斐波那契數(shù)列

數(shù)學實驗》報告學院專業(yè)班級*************號：*****************斐波那契數(shù)列*******斐波那契數(shù)列*********姓名實驗名稱實驗日期

斐波那契數(shù)列1．目的：認識Fibonacci數(shù)列，體驗發(fā)現(xiàn)其通項公式的過程；了解matlab軟件中進行數(shù)據(jù)顯示與數(shù)據(jù)擬合的方式；掌握matlab軟件中plot,polyfit等函數(shù)的基本用法提高對數(shù)據(jù)進行分析與處理的能力。2．任務1.討論數(shù)列a=a+1十a,a=1的變化規(guī)律。n+1 n n1（1） 在平面坐標系中畫出數(shù)列變化的折線圖；（2） 觀察圖形，你認為數(shù)列的極限是什么；（3） 觀察圖形，尋找恰當?shù)暮瘮?shù)去擬合這個數(shù)列2..討論調和級數(shù)的n=12..討論調和級數(shù)的n=1n1）畫出部分和數(shù)列變化規(guī)律。'n〉變化的折線圖，觀察變化規(guī)律;（2）引入數(shù)列：H=S2-S，作圖觀察其變化，猜測是否有n2nn極限；（3） 引入數(shù)列：G=S，作圖觀察其變化，尋找恰當?shù)暮瘮?shù)擬n 2n4）調和級數(shù)的部分和數(shù)列的變化規(guī)律是什么？3．實驗過程

1）討論數(shù)列a=a+1十a,a=1的變化規(guī)律。n+1 n n1（1）在平面坐標系中畫出數(shù)列變化的折線圖；程序：functionplotan（n）%定義函數(shù)顯示an數(shù)列前n項an=[1];fori=2:n%將數(shù)列的前1項放到數(shù)組an中%an的第2項到第n項an=[an,an(i-1)+1./an(i-1)];%將第i項添加到數(shù)組an中endplot(an)%循環(huán)結束%將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來當n=10時，圖像如下:當n=100時，圖像如下:

當n=1000時，圖像如下:2)觀察圖形，你認為數(shù)列的極限是什么；答：從圖形中，我可看出，該數(shù)列an隨著n的增大不斷增大，雖然增長速度先減少，但最終趨近于一個定值，因而該數(shù)列極限不存在。(3)觀察圖形，尋找恰當?shù)暮瘮?shù)去擬合這個數(shù)列；a=AnB假設這個數(shù)列滿足冪函數(shù)，即n ，則log(a)=Blog(n)+logAn驗證假設程序如下：functionplotmian(n)%顯示取對數(shù)后的前n項an=[1];x=1:n %將數(shù)列的前1項放到數(shù)組an中fori=2:n %an的第2項到第n項an=[an,an(i-1)+1./an(i-1)];%將第i項添加到數(shù)組an中end %循環(huán)結束an=log(an) %將原來的數(shù)據(jù)取對數(shù)plot(log(x),an) %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來xlabel('log(n)');ylabel('log(an)');當n=1000時，圖像如下:

有圖像分析可知該函數(shù)圖象滿足直線關系，故可猜測an滿足幕函數(shù)關系。獲得數(shù)據(jù)的近似關系式程序如下：functionfitlogan(n)%根據(jù)取對數(shù)后的數(shù)據(jù)，擬合出線性表達式an=[1];xn=1:n;%將數(shù)列的前兩項放到數(shù)組an中%定義橫坐標fori=2:n %an的第2項到第n項an=[an,an(i-1)+1./an(i-1)];%將第i項添加到數(shù)組an中end %循環(huán)結束an=log(an); %將原來的數(shù)據(jù)取對數(shù)xn=log(xn); %將原來的數(shù)據(jù)取對數(shù)p=polyfit(xn,an,1) %擬合裝有數(shù)列前n項的數(shù)組運行結果：>>fitlogan(lOO)P=0.5106 0.3146>>fitlogan(lOOO)P二0.4993 0.3530這個函數(shù)的調用方式是：fitlogan(100)，運行后返回結果是0.5106，0.3146。這兩個數(shù)據(jù)就是一階多項式的系數(shù)，即：log(a)?0.51061og(n)+0.3146n為了提高精度，可以加大n的值。取n=1000時得到：log(a)?0.4993log(n)+0.3530n從上面的表達式，可以得到數(shù)列通項公式的近似：a沁1.4242Xn0.4993n觀察擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的吻合程度functionplotan2(n)%顯示擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的前n項an1=[]; %裝擬合數(shù)據(jù)的數(shù)組

fori=1:n%fn1的第1項到第n項anl二[anl,1.4242*i."0.4993]; %將第i項添加到數(shù)組an1中endan2=[l];fori=2:n%裝原始數(shù)據(jù)的數(shù)組，前兩項放到數(shù)fn2中%fn2的第3項到第n項an2二[an2,an2(i-l)+l./an2(i-l)];%將第i項添加到數(shù)組an2中endx=1:n;plot(x,anl,x,an2,'r*') %顯示，anl—蘭線，an2一紅星運行結果：綜上所述：可得an通項公式為：J沁L4242Xn0.4993812)討論調和級數(shù)的Y_變化規(guī)律。nn=1(1)畫出部分和數(shù)列變化的折線圖，觀察變化規(guī)律；程序：functionplotsn(n)%定義函數(shù)顯示sn數(shù)列前n項sn=[1]; %將數(shù)列的前1項放到數(shù)組sn中fori=2:n %sn的第2項到第n項sn=[sn,sn(i-1)+1./i]; %將第i項添加到數(shù)組sn中end %循環(huán)結束plot(sn) %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來運行結果：當n=10時，圖像如下:

當n=100時，圖像如下:

(2)引入數(shù)列：H=S2-S，作圖觀察其變化，猜測是否有極限;n2n n程序:functionplothn(n)%定義函數(shù)顯示sn數(shù)列前n項sn=[1]; %將數(shù)列的前1項放到數(shù)組sn中fori=2:2*n %sn的第2項到第2n項sn=[sn,sn(i-1)+1./i];%將第i項添加到數(shù)組sn中endhn=[0.5];fori=2:nfn=sn(2*i)-sn(i);hn=[hn,fn];end %循環(huán)結束plot(hn) %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來運行結果：當n=10時，圖像如下:當n=100時，圖像如下:

當n=1000時，圖像如下:分析：由圖像可看出，Hn隨著n的增大逐漸趨于0.7左右的常數(shù)，故可推測H存在極限(3)引入數(shù)列:GnS2n，作圖觀察其變化，尋找恰當?shù)暮瘮?shù)擬合;程序：functionplotgn(n)%定義函數(shù)顯示sn數(shù)列前n項sn=[1]; %將數(shù)列的前1項放到數(shù)組sn中fori=2:2"n %sn的第2項到第2"n項sn二[sn,sn(i-l)+l/i]; %將第i項添加到數(shù)組sn中endgn=[1.5];fori=2:nfn=sn(2^i);gn=[gn,fn];end %循環(huán)結束plot(gn); %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來運行結果：當n=5時，圖像如下:

當n=10時，圖像如下:分析：有圖像可看出Gn函數(shù)滿足直線，故推測其為直線關系，故用一次函數(shù)擬合。程序：擬合gn，代碼如下：functionplotgn(n)%定義函數(shù)顯示sn數(shù)列前n項sn=[1]; %將數(shù)列的前1項放到數(shù)組sn中fori=2:2"n %sn的第2項到第2"n項sn=[sn,sn(i-1)+1/i];%將第i項添加到數(shù)組sn中endgn=[1.5];fori=2:nfn二sn(2"i);gn=[gn,fn];end %循環(huán)結束plot(gn); %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來xn=1:n;polyfit(xn,gn,1)當n=10時，如下：ans二0.6733 0.7338觀察擬合程度，代碼如下：functionplotnih2(n)fn1=[];fori=1:nfn1=[fn1,0.6733*i+0.7338];endsn=[1]; %將數(shù)列的前1項放到數(shù)組sn中fori=2:2"n %sn的第2項到第2"n項sn=[sn,sn(i-1)+1/i]; %將第i項添加到數(shù)組sn中

endgn=[1.5];fori=2:nfn二sn(2"i);gn=[gn,fn];endx=1:n;plot(x,fn1,x,gn,'r*')當n=10時，圖像如下:故得擬合函數(shù)為：Gn=0.6733n+0.73384)調和級數(shù)的部分和數(shù)列的變化規(guī)律是什么？總結分析：1、調和級數(shù)的部分和數(shù)列｛Sn｝為遞增序列，并且｛Sn｝的增長速率逐漸放緩，但不收斂；證明如下：證：根據(jù)不等式x〉In(1+x),(x〉0)，得Sn=l+l/2+l/3+ +1/n〉ln(1+