公務(wù)員考試常用數(shù)學(xué)公式匯總完整打印版

-.z.公務(wù)員考試常用數(shù)學(xué)公式匯總(完整版)一、根底代數(shù)公式1.平方差公式：〔a＋b〕×〔a－b〕＝a2－b22.完全平方公式：〔a±b〕2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：〔a±b〕3=〔a±b〕(a2ab+b2)3.同底數(shù)冪相乘:am×an＝am＋n〔m、n為正整數(shù)，a≠0〕同底數(shù)冪相除：am÷an＝am－n〔m、n為正整數(shù)，a≠0〕a0＝1〔a≠0〕a-p＝〔a≠0，p為正整數(shù)〕4.等差數(shù)列：〔1〕sn＝＝na1+n(n-1)d；〔2〕an＝a1＋〔n－1〕d；〔3〕n＝＋1；〔4〕假設(shè)a,A,b成等差數(shù)列，則：2A＝a+b；〔5〕假設(shè)m+n=k+i，則：am+an=ak+ai；〔其中：n為項(xiàng)數(shù)，a1為首項(xiàng)，an為末項(xiàng)，d為公差，sn為等差數(shù)列前n項(xiàng)的和〕5.等比數(shù)列：〔1〕an＝a1q－1；〔2〕sn＝〔q1〕〔3〕假設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，則：G2＝ab；〔4〕假設(shè)m+n=k+i，則：am·an=ak·ai；〔5〕am-an=(m-n)d〔6〕＝q(m-n)〔其中：n為項(xiàng)數(shù)，a1為首項(xiàng)，an為末項(xiàng)，q為公比，sn為等比數(shù)列前n項(xiàng)的和〕6.一元二次方程求根公式：a*2+b*+c=a(*-*1)(*-*2)其中：*1=；*2=〔b2-4ac0〕根與系數(shù)的關(guān)系：*1+*2=-，*1·*2=二、根底幾何公式1.三角形：不在同一直線上的三點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形；三角形內(nèi)角和等于180°；三角形中任兩邊之和大于第三邊、任兩邊之差小于第三邊；〔1〕角平分線：三角形一個(gè)的角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形的角的平分線。〔2〕三角形的中線：連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線?！?〕三角形的高：三角形一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊所在直線的垂線段，叫做三角形的高?！?〕三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線?！?〕內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心；內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。重心：中線的交點(diǎn)叫做重心；重心到每邊中點(diǎn)的距離等于這邊中線的三分之一。垂線：高線的交點(diǎn)叫做垂線；三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線必垂直于對(duì)邊。外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。直角三角形：有一個(gè)角為90度的三角形，就是直角三角形。

直角三角形的性質(zhì)：〔1〕直角三角形兩個(gè)銳角互余；〔2〕直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

〔3〕直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，則它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

〔4〕直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的銳角是30°；

〔5〕直角三角形中，c2＝a2＋b2〔其中：a、b為兩直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)〕；〔6〕直角三角形的外接圓半徑，同時(shí)也是斜邊上的中線；直角三角形的判定：〔1〕有一個(gè)角為90°；〔2〕邊上的中線等于這條邊長(zhǎng)的一半；〔3〕假設(shè)c2＝a2＋b2，則以a、b、c為邊的三角形是直角三角形；2.面積公式：正方形＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)；長(zhǎng)方形＝長(zhǎng)×寬；三角形＝×底×高；梯形＝；圓形＝R2平行四邊形＝底×高扇形＝R2正方體＝6×邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)長(zhǎng)方體＝2×〔長(zhǎng)×寬＋寬×高＋長(zhǎng)×高〕；圓柱體＝2πr2＋2πrh；球的外表積＝4R23.體積公式正方體＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)；長(zhǎng)方體＝長(zhǎng)×寬×高；圓柱體＝底面積×高＝Sh＝πr2h圓錐＝πr2h球＝4.與圓有關(guān)的公式設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：〔1〕d﹤r：點(diǎn)在圓內(nèi)〔即圓的內(nèi)部是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合〕；〔2〕d＝r：點(diǎn)在圓上〔即圓上局部是到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)的集合〕；〔3〕d﹥r(jià)：點(diǎn)在圓外〔即圓的外部是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合〕；線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定：如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，則：〔1〕直線與⊙O相交：d﹤r；〔2〕直線與⊙O相切：d＝r；〔3〕直線與⊙O相離：d﹥r(jià)；圓與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定：設(shè)兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，則：〔1〕兩圓外離：；〔2〕兩圓外切：；〔3〕兩圓相交：〔〕；〔4〕兩圓內(nèi)切：〔〕；〔5〕兩圓內(nèi)含：〔〕．圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR＝πd〔其中R為圓半徑，d為圓直徑，π≈3.1415926≈〕；的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：＝；扇形的面積：〔1〕S扇＝πR2；〔2〕S扇＝R；假設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則它的側(cè)面積：S側(cè)＝πr；圓錐的體積：V＝Sh＝πr2h。三、其他常用知識(shí)1．2*、3*、7*、8*的尾數(shù)都是以4為周期進(jìn)展變化的；4*、9*的尾數(shù)都是以2為周期進(jìn)展變化的；另外5*和6*的尾數(shù)恒為5和6，其中*屬于自然數(shù)。2．對(duì)任意兩數(shù)a、b，如果a－b＞0，則a＞b；如果a－b＜0，則a＜b；如果a－b＝0，則a＝b。當(dāng)a、b為任意兩正數(shù)時(shí)，如果a/b＞1，則a＞b；如果a/b＜1，則a＜b；如果a/b＝1，則a＝b。當(dāng)a、b為任意兩負(fù)數(shù)時(shí)，如果a/b＞1，則a＜b；如果a/b＜1，則a＞b；如果a/b＝1，則a＝b。對(duì)任意兩數(shù)a、b，當(dāng)很難直接用作差法或者作商法比擬大小時(shí)，我們通常選取中間值C，如果a＞C，且C＞b，則我們說(shuō)a＞b。3．工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間；工作效率＝工作量÷工作時(shí)間；工作時(shí)間＝工作量÷工作效率；總工作量＝各分工作量之和；注：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常設(shè)總工作量為1。4．方陣問(wèn)題：〔1〕實(shí)心方陣：方陣總?cè)藬?shù)＝〔最外層每邊人數(shù)〕2最外層人數(shù)＝〔最外層每邊人數(shù)－1〕×4〔2〕空心方陣：中空方陣的人數(shù)＝〔最外層每邊人數(shù)〕2-〔最外層每邊人數(shù)-2×層數(shù)〕2＝〔最外層每邊人數(shù)-層數(shù)〕×層數(shù)×4=中空方陣的人數(shù)。例：有一個(gè)3層的中空方陣，最外層有10人，問(wèn)全陣有多少人？解：〔10－3〕×3×4＝84〔人〕5．利潤(rùn)問(wèn)題：〔1〕利潤(rùn)＝銷售價(jià)〔賣出價(jià)〕－本錢；利潤(rùn)率＝＝＝－1；銷售價(jià)＝本錢×〔1＋利潤(rùn)率〕；本錢＝?！?〕單利問(wèn)題利息＝本金×利率×?xí)r期；

本利和＝本金＋利息＝本金×〔1+利率×?xí)r期〕；

本金＝本利和÷〔1+利率×?xí)r期〕。

年利率÷12=月利率；

月利率×12=年利率。例：*人存款2400元，存期3年，月利率為10．2‰〔即月利1分零2毫〕，三年到期后，本利和共是多少元？〞解：用月利率求。3年=12月×3=36個(gè)月2400×〔1+10．2％×36〕=2400×1．3672=3281．28〔元〕6．排列數(shù)公式：P＝n〔n－1〕〔n－2〕…〔n－m＋1〕，〔m≤n〕組合數(shù)公式：C＝P÷P＝〔規(guī)定＝1〕。"裝錯(cuò)信封〞問(wèn)題：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，7.年齡問(wèn)題：關(guān)鍵是年齡差不變；幾年后年齡＝大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡幾年前年齡＝小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差8.日期問(wèn)題：閏年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，閏年時(shí)候2月份29天，平年2月份是28天。9.植樹(shù)問(wèn)題〔1〕線形植樹(shù)：棵數(shù)＝總長(zhǎng)間隔＋1〔2〕環(huán)形植樹(shù)：棵數(shù)＝總長(zhǎng)間隔〔3〕樓間植樹(shù)：棵數(shù)＝總長(zhǎng)間隔－1〔4〕剪繩問(wèn)題：對(duì)折N次，從中剪M刀，則被剪成了〔2N×M＋1〕段10.雞兔同籠問(wèn)題：雞數(shù)＝〔兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)〕÷〔兔腳數(shù)-雞腳數(shù)〕〔一般將"每〞量視為"腳數(shù)〞〕得失問(wèn)題〔雞兔同籠問(wèn)題的推廣〕：不合格品數(shù)＝〔1只合格品得分?jǐn)?shù)×產(chǎn)品總數(shù)-實(shí)得總分?jǐn)?shù)〕÷〔每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)〕＝總產(chǎn)品數(shù)-〔每只不合格品扣分?jǐn)?shù)×總產(chǎn)品數(shù)+實(shí)得總分?jǐn)?shù)〕÷〔每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)〕例："燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記4分，每生產(chǎn)一個(gè)不合格品不僅不記分，還要扣除15分。*工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問(wèn)其中有多少個(gè)燈泡不合格？〞解：〔4×1000-3525〕÷〔4+15〕=475÷19=25〔個(gè)〕11．盈虧問(wèn)題：〔1〕一次盈，一次虧：〔盈+虧〕÷〔兩次每人分配數(shù)的差〕=人數(shù)〔2〕兩次都有盈：〔大盈-小盈〕÷〔兩次每人分配數(shù)的差〕=人數(shù)〔3〕兩次都是虧：〔大虧-小虧〕÷〔兩次每人分配數(shù)的差〕=人數(shù)〔4〕一次虧，一次剛好：虧÷〔兩次每人分配數(shù)的差〕=人數(shù)〔5〕一次盈，一次剛好：盈÷〔兩次每人分配數(shù)的差〕=人數(shù)例："小朋友分桃子，每人10個(gè)少9個(gè)，每人8個(gè)多7個(gè)。問(wèn)：有多少個(gè)小朋友和多少個(gè)桃子？〞

解〔7+9〕÷〔10-8〕=16÷2=8〔個(gè)〕………………人數(shù)

10×8-9=80-9=71〔個(gè)〕………………桃子12.行程問(wèn)題：〔1〕平均速度：平均速度＝〔2〕相遇追及：相遇〔背離〕：路程÷速度和＝時(shí)間追及：路程÷速度差＝時(shí)間〔3〕流水行船：順?biāo)俣龋酱伲?；逆水速度＝船速－水速。兩船相向航行時(shí)，甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度

兩船同向航行時(shí)，后〔前〕船靜水速度-前〔后〕船靜水速度=兩船距離縮小〔拉大〕速度?！?〕火車過(guò)橋：列車完全在橋上的時(shí)間＝〔橋長(zhǎng)－車長(zhǎng)〕÷列車速度列車從開(kāi)場(chǎng)上橋到完全下橋所用的時(shí)間＝〔橋長(zhǎng)＋車長(zhǎng)〕÷列車速度〔5〕屢次相遇：相向而行，第一次相遇距離甲地a千米，第二次相遇距離乙地b千米，則甲乙兩地相距S＝3a-b〔千米〕〔6〕鐘表問(wèn)題：鐘面上按"分針〞分為60小格，時(shí)針的轉(zhuǎn)速是分針的，分針每小時(shí)可追及時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180o22次。時(shí)分秒重疊2次13．容斥原理：A＋B=+A+B+C=+++-其中，＝E14．牛吃草問(wèn)題：原有草量＝〔牛數(shù)－每天長(zhǎng)草量〕×天數(shù)，其中：一般設(shè)每天長(zhǎng)草量為*2012國(guó)家公務(wù)員考試行測(cè)備考數(shù)量關(guān)系萬(wàn)能解法：文氏圖

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使*些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。

縱觀近幾年公務(wù)員考試真題，無(wú)論是國(guó)考還是地方考試，集合問(wèn)題作為一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題幾乎每年都會(huì)考到，此類題目的特點(diǎn)是總體難度不大，只要方法得當(dāng)，一般都很容易求解。下面為大家介紹用數(shù)形結(jié)合方法解這類題的經(jīng)典方法：文氏圖。

一般來(lái)說(shuō)，考試中?？嫉募详P(guān)系主要有下面兩種：

1.并集∪定義：取一個(gè)集合，設(shè)全集為I，A、B是I中的兩個(gè)子集，由所有屬于A或?qū)儆贐的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，表示：A∪B。

比方說(shuō)，現(xiàn)在要挑選一批人去參加籃球比賽。條件A是，這些人年齡要在18歲以上，條件B是，這些人身高要在180CM以上，則符合條件的人就是取條件A和B的并集，就是兩個(gè)條件都符合的人：18歲以上且身高在180CM以上。

2.交集∩定義：〔交就是取兩個(gè)集合共同的元素〕A和B的交集是含有所有既屬于A又屬于B的元素，而沒(méi)有其他元素的集合。A和B的交集寫(xiě)作"A∩B〞。形式上：*屬于A∩B當(dāng)且僅當(dāng)*屬于A且*屬于B。

例如：集合{1，2，3}和{2，3，4}的交集為{2，3}。數(shù)字9不屬于素?cái)?shù)集合{2，3，5，7，11}和奇數(shù)集合{1，3，5，7，9，11｝的交集。假設(shè)兩個(gè)集合A和B的交集為空，就是說(shuō)他們沒(méi)有公共元素，則他們不相交。

〔I〕取一個(gè)集合，設(shè)全集為I，A、B是I中的兩個(gè)子集，*為A和B的相交局部，則集合間有如下關(guān)系：

A∩B＝*，A＋B＝A∪B－*；文氏圖如下列圖。

下面讓我們回憶一下歷年國(guó)考和地方真題，了解一下文氏圖的一些應(yīng)用。

例：如下列圖所示，*、Y、Z分別是面積為64、180、160的三個(gè)不同形狀的紙片，它們局部重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290，且*與Y、Y與Z、Z與*重疊局部面積分別為24、70、36，問(wèn)陰影局部的面積是多少？〔〕

A.15

B.16

C.14

D.18

【答案：B】從題干及提供的圖我們可以看出，所求的陰影局部的面積即〔II〕中的*，直接套用上述公式，我們可以得到：*∪Y∪Z＝64+180+160，*∩Z＝24，*∩Y＝36，Y∩Z＝70，則：*＝*∪Y∪Z－[*＋Y＋Z－*∩Z－*∩Y－Y∩Z]＝290－[64＋180＋160－24－70－36]＝16

從圖上可以清楚的看到，所求的陰影局部是*，Y，Z這三個(gè)圖形的公共局部。即圖1中的*，由題意有：64＋180＋160－24－70－36＋*＝290，解得*＝16。

例：旅行社對(duì)120人的調(diào)查顯示，喜歡爬山的與不喜歡爬山的人數(shù)比為5：3，喜歡游泳的與不喜歡游泳的人數(shù)比為7：5，兩種活動(dòng)都喜歡的有43人，對(duì)這兩種活動(dòng)都不喜歡的人數(shù)是〔〕。

A.18B.27C.28D.32

【答案：A】欲求兩種活動(dòng)都喜歡的人數(shù)，我們可以先求出兩種活動(dòng)都不喜歡的人數(shù)。套用〔I〕中的公式：喜歡爬山的人數(shù)為120×58＝75，可令A(yù)＝75；喜歡游泳的人數(shù)為120×712＝70，可令B＝70；兩種活動(dòng)都喜歡的有43人，即A∩B＝43，故兩項(xiàng)活動(dòng)至少喜歡一個(gè)的人數(shù)為75＋70－43＝102人，即A∪B＝105，則兩種活動(dòng)都不喜歡的人數(shù)為120－102＝18〔人〕。

例：*外語(yǔ)班的30名學(xué)生中，有8人學(xué)習(xí)英語(yǔ)，12人學(xué)習(xí)日語(yǔ)，3人既學(xué)英語(yǔ)也學(xué)日語(yǔ)，問(wèn)有多少人既不學(xué)英語(yǔ)又沒(méi)學(xué)日語(yǔ)？〔〕

A.12B.13C.14D.15

【答案：B】題中要求的是既不學(xué)英語(yǔ)又不學(xué)日語(yǔ)的人數(shù)，我們可以先求出既學(xué)英語(yǔ)又學(xué)日語(yǔ)的人數(shù)。總?cè)藬?shù)減去既學(xué)英語(yǔ)又學(xué)日語(yǔ)的人數(shù)即為所求的人數(shù)。套用上面的公式可知，即學(xué)英語(yǔ)也學(xué)日語(yǔ)的人數(shù)為8＋12－3＝17，則既不學(xué)英語(yǔ)又沒(méi)學(xué)日語(yǔ)的人數(shù)是：30－〔8＋12－3〕＝13。

例：電視臺(tái)向100人調(diào)查昨天收看電視情況，有62人看過(guò)2頻道，34人看過(guò)8頻道，11人兩個(gè)頻道都看過(guò)。問(wèn)，兩個(gè)頻道都沒(méi)有看過(guò)的有多少人？〔〕

A．4B．15C．17D．28答案：B】此題解法同上，直接套用上述公式求出既看過(guò)2頻道又看過(guò)8頻道的人數(shù)為62＋34－11＝85人，則兩個(gè)頻道都沒(méi)看過(guò)的有100－85＝15人。就我自己考試經(jīng)歷而言，其實(shí)沒(méi)有快速方法，唯有多練習(xí)，下面的可以參考一下在排列組合中，有三種特別常用的方法：捆綁法、插空法、插板法。一、捆綁法精要：所謂捆綁法，指在解決對(duì)于*幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間順序。提醒：其首要特點(diǎn)是相鄰，其次捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問(wèn)題中。二、插空法精要：所謂插空法，指在解決對(duì)于*幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。提醒：首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法一般應(yīng)用在排序問(wèn)題中。三、插板法精要：所謂插板法，指在解決假設(shè)干一樣元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。文總結(jié)了數(shù)學(xué)運(yùn)算排列組合解題法則，幫助廣闊備考2011年**公務(wù)員考試的考生了解排列組合常見(jiàn)問(wèn)題及解題方法。

一、捆綁法精要：所謂捆綁法，指在解決對(duì)于*幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間順序。

提醒：其首要特點(diǎn)是相鄰，其次捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問(wèn)題中。

【例題】有10本不同的書(shū)：其中數(shù)學(xué)書(shū)4本，外語(yǔ)書(shū)3本，語(yǔ)文書(shū)3本。假設(shè)將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有()種。

解析：這是一個(gè)排序問(wèn)題，書(shū)本之間是不同的，其中要求數(shù)學(xué)書(shū)和外語(yǔ)書(shū)都各自在一起。為快速解決這個(gè)問(wèn)題，先將4本數(shù)學(xué)書(shū)看做一個(gè)元素，將3本外語(yǔ)書(shū)看做一個(gè)元素，然后和剩下的3本語(yǔ)文書(shū)共5個(gè)元素進(jìn)展統(tǒng)一排序，方法數(shù)為，然后排在一起的4本數(shù)學(xué)書(shū)之間順序不同也對(duì)應(yīng)最后整個(gè)排序不同，所以在4本書(shū)內(nèi)部也需要排序，方法數(shù)為，同理，外語(yǔ)書(shū)排序方法數(shù)為。而三者之間是分步過(guò)程，故而用乘法原理得。

【例題】5個(gè)人站成一排，要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法"

解析：先將甲乙兩人看成1個(gè)人，與剩下的3個(gè)人一起排列，方法數(shù)為，然后甲乙兩個(gè)人也有順序要求，方法數(shù)為，因此站隊(duì)方法數(shù)為。

【練習(xí)】一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少不同的安排節(jié)目的順序"

注釋：運(yùn)用捆綁法時(shí)，一定要注意捆綁起來(lái)的整體內(nèi)部是否存在順序的要求，有的題目有順序的要求，有的則沒(méi)有。如下面的例題。

【例題】6個(gè)不同的球放到5個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法"

解析：按照題意，顯然是2個(gè)球放到其中一個(gè)盒子，另外4個(gè)球分別放到4個(gè)盒子中，因此方法是先從6個(gè)球中挑出2個(gè)球作為一個(gè)整體放到一個(gè)盒子中，然后這個(gè)整體和剩下的4個(gè)球分別排列放到5個(gè)盒子中，故方法數(shù)是。

二、插空法精要：所謂插空法，指在解決對(duì)于*幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。

提醒：首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法一般應(yīng)用在排序問(wèn)題中。

【例題】假設(shè)有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法"

解析：題中要求AB兩人不站在一起，所以可以先將除A和B之外的3個(gè)人排成一排，方法數(shù)為，然后再將A和B分別插入到其余3個(gè)人排隊(duì)所形成的4個(gè)空中，也就是從4個(gè)空中挑出兩個(gè)并排上兩個(gè)人，其方法數(shù)為，因此總方法數(shù)。

【例題】8個(gè)人排成一隊(duì)，要求甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，有多少種方法"

解析：甲乙相鄰，可以捆綁看作一個(gè)元素，但這個(gè)整體元素又和丙不相鄰，所以先不排這個(gè)甲乙丙，而是排剩下的5個(gè)人，方法數(shù)為，然后再將甲乙構(gòu)成的整體元素及丙這兩個(gè)元素插入到此前5人所形成的6個(gè)空里，方法數(shù)為，另外甲乙兩個(gè)人內(nèi)部還存在排序要求為。故總方法數(shù)為。

【練習(xí)】5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排，要求女生不能相鄰，有多少種方法"

注釋：將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注釋是否能夠插入兩端位置。

【例題】假設(shè)有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，且A和B不能站在兩端，則有多少排隊(duì)方法"

解析：原理同前，也是先排好C、D、E三個(gè)人，然后將A、B查到C、D、E所形成的兩個(gè)空中，因?yàn)锳、B不站兩端，所以只有兩個(gè)空可選，方法總數(shù)為。

注釋：對(duì)于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡(jiǎn)單記為"相鄰問(wèn)題捆綁法，不鄰問(wèn)題插空法〞。

三、插板法精要：所謂插板法，指在解決假設(shè)干一樣元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。

提醒：其首要特點(diǎn)是元素一樣，其次是每組至少含有一個(gè)元素，一般用于組合問(wèn)題中。

【例題】將8個(gè)完全一樣的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法"

解析：解決這道問(wèn)題只需要將8個(gè)球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個(gè)盒子中即可。因此問(wèn)題只需要把8個(gè)球分成三組即可，于是可以講8個(gè)球排成一排，然后用兩個(gè)板查到8個(gè)球所形成的空里，即可順利的把8個(gè)球分成三組。其中第一個(gè)板前面的球放到第一個(gè)盒子中，第一個(gè)板和第二個(gè)板之間的球放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的球放到第三個(gè)盒子中去。因?yàn)槊總€(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此兩個(gè)板不能放在同一個(gè)空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是。(板也是無(wú)區(qū)別的)

【例題】有9顆一樣的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法"

解析：原理同上，只需要用3個(gè)板插入到9顆糖形成的8個(gè)內(nèi)部空隙，將9顆糖分成4組且每組數(shù)目不少于1即可。因而3個(gè)板互不相鄰，其方法數(shù)為。

【練習(xí)】現(xiàn)有10個(gè)完全一樣的籃球全局部給7個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)球，問(wèn)共有多少種不同的分法"

注釋：每組允許有零個(gè)元素時(shí)也可以用插板法，其原理不同，注意下題解法的區(qū)別。

【例題】將8個(gè)完全一樣的球放到3個(gè)不同的盒子中，一共有多少種方法"

解析：此題中沒(méi)有要求每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍舊是插入2個(gè)板，分成三組。但在分組的過(guò)程中，允許兩塊板之間沒(méi)有球。其考慮思維為插入兩塊板后，與原來(lái)的8個(gè)球一共10個(gè)元素。所有方法數(shù)實(shí)際是這10個(gè)元素的一個(gè)隊(duì)列，但因?yàn)榍蛑g無(wú)差異，板之間無(wú)差異，所以方法數(shù)實(shí)際為從10個(gè)元素所占的10個(gè)位置中挑2個(gè)位置放上2個(gè)板，其余位置全部放球即可。因此方法數(shù)為。

注釋：特別注意插板法與捆綁法、插空法的區(qū)別之處在于其元素是一樣的。

四、具體應(yīng)用【例題】一條馬路上有編號(hào)為1、2、……、9的九盞路燈，現(xiàn)為了節(jié)約用電，要將其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種"

解析：要關(guān)掉9盞燈中的3盞，但要求相鄰的燈不能關(guān)閉，因此可以先將要關(guān)掉的3盞燈拿出來(lái)，這樣還剩6盞燈，現(xiàn)在只需把準(zhǔn)備關(guān)閉的3盞燈插入到亮著的6盞燈所形成的空隙之間即可。6盞燈的內(nèi)部及兩端共有7個(gè)空，故方法數(shù)為。

【例題】一條馬路的兩邊各立著10盞電燈，現(xiàn)在為了節(jié)省用電，決定每邊關(guān)掉3盞，但為了平安，道路起點(diǎn)和終點(diǎn)兩邊的燈必須是亮的，而且任意一邊不能連續(xù)關(guān)掉兩盞。問(wèn)總共可以有多少總方案"

A、120B、320C、400D、420

解析：考慮一側(cè)的關(guān)燈方法，10盞燈關(guān)掉3盞，還剩7盞，因?yàn)閮啥说臒舨荒荜P(guān)，表示3盞關(guān)掉的燈只能插在7盞燈形成的6個(gè)內(nèi)部空隙中，而不能放在兩端，故方法數(shù)為，總方法數(shù)為。

注釋：因?yàn)閮蛇呹P(guān)掉的種數(shù)肯定是一樣的(因?yàn)閮蛇吺峭鹊匚?，而且總的種數(shù)是一邊的種數(shù)乘以另一邊的種數(shù)，因此關(guān)的方案數(shù)一定是個(gè)平方數(shù)，只有C符合。排列組合加法原理：做一件事，完成它可以有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，……，在第n類方法中有mn種不同的方法．則完成這件事共有N＝m1十m2十…十乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．則完成這件事共有N＝m1m2…m6．排列數(shù)公式：P＝n〔n－1〕〔n－2〕…〔n－m＋1〕，〔m≤n〕組合數(shù)公式：C＝P÷P＝〔規(guī)定＝1〕。例15位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種"解：5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有3×3×3×3×3=35(種)例2從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有()A.140種B.84種C.70種D.35種解：抽出的3臺(tái)電視機(jī)中甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)的取法有C14·C25種；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)的取法有C24·C15種根據(jù)加法原理可得總的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(種)可知此題應(yīng)選C.例3由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有()A.60個(gè)B.48個(gè)C.36個(gè)D.24個(gè)解因?yàn)橐笫桥紨?shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50000的五位數(shù)，萬(wàn)位只能是1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有P33，得P13P33P12＝36(個(gè))由此可知此題應(yīng)選C.例4將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種"解：將數(shù)字1填入第2方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不一樣的填法有3種，即2143，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對(duì)應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對(duì)應(yīng)3種填法，因此共有填法為3P13=9(種).例5甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包1項(xiàng)，丙、丁公司各承包2項(xiàng)，問(wèn)共有多少種承包方式"解：甲公司從8項(xiàng)工程中選出3項(xiàng)工程的方式C38種；乙公司從甲公司挑選后余下的5項(xiàng)工程中選出1項(xiàng)工程的方式有C15種；丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C24種；丁公司從甲、乙、丙三個(gè)公司挑選后余下的2項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C22種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有×C15×C24×C22=×1=1680(種).例6由數(shù)學(xué)0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有().A.210個(gè)B.300個(gè)C.464個(gè)D.600個(gè)解：先考慮可組成無(wú)限制條件的六位數(shù)有多少個(gè)"應(yīng)有P15·P55=600個(gè).由對(duì)稱性，個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個(gè)位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.∴有×600=300個(gè)符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例7以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有().A.70個(gè)B.64個(gè)C.58個(gè)D.52個(gè)解：如圖，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，任取4個(gè)的組合數(shù)為C48=70個(gè).其中共面四點(diǎn)分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對(duì)角面的有2組；形如(ADB1C1)的有4組.∴能形成四面體的有70-6-2-4=58(組)應(yīng)選C.例87人并排站成一行，如果甲、乙必須不相鄰，則不同排法的總數(shù)是().A.1440B.3600C.4320D.4800解：7人的全排列數(shù)為P77.假設(shè)甲乙必須相鄰則不同的排列數(shù)為P22P66.∴甲乙必須不相鄰的排列數(shù)為P77-P22P66=5P66=3600.應(yīng)選B.例9用1，2，3，4，四個(gè)數(shù)字組成的比1234大的數(shù)共有個(gè)(用具體數(shù)字作答).解：假設(shè)無(wú)限制，則可組成4!=24個(gè)四位數(shù)，其中1234不合題設(shè).∴有24-1=23個(gè)符合題設(shè)的數(shù).例10用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些四位數(shù)中，是偶數(shù)的總共有().A.120個(gè)B.96個(gè)C.60個(gè)D.36個(gè)解：末位為0，則有P34=24個(gè)偶數(shù).末位不是0的偶數(shù)有P12P13P23=36個(gè).∴共有24+36=60個(gè)數(shù)符合題設(shè).應(yīng)選C.公務(wù)員行測(cè)排列組合問(wèn)題的七大解題策略〔修正版〕排列組合問(wèn)題是歷年公務(wù)員考試行測(cè)的必考題型，并且隨著近年公務(wù)員考試越來(lái)越熱門，國(guó)考中這局部題型的難度也在逐漸的加大，解題方法也趨于多樣化。解答排列組合問(wèn)題，必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，或者屬于排列與組合的混合問(wèn)題；同時(shí)要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用根本原理和公式進(jìn)展分析，還要注意講究一些策略和方法技巧。

一、排列和組合的概念

排列：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素(這里的被取元素各不一樣)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。

組合：從n個(gè)不同元素種取出m個(gè)元素拼成一組，稱為從n個(gè)不同元素取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

二、七大解題策略

1.特殊優(yōu)先法

特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。對(duì)于有附加條件的排列組合問(wèn)題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。

例：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，假設(shè)其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有()

(A)280種(B)240種(C)180種(D)96種

正確答案：【B】

解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是"特殊〞位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有C(4,1)=4種不同的選法，再?gòu)钠溆嗟?人中任選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔三項(xiàng)不同的工作有A(5,3)=60種不同的選法，所以不同的選派方案共有C(4,1)×A(5,3)=240種，所以選B。

2.科學(xué)分類法

問(wèn)題中既有元素的限制，又有排列的問(wèn)題，一般是先元素(即組合)后排列。

對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)展科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)展解答，防止重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生。同時(shí)明確分類后的各種情況符合加法原理，要做相加運(yùn)算。

例：*單位邀請(qǐng)10位教師中的6位參加一個(gè)會(huì)議，其中甲，乙兩位不能同時(shí)參加，則邀請(qǐng)的不同方法有()種。

A.84B.98C.112D.140

正確答案【D】

解析：按要求：甲、乙不能同時(shí)參加分成以下幾類：

a。甲參加，乙不參加，則從剩下的8位教師中選出5位，有C(8，5)=56種；

b。乙參加，甲不參加，同(a)有56種；

c。甲、乙都不參加，則從剩下的8位教師中選出6位，有C(8，6)=28種。

故共有56+56+28=140種。

3.間接法

即局部符合條件排除法，采用正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)換的策略。為求完成*件事的方法種數(shù)，如果我們分步考慮時(shí)，會(huì)出現(xiàn)*一步的方法種數(shù)不確定或計(jì)數(shù)有重復(fù)，就要考慮用分類法，分類法是解決復(fù)雜問(wèn)題的有效手段，而當(dāng)正面分類情況種數(shù)較多時(shí)，則就考慮用間接法計(jì)數(shù)。

例：從6名男生，5名女生中任選4人參加競(jìng)賽，要求男女至少各1名，有多少種不同的選法？

A.240B.310C.720D.1080

正確答案【B】

解析：此題從正面考慮的話情況比擬多，如果采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成C(11，4)-C(6，4)-C(5，4)=310。

4.捆綁法

所謂捆綁法，指在解決對(duì)于*幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間順序。注意：其首要特點(diǎn)是相鄰，其次捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問(wèn)題中。