時(shí)間序列中的模型

時(shí)間序列中的模型1第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日一、ARIMA模型的基本內(nèi)涵一、ARMA模型的概念自回歸移動平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,簡記為ARMA模型），由因變量對它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值回歸得到。包括移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）。第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念一.移動平均過程1.移動平均（MA）過程的表示：其中u為常數(shù)項(xiàng)，為白噪音過程引入滯后算子L，原式可以寫成:

或者

第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念2.MA（q）過程的特征1.2.3.自協(xié)方差①當(dāng)k>q時(shí)＝0②當(dāng)k<q時(shí)對于任意的，MA(q)是平穩(wěn)的。

第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念二.自回歸（AR）過程1.自回歸（AR）過程表示為：

其中為為白噪音過程引入滯后算子，則原式可寫成

其中第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念2.AR(p)過程平穩(wěn)的條件如果特征方程：的根全部落在單位圓之外，則該AR(p)過程是平穩(wěn)的

第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念3.AR(p)過程的特征

=0，的無條件期望是相等的，若設(shè)為u，則得到:第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念……將上述p+1個(gè)方程聯(lián)立，得到所謂的Yule-Walker方程組，共p+1個(gè)方程，p+1個(gè)未知數(shù)，得出AR（p）過程的方差及各級協(xié)方差。第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念三.自回歸移動平均（ARMA）過程1.ARMA過程的形式其中為白噪音過程。若引入滯后算子，可以寫成其中第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念2.ARMA過程平穩(wěn)性的條件ARMA過程的平穩(wěn)性取決于它的自回歸部分。當(dāng)滿足條件：

特征方程的根全部落在單位圓以外時(shí)，ARMA(p,q)是一個(gè)平穩(wěn)過程。第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念3.ARMA(p,q)過程的特征1）2）ARMA(p,q)過程的方差和協(xié)方差第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的概念四.AR、MA過程的相互轉(zhuǎn)化結(jié)論一：平穩(wěn)的AR(p)過程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)MA(∞)過程，可采用遞歸迭代法完成轉(zhuǎn)化結(jié)論二：特征方程根都落在單位圓外的MA(q)過程具有可逆性平穩(wěn)性和可逆性的概念在數(shù)學(xué)語言上是完全等價(jià)的，所不同的是，前者是對AR過程而言的，而后者是對MA過程而言的。第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日二、Box-Jenkins方法論建立回歸模型時(shí)，應(yīng)遵循節(jié)儉性(parsimony)的原則博克斯和詹金斯(BoxandJenkins)提出了在節(jié)儉性原則下建立ARMA模型的系統(tǒng)方法論,即Box-Jenkins方法論第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日Box-Jenkins方法論Box-Jenkins方法論的步驟：步驟1：模型識別步驟2：模型估計(jì)步驟3：模型的診斷檢驗(yàn)步驟4：模型預(yù)測第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日三、ARMA模型的識別、估計(jì)、診斷、預(yù)測(一).ARMA模型的識別1.識別ARMA模型的兩個(gè)工具：自相關(guān)函數(shù)(autocorrelationfunction,簡記為ACF）；偏自相關(guān)函數(shù)(partialautocorrelationfunction,簡記為PACF)以及它們各自的相關(guān)圖（即ACF、PACF相對于滯后長度描圖）。第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別2.自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的概念①自相關(guān)函數(shù)過程的第j階自相關(guān)系數(shù)即，自相關(guān)函數(shù)記為ACF(j)。②偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)

度量了消除中間滯后項(xiàng)影響后兩滯后變量之間的相關(guān)關(guān)系。偏自相關(guān)函數(shù)記為PACF(j)第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別③自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的聯(lián)系2階以上的偏自相關(guān)函數(shù)計(jì)算公式較為復(fù)雜，這里不再給出。第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別2.MA、AR、ARMA過程自相關(guān)函數(shù)及偏自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)⑴MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)

1≤j≤q

j>q時(shí)，ACF(j)=0，此現(xiàn)象為截尾，是MA(q)過程的一個(gè)特征如下圖：第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別

MA（2）過程第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別⑵AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)

時(shí)，偏自相關(guān)函數(shù)的取值不為0時(shí)，偏自相關(guān)函數(shù)的取值為0AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)p階截尾如下圖：第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別⑶AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)以及MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)的AR(P)過程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)MA(∞）過程，則AR(P)過程的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的一個(gè)可逆的MA(q)過程可轉(zhuǎn)化為一個(gè)AR(∞）過程，因此其偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別⑷ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)ARMA過程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的如下圖：第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的識別第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的識別3.利用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)對ARMA模型進(jìn)行識別⑴通過ADF檢驗(yàn)，來判斷序列過程的平穩(wěn)性；⑵利用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)以及它們的圖形來確定p,q的值。第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日（二）ARMA模型的估計(jì)

ARMA模型的估計(jì)方法：矩估計(jì)極大似然估計(jì)非線性估計(jì)最小二乘估計(jì)第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日（三）ARMA模型的診斷一.診斷的含義二.診斷的方法三.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

Box和Pierce提出的Q統(tǒng)計(jì)量

Ljung和Box(1978)提出的LB統(tǒng)計(jì)量。第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的診斷1.Q統(tǒng)計(jì)量

，近似服從（大樣本中）分布其中n為樣本容量，m為滯后長度2.LB統(tǒng)計(jì)量，服從分布，其中n為樣本容量，m為滯后長度。3.LB統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的診斷四.信息準(zhǔn)則(informationcriteria)

Akaike信息準(zhǔn)則Schwarz信息準(zhǔn)則Hannan-Quinn信息準(zhǔn)則其中為殘差平方，是所有估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)，T為樣本容量。第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的預(yù)測一.基于AR模型的預(yù)測以平穩(wěn)的AR(2)過程為例：其中為零均值白噪音過程

……第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的預(yù)測在t時(shí)刻，預(yù)測的值：

=在t時(shí)刻，預(yù)測的值：

同理：…結(jié)論第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的預(yù)測二.基于MA過程的預(yù)測過程結(jié)論：

MA(2)過程僅有2期的記憶力第三十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日ARMA模型的預(yù)測三.基于ARMA過程的預(yù)測結(jié)合對AR過程和MA過程進(jìn)行預(yù)測ARMA模型一般用于短期預(yù)測第三十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日五、實(shí)例：ARMA模型在金融數(shù)據(jù)中的應(yīng)用數(shù)據(jù)：

1991年1月到2005年1月的我國貨幣供應(yīng)量（廣義貨幣M2）的月度時(shí)間序列數(shù)據(jù)目的：

說明在Eviews5.0軟件中利用B-J方法論建立合