數(shù)學建模暑期培訓

數(shù)學建模暑期培訓第一頁，共四十頁，2022年，8月28日玩具、照片、飛機、火箭模型…~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物.模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.1.1

從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見的模型第二頁，共四十頁，2022年，8月28日你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速為20km/h.甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需30h，從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少?x=20y=5求解第三頁，共四十頁，2022年，8月28日航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速為20km/h）.第四頁，共四十頁，2022年，8月28日數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學表述.建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模第五頁，共四十頁，2022年，8月28日1.2

數(shù)學建模的重要意義電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透.數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視.

在一般工程技術領域,數(shù)學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域,數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地.第六頁，共四十頁，2022年，8月28日“數(shù)學是一種關鍵的、普遍的、可以應用的技術”.數(shù)學“由研究到工業(yè)領域的技術轉化，對加強經(jīng)濟競爭力具有重要意義”.“計算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學科學技術轉化的主要途徑”.數(shù)學建模的重要意義第七頁，共四十頁，2022年，8月28日數(shù)學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術知識經(jīng)濟如虎添翼第八頁，共四十頁，2022年，8月28日1.3

數(shù)學建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地.第九頁，共四十頁，2022年，8月28日模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來.椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性.xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置.四只腳著地距離是的函數(shù).四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性第十頁，共四十頁，2022年，8月28日用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來.f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法3）由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0(0<0</2)

,使h(0)=0,即f(0)=g(0).1）將椅子旋轉90o，對角線AC和BD互換.由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.2）令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.4）因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日評注和思考建模的關鍵：假設條件中哪些是本質(zhì)的,哪些是非本質(zhì)的?考察四腳連線呈長方形的椅子(?).用表示椅子的位置椅子的旋轉軸在哪里，它在旋轉過程中怎樣變化？用

f(),g()表示椅腳與地面的距離證明過程的粗糙之處：第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日1.3.2

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員.要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,…sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~過程的決策D~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,…sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉移律D={(u

,v)u+v=1,2,u,v=0,1,2}狀態(tài)因決策而改變第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日模型求解xy3322110窮舉法~編程上機圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點

~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11給出安全渡河方案d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).模型構成第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日商人和隨從人數(shù)增加或小船容量加大;商人們怎樣安全過河智力游戲多步?jīng)Q策過程(數(shù)學模型)易于推廣:規(guī)格化方法考慮4名商人各帶一隨從的情況.多步?jīng)Q策模型:恰當?shù)卦O置狀態(tài)和決策,確定狀態(tài)轉移律及目標(目標函數(shù)).便于求解(計算機編程等).第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日場景1.3.3如何施救藥物中毒兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫(yī)院急診室.訴說兩小時前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿的成人用量是100~200mg/次，兒童是3~5mg/kg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過高，100μg/ml濃度會出現(xiàn)嚴重中毒，200μg/ml濃度可致命.醫(yī)生需要判斷：孩子的血藥濃度會不會達到100~200μg/ml；如果會達到，應采取怎樣的緊急施救方案.第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日調(diào)查與分析轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外認為血液系統(tǒng)內(nèi)藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看作一個房室，建立“一室模型”

.藥量x(t)藥量y(t)血液系統(tǒng)對藥物的吸收率(胃腸道到血液系統(tǒng)的轉移率)和排除率可以由半衰期確定.半衰期可以從藥品說明書上查到.第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日通常，血液總量約為人體體重的7~8%，體重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目測這個孩子的體重約為成年人的一半，可認為其血液總量約為2000ml.調(diào)查與分析血藥濃度=藥量/血液總量口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的2倍.臨床施救的辦法：體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但是安全性不能得到充分保證.第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日模型假設

1.胃腸道中藥物向血液的轉移率與x(t)成正比，比例系數(shù)λ(>0)，總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進入胃腸道.2.血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t)成正比，比例系數(shù)μ(>0)，t=0時血液中無藥物.3.氨茶堿被吸收的半衰期為5小時，排除的半衰期為6小時.4.孩子的血液總量為2000ml.胃腸道中藥量x(t),血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時間t以孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）.第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數(shù)λ),總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進入胃腸道.轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是λx，由排除而減少的速度與y(t)成正比(比例系數(shù)μ),t=0時血液中無藥物.第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日模型求解

藥物吸收的半衰期為5小時藥物排除的半衰期為6小時只考慮血液對藥物的排除第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日血液總量2000ml血藥濃度200μg/ml結果及分析胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達醫(yī)院前已嚴重中毒，如不及時施救，約3小時后將致命！y(2)=236.5第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日施救方案

口服活性炭使藥物排除率μ增至原來的2倍.

孩子到達醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作z(t)λ=0.1386(不變)，μ=0.1155*2=0.2310第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日施救方案

t=5.26z=318施救后血液中藥量z(t)顯著低于y(t).

z(t)最大值低于致命水平.要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少應為0.4885.若采用體外血液透析，μ可增至0.1155*6=0.693，血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，當由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定.第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日數(shù)學建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律.將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究

(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析.二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數(shù).1.4

數(shù)學建模的方法和步驟第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的“問題”第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具數(shù)學建模的一般步驟第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術.如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性.模型應用數(shù)學建模的一般步驟第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題.選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答.將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象.用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答.實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日1.5

數(shù)學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學模型的特點第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日數(shù)學模型的分類應用領域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、…數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、…表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預報、決策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日1.6怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力學習、分析、評價、改進別人作過的模型.親自動手，認真作幾個實際題目.第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日參加全國大學生數(shù)學建模競賽的意義和作用

1992年中國工業(yè)與應用數(shù)學學會(CSIAM)開始組織

1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月)2010年33省/市/區(qū)(含港澳)的1195校17200隊第三十五頁，共四十頁，2022年，8月