高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備忘錄（三）函數(shù)及其性質(zhì)

數(shù)學(xué)高考備忘錄（三）函數(shù)及其性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】（一）同一函數(shù)的概念：構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。（二）求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1）代數(shù)式自身的限制；（2）根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。（3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域?yàn)?求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時(shí)，求的值域（即的定義域）（三）求函數(shù)值域（最值）的方法：（1）配方法;（2）換元法――通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如①的值域?yàn)開____（答：）；②(答：（0,1）)（3）單調(diào)性法―利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如的值域（答：）；（4）數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程y＝eq\r(－x2＋4x－3).則eq\f(y,x)的最大值_____，y－x的最小值______；（答：）（5）基本不等式法：如：函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值________(答：2eq\r(3)＋2)（6）導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)。（四）分段函數(shù)：(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．【易錯(cuò)警示】1．解決函數(shù)的一些問題時(shí)，易忽視“定義域優(yōu)先”的原則．2．判斷函數(shù)圖象的常用結(jié)論：與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)．【高考熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】常與不等式相結(jié)合求函數(shù)的定義域、值域．求函數(shù)值多以分段函數(shù)給出．加強(qiáng)函數(shù)與方程思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)．【過關(guān)題】1.函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,\r(1－x))＋lg(2x－1)的定義域?yàn)?)A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1]D．(－∞，1)2.已知函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[－2,3]，則y＝f(2x－1)的定義域是()A．[－3,7]B．[－1,4]C．[－5,5]D．[0，eq\f(5,2)]3.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]4.函數(shù)的最大值為________答：（A,D,D,）（五）函數(shù)的單調(diào)性1．如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D.上的任意.兩個(gè)自變量的值x1，x2，且x1<x2.，都有f(x1)<f(x2).成立，則f(x)在D上是增函數(shù).(都有f(x1)>f(x2)成立，則f(x)在D上是減函數(shù).)．2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．【拓展】1．單調(diào)函數(shù)的定義有以下等價(jià)形式：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．2．復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減”，即y＝f(u)與u＝g(x)若具有相同的單調(diào)性，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則y＝f[g(x)]必為減函數(shù)．3.要注意對(duì)勾函數(shù)：型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.（六）函數(shù)的奇偶性1.定義：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.)，都有f(－x)＝－f(x).成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x).成立，則f(x)為偶函數(shù))．【拓展】1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論①奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有意義，則f(0)＝0；③若奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性相同；若偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性相反④若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(|x|)，反之也成立．⑤在公共定義內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．⑥既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）2．一些重要類型的奇偶函數(shù)①函數(shù)f(x)＝ax＋a－x為偶函數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax－a－x為奇函數(shù)；②函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－a－x,ax＋a－x)＝eq\f(a2x－1,a2x＋1)(a＞0且a≠1)為奇函數(shù)；③函數(shù)f(x)＝logaeq\f(1－x,1＋x)為奇函數(shù)；④函數(shù)f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋1))為奇函數(shù)．3.(1)任意一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)均可寫成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)和的形式，則g(x)＝eq\f(fx－f－x,2)，h(x)＝eq\f(fx＋f－x,2).(2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)＋f(－x)為偶函數(shù)，f(x)－f(－x)為奇函數(shù)，f(x)·f(－x)為偶函數(shù)．（七）函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則需滿足的條件：①T≠0；②f(x＋T)＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，且n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期，即f(x＋nT)＝f(x)．【拓展】函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期是T＝2a(a≠0)；②若滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期是T＝2a(a≠0)；③若滿足f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期是T＝2a(a≠0)；④若函數(shù)滿足f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期是T＝2a(a≠0)．【易錯(cuò)警示】1.求單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：①單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子區(qū)間．②單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式、集合表示，遇多個(gè)單調(diào)區(qū)間用頓號(hào)隔開，不能用或、“∪”連結(jié)．2.在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，忽略函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征而導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤．【高考熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】判定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性解不等式，求函數(shù)的最大值、最小值；判斷函數(shù)的奇偶性、周期性，并應(yīng)用其性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的函數(shù)問題是高考的熱點(diǎn)．【過關(guān)題】1.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函數(shù)，則有()A．f(eq\f(1,4))<f(－eq\f(1,4))<f(eq\f(3,2)) B．f(－eq\f(1,4))<f(eq\f(1,4))<f(eq\f(3,2))C．f(eq\f(1,4))<f(eq\f(3,2))<f(－eq\f(1,4))D．f(－eq\f(1,4))<f(eq\f(3,2))<f(eq\f(1,4))2.函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋a,2x－a)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為__；3.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝__.（答：B,1或－1,2）（八）圖象變換(1)平移變換將y＝f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(x＋a)的圖象；將y＝f(x)的圖象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(x)＋a的圖象．(2)對(duì)稱變換①作y＝f(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象；②作y＝f(x)關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)＝－f(x)的圖象；③作y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)＝－f(－x)的圖象；④將y＝f(x)在x軸下方的圖象翻折到上方，與y＝f(x)在x軸上方的圖象結(jié)合起來得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖象；⑤將y＝f(x)在y軸左側(cè)部分去掉，再作右側(cè)關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象合起來得到y(tǒng)＝f(|x|)的圖象．(3)伸縮變換①y＝Af(x)(A＞0)的圖象，可將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，橫坐標(biāo)不變而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的圖象，可將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)?，縱坐標(biāo)不變而得到．【拓展】進(jìn)行圖象變換時(shí)，要合理選擇變換的順序，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化變形．例如，要得到y(tǒng)＝2－|x－1|的圖象，由于y＝2－|x－1|＝(eq\f(1,2))|x－1|，可將y＝(eq\f(1,2))x的圖象先通過對(duì)稱翻折得到y(tǒng)＝(eq\f(1,2))|x|的圖象，再通過平移得到y(tǒng)＝(eq\f(1,2))|x－1|的圖象．（九）函數(shù)圖象的對(duì)稱性（自對(duì)稱）①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．（特點(diǎn)自變量之和為常數(shù)，函數(shù)值相等，軸為常數(shù)的一半）②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱；（特點(diǎn)自變量之和為常數(shù)，函數(shù)值相反，中心為常數(shù)的一半）③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．（十）兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱性（1）函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為；（2）函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為；（3）函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為；（4）函數(shù)關(guān)于對(duì)稱的函數(shù)；（5）關(guān)于對(duì)稱的函數(shù)【易錯(cuò)提醒】注意函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的區(qū)別；注意函數(shù)圖像的自身對(duì)稱與兩個(gè)函數(shù)圖像對(duì)稱的區(qū)別；函數(shù)圖象的每次變換都針對(duì)自變量“x”而言，如從f(－2x)的圖象到f(－2x＋1)的圖象是向右平移eq\f(1,2)個(gè)單位.【高考熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.給出函數(shù)解析式選圖象及利用圖象解決交點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程的解、不等式等問題；2.各種基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，圖象變換等也是高考的熱點(diǎn)．【過關(guān)題】1.對(duì)于函數(shù)，，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的()A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.即不充分也不必要條件2.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則在上的值域?yàn)?)A． B． C． D．3.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y