數(shù)學(xué)必修兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

數(shù)學(xué)必修兩個(gè)計(jì)數(shù)原理第一頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日3.四名研究生各從A、B、C三位教授中選一位作自己的導(dǎo)師，共有______種選法；三名教授各從四名研究生中選一位作自己的學(xué)生，共有_____種選法.2.在1~20共20個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加,使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種?答.(10×9+10×9)/2=90（種）.43

1.某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有3處樓梯口,問(wèn)從1樓到5樓共有多少種不同的走法?答：3×3×3×3=34=81（種）課前熱身練習(xí)

34

4.今有4名同學(xué)要爭(zhēng)奪3個(gè)比賽項(xiàng)目的冠軍,冠軍獲得者共有

種可能.43=64第二頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日5.已知集合，則從集合A到集合B的映射個(gè)數(shù)最多有_______;6.滿(mǎn)足AB={1,2}的集合A,B共有________種;解析:由A,B均是{1,2}的子集:?,{1},{2},{1,2},但不是隨便兩個(gè)子集搭配都行,本題猶如含AB的兩元不定方程,其全部解分為四類(lèi):(1)當(dāng)A=?時(shí),只有B={1,2}得1組解;(2)當(dāng)A={1}時(shí),B={2}或{1,2},得2組解;(3)當(dāng)A={2}時(shí),B={1}或{1,2},得2組解;(4)當(dāng)A={1,2}時(shí),B=?或{1}或{2}或{1,2},得4組解,由加法原理,共有1+2+2+4=9組解.第三頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日7.已知甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)為60，則甲、乙兩數(shù)的公約數(shù)共有________個(gè);

故有公約數(shù)3×2×2=12個(gè)8.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}．從A,B中各取1個(gè)元素作為點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)．（1）可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)？（2）這些點(diǎn)中，位于第一象限的有幾個(gè)？

3×4＋4×3＝242×2＋2×2＝8第四頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日★分類(lèi)計(jì)數(shù)原理做一件事情,完成它可以有n類(lèi)辦法,在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法,在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。

★分步計(jì)數(shù)原理做一件事情,完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。注:本原理又稱(chēng)加法原理.注:本原理又稱(chēng)乘法原理.第五頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日

EX1某班級(jí)三好學(xué)生中男生有5人,女生有4人

(1)從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng),有多少種不同的選法？

分析:(1)完成從三好學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)這件事,共有2類(lèi)辦法,

第一類(lèi)辦法,從男三好學(xué)生中任選一人,共有m1=5種不同的方法;

第二類(lèi)辦法,從女三好學(xué)生中任選一人,共有m2=4種不同的方法;所以,根據(jù)加法原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5+4=9.

(2)從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會(huì),有多少種不同的選法？強(qiáng)化鞏固第六頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日分析:

(2)完成從三好學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會(huì)這件事,需分2步完成,

第一步,選一名男三好學(xué)生,有m1=

5種方法;

第二步,選一名女三好學(xué)生,有m2=4種方法;

所以,根據(jù)乘法原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5×4=20種。點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類(lèi)完成”,還是“分步完成”?！胺诸?lèi)完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。第七頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日EX2一個(gè)三位密碼鎖,各位上數(shù)字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個(gè)數(shù)字組成,(1)可以設(shè)置多少種三位數(shù)的密碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))？問(wèn):若設(shè)置四位、五位、六位、…、十位等密碼,密碼數(shù)分別有多少種？解:它們的密碼種數(shù)依次是104,105,106,……1010

種。

(3)個(gè)位數(shù)字不為0的密碼數(shù)是多少？

(2)個(gè)位數(shù)字是0的密碼數(shù)又是多少？分析:???

101010××=103(種)個(gè)十百解:N=10

×10=102(種)解:N=10×10×9=900(種)第八頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日

加法原理和乘法原理

點(diǎn)評(píng):(1)加法原理中的“分類(lèi)”要全面,不能遺漏;但也不能重復(fù)、交叉;“類(lèi)”與“類(lèi)”之間是并列的、互斥的、獨(dú)立的,也就是說(shuō),完成一件事情,每次只能選擇其中的一類(lèi)辦法中的某一種方法。若完成某件事情有n類(lèi)辦法,即它們兩兩的交集為空集,n類(lèi)的并為全集。

(2)乘法原理中的“分步”程序要正確。“步”與“步”之間是連續(xù)的,不間斷的,缺一不可;但也不能重復(fù)、交叉;若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個(gè)步驟后,這件事情才算完成。

(3)在運(yùn)用“加法原理、乘法原理”處理具體應(yīng)用題時(shí),除要弄清是“分類(lèi)”還是“分步”外,還要清楚“分類(lèi)”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)。在“分類(lèi)”或“分步”過(guò)程中,標(biāo)準(zhǔn)必須一致,才能保證不重復(fù)、不遺漏。第九頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日EX3如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,問(wèn)不同的涂色方案有多少種？解:按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四步完成,

第一步,m1=3種,

第二步,m2=2種,

第三步,m3=1種,

第四步,m4=1種,根據(jù)乘法原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6種。第十頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日第十一頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日EX3如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？問(wèn):若用4色、5色等,結(jié)果又怎樣呢？提示:它們的涂色方案種數(shù)分別是(1)4×3×2×2=48種；(2)5×4×3×3=180種；第十二頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日

EX4如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？甲地乙地丙地丁地

解:從總體上看,由甲到丙有兩類(lèi)不同的走法,第一類(lèi)由甲經(jīng)乙去丙,又需分兩步,所以m1=2×3=6種不同的走法;

第二類(lèi),由甲經(jīng)丁去丙,也需分兩步,所以m2=4×2=8種不同的走法;

故從甲地到丙地共有N=6+8=14種不同的走法。第十三頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別

分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題，它們的區(qū)別在于：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與“分類(lèi)”有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成．分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題，它們的區(qū)別在于：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與“分類(lèi)”有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成．第十四頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日………...ABABm1m1m2m2mnmn點(diǎn)評(píng):我們可以把加法原理看成“并聯(lián)電路”;乘法原理看成“串聯(lián)電路”.如圖示第十五頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日第十六頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日示例1.書(shū)架的第1層放有4本不同計(jì)算機(jī)書(shū),第2層放有3本不同的文藝書(shū),第3層放有2本不同的體育書(shū)。（1）從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同的取法?（2）從書(shū)架的第1、2、3層各取1本不同的書(shū)，有多少種不同的取法？解(1)從書(shū)架上任取1本書(shū)，有3類(lèi)辦法：

(2)從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū)，可分3個(gè)步驟完成：第1類(lèi)辦法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種辦法；第2類(lèi)辦法是從第2層取1本文藝書(shū)，有3種辦法；第3類(lèi)辦法是從第3層取1本體育書(shū)，有2種辦法；根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N=4+3+2=9.答:從書(shū)架上任取1本書(shū)，有9種不同的取法。第1步從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種辦法；第2步從第2層取1本文藝書(shū)，有3種辦法；第3步從第3層取1本體育書(shū)，有2種辦法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N=4×3×2=24答:從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū),有24種不同的取法。第十七頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日示例2一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤(pán),每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有從0到9共10個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成多少個(gè)四位數(shù)字的號(hào)碼?本題的特點(diǎn)是數(shù)字可以重復(fù)使用，如:0000,1111，1212等等，與分步計(jì)數(shù)原理比較，這里完成每一步的方法數(shù)m=10，有n=4個(gè)步驟,結(jié)果是總個(gè)數(shù)N=10×10×10×10=104

解：由于號(hào)碼鎖的每個(gè)撥號(hào)盤(pán)有0到9這10個(gè)數(shù)字，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)的數(shù)字有10種取法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4個(gè)撥號(hào)盤(pán)上各取1數(shù)字組成的個(gè)數(shù)是答：可以組成10000個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼。N=104

一般的，完成一件事有n個(gè)步驟，每一步驟的方法數(shù)相同，都是m,則完成這件事共有種不同方法。（牢記：步驟數(shù)n是指數(shù)?。﹎n第十八頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日示例3.現(xiàn)要安排一份5天值班表，每天有一個(gè)人值班。共有5個(gè)人，每個(gè)人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不能由同一個(gè)人值班，問(wèn)此值班表由多少種不同的排法？解：分5步進(jìn)行：第一步：先排第一天，可排5人中的任一個(gè)，有5種排法；第二步：再排第二天，此時(shí)不能排第一天的人，有4種排法;第三步：再排第三天，此時(shí)不能排第二天的人，有4種排法;第四步：同前第五步：同前由分步計(jì)數(shù)原理可得不同排法有5×4×4×4×4＝1280種第十九頁(yè)，共二十一頁(yè)，2022年，8月28日示例4①用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位號(hào)碼；

②用0，1，2，……，9可