2021-2022學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021-2022學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線ll，若l的傾斜角為60°，則l的斜率為（）121233D．3A．B．3C．33【答案】D【分析】直線斜率乘積為1，斜線斜率等于傾斜角的正切值.ll,12【詳解】ktan603,kk1，所以k23.3112故選：D.naaa6a4a2．等差數(shù)列中，，，則（）4682A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列性質(zhì)直接計(jì)算作答.naaa6a4aaaa，，而，于是得，a462【詳解】在等差數(shù)列中，因4682846解得a2，2所以a2.2故選：B3．已知a,b,c是空間的一個基底，，若A,B,C,DABabACacADbc，，四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為（）A．1B．0C．1D．2【答案】A【分析】由共面定理列式得ABxACyAD，再根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等計(jì)算.x,y【詳解】因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共面，設(shè)存在有序數(shù)對使得ABxACyAD，則abxacybcabxaybxyc，所以得xy1,1.，即故選：A4．拋物線有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后經(jīng)過它的焦點(diǎn)．反之，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反光射線平行發(fā)出一條平行于x軸的光線，經(jīng)過拋2于拋物線的軸．已知拋物線y8x，從點(diǎn)A4,y1第1頁共19頁2，則光線從A出發(fā)到達(dá)B所走過的路程為（）C．12【分析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：AAAFBFBB，AAAABBBB，AABB6612，故選：C5．“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運(yùn)用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A．1.2mB．1.3mC．1.4mD．1.5m【答案】B【分析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設(shè)半徑為R，2.5RR2,解得2515R,化簡得R1.3.122244故選：B.6．直線l的方向向量為m1,0,1，且l過點(diǎn)A1,1,1P1,1,1到l的距離為()，則點(diǎn)A．B．C．D．22263【答案】C【分析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.【詳解】∵A1,1,1P1,1,1，∴AP0,2,2又m1,0,1，APm2∴AP在m方向上的投影APcosAPm2，m2∴P到l距離d|AP|2(2)8226.故選：C.7．在四面體OABC中，OAOBOC，AOBAOC60，BOC90°，則OB與AC所成角的大小為（）A．30°【答案】BB．60°C．120°D．150°【分析】以{OA,OB,OC}為空間的一個基底，求出空間向量求OB,AC的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，OA,OB,OC不共面，則ACOCOA，令OAOBOC1，依題意，ACOB(OCOA)OBOCOBOAOBcos90cos601，2|ACOB|1設(shè)OB與AC所成角的大小為，則cos|cosAC,OB|，而090，|AC||OB|2解得60，所以O(shè)B與AC所成角的大小為60.故選：B第3頁共19頁22FF8．橢圓E:1ab0的左、右焦點(diǎn)分別為、，E上存在兩點(diǎn)A、B滿足122FA2FB，AF4a，則E的離心率為（）312253A．B．23C．D．1232【答案】ACBFCFCFBCFC【分析】作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接、、、，推導(dǎo)出A、、1121AFAFACCF三點(diǎn)共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導(dǎo)出CAF902，122利用勾股定理可得出關(guān)于a、c的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.CBFCFCFBC【詳解】作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接、、、，112則O為BC、FF的中點(diǎn)，故四邊形12BFCF1CF//BF且CFBF為平行四邊形，故，21212則CFFB，12所以，F(xiàn)A2CF，故A、、三點(diǎn)共線，F(xiàn)C111由橢圓定義，AFAF2a，有AF2a，所以CFa，則ACa3，312115aCFCF2a，有CF再由橢圓定義，3122因?yàn)镃FACAF，所以CAF90，22222220在△AFF中，F(xiàn)F2AF2AF2即4c2a2，所以，離心率e5．93121212故選：A.二、多選題9．圓C:x2y2r2r0C:x2y24x30與圓只有1個公共點(diǎn)，則r的值可以12是（）A．4B．3C．2D．1【答案】BD【詳解】對圓C，其圓心為，半徑為r；對圓C，其圓心為，半徑為1，則12CC2，12因?yàn)閳AC:x2y2r2r0C:x2y24x30與圓只有1個公共點(diǎn)，12C,C故圓外切或內(nèi)切，則2r1或2r1，故可得r1或r3.12故選：BD.x210．曲線C:yy1，則（）4x,yxRy1A．C上的點(diǎn)滿足，B．C關(guān)于x軸、y軸對稱xC．C與x軸、y軸共有3個公共點(diǎn)【答案】ACDD．C與直線y只有1個公共點(diǎn)2【分析】去掉絕對值即可根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)判斷.x2【詳解】y0,C:y21表示橢圓在x軸上方的部分，4x2y0,C:y21表示雙曲線在x軸下方的部分，4作出圖象：雙曲線的一條漸近線為yx，2故選項(xiàng)ACD正確，選項(xiàng)B錯誤.故選：ACD.11．如圖，直三棱柱ABCABC中，CACB，CACBCC，D，E，M分別為BC，111111CC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱AC上一動點(diǎn)，則()11A．MNBCB．存在點(diǎn)N，MN平面BCN11C．MN∥平面ADE1【答案】AD【分析】A：連接BC,BC，證明BC平面ABC即可；1111BC,BC，由題可知四邊形BCCB11BCBC，11連接是正方形，則11由題知平面BCCB平面ABC，平面BCCB平面ABCBC，ACBC，AC平面1111ABC，∴AC平面BCCB，又BCBCCB，∴ACBC，111111BCACCBC,AC平面ABC，∴BC平面ABC，又，11111∵M(jìn)N平面ABC，∴BCMN.11故A正確；1則C0,0,0B2,0,0A0,2,0B2,0,2M1,1,1N0,,0t0t2，則，，，，，11當(dāng)N是AC中點(diǎn)時，MN∥BCBC∥DE，∴MN∥ADE平面；，111當(dāng)N不是AC中點(diǎn)時，MN和B1C相交，若MN∥平面，結(jié)合平面可ADEBC∥ADE111知平面ABC∥平面，這顯然與圖形不符與相交，故此時與平面ADE1(AEAC)MNADE111不平行；故C錯誤；由C項(xiàng)可知，N為AC中點(diǎn)滿足題意，故D正確.故選：AD.x1,x0,nafa，則（）12．設(shè)函數(shù)fxx2x1,x0數(shù)列a滿足n1nA．當(dāng)a1時，a12aa11B．若為遞增數(shù)列，則1nn11111aaanaa01D．當(dāng)時，a21C．若為等差數(shù)列，則an123【答案】AD【分析】分a,0a0,1a1,a1，四種情況討論，在逐一分析判，，nnnn斷各個選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：①a,0afaa10，時，nn1nnn②a0,1afaa2a1aa110,1時，，nn1nnnnn③a1,時，afaa2a1aa111，nn1nnnn④a1時，afaa2a11，nn1nnna1,a0,a因此，a2a1,a0，n1n1nn1na0aa1a0aaa1有時，，時，2，1n1n1n1n1對于選項(xiàng)A，a0,1，，故正確；a1A21nnaaa0，n1n對于選項(xiàng)B，為遞增數(shù)列時，則a0aa10aa10當(dāng)時，，則，不符題意，nn1nn1n當(dāng)a0時，aa2a1，nn1nn則aaa22a1a10，2n1nnnna0a1所以且，11a0a1B綜上且，故錯誤；11naaad，（d為常數(shù)），n1n對于選項(xiàng)C，為等差數(shù)列時，則當(dāng)a0時，aa1，則aa1，符合題意，nn1nn1n當(dāng)a0時，aa2a1，nn1nn則aaa22a1a12，n1nnnnn要使a1為常數(shù)，則a10，所以，a112na1a1n綜上或（其中，時，為常數(shù)列），故C錯誤；a0a1111111a2a1a2a對于選項(xiàng)D，，n，有a1aa1a1a，1n1nn1nnnn111所以aa1a1，nnn1111111111則aa1aa1a1a1a1a1a12n1223nn111，a1a11n11因?yàn)閍21，所以a10，，即a11n1n111111，故D正確.aaaa1所以12n1故選：AD．三、填空題13．寫出直線2xy10的一個方向向量m______．【答案】1,2【分析】本題可先將直線的一般式化為斜截式，然后根據(jù)斜率即可得到直線的一個方向向量.【詳解】由題意可知，直線2xy10可以化為y2x1，1,2所以直線的斜率為2，直線的一個方向向量可以寫為.1,2故答案為：.第9頁共19頁xy32214．雙曲線C:1a0,b0的右焦點(diǎn)abFc,0到C的漸近線的距離為c，則222C漸近線方程為______．【答案】y3x【分析】根據(jù)給定條件求出雙曲線的漸近線，再用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算作答xy【詳解】雙曲線C:1的漸近線為：ybx，即bxay0，22ab2a2bc3c，即2b3，解得b3a，2依題意，a2b2a2b2所以C漸近線方程為y3x.故答案為：y3x15．如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個正方形分成9個全等的小正方形，對中間的一個小正方形進(jìn)行著色得到第1個圖案（圖1）；在第1個圖案中對沒有著色的小正方形再重復(fù)以上做法得到第2個圖案（圖2）；以此類推，每進(jìn)行一次操作，就得到一個新的正方形圖案，設(shè)原正方形的邊長為1，記第n個圖案中所有著色的正方形的面積之和為a，則數(shù)列a的通項(xiàng)公式a______．nnnn【答案】189【分析】根據(jù)題意，歸納總結(jié)，結(jié)合等數(shù)比列的前n項(xiàng)和公式，即可求得的通項(xiàng)公an式.【詳解】已知條件，歸納總結(jié)如下：1第一個圖案中，著色正方形的面積即a；918118第二個圖案中，新著色的正方形面積是a，故著色正方形的面積即a；999912第三個圖案中，新著色的正方形面積是8a，故著色正方形的面積即92118182a；9999939n111818182n1a.n9999918n9199n.8故a1189nn故答案為：18.9四、雙空題16．圓C:x2y24與x軸相切于點(diǎn)A．點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動，則AB的中點(diǎn)M22的軌跡方程為______（當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到與A重合時，規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)A重合）；點(diǎn)N是直線xy0上一點(diǎn)，則MNAN的最小值為______．【答案】131x2y1122【分析】將點(diǎn)M的軌跡轉(zhuǎn)化為以AC為直徑的圓，再確定圓心及半徑即可求解，將MNAN的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離再減去半徑可求解.【詳解】依題意得A2,0C2,2，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，所以CMAM，，2,1AC2，所以點(diǎn)M的軌跡是以AC為直徑的圓，又AC中點(diǎn)為，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，圓心D2,1，x2y1122設(shè)A2,0關(guān)于直線xy0的對稱點(diǎn)為Am,n，n01m0，解得n2，所以A0,2，m2則有m2n022所以由對稱性可知MNAN的最小值為AD1022121131．2，x2y1113122五、解答題aSSn2．nn17．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，a(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；n1b(2)令b的前n項(xiàng)和T．n，求數(shù)列aannnn1【答案】(1)a2n1；nn(2)T.2n1n【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合“當(dāng)n2時，aSS”計(jì)算作答.n1nn(2)由(1)求出b，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得解.nnaSSnn2，當(dāng)時，【詳解】(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，2nnaSSn2n12n1，2nnn1當(dāng)n1時，aS1，滿足上式，則a2n1，11nnaa2n1n所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．11111bn()(2)由(1)知，，aa2n12n122n12n1nn1所以11111111Tbbb[(1)()()()]2335572n12n1n12n11n(1)，22n12n1nn所以數(shù)列b的前項(xiàng)和nT．2n1n18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A2,0OABABC120，AB2．，(1)求直線BC的方程；(2)記OAB的外接圓為圓M，若直線OC被圓M截得的弦長為4，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)3xy430；(2)(2,23).【分析】(1)延長CB交x軸于點(diǎn)N，根據(jù)給定條件求出ANB即可計(jì)算作答.(2)利用待定系數(shù)法求出圓M的方程，再由給定弦長確定C點(diǎn)位置，推理計(jì)算得解.【詳解】(1)延長CB交x軸于點(diǎn)N，如圖，因OAB120，則NAB60，又ABOA2，則有B3,3ABC120，又，于是得ANB60，則直線BC的傾斜角為120°，直線BC的斜率k3，因此，y33x3，即BC3xy430所以直線BC的方程為3xy430.(2)依題意，設(shè)圓M的方程為x2y2DxEyF0，D2E24F0，D2F0由(1)得：42DF0，解得E23，F(xiàn)0933D3EF04，圓心M1,3，于是得圓M的方程為x2y22x23y0，即x1y322半徑r2，因直線OC被圓M所截的弦長為4，則直線OC過圓心M1,3，其方程為y3x，3xy430x2由解得，即C(2,23)，y23y3x所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,23).19．如圖，在正方體ABCDABCD中，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱BB上．11111(1)若BP1PB，證明：DO與平面PAC不垂直；211(2)若DO平面PAC，求平面PCD與平面PAC的夾角的余弦值．11【答案】(1)證明見解析6(2)6【分析】（1）設(shè)正方體ABCDABCD的棱長為2，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、1111yAA所在直線分別為x、、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出DOAP0，即可證得11結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面PCD與平面PAC的夾角的余弦值.1y【詳解】(1)證明：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA所在直線分別為x、、z軸建1立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，ABCDABCD1112的棱長為，則A0,0,0O1,1,0C2,2,0D0,2,2設(shè)正方體、、、1，1由BP1PB得P點(diǎn)的坐標(biāo)為22,0,，321DO1,1,2，AP2,0,，因?yàn)镈OAP20，23311DO1DO1PAC所以與AP不垂直，所以與平面不垂直．(2)解：設(shè)P2,0,a0a2，則AP2,0,a，AC2,2,0，DOPAC平面，所以DOAP，所以DOAP22a0，得a1，1因?yàn)?1且DOAC220，即1DOAC1，1所以CP0,2,1，CD2,0,2，設(shè)平面PCD的法向量為mx,y,z，1mCD2x2z01，取y1，可得m2,1,2，由mCP2yz0DO1,1,2DOPACPAC因?yàn)槠矫?，所以平面的一個法向量為，11cosm,DOmD1O6，所以61mDO1所以平面PCD與平面所成夾角的余弦值為6．PAC6120．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M4,0，直線lx軸，垂足為H，HNNM，圓N過點(diǎn)O，與l的公共點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；AB(2)過M的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若MA2MB，求．【答案】(1)y24x；(2)63.【分析】(1)設(shè)出圓N與l的公共點(diǎn)坐標(biāo)，再探求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并由圓的性質(zhì)列出方程化簡即得.(2)設(shè)出直線AB的方程，與的方程聯(lián)立，結(jié)合已知條件并借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.，【詳解】(1)設(shè)Px,y為圓N與l的公共點(diǎn)，而直線軸，垂足為H，則lxHx,0x4又M4,0，HNNM，于是得N,0，因O，P在圓N上，即NONP，2x4x42則有2y2，化簡整理得：y24x，2所以的方程為y24x.(2)顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB的方程為xmy4，Ax,y，Bx,y1122xmy4由消去x并整理得：y24my160，則yy4myy16，12．y24x12第15頁共19頁因?yàn)镸A2MB，則點(diǎn)A到x軸距離是點(diǎn)B到x軸距離的2倍，即y2y1，2解得y22y2222y2y由y42y42，則有my1y2或，11122yy1642123因此有ABm21yy6263，212所以AB63.21．2017年復(fù)門金磚會晤期間產(chǎn)生碳排放3095噸．2018年起廈門市政府在下潭尾濕地生態(tài)公園通過種植紅樹林的方式中和會晤期間產(chǎn)生的碳排放，擬用20年時間將碳排放全部吸收，實(shí)現(xiàn)“零碳排放”目標(biāo)，向世界傳遞低碳，環(huán)保辦會的積極信號，踐行金磚國家倡導(dǎo)的可持續(xù)發(fā)展精神．據(jù)研究估算，紅樹林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹林若干畝，新種植的紅樹林當(dāng)年的年碳吸收量為m（m0）噸．2018年起，紅樹林的年碳吸收量依次記a，a，a，…123(1)①寫出一個遞推公式，表示a與a之間的關(guān)系；n1nna②證明：a50m是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；n(2)為了提前5年實(shí)現(xiàn)廈門會蹈“零碳排放”的目標(biāo)，m的最小值為多少？參考數(shù)據(jù)：1.02141.32，1.02151.35，1.02161.37a13050m1.02n150mn【答案】(1)①a1.02am②；證明見解析，n1n(2)最少為6.56噸【分析】（1）①根據(jù)題意直接寫出一個遞推公式即可；a50mn1a50mn②要證明a50m是等比數(shù)列，只要證明為一個常數(shù)即可，求出等比數(shù)列na50mna的通項(xiàng)公式，即可求出的通項(xiàng)公式；nna（2）記S為數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)題意求出，利用分組求和法求出數(shù)列的aS15nn前n項(xiàng)和，再令S3095，解之即可得出答案.1512【詳解】(1)解：①依題意得a130,a12%am,a12%am,123a1.02am則，n1n②因?yàn)閍1.02am，所以a50m1.02a51m，n1nn1n所以a50m1.02a50m，因?yàn)閚1na50m13050m01第16頁共19頁a50m所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)是13050m，公比是1.02，n所以a50m13050m1.02n1，n所以a13050m1.02n150m；n(2)解：記S為數(shù)列的前n項(xiàng)和，annSaaa15151213050m50m13050m1.0250m13050m1.021450m13050m13050m1.0213050m1.02141550m13050m11.0215750m11.0213050m11.35750m11.022275125m，依題2275125m3095，所以m6.56，所以m最少為6.56噸．xy2，A，B是上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，2F1,022．已知橢圓:1ab0，焦點(diǎn)ab22ABF的周長的最小值為423．(1)求的方程；(2)直線FA與交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A），直線FB與交于點(diǎn)N（異于點(diǎn)B），證明：直線MN過定點(diǎn)．xy22【答案】(1)143(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，根據(jù)橢圓的對稱性可得BFAF，則三角形ABF的周長為2a2AO，再設(shè)Ax,y根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到AOb，即可求出ABF的周長的最小值為2a2b，從而得到2a2b423，再根據(jù)a2b21，即