2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)02 常用邏輯用語(含詳解)

專題02常用邏輯用語

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

一、充分條件、必要條件、充要條件

1.定義

如果命題“若〃，則4”為真(記作p=q),則〃是夕的充分條件：同時(shí)q是p的必要條件.

2.從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若〃=4且44p,則p是q的充分不必要條件；

(2)若p%q且q=>p,則〃是q的必要不充分條件；

(3)若p=q且q=>p,則p是q的的充要條件(也說p和q等價(jià))；

(4)若〃Aq且44p,則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

對(duì)充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：p=q,則〃是q的充分條件，同時(shí)q是〃的

必要條件.所謂"充分”是指只要p成立，q就成立；所謂“必要”是指要使得p成立，必須要q成立(即如果q

不成立，則“肯定不成立).

二.全稱量詞與存在童詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.

含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)M中的任意一個(gè)x,有p(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記

為“VxeM,p(x)”，讀作“對(duì)任意x屬于M,有p(x)成立”.

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)''在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“于‘

表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的一個(gè)與，使p(x0)成立''可用符號(hào)

簡(jiǎn)記為“mXoeM,P(Xo)”，讀作“存在M中元素％,使p(x0)成立“(存在量詞命題也叫存在性命題).

三.含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p:\fxGM,p(x)的否定-y?為三叫)eM,->p(x0).

；7

(2)存在量詞命題P：^X06用,/?"())的否定？>為''^6團(tuán),一1〃度).

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.

【方法技巧與總結(jié)】

1.從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)A={x|p(x)},3={x|q(x)}.

(1)若則p是q的充分條件(〃=q),q是p的必要條件；若A物，則p是q的充分不必要

條件，鄉(xiāng)是p的必要不充分條件，即〃=><?且與4p；

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小=大”.

(2)若BqA,則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

（3）若A=B,則〃與q互為充要條件.

2.常見的一些詞語和它的否定詞如下表

原詞語等于大于小于是都是任意至多至多

（=）（?（＜）（所有）有一個(gè)有一個(gè)

否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個(gè)至少有一個(gè)都

（＜）（＞）兩個(gè)沒有

（1）要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合初中的每一個(gè)元素x證明其成立，要判斷全稱量詞

命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x°，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個(gè)反例.

（2）要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合用中能找到一個(gè)與使之成立即可，否則這個(gè)存在量

詞命題就是假命題.

【題型歸納目錄】

題型一：充分條件與必要條件的判斷

題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

題型五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

【典例例題】

題型一：充分條件與必要條件的判斷

例1.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）是“mxeR,x2-2x+a＜0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例2.（2022?重慶?三模）已知”＞0且“函數(shù)f（x）=優(yōu)為增函數(shù)”是“函數(shù)8（力=婷在（0,+8）上單調(diào)

遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例3.（2022?湖北?模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列｛q｝中，已知出。2。＞0，則“%m＞/儂”是"色舊＞/23”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例4.（2022?山東?德州市教育科學(xué)研究院二模）已知山，〃是兩條不重合的直線，a是一個(gè)平面，〃ua,

則“機(jī)是“，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例5.（2022.四川.宜賓市教科所三模（理））已知兩條直線m,n和平面a,則m_L”的一個(gè)充分條件是（）

A.且〃_LaB.且〃uaC.加_La且〃uaD.”〃a且〃〃a

（多選題）例6.（2022?山東臨沂?二模）已知mbwR,則使力＞1”成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.（r+b2>\B.|a|+|Z>|>lC.2"+2">lD.-+^->10

ab

【方法技巧與總結(jié)】

1.要明確推出的含義，是〃成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2.充分必要條件在面對(duì)集合問題時(shí)，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

3.充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個(gè)知識(shí)面的培養(yǎng).

題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

例7.（2022?湖南懷化?一模）已知。€凡，且"x>a”是“/>2x”的充分不必要條件，則。的取值范圍是

例8.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若*-〃）2<4成立的一個(gè)充分不必要條件是1+-—40,則實(shí)數(shù)a的取值

2-x

范圍為（）

A.（-8,4]B.[1,4]C.（1,4）D.（1,4]

例9.（2022?山西晉中?二模（理））已知條件P：-1<X<1,q：x>m,若。是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是（）

A.[-1,+co）B.-1）C.（-1,0）D.（-°0,-1]

1

例10.（2022.河南平頂山.高三期末（文））若1+±40是（x-a）9-<4成立的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍為（）

A.（—8,4]B.[1,4]C.（1,4）D.（1,4]

例11.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））若關(guān)于x的不等式上-1<。成立的充分條件是0<x<4,則實(shí)數(shù)“

的取值范圍是（）

A.（—oo,1]B.（—oo,1）

C.（3,+oo）D.[3,+oo）

例12.（2022.湖南懷化.一模）已知aeR,,且“x>a”是“/>26，的充分不必要條件，則a的取值范圍是

例13.（2022?重慶?高三階段練習(xí)）若不等式卜|<。的一個(gè)充分條件為-2<x<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

例14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知集合A={），ly=d—■|x+l,xe（二]1,B={x\x+nr>\\.若

“工€4”是“》68”的充分條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

例15.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（》）=嚓"4的定義域?yàn)榧螦,關(guān)于x的不等式

5/2x4-I

（工一團(tuán)2）。一2帆+1）40的解集為B.

（1）當(dāng)機(jī)=2時(shí)，求@A）U8；

(2)若xWA是xGB的充分條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

5-2x

例16.(2022?天津?漢沽一中高三階段練習(xí))不等式的解集是A,關(guān)于x的不等式f-4皿-5a240

x+2

的解集是反

(1)若初=1,求AflB；

(2)若Au3=3,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

—x—6<0

⑶設(shè)P：實(shí)數(shù)x滿足工2一46+3/<0,其中〃>0,命題平實(shí)數(shù)x滿足2c:八.若P是4的必要不充分

x+2x-8>0

條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例17.(2022?陜西武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)(理))已知條件p:A={Tx2-4ax+4/-140},條

件q:8={x|x2—x—2<o|.(/=R.

(1)若a=l，求即(4CB).

(2)若q是。的必要不充分條件，求”的取值范圍.

【方法技巧與總結(jié)】

1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關(guān)系.

2.在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時(shí);要注意端點(diǎn)是否能取到問題，容易出錯(cuò).

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

例18.(2022?黑龍江齊齊哈爾?三模(理))已知Ovb<a<l,下列四個(gè)命題:①Vxe(0rK?),狀②Vxe(O,l),

log“x>log〃x,③3xe(0,l),x">^,@3xe(0,Z>),a'>log?x.

其中是真命題的有()

A.①@B.②④C.①②D.③④

4

例19.(2022?江西?二模(理))己知命題P”存在網(wǎng)>0,使得與+—44,命題外：對(duì)任意的xeR,都

工0

有tan2x=：：：；,命題P3：存在使得3sinx°+4cosx0=6,其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

例20.(2022.河南.新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)和g(x)的定義域均為[名目，記的最大

值為M，g(x)的最大值為時(shí)2,則使得“M>也''成立的充要條件為()A.“?區(qū)句，出目4目，

"為)>8(馬)

B.Vx,e[a,b],Bx,e[a,b],/(x,)>g(x2)

C.Hv,&[a,b],Vx,&[a,b\,/(xl)>g(A2)

D.Vxe[?,/>],/(x)>g(x)

例21.(2022?浙江?高三專題練習(xí))下列命題中，真命題為()

A.存在X（）GR,使得e'。<o

B.直線）1力，au平面a,平面則平面a，Z?

C.y=sin2x+~v4—（xHk%,4eZ）最小值為4

sinx

D.a>\,6>1是a/?>l成立的充分不必要條件

（多選題）例22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列命題中的真命題是（）

A.VxGR,2x-/>0B.VxGN*,（x-l）2>0

C.3xGR,lgx<lD.3xGR,taar=2

例23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列命題中正確的是（寫出正確命題的序號(hào)）

⑴玉04a，可，使/（xj>g（x0）,只需

（2）〃x）>g（x）恒成立,只需[f（x）—g（x）]而>0;

（3）%斗,可,天目。,蜀，“xj>g（&）成立,只需/（x）1nhi>g（x）g；

（4）e[a,b],we[c,d],/（蒼）>屋馬），只需〃力,伽>g（x）11M.

【方法技巧與總結(jié)】

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學(xué)結(jié)論.

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡(jiǎn)單，注意細(xì)節(jié)即可.

題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

例24.（2022?四川成都?三模（理））命題“VxeR,e，+2>0”的否定是（）.

A

A.3x0eR,4-2<0B.VxeR,e+2<0

C.3x0GR,e%+2>0D.Vx0eR,e?+2<0

例25.（2022?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)（文））已知命題p：VneN*,/+〃22,貝I力為（）

A.V〃任N=〃2+〃<2B.VneN\n2+n<2

C.3H0￡N",加+%v2D.3H0eN",加+%<2例26.（2022?江西贛州?二模（文））已知命題P：VXGR,

sinJC4-COSX>V2,則r7為（）

A.VXGR,siar4-cosx<5/2B.3x^R,siax+cosx<V2

C.Vx史R，sinx+cosx<\/2D.HreR,sinx4-cosx<>/2

例27.（2022?遼寧?建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）命題“玉?！辏?,”），的否定是（）

A.現(xiàn)￡（0,+oo）,lnx0<x0-lB.玉0任（0,”），lnx0>^-l

C.Vxe（0,-wx））,\nx<x-lD.Vx^（0,+oo）,lnx>x-l

例28.（2022?山東濰坊?二模）十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對(duì)任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于羽y,z的方程

/+/=z〃沒有正整數(shù)解、經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯?懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，

則費(fèi)馬大定理的否定為（）

A.對(duì)任意正整數(shù)〃，關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"都沒有正整數(shù)解

B.對(duì)任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

C.存在正整數(shù)”42,關(guān)于x,y,z的方程x"+y=z"至少存在一組正整數(shù)解

D.存在正整數(shù)〃>2,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知命題p：存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)，則即為（）

A.任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

B.存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C.任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D.存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是無理數(shù)

例30.（2022?山西晉中.模擬預(yù)測(cè)（理））命題P：Vx>0,x2-2x+e2<3,則Y為.

【方法技巧與總結(jié)】

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論變否定.

1.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否.

題型五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

例31.（2022?山東青島?一模）若命題“VxeR,十[2為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.。>0B.a>0C.a<（）D.a<1

例32.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若命題“存在xeR,使/+2X+“《0''是假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是（）

A.（-oo,l]B.S，l）

C.D.[l,+oo）

例33.（2022?江蘇?南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若命題"Vxe[l,4]時(shí)，—>機(jī)”是假命題，則加的取值范圍（）

A.m>\6B.m>l

C.m<16D.m<\

例34.（2022?黑龍江齊齊哈爾?二模（文））若命題“山?-1,3],加-（24-1卜+3-“<0”為假命題，則實(shí)數(shù)x

的取值范圍為（）

A.[-1,4]B.0,|C.[-1,O]U|,4D.[-l,0）U（|,4

例35.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若tanxW”廣是真命題，則實(shí)數(shù)加的最大值為.

例36.（2022.全國(guó).高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)〃（*）滿足2〃（0+萬。）>0且儀1）=二，其中

e

以刀八上的解集為人函數(shù)“公：二^里，g（x）="（a>l）,若*2€人使得了（4）=8（為），則

ex-1

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

TTIT

例37.（2022.湖北.荊門市龍泉中學(xué)二模）若命題“叫e,，W，是假命題，則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍

是.

例38.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若“h[-1,1],/+2-。>0”為假命題，則實(shí)數(shù)”的最小值為.

例39.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在①次eR,Y+2ax+2-a=0,②3aeR,使得區(qū)間A=(2,4),3=(a,3a)

滿足4n8=0這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.

已知命題p：Vxe[l,2],x2-a>0,命題q：，p,4都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

例40.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若/(x)=x-2x,g(x)=ax+2(a>0),V.r/G[-1,2],3%0G[-l,

2],使g（x/）=/（xo）,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【方法技巧與總結(jié)】

1.在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個(gè)命題都為真命題，如果哪個(gè)是假命題，去求真命題的補(bǔ)級(jí)

即可.

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對(duì)較難，要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到.

【過關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知p:x2-ar+l=0無解，4"。）=（4-/X為增函數(shù)，則p是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2022?北京房山?二模汨知a,〃是兩個(gè)不同的平面，直線/<za,且a，/?,那么是“/，￡”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2022.江蘇?華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）若馬，Z?為復(fù)數(shù)，則“4-Z?是純虛數(shù)”是“Z-Z2互為共輾復(fù)數(shù)”

的()

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）命題"VlVxW2,犬-2?40''是真命題的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.a>\B.a>3C.a>2D.a<4

5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知下列四個(gè)命題：正確的是（)

Pi：3x()>0,使得Inx。>/-1；

Pi：VxeR,都有*2_工+1>0；

,1?

Ps：3x0>0,使得In—>-x()+1.

P4：Vxe(0,-K?),使得>嗎x.

2

D.

A.p2,p4B.P|,P4C.p2,pyPi，Py

6.（2022?重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）命題“Vx22,犬±4"的否定為（)

A.3X（,>2,x；<4B.Vx>2,x2<4C.切<2,x；<4D.Vx<2,x2<4

7.（2022.江西景德鎮(zhèn).模擬預(yù)測(cè)（理））己知命題：函數(shù)/。）=丁+奴2+（2根-。-1?-機(jī)3>0,,">0）,且關(guān)

于x的不等式1/（幻|〈機(jī)的解集恰為（0,1）,則該命題成立的必要非充分條件為（）

A.m>aB.m<a

22、

C.m>aD.m<a^.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義4-8={x|xeA,x史陰，設(shè)AB、C是某集

合的三個(gè)子集，且滿足（A—B）u（8-A）uC,則A=（C—B）u（B-C）是An3nC=0的（）

A.充要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件

二、多選題

9.（2022?廣東茂名?模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題中為真命題的是（）

A."nvb"是"ac2Vbe2”的必要不充分條件

B.設(shè)A設(shè)是兩個(gè)集合,則“A08=A”是“AuB”的充要條件

C."Vx>0,e，>0”的否定是“W0,e*40”

D.8名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)分別為：80,68,90,70,88,96,89,98,則該數(shù)學(xué)成績(jī)的15%分位數(shù)為70（注：一

般地，一組數(shù)據(jù)的第尸百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有尸％的數(shù)據(jù)小于或者等于這個(gè)值,

且至少有（100-尸）％的數(shù)據(jù)大于或者等于這個(gè)值.）

10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)a>0,6>0,且標(biāo)b,則“a+〃>2”的一個(gè)必要條件可以是（）

A.o'+h3>2B.a2+h2>2C.ab>\D.—+—>2

ab

11.（2022?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知x,y均為正實(shí)數(shù)，則下列各式可成為“》<廣’的充要條件是（）

A.->-B.x-y>sinx-sinyC.x-y<cosx-cosyD.ex-ev<x2-y2

xy

12.（2022?湖北?武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.“關(guān)于x的不等式爾2+》+機(jī)>0在R上恒成立,，的一個(gè)必要不充分條件是相>!

B.設(shè)x,yeR,則“x..2且y..2”是“/+r.4”的必要不充分條件

C.是/<1”的充分不必要條件

a

D.命題“玄?（）,1]/+6,（）”是假命題的實(shí)數(shù)。的取值范圍為{4。>0}

三、填空題

13.（2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若命題“三%>1,片-叫,+。+3<0”是假命題，則a的取值范

圍是■

14.（2022?浙江.高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（X）=X2-2X+3,g（x）=log?X+TM,若對(duì)％e[2,4],加e[8,16],

使得/。）學(xué)8（弓），則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

15.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)=d—2or+6—l(aeR),則“方程/(x)=0在區(qū)間(-8,0)和

上各有一個(gè)解”的一個(gè)充分不必要條件是4=.(寫出滿足條件的一個(gè)值即可)

16.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知〃：/(尤)=工-。111》在［2,+0))上單調(diào)遞增，若。是4的充分不

必要條件，則實(shí)數(shù)執(zhí)的取值范圍為.

四、解答題

17.(2022?全國(guó),高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=,生工的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)

V3x+l

g(x)=y］x2-(2a+l)x+a2+a的定義域?yàn)榧螧,

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，求AD3；

⑵設(shè)命題P：XEA,命題p是4的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

18.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合4=［x1?<；”，B={x|x2-7ax+10a2<0},aeR.

⑴當(dāng)a>0時(shí)，xeA是xeB的充分條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)若B=，A,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

22

19.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知p：——+——=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，q：Bxe7?,x2-,nx+l<0,

m+\4-m

(D若P是真命題，求〃?的取值范圍；

(2)若p,都是真命題，求相的取值范圍.

20.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)p:24x<4,q：實(shí)數(shù)尤滿足/一25-3片<0(a>0).

(1)若a=l,且P，4都為真命題，求x的取值范圍；

(2)若。是4的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.(2022?全國(guó),高三專題練習(xí))已知集合4=}1=2*,、41},B={x\2+a<x<\-a,a^R}

(1)若An*8=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)若“xeA”是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

22.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知幕函數(shù)/(x)=(〃?—1尸,毋+2在(0,”)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)=2x-%.

(1)求，"的值；

(2)當(dāng)xe［l,2)時(shí)，記/(x),g(x)的值域分別為集合A,B,設(shè)p：xeA,g:xeB,若p是q成立的必要條件，

求實(shí)數(shù)欠的取值范圍.

(3)設(shè)廠(幻=/(幻-丘+1-G,且W(x)l在［°，］］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)發(fā)的取值范圍.

專題02常用邏輯用語

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

一、充分條件、必要條件、充要條件

1.定義

如果命題“若〃，則4”為真(記作p=q),則〃是夕的充分條件：同時(shí)q是p的必要條件.

2.從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若〃=4且44p,則p是q的充分不必要條件；

(2)若p%q且q=>p,則〃是q的必要不充分條件；

(3)若p=q且q=>p,則p是q的的充要條件(也說p和q等價(jià))；

(4)若〃Aq且44p,則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

對(duì)充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：p=q,則〃是q的充分條件，同時(shí)q是〃的

必要條件.所謂"充分”是指只要p成立，q就成立；所謂“必要”是指要使得p成立，必須要q成立(即如果q

不成立，則“肯定不成立).

二.全稱量詞與存在童詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.

含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)M中的任意一個(gè)x,有p(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記

為“VxeM,p(x)”，讀作“對(duì)任意x屬于M,有p(x)成立”.

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)''在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“于‘

表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的一個(gè)與，使p(x0)成立''可用符號(hào)

簡(jiǎn)記為“mXoeM,P(Xo)”，讀作“存在M中元素％,使p(x0)成立“(存在量詞命題也叫存在性命題).

三.含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p:\fxGM,p(x)的否定-y?為三叫)eM,->p(x0).

；7

(2)存在量詞命題P：^X06用,/?"())的否定？>為''^6團(tuán),一1〃度).

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.

【方法技巧與總結(jié)】

1.從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)A={x|p(x)},3={x|q(x)}.

(1)若則p是q的充分條件(〃=q),q是p的必要條件；若A物，則p是q的充分不必要

條件，鄉(xiāng)是p的必要不充分條件，即〃=><?且與4p；

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小=大”.

(2)若BqA,則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若A=B,則〃與q互為充要條件.

2.常見的一些詞語和它的否定詞如下表

原詞語等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(?(<)(所有)有一個(gè)有一個(gè)

否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個(gè)至少有一個(gè)都

(2)兩個(gè)沒有

(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合加中的每一個(gè)元素x證明其成立，要判斷全稱量詞

命題為假命題，只要能舉出集合加中的一個(gè)x°,使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個(gè)反例.

(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)與使之成立即可，否則這個(gè)存在量

詞命題就是假命題.

【題型歸納目錄】

題型一：充分條件與必要條件的判斷

題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

題型五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

【典例例題】

題型一：充分條件與必要條件的判斷

例1.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))是FxeR,x2-2x+a<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

3xeR,x2-2x+a<0,列出不等式，求出從而判斷出答案.

【詳解】

eR,x2—2x+a<0.則要滿足A=4—4a>0,解得：a<\,

因?yàn)閍<11/a<1,fHtz<1=>a<11

故是“*?1<犬-2》+"0”的必要不充分條件.

故選：B

例2.(2022?重慶?三模)已知。>0且awl,“函數(shù)f(x)=優(yōu)為增函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=x=在(0,+8)上單調(diào)

遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【解析】

【詳解】

函數(shù)〃司=優(yōu)為增函數(shù)，則0>1,此時(shí)a-l>0,故函數(shù)g（x）=x"T在（0,+8）上單調(diào)遞增;當(dāng)g（x）=f在

（0,+8）上單調(diào)遞增時(shí),，所以0>1,故為增函數(shù).

故選:C

例3.（2022?湖北?模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列｛q｝中，已知/020>°，則“%021>%024”是“%022>%023”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其充分條件，必要條件的定義求解即可.

【詳解】

?公比4H0,??42021>“2024，,,。202”>”20204，,..q（l—0）>0,..4（1—q）（l+g+g-）>0,

q（l-q）>0,/.0<^<1,

乂,“2022>“2023，“202（）4>“202應(yīng)，,????4（1一夕）>°，

，4<1且4片。，

0<4<1=4<1且qxO,

即"的）21>。2024”是“生。22>?2023”的充分不必要條件.

故選：A.

例4.（2022.山東?德州市教育科學(xué)研究院二模）已知根，〃是兩條不重合的直線，口是一個(gè)平面，“ua,

貝廣加La''是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明充分性成立，由線面垂直的定義判斷必要性不成立.

【詳解】

由線面垂直的性質(zhì)知，若"z_Lar,"ua,則加_1_"成立，即充分性成立；

根據(jù)線面垂直的定義，心必須垂直平面a內(nèi)的兩條相交直線，才有m_La,即必要性不成立.

故選：A.

例5.（2022?四川?宜賓市教科所三模（理））已知兩條直線m,n和平面a,則mln的一個(gè)充分條件是（）

A.〃z_La且〃_LaB.〃?〃a且"uac.且“uaD.帆〃a且〃〃a

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的定義即可得出答案.

【詳解】

解：對(duì)于A,若機(jī)_Lan.〃_La,則/?〃“，故A不符題意；

對(duì)于B,若機(jī)〃a且“ua,則，“與w平行或異面，故B不符題意；

對(duì)于C,若〃?J_arR.〃ua,則機(jī)_L〃，故C符合題意；

對(duì)于D,若〃?〃a且”〃a,則機(jī)與“平行、相交或異面，故D不符題意.

故選：C.

（多選題）例6.（2022?山東臨沂?二模）已知a,6eR,則使成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.a2+b2>\B.|a|+|/”>lC.20+2*>1D.-+^->10

ab

【答案】BC

【解析】

【分析】

對(duì)于A、D選項(xiàng)，取特殊值說明既不充分也不必要即可；對(duì)于B,先取特殊值說明不充分，再同時(shí)平方證必

要即可；對(duì)于C,先取特殊值說明不充分，再結(jié)合基本不等式證必要即可；

【詳解】

對(duì)于A,當(dāng)a=b=-l時(shí)，滿足/+從>1,不滿足a+b>l,即標(biāo)+從>i推不出，+6>1,不充分:

13

當(dāng)a===時(shí)，滿足a+人>1,不滿足/+從>1,即a+b>l推不出/+店>],不必要；A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)a=6=-l時(shí)，滿足|a|+|b>l,不滿足a+6>l,即|a1+|勿>1推不出a+b>1,不充分;

當(dāng)a+A>l時(shí)，平方得°2+2a〃+從>1,X（|a|+|/?|）*=|a|2+2|?Z?|+|^|->a2+2ab+b2>1,又|a|+向>0,故

141+1例>1,

即a+b>l能推出|a|+|b|>l,必要；B正確;

對(duì)于C,當(dāng)a=b=0時(shí)，滿足2"+2">1，不滿足。+力>1,即2"+2">1推不出。+匕>1,不充分；

當(dāng)”+6>1時(shí)，由2">0,2’‘>0,2"+2〃22,22%=21*>2yli>1，即1能推出2"+2">1，必要；

C正確；

144

對(duì)于D,當(dāng)a=6=2時(shí)，滿足上+b一+\>10,不滿足即上+b一+\>10推不出a+b>l,不充分；

2abah

當(dāng)”=2力=1時(shí)，滿足a+力>1,不滿足±+四>10,即a+b>l推不出，+5>10,不必要；D錯(cuò)誤.

abah

故選：BC.

【方法技巧與總結(jié)】

1.要明確推出的含義，是〃成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2.充分必要條件在面對(duì)集合問題時(shí)，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

3.充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個(gè)知識(shí)面的培養(yǎng).

題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

例7.（2022?湖南懷化?一模）己知。€凡，且“萬>?！笔恰岸?gt;2/’的充分不必要條件，則。的取值范圍是

【答案】[2,+co）

【解析】

【分析】先確定d>2x的充要條件，再由充分不必要條件的定義求解，

【詳解】

x2>2x等價(jià)于x<0或x>2,

而且“x>a”是>2x”的充分不必要條件,則a22.

故答案為：[2,+a））.

例8.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若（x-a）2<4成立的一個(gè)充分不必要條件是1+丁匚40,則實(shí)數(shù)a的取值

2-x

范圍為（）

A.（一8,4]B.[1,4JC.（1,4）D.（1,4J

【答案】D

【解析】

【分析】

解一元二次不等式、分式不等式求得題設(shè)條件為真時(shí)對(duì)應(yīng)x的范圍，再根據(jù)條件的充分不必要關(guān)系求參數(shù)a

的取值范圍.

【詳解】

由（工一〃）2<4,可得：a-2<x<a+2；

山l+y^—=咨40,則[（，一；）°一：）,。，可得2<xW3；

2-x2-x[2-XHO

V（x-a）2<4成立的一個(gè)充分不必要條件是1+1—40,

2-x

[a-2<2,

???〈可得lvaW4.

a+2>3

故選：D.

例9.（2022?山西晉中?二模（理））已知條件P：Q：x>"；,若。是4的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是（）

A.[-l,+oo)B.1)C.(—1,0)D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)充要條件與集合的包含關(guān)系可得.

【詳解】

因?yàn)椤Ｊ?的充分不必要條件，所以{N-l<x<l}{x\x>m},即加4-1.

故選：D.例10.(2022?河南平頂山?高三期末(文))若1+占40是(x-a)2<4成立的一個(gè)充分不必要條件,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-8,4]B.[1,4]C.(1,4)D.(1,4]

【答案】D

【解析】

【分析】

理解充分不必要條件的含義；解不等式；理解解集間的關(guān)系.

【詳解】

19

由題意可得1+二■。=>(工一。)「<4,而

13—%(x-2)(x-3)<0^

1+——<0<=>——<0<=>2<x<3<4<^>-2<x-a<2<=>a-2<x<a+2]j^i

2-x2—xx-2w0

ja-2<2

故l<a44,

[3<a+2

故選：D

例U.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))若關(guān)于x的不等式歸-1卜。成立的充分條件是0<工<4,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.(—co,1]B.(—co,1)

C.(3,+oo)D.[3,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)充分條件列不等式，由此求得a的取值范圍.

【詳解】

成立的充分條件是0<x<4,則a>0,

|x-l|<?=>1—a<x<l+a,所以《=>a>3.

1111+424

故選：D

例12.（2022?湖南懷化?一模）已知awH,,且“x>〃”是“犬>2/，的充分不必要條件，則〃的取值范圍是

【答案】［2,內(nèi)）

【解析】【分析】

先確定W>2》的充要條件，再由充分不必要條件的定義求解，

【詳解】

f>2x等價(jià)于x<0或x>2,

而且“x>“”是“V>2x”的充分不必要條件，則讓2.

故答案為：⑵+00）.

例13.（2022?重慶?高三階段練習(xí)）若不等式崗<。的一個(gè)充分條件為-2<x<（）,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)含絕對(duì)值不等式的解法，求解不等式的解集，結(jié)合充分條件，列出關(guān)系式，即可求解.

【詳解】

由不等式|x|<。,

當(dāng)時(shí)，不等式|x|<”的解集為空集，顯然不成立；

當(dāng)。>0時(shí)，不等式可得-a<x<a,

要使得不等式|x|<?的一個(gè)充分條件為-2<x<0,則滿足{x|-2<x<0}u{x|-a<x<a},

所以-22-“，即aN2

二實(shí)數(shù)。的取值范圍是a±2.

故答案為：a>2.

例14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知集合4=卜|丫=/一:x+Lxe(,21，B={x\x+nr>\\.若

“xeA”是“xeB”的充分條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【答案】1-00，-：D（'e）

【解析】

【分析】

求函數(shù)的值域求得集合A,根據(jù)“xeA”是“xeB”的充分條件列不等式，由此求得用的取值范圍.

【詳解】

-33

函數(shù)y=f—]x+i的對(duì)稱軸為x=開口向上，

所以函數(shù)y=x2-]x+l在],2上遞增，

37r7

當(dāng)x=：時(shí);乂而=71；當(dāng)x=2時(shí)，％皿=2.所以A=—,2.

416|_16_

B=|x|x+/n2>lj=1^|X>1-AW2J,

由于“XEA”是“xw夕的充分條件，

7Q

所以1一/<AH2>—,