4金融工程無套利原理應(yīng)用

無套利原理的應(yīng)用主要內(nèi)容無套利原理遠期和期權(quán)的合約價值討論遠期價格投資資產(chǎn)消費資產(chǎn)期權(quán)價格的上下限無紅利情形有紅利情形二元期權(quán)(binary)現(xiàn)金或無價值

Call(Cash-or-nothingCall):到期收益為VT=R，當ST

>K時；VT=0，當ST

K時.資產(chǎn)或無價值

Call(Asset-or-nothingCall):VT=ST，當ST

>K時；VT=0，當ST

K時.C0=VA-KVC貸款的價值（1）考慮一筆1年期貸款，到期還款數(shù)額為B。借款企業(yè)在一年內(nèi)用該筆貸款進行投資生產(chǎn)，在貸款到期日，銀行的收益如右圖企業(yè)資產(chǎn)V銀行收益BACB貸款的價值（2）銀行放貸后，其在到期日的收益和某看跌期權(quán)收益相似。設(shè)企業(yè)的資產(chǎn)價值為V，則在貸款到期日T，貸款的價值=銀行的收益，即銀行的收益=min{VT,B}=B-max{B-VT,0}

=B-(B-VT)+貸款的價值（3）由無套利原理可得，

該筆貸款t時刻的價值=Be-r(T-t)–P(V,t;B,T)，這里P(V,t;B,T)表示標的資產(chǎn)為V，敲定價格為B，到期日為T的歐式看跌期權(quán)在t時刻的價值.P(V,t;B,T)度量了貸款的信用風險。公司股權(quán)的價值假設(shè)公司只有一筆負債，且到期償付金額為D；公司資產(chǎn)(V)=股東權(quán)益(E)+負債(D)；在債務(wù)到期日，股權(quán)價值為當VT>D時，ET=VT–D；當VT<D時，ET=0；即，ET=(VT–D)+遠期合約和期權(quán)合約價值的討論兩種合約在簽定時的價值為0，在簽定后，合約的價值可正可負，這主要取決于原生資產(chǎn)價格的變動。兩種合約的簽定雙方在交割日都必須履行協(xié)議內(nèi)容，不考慮信用風險。利率是常值或是時間的確定函數(shù)時，遠期價格等于期貨價格。遠期合約與期貨投資資產(chǎn)的遠期價格-例考慮一個有效期為3個月的不支付紅利的股票遠期合約。股票當前價格$40，3個月期的無風險利率為5%(年利率)，$40三個月后值40e0.05/4=$40.50。若該合約遠期價格為$43，是否有套利機會?若該合約遠期價格為$39，是否有套利機會?多頭方有套利機會空頭方有套利機會遠期價格為$43時的套利機會策略1：以5%的年利率借入$40，買入股票，同時賣出3個月期的遠期合約(遠期價格為$43)。3個月到期后，該策略的收益為$(43-40.5)=$2.5$2.5是在策略投資人不用任何投入的情況下，獲得的無風險收益。遠期價格為$39時的套利機會策略2：賣空股票獲得$40，存入銀行，同時買入一份3個月期的股票遠期合約(遠期價格$39)。3個月到期后，該策略的收益為$(40.50-39)=$1.5。同樣，$1.5是該策略所得的無風險收益。基本假設(shè)市場無套利。若出現(xiàn)套利機會，參與者必將參與套利活動；市場參與者交易無交易費用；市場參與者的所有凈交易利潤使用同一稅率；市場參與者可以以相同的無風險利率借入和貸出資金；市場中允許賣空操作。符號T遠期或期貨合約的到期時刻；S0

合約中標的資產(chǎn)當前的價格；F0當前的遠期或期貨價格；r對交割日到期的一項投資而言，以連續(xù)復(fù)利計算的零息票無風險利率。投資資產(chǎn)的遠期價格在有效期內(nèi)，不支付收益證券的遠期合約的遠期價格為F0=S0exp{rT}(1)在有效期內(nèi)，已知紅利或利息收益的現(xiàn)值為I，相應(yīng)遠期合約的遠期價格為F0=(S0-I)exp{rT}(2)在有效期內(nèi)，標的證券紅利率為q，其遠期合約的遠期價格為F0=S0exp{(r-q)T}(3)現(xiàn)貨-遠期平價公式構(gòu)造策略投資策略1：以利率r借$S0購買股票，并持有到T時刻,到期收益=ST-S0exp{rT}.投資策略2：初始時刻持有股票遠期多頭，到期日T，遠期價格為F0，到期收益=ST-F0.兩個投資策略在T時刻都是持有股票ST，故收益應(yīng)相等，否則存在套利機會。遠期外匯協(xié)議遠期外匯協(xié)議是以某種外匯為標的資產(chǎn)，雙方約定在未來某一時間按約定的遠期匯率買賣一定金融該種外匯的合約。利率平價關(guān)系：若rf>r,則遠期匯率小于現(xiàn)貨匯率，即外匯遠期貼水；若rf<r,則遠期匯率大于現(xiàn)貨匯率，即外匯遠期升水。其中rf

是外匯發(fā)行國的無風險利率。持有成本(CostofCarry)持有成本=保存成本+利息成本-標的證券合約期內(nèi)收益。不支付紅利的證券沒有保存成本和收益，故持有成本是r；支付紅利的證券，如股指，持有成本是r–q；外幣的持有成本是r-rf。若遠期(期貨)定價中的持有成本為c，則Ft=Stec(T-t)。有效期內(nèi)遠期合約的價值Vt表示t時刻遠期合約多頭的價值Ft表示在t時刻新簽的到期日為T的遠期合約中的遠期價格St表示t時刻標的資產(chǎn)價格由公式(1)知，F(xiàn)t=Stexp{r(T-t)}于是Vt=St-F0exp{-r(T-t)}=(Ft-F0)exp{-r(T-t)}Tt0STFtF0如何得到？t時刻構(gòu)造兩個投資組合組合1：持有一個股票遠期合約的多頭(到期日為T，遠期價格為F0)，t時刻的價值為Vt，同時持有現(xiàn)金F0exp{-r(T-t)}；組合2：持有一只該股票，t時刻價格為St兩個組合在T時刻的價值相等，都是擁有一只該股票。續(xù)由于市場是無套利的，故T時刻之前的任何時刻，兩組合的價值都應(yīng)該相等，即Vt+F0exp{-r(T-t)}=StVt=St-F0exp{-r(T-t)}Vt=(Ft-F0)exp{-r(T-t)}遠期價格的期限結(jié)構(gòu)考慮：相同標的資產(chǎn)，不同到期期限的遠期價格間的關(guān)系。F0為到期日為T的遠期價格，F(xiàn)0=S0exp{rT}F*0為到期日為T*的遠期價格，F(xiàn)*0=S0exp{r*T*}r為[0,T]內(nèi)的無風險利率；r*為[0,T*]內(nèi)的無風險利率。于是有F*0=F0exp{r*T*-rT}；F*t=Ftexp{r*(T*-t)-r(T-t)}。遠期利率協(xié)議(FRA)遠期利率協(xié)議(FRA)是買賣雙方同意從未來某一確定時刻T開始的一定時期[T,

T*]內(nèi)按協(xié)議利率借貸一筆數(shù)額確定并以具體貨幣表示的名義本金的協(xié)議。遠期協(xié)議利率也稱為遠期利率，記為rF其中r是[t,T]內(nèi)的即期利率，r*為[t,T*]內(nèi)的即期利率。練習已知3個月期和6個月期的無風險利率分別為3.8%和4%，以某不支付紅利的股票為標的資產(chǎn)的3個月遠期合約的遠期價格為$20，6個月期的遠期價格為$21，那么該如何進行套利操作？6個月遠期價格為20.21.因此，持有6個月遠期的空頭，持有3個月遠期的多頭。3個月后借錢20執(zhí)行多頭；6個月后執(zhí)行空頭，獲益21-20(1+2%-0.95%)=0.79摩擦市場的定價-存在交易成本假定標的資產(chǎn)每筆交易的費率為Y，那么不存在套利機會的遠期價格區(qū)間為期初：持有遠期多頭且賣空S；期末：執(zhí)行遠期并還S。期末收益=(1-Y)Sexp{r(T-t)}-F；期初：持有遠期空頭且借錢買S；期末：執(zhí)行遠期并還錢。期末收益=F-(1+Y)Sexp{r(T-t)}。摩擦市場的定價-存在借貸利差用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，顯然rb>rl。這時遠期和期貨的價格區(qū)間為對于遠期多頭，期初賣空S，期末執(zhí)行遠期還S，則收益=Sexp{rl(T-t)}-F；對于遠期空頭，期初借錢買入S，期末執(zhí)行遠期還錢，則收益=F-Sexp{rb(T-t)}。摩擦市場的定價-存在賣空限制因為賣空會給經(jīng)紀人帶來很大風險，所以幾乎所有的經(jīng)紀人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設(shè)賣空限制增加的成本比例為X，那么遠期和期貨價格區(qū)間為注意，賣空出現(xiàn)在持有遠期多頭的情形，對于遠期空頭方不受影響。非完美市場的定價公式如果上述三種情況同時存在，遠期和期貨價格區(qū)間為：完美市場可以看成是X=0,Y=0,rb=rl=r的特殊情況。消費資產(chǎn)消費資產(chǎn)主要是為了進行消費而持有的資產(chǎn)。消費資產(chǎn)的使用者認為持有實實在在的商品要比持有期貨或遠期合約更有好處。投資資產(chǎn)是眾多投資者僅為了進行投資而持有的資產(chǎn)。只要有利可圖，這些投資者會賣出他們的持有物并買入遠期。消費商品的遠期價格消費商品(石油，玉米)一般不支付收益，但會有很大的貯存成本。設(shè)成本現(xiàn)值為U。如果某消費商品的遠期價格F0滿足F0>(S0+U)exp{rT},那么市場上存在套利機會。因此，對于消費類商品的遠期價格應(yīng)滿足F0

(S0+U)exp{rT}。Short：借錢買入S并交納存儲費，同時持有遠期空頭對于投資資產(chǎn)的遠期這時也存在套利機會：賣出S并持有遠期多頭。便利收益對于消費類商品，通過持有現(xiàn)貨，即實際商品可以使生產(chǎn)商從暫時的當?shù)厣唐范倘敝蝎@利，或者具有維持生產(chǎn)線運行的能力。這種持有實際商品現(xiàn)貨帶來的好處稱為商品的便利收益。如果已知貯存成本的現(xiàn)值U,那么使得F0exp{gT}=(S0+U)exp{rT}成立的g，就定義為便利收益。期限結(jié)構(gòu)設(shè)F1和F2是基于同一種商品的兩份期貨，到期日分別為T1和T2，且T2>T1，則F2

F1exp{r(T2-T1)}。否則，F(xiàn)2>F1exp(r(T2-T1))。這時持有到期為T1的多頭，和到期T2的空頭。在T1時借F1買入商品并持有到T2；在T2時用商品換成F2，并還錢F1exp(r(T2-T1)),套利出現(xiàn)。T1T20練習

黃金的現(xiàn)價為每盎司$1100,一年后交割的黃金遠期價格為每盎司$1300。一位套利者可以10%的年利率借到錢。問：套利者該如何操作才能獲利？假設(shè)黃金本身不產(chǎn)生收入，儲存費用為U且到期支付?？偨Y(jié)由現(xiàn)貨-遠期平價公式知遠期(期貨)與現(xiàn)貨的相對價格只與持有成本有關(guān)，與預(yù)期未來現(xiàn)貨的漲跌無關(guān)。標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格對同一時刻的遠期(期貨)價格有重要的制約關(guān)系。理論上遠期(期貨)價格取決于現(xiàn)貨價格，但在實際中體現(xiàn)為遠期(期貨)價格與現(xiàn)貨價格同時對新信息做出反應(yīng)。實證表明遠期(期貨)價格有價格發(fā)現(xiàn)功能。期權(quán)價格的性質(zhì)期權(quán)價格的上限看漲期權(quán)在任何情況下，其價值都不會超過股票的價值，即c0

S0，C0S0看跌期權(quán)在任何情況下，其價值都不會超過敲定價格K的現(xiàn)值，即p0Ke-rT，P0Kc和p表示歐式期權(quán)，C和P表示美式期權(quán)。否則，賣出C買入S否則，賣出P并存入銀行歐式期權(quán)價值的估計對[0,T)中的任意時刻t,有(St–Ke-r(T-t))+<ct<St

(Ke-r(T-t)-St)+<pt<Ke-r(T-t)平價公式(call-putparity)ct+Ke-r(T-t)=pt+St，對[0,T]中的所有時刻t都成立。不支付紅利：Put-CallParity考慮下面兩個投資組合組合1：買歐式看漲，買面值為K的零息貼現(xiàn)債券；組合2：買歐式看跌和標的股票。在到期日，兩個組合的價值都是max(ST,K)由無套利原理II知，c0+Ke-rT=p0+S0

歐式看漲期權(quán)--套利機會?設(shè)

c0=$3 S0=$20 T=1年 r=10%(年利率) K=$18 D=0(不支付紅利)是否存在套利機會?（e-0.1=0.9048；18e-0.1=16.2871；17e0.1=18.79）由于c0<S0-Ke-rT，故存在套利機會：初始時刻，賣空股票獲$20，同時買call花費$3，去掉花費將$17存入銀行一年，到期17e0.1=18.79；一年后，S>18,執(zhí)行call，買入股票并償還?？偸找妗?8.79-18=$0.79。歐式看跌期權(quán)--套利機會?設(shè)

p0=$1 S0=$37 T=0.5年r=5%(年利率) K=$40 D=0(不支付紅利)是否存在套利機會?（e0.025=1.0253；40e-0.025=39.0124；38e0.025=38.9614）由于p0<Ke-rT-S0，故存在套利機會：初始時刻，借款$38買put和股票，期限半年，到期還銀行38e0.025=38.9614；半年后，S<40,執(zhí)行put，賣出股票并償還貸款?？偸找妗?0-38.9614=$1.0386。例：本金保底合約Principalprotection：使投資者的回報在一定水平得到保證的合約。設(shè)投資的證券價格為St，在T時刻的產(chǎn)品收益為VT

=max{ST,S0}=S0+max{ST-S0,0}該產(chǎn)品可看成：面值為S0的無風險貼現(xiàn)債券和執(zhí)行價為S0的歐式Call續(xù)該保底產(chǎn)品的價格為V0=S0e-rT+C0(S0,T;

S0)由于C0(S0,T;

S0)>S0(1-e-rT)故

V0>S0

這說明，投資者希望只投資S0,并享有收益max{ST,S0}是不現(xiàn)實的，因為投行或保險公司不可能免費提供這種服務(wù)。本金保底產(chǎn)品的設(shè)計向顧客收取一次性費用，費用的大小是V0-S0不多收取本金，但調(diào)整產(chǎn)品的到期收益為S0+pmax{ST-S0,0}其中，p介于0，1之間，稱為投資參與百分比。p的選取是使得投資額與S0相等。美式和歐式期權(quán)比較美式期權(quán)的持有人總是有機會提前實施。與歐式期權(quán)相比，美式期權(quán)的持有人有更多獲益的機會，故其價值不小于相應(yīng)的歐式期權(quán)，即 Ct

ct Pt

pt

否則，賣出歐式，買入美式美式期權(quán)價值的估計對[0,T)中的任意時刻t,有ct≤Ct；pt≤Pt

Ct

≥(St-K)+；Pt

≥(K-St)+在不支付紅利的情形下，有Ct=ctSt-K<Ct–Pt<St–Ke-r(T-t)

(St-K)+<(St–Ke-r(T-t))+<ct≤Ct

否則，借錢買入美式并立即執(zhí)行美式看跌期權(quán)-提前實施？在某時刻t，若股價下跌到K(1-e-r(T-t))之下，問該股票的美式看跌期權(quán)是否應(yīng)提前實施？若提前實施，立即獲得收益K-St≥Ke-r(T-t)

,將此收益立時存入銀行，到T時刻獲得收益一定大于K；若不提前實施，則在到期日T獲得收益(K-ST)+該收益不會超過K。因此，股價下跌到一定程度,提前實施美式看跌期權(quán)是有必要的。敲定價格對歐式期權(quán)價值的影響設(shè)ct(K),pt(K)分別表示敲定價格為K的歐式看漲和看跌期權(quán)在t時刻的價值。對具有相同到期日的ct(K1),ct(K2)和pt(K1),pt(K2),若K1>K2,則0≤ct(K2)-ct(K1)≤K1–K2

0≤pt(K1)-pt(K2)≤K1–K2

續(xù)設(shè)K=K1+(1-)K2,[0,1],則有

ct(K)≤ct(K1)+(1-)ct(K2)，

pt(K)≤pt(K1)+(1-)pt(K2)。

對任意>0,

有

ct(St,K)=ct(St,K)，pt(St,K)=pt(St,K)。

紅利對歐式期權(quán)價格下界的影響組合1：c+D+Ke-rT組合2：S在到期日，V1=max{ST,K}+DT>V2=ST+DT組合1：D+Ke-rT組合2：p+S在到期日，V2=max{ST,K}+DT>V1=DT+K紅利對期權(quán)價格的影響歐式期權(quán)平價公式：D>0 c0+D+Ke-rT=p0+S0

美式期權(quán)：D>0 S0-D-K<C0–P0<S0-Ke-rT(思考？)支付紅利的美式Call（紅利率q）若不提前實施,在到期日T的收益為(ST-K)+；若在t時刻股價上升到一定程度,則立即實施：借現(xiàn)金K買入股票St,只要St足夠大，使得紅利qSt足以抵消貸款利息K(er(T-t)-1),于是提前實施所得收益就可能超過不提前實施的收益。由于紅利的存在,當原生資產(chǎn)的價格上升到一定程度,提前