

當(dāng)”為奇數(shù)時，|a"|=H-g(-2)"+”=|l-g.2"+'|=L2"M-l,此時數(shù)列｛”“｝的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列是單

調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)n為偶數(shù)時，|%|=|1_g(_2)T|=|1+g.2"+“=g.2"+i+1,此時數(shù)列｛”"｝的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列是單

調(diào)遞增函數(shù)，要想使不等式I,,4成立的”“有且只有三項(xiàng)，

A..

3

211

313,35

nn—,,4<—?

.1333

X...—

3

。35

--25+1>22<—

33

故答案為：[竺,曳）.

33

5.（2021?遼寧模擬）已知數(shù)列｛%｝滿足：4=1,a“+i=2a“+1.若勿+]=（〃-2t）（a“+1）,bx=-t,

且數(shù)列｛"｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是

【解答】解:因?yàn)?+]=2?！?1,即?！?[+1=2（?！?1）,

所以數(shù)列｛a,,+1｝是首項(xiàng)為4+1=2,公比為2的等比數(shù)列，

則有a.+l=2-2"T,即q=2"-1,

所以=(〃一2。(4+1)=(〃-2f)?2",

則b〃=(〃-l-2f>2"T,n..2,

因?yàn)閿?shù)列｛〃,｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以(/_2。?2“>-1—20-2"-'對n..2恒成立,

即對”..2恒成立，

所以，<3,

2

又62>瓦,即2（1—2f）>—t，

2

解得，<4，

3

所以實(shí)數(shù)，的取值范圍是（《,；2）.

故答案為：（-，]）?

6.（2021秋?渝中區(qū)校級月考）設(shè)數(shù)列｛q｝滿足。加=2*-1（〃￡“）?

（1）若4='則4020=_-3_；

（2）若數(shù)列｛《,｝是正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列，則4的取值范圍是一?

【解答】解：（1）若％=-；，則.=24一1=一；，

故數(shù)列為常數(shù)列勺=-;，

砧1

故02020=,

(2)解法一:若數(shù)列｛4｝是正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列,

貝iJa,,+i-a“=2?：-a“-l=(24,+l)(a,,-l)>0na“<-g(舍去)或q>1,

當(dāng)>1時，貝!]a,*1=2a：—1>1,

故若q>1,則數(shù)列｛??｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

綜上所述，q的取值范圍是(1,內(nèi)).

解法二：若數(shù)列｛〃“｝是正項(xiàng)單調(diào)遞增數(shù)列，

則對于任意幾.2,an+,-an=(2a^-1)-(2a^_t-1)=2(a?+a?_t)(an-a?_,)>0,且4,-41T>0,

又此時a“+《i>0,故/-q>0=-4-1>0=>4>1或4<-；(舍去)，

綜上所述，q的取值范圍是(l,+=o).

二.解答題(共7小題)

7.(2021秋?洛陽期中)已知數(shù)列｛《｝的前”項(xiàng)和為S,,,且a,=1,

+Sn=5?_,+4T(〃..2,"eN")?

(1)證明：數(shù)列｛'｝是等差數(shù)列；

a,

(2)若%+—匚…,對任意整數(shù)〃(〃..2)恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

幾％4

【解答】解：(1)證明:4ana?_,+S?=S?_,+a?_x(n..2,neN*),

可得4q,%+4,-%=0,

即有^------=4(”..2)>

a?%

則數(shù)列｛2｝是1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列;

an

(2)由(1)可得L=1+4(〃-1)=4〃-3,

a?

即有a=---,

"4"一3

ICl11—rzg14〃一4

由—4----..可得一?-----?4/7+1,

2。“十］244〃一3

畤京2),

令0=(4〃一3)(4〃+1)

4〃一4

則%-0=(4〃+1)(4〃-5)>0,

M+1"4n(n-l)

即有數(shù)列｛。,｝為遞增數(shù)列，

當(dāng)〃=2時，取得最小值，且為竺,

4

可得工,，竺，解得4<0或/L.f.

A445

即實(shí)數(shù)2的取值范圍為(-oo,0)|Jl福，田)-

8.(2021?內(nèi)江四模)已知函數(shù)f(x)=s-keT的圖象在x=O處的切線方程為y=》.

(1)求s,%的值；

(2)若g(x)=minx-ex+；x2-QTZ+1)X+1(，W>0),求函數(shù)〃(犬)=8(*)-/*)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若正項(xiàng)數(shù)列｛”"｝滿足q=g,%=*"&),證明：數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列.

【解答】解：⑴由題意得/(0)=0，/,(0)=1,

卜一女=0

則一，

[k=1

解得5=1,k=1；

(2)由(1)可得/⑺=1一,

由題意得〃(X)=加隊(duì)￥+；.*一(m+1)成￥>0),

/.h(X)=—+X-(A?7+1)=--------------,

XX

①當(dāng)Ovmvl時;令〃'(x)>0,JW得Ovxvm或1vx,

所以h(x)在(0,m)和(1,+00)上單調(diào)遞增;

令力解得機(jī)vxvl,

所以/l(x)在(九1)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)機(jī)=1時，/2'(力..0,則A(x)在。+?))上單調(diào)遞增;

③當(dāng)機(jī)>1時，令”(x)>0,解得Ovxvl或加<x,

所以〃(x)在(0,1)和(m,+oo)上單調(diào)遞增；

令〃'(x)vO,解得lv<vm,所以人(x)在(1,加)上單調(diào)遞減;

綜上：當(dāng)時，/7(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,，")和(1,”),

單調(diào)遞減區(qū)間是(見1);

當(dāng)〃?=1時,，/7(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8)；

當(dāng)機(jī)>1時，/?(X)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,1)和(加,”)，

單調(diào)遞減區(qū)間是(1,相).

(3)證明：正項(xiàng)數(shù)列｛an｝滿足%=*-"也)，

數(shù)列｛??)是遞減數(shù)列，等價為a?+l<%,

即為公〈浮,

即為，￡_<滑

\-e'a-

a

即e">an+\,

令t(x)=ex-x-l(x>0),

"(x)=e'-l>0(x>0)

.?」(x)是(0,卡功上的增函數(shù),

t(x)>f(0)=0,即e*>x+1,

a

故e->an+\,

是遞減數(shù)列.

2q,+〃,〃為奇數(shù)

9.(2021春?安徽期末)已知數(shù)列中，q=fQw—1),且。,用=1

a“一］〃,”為偶數(shù)

(1)證明:數(shù)列｛七“+1｝是等比數(shù)列;

(2)若數(shù)列｛4｝的前2〃項(xiàng)和為邑,：

①當(dāng)f=l時，求$2.；

②若｛邑“｝單調(diào)遞增，求/的取值范圍.

【解答】解：(1)證明：設(shè)仇,=%,+1,則偽=%+1,

=2。］+1=2r+1,

二.乙=2(7+1)w0,...(I分)

..b“+\_a25+i>+1_（2/"+i+2"+1）+1_[2（%-"）+2"+11+1_2（%+1）_2（

?bn%“+l%,+l%,+la2n+1

數(shù)列｛〃｝是公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列｛%,,+1｝是等比數(shù)列，…（4分）

bn=伉?2'i=2（/+1）.2"-'=（f+1）.2",

n

a2l,=a+l）.2-l,...（6分）

（2）由（I）得,%"=（/+1）?2"-1=2a2“_1+2〃—1>

；?…（7分）

，a，”-1+a?，，=3（f+1）?2"'—〃—1，...（8分）

S2n=（4+見）+（4+4）+...+（電+4”）>

=3（，+D?a+2+…+2?（1+2+...+〃）--3（，+1,7-噌."。分）

①當(dāng)f=l時，

...S?*=6（2"—1）—"（"；"=3x2‘m—“（"；3）—6；...（11分）

②單調(diào)遞增，

?■.邑“-$2"-2=3?+1卜2"-'-"-1>0對”..2且"WN"恒成立,...（12分）

即3?+1）>于「iaPn=^-,n..2,

miip,,p?n+2n+\-n0

川?+\~?=—^.--=下<，

.?.｛￡｝在n..2且“wN*單調(diào)遞減，…（14分）

D3

?<=5，

31

，3（/+1）>一，即，>——，

22

故f的取值范圍為（-,,長0）.…（16分）

2

10.（2021春?南昌期末）已知首項(xiàng)為正的數(shù)列｛〃"｝中，相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)，且前〃項(xiàng)和

S.=；（4「5）（q,+7）

（1）求證：數(shù)列｛”"｝為等差數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列［―!—1的前〃項(xiàng)和為7；,對一切正整數(shù)〃都有成立，求”的最大值.

【解答】（本小題12分）解：⑴證明：?.?S,=；（%-5）（a,,+7）,

-~(口”+1-5)(%+i+7)-；(4.5)(。“+7)，

二(4+1_an~2)(%+〃”)=()，

-'-an+>-a?=2^all,l+a?=0.

又相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)，

?,?%一”,,=2,

數(shù)列｛4｝為公差為2的等差數(shù)列.

(2)由&=：(4—5)(4+7)=q=7或4=—5,

?.?數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為正，，4=7,

由(1)得2=2〃+5,

___1__________1______——1(z____1_______1__)、

(2〃+5)(2〃+7)22〃+52〃+7

數(shù)列｛?；,｝（〃wN'）在口，+00）上是遞增數(shù)列.

又當(dāng)”=1時，7；=—

63

，要使得對于一切正整數(shù)”都有7；.成立，

只要M,上，所以”的最大值為

6363

11.（2021-天津一模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5,，且對一切正整數(shù)n都有S,,=/+.

(I)求證：。〃+1+。“=4"+2；

(II)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(III)是否存在實(shí)數(shù)。，使不等式(1-工)(1--!-)…2a；-3對一切正整數(shù)〃都成

q。2an2ayJ2n+1

立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1),.?S“="2+ga和￡N*),

%=Sn+i-Sn=[(〃+1)2】

11cl

=/a〃+i-/%+2〃+1，

；(%+cin)=2n+\,

a

即a〃+1+n=4〃+2,〃eN”.

(〃)在5“=〃2+3%(〃€*)中，

令〃=1,得q=2,代入(/)得生=4.

%+“”=4〃+2，an+2+a?+t=4n+6,

兩式相減，得：all+2-an=4,

???數(shù)列｛””｝的偶數(shù)項(xiàng)。2，%，%....46，…依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，

且公差為d=4,

.,.當(dāng)n為偶數(shù)時，an=a,+(―—\)d=2+4(——1)=2n>

當(dāng)〃為奇數(shù)時，”+1為偶數(shù)，由上式及(/)知:

an=4〃+2—all+l=4〃+2—2(〃+1)=2〃，

.??數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式是4,=2〃.

(///)(1--)(1

4a2%2。，2"+1

等價于J2〃+1(」)(1-〈生心

4a2an2a

令/(")=V2//+K1--)(1--),

qa2a?

則由(〃)知f(")>o,

V2/7+3(l--)(1-)(1——)

./(?+!)=4%4a,-

，(“)V2n+l(l—^)(1--)

4a2an

J2〃+3(1--

=4向

，2〃+l

J2”+3(1——1-)

"2n+2

J2〃+1

J(2〃+3)(2〃+1)

2，+2

J(2〃+2)2-l一，

2〃+2

/./(n+l)<f(n),即f(〃)的值隨〃的增大而減小,

時，〃”)的最大值為f(l)=*，若存在實(shí)數(shù)°,符合題意，

則必有：幺士〉近，

2a2

即2a2一怎3>0,

2a

它等價于a｛a一同a+亭>0,

解得<a<0,或“>石，

2

因此，存在實(shí)數(shù)。，符合題意，

其取值范圍為(-等,0)U(g，+8).

12.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，且對一切正整數(shù)〃都有5“=/+；%.

(1)證明：a〃+[+a“=4〃+2；

(2)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)