八年級(jí)上數(shù)學(xué)-全等三角形典型例題一

-.z.全等三角形典型例題：例1：把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖1放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)F．求證：AF⊥BE．AAFBCED練習(xí)1：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，請(qǐng)你求出DE的長(zhǎng)度。例2：△DAC,△EBC均是等邊三角形，AE,BD分別與CD,CE交于點(diǎn)M,N,EE求證：〔1〕AE=BD；(2)CM=；(3)△CMN為等邊三角形；〔4〕MN∥BC。EEDDACBNM例3：〔10分〕，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過(guò)A任作一直線l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，觀察三條線段BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．⑴如圖1，當(dāng)l經(jīng)過(guò)BC中點(diǎn)時(shí)，DE=〔1分〕，此時(shí)BDCE〔1分〕．⑵如圖2，當(dāng)l不與線段BC相交時(shí)，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為，并證明你的結(jié)論．〔3分〕⑶如圖3，當(dāng)l與線段BC相交，交點(diǎn)靠近B點(diǎn)時(shí)，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為．證明你的結(jié)論〔4分〕，并畫(huà)圖直接寫出交點(diǎn)靠近C點(diǎn)時(shí)，BD，CE，DE三者的數(shù)量關(guān)系為．〔1分〕ABCABCDElABClEDAlBC圖1圖2圖3練習(xí)1：以直角三角形ABC的兩直角邊AB、BC為一邊，分別向外作等邊三角形△ABE和等邊△BCF，連結(jié)EF、EC。試說(shuō)明：〔1〕EF＝EC；〔2〕EB⊥CF練習(xí)2：如圖〔1〕A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，過(guò)E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC假設(shè)AB=CD，G是EF的中點(diǎn)嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論。假設(shè)將⊿ABC的邊EC經(jīng)AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D〔2〕時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？圖5例四：如圖1，，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°圖5問(wèn)BD=AB+ED嗎"[分析]：〔1〕但凡題中的垂直往往意味著會(huì)有一組90°角，得到一組等量關(guān)系；圖6圖6〔3〕由全等得到邊相等之后，還要繼續(xù)往下面想，這幾組相等的邊能否組合在一起：如如圖6，除了得到三組對(duì)應(yīng)邊相等之外，還可以得到AC=BD。解答過(guò)程：得到△ABC≌CDE之后，可得到BC=DE，AB=CD∴BC+CD=DE+AB〔等式性質(zhì)〕圖7即：BD=AB+DE圖7[變形1]：如圖7，如果△ABC≌△CDE，請(qǐng)說(shuō)明AC與CE的關(guān)系。[注意]：兩條線段的關(guān)系包括：大小關(guān)系〔相等，一半，兩倍之類〕位置關(guān)系〔垂直，平行之類〕[變形2]：如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作FA⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DE=BF[分析]：注意圖形中有多個(gè)直角，利用同角的余角相等或等式性質(zhì)可到一組銳角相等。[變形3]：如圖8，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥AE，CE⊥AE，圖8圖8[分析]：說(shuō)明相等的邊所在的三角形全等，題中"AB=AC〞，發(fā)現(xiàn)：AB在Rt△ABD中，AC在Rt△CAE中，所以嘗試著去找條件，去說(shuō)明它們所在的兩個(gè)Rt△全等〔如圖9〕于是：已經(jīng)存在了兩組等量關(guān)系：AB=AC，直角=直角，再由多個(gè)垂直利用同角的余角相等，得到第三組等量關(guān)系。解：由題意可得：在Rt△ABD中，∠1+∠ABD=90°〔直角三角形的兩個(gè)銳角互余〕1圖9又∵∠BAC=90°〔〕，即∠1+∠1圖9∴∠ABD=∠CAE〔等角的余角相等〕故在△ABD與△CAE中，∠BDA=∠AEC=90°〔垂直定義〕∠ABD=∠CAE〔已求〕AB=AC〔〕∴△ABD≌△CAE〔AAS〕∴AE=BD=7，AD=EC=3〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕∴DE=AEAD=73=4[變形4]：在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E?！?〕當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9的位置時(shí)，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。你能說(shuō)出其中的道理嗎？〔2〕當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí)，DE=AD-BE。說(shuō)說(shuō)你的理由。圖12圖11〔3〕當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖圖12圖11圖圖1012等腰三角形、等邊三角形的全等問(wèn)題12[必備知識(shí)]：如右圖，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之，也成立。例五：在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，請(qǐng)問(wèn)BD=CE嗎？[分析]這類題目的難點(diǎn)在于，需要將本來(lái)就存在于同一個(gè)三角形中的一組相等的邊，分別放入兩個(gè)三角形中，看成是一組三角形的對(duì)應(yīng)邊，∴題目中所給的△ABC與△ADE是用來(lái)干擾你的思路的，應(yīng)該去想如何把兩組相等的邊聯(lián)系到一起，加上所求的"BD=CE〞，你會(huì)發(fā)現(xiàn)BD在△ABD中，CE在△ACE中，這樣一來(lái)，"AB=AC〞可以理解為：AB在△ABD中，AC在△ACE中，它們是一組對(duì)應(yīng)邊；"AD=AE〞可以理解為：AD在△ABD中，AE在△ACE中，它們是一組對(duì)應(yīng)邊；2121圖13關(guān)鍵還是在于：說(shuō)明"相等的邊〔角〕所在的三角形全等〞解：∵∠1=∠2〔〕∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD〔等式性質(zhì)〕即：∠BAD=∠CAE∴在△ABD與△ACE中，AB=AC〔〕∠BAD=∠CAE〔已求〕AD=AE21圖14∴△ABD21圖14∴BD=CE〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕[變形1]：如圖14，∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，請(qǐng)說(shuō)明△ABD≌△ACE.嗎？為什么？[分析]：例三是兩組邊相等，放入一組三角形中，利用SAS說(shuō)明全等，此題是兩組角相等，則該如何做呢"[變形2]：過(guò)點(diǎn)A分別作兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形，連接BD，CE，請(qǐng)說(shuō)明它們相等。圖15[分析]：此題實(shí)際上是例三的變形，只不過(guò)將等腰三角形換成了等邊三角形，只要你根據(jù)所求問(wèn)題，把BD看成在△ABD的一邊，CE看成△ACE的一邊，自然就得到了證明的方向。圖15解：∵△ABC與△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD〔等式性質(zhì)〕即：∠BAD=∠CAE接下來(lái)的過(guò)程與例三完全一致，不予描述！接下來(lái)的過(guò)程與例三完全一致，不予描述！圖16[變形3]：如圖16—18，還是剛剛的條件，把右側(cè)小等邊三角形的位置稍加變化，，連接BD，CE，請(qǐng)說(shuō)明它們相等圖16這里僅以圖17進(jìn)展說(shuō)明解：∵△ABC與△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE∠BAC=∠DAE=60°圖17∴∠BAC∠CAD=∠DAE∠CAD【僅這步有差異】圖17即：∠BAD=∠BAD=∠CAE∴在△ABD與△ACE中，AB=AC〔〕∠BAD=∠CAE〔已求〕AD=AE圖18∴△ABD≌△ACE〔SAS〕圖18∴BD=CE〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕圖16，圖18的類型，請(qǐng)同學(xué)們自己去完成[變形4]：如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N．求證：；[分析]：和上面相比，只不過(guò)等邊三角形換成正方形，60°換成直角了，思路一樣例六：如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)