高中數(shù)學(xué)必修1基本初等函數(shù)?？碱}型：冪函數(shù)

-.z.冪函數(shù)【知識(shí)梳理】1．冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝叫做冪函數(shù)．其中*是自變量，α是常數(shù)．2．常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)＝*y＝*2y＝*3y＝eq\f(1,*)y＝圖象定義域RRR{*|*≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減在[0，＋∞)上單調(diào)遞增定點(diǎn)(1,1)3．冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)．(2)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．(3)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)*從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸；當(dāng)*趨于＋∞時(shí)，圖象在*軸上方無(wú)限地逼近*軸正半軸．【?？碱}型】題型一、冪函數(shù)的概念【例1】(1)以下函數(shù)：①y＝*3；②y＝；③y＝4*2；④y＝*5＋1；⑤y＝(*－1)2；⑥y＝*；⑦y＝a*(a>1)．其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(2)冪函數(shù)y＝，求此冪函數(shù)的解析式，并指出定義域．(1)[解析]②⑦為指數(shù)函數(shù)，③中系數(shù)不是1，④中解析式為多項(xiàng)式，⑤中底數(shù)不是自變量本身，所以只有①⑥是冪函數(shù)，應(yīng)選B.[答案]B(2)[解]∵y＝為冪函數(shù)，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝－3，則y＝*－3，且有*≠0；當(dāng)m＝－1時(shí)，m2－2m－3＝0，則y＝*0，且有*≠0.故所求冪函數(shù)的解析式為y＝*－3，{*|*≠0}或y＝*0，{*|*≠0}．【類題通法】判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.反之，假設(shè)一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)應(yīng)具備這一形式，這是我們解決*些問(wèn)題的隱含條件．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】函數(shù)f(*)＝是冪函數(shù)，且當(dāng)*∈(0，＋∞)時(shí)，f(*)是增函數(shù)，求f(*)的解析式．解：根據(jù)冪函數(shù)的定義得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，f(*)＝*3在(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)m＝－1時(shí)，f(*)＝*－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，不符合要求．故f(*)＝*3.題型二、冪函數(shù)的圖象【例2】(1)如圖，圖中曲線是冪函數(shù)y＝在第一象限的大致圖象，α取－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α的值依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)(2)如圖是冪函數(shù)y＝與y＝在第一象限內(nèi)的圖象，則()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1[解析](1)令*＝2，則22>2eq\f(1,2)>2－eq\f(1,2)>2－2，故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α值依次為2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2.應(yīng)選B.(2)此類題有一簡(jiǎn)捷的解決方法，在(0,1)內(nèi)取*0，作直線*＝*0，與各圖象有交點(diǎn)，則"點(diǎn)低指數(shù)大〞．如圖，0<m<1，n<－1.[答案](1)B(2)B【類題通法】解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)把握的兩個(gè)原則(1)依據(jù)圖象上下判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近*軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離*軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)．(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝*－1或y＝或y＝*3)來(lái)判斷．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】函數(shù)y＝，y＝，y＝的圖象如下圖，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：選A由冪函數(shù)的圖象特征知，c<0，a>0，b>0.由冪函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)*>1，冪指數(shù)大的冪函數(shù)的函數(shù)值就大，則a>b.綜上所述，可知c<b<a.題型三、利用冪函數(shù)的性質(zhì)比擬大小【例3】比擬以下各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小．(1)與；(2)與；(3)與.[解](1)∵冪函數(shù)y＝在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，∴>.(2)∵冪函數(shù)y＝在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，∴>.(3)∵函數(shù)y1＝為R上的減函數(shù)，又eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴>.又∵函數(shù)y2＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴>，∴>.【類題通法】比擬冪值大小的方法(1)假設(shè)指數(shù)一樣，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；(2)假設(shè)指數(shù)不同，底數(shù)一樣，則考慮指數(shù)函數(shù)；(3)假設(shè)指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個(gè)數(shù)的底數(shù)與所比擬數(shù)的一個(gè)底數(shù)一樣，指數(shù)與另一個(gè)數(shù)的指數(shù)一樣，則這個(gè)數(shù)就介于所比擬的兩數(shù)之間，進(jìn)而比擬大小．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】比擬以下各題中兩個(gè)冪的值的大小：(1)，；(2)，；(3)，.解：(1)∵y＝為[0，＋∞)上的增函數(shù)，且2.3<2.4，∴<.(2)∵y＝為(0，＋∞)上的減函數(shù)，且<，∴>.(3)∵y＝為R上的偶函數(shù)，∴＝.又函數(shù)y＝為[0，＋∞)上的增函數(shù)，且0.31<0.35，∴<，即<.【練習(xí)反應(yīng)】1．以下函數(shù)是冪函數(shù)的是()A．y＝2* B．y＝2*－1C．y＝(*＋1)2 D．y＝解析：選D由冪函數(shù)的概念可知D正確．2．以下命題：①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)；②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；③n＝0，函數(shù)y＝的圖象是一條直線；④冪函數(shù)y＝當(dāng)n>0時(shí)，是增函數(shù)；⑤冪函數(shù)y＝當(dāng)n<0時(shí)，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨*值的增大而減?。_的命題為()A．①④ B．④⑤C．②③ D．②⑤解析：選Dy＝*－1不過(guò)(0,0)點(diǎn)，∴①錯(cuò)誤，排除A；當(dāng)n＝0時(shí)，y＝的圖象為兩條射線，③錯(cuò)誤，排除C；y＝*2不是增函數(shù)，④錯(cuò)誤，排除B；因此答案選D.3．冪函數(shù)f(*)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝________.解析：設(shè)f(*)＝，則4α＝2，∴α＝eq\f(1,2)，即f(*)＝，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝＝.答案：4．函數(shù)f(*)＝是冪函數(shù)，且在*∈(0，＋∞)時(shí)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________.解析：由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分別代入m2＋2m－3<0