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文檔簡介
《中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例》教學(xué)設(shè)計一、教案背景1.面向?qū)W生:高中2.學(xué)科:數(shù)學(xué)3.課時:14.學(xué)生課前準備:通過閱讀課本找出中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例,結(jié)合案例,了解一下中國古代主要的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。二、教學(xué)課題1.知識與技能目標:(1)了解中國古代數(shù)學(xué)中求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術(shù)的算法;(2)通過對“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的學(xué)習(xí),更好的理解將要解決的問題“算法化”的思維方法,并注意理解推導(dǎo)“割圓術(shù)”的操作步驟。2.過程與方法目標:(1)改變解決問題的思路,要將抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法,提高邏輯思維能力;(2)學(xué)會借助實例分析,探究數(shù)學(xué)問題。3.情感與價值目標:(1)通過學(xué)生的主動參與,師生,生生的合作交流,提高學(xué)生興趣,激發(fā)其求知欲,培養(yǎng)探索精神;(2)體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻,增強愛國主義情懷。三、教材分析本節(jié)為為高中數(shù)學(xué)人教B版必修三中第一章第三節(jié)課,本節(jié)課的重點是理解書中介紹的中國古代的三個問題的算法,難點是為算法編寫程序。求最大公約數(shù)的更相減損之術(shù),教材對這個算法編好了程序,可讓學(xué)生通過執(zhí)行程序來學(xué)習(xí)體會此算法,注意讓學(xué)生自主解釋此算法的有窮性。歐幾里得的輾轉(zhuǎn)相除法也是求最大公約數(shù)的有效算法,在實際問題中和抽象代數(shù)理論上都有重要應(yīng)用,它的程序可參看本小節(jié)中的探索與研究,可鼓勵學(xué)生自主編寫程序。割圓術(shù)可以啟發(fā)學(xué)生自己編寫算法,和Scilab程序,試驗證明,學(xué)生對此非常感興趣秦九韶算法一方面,這個算法是目前仍在廣泛使用(很多文獻中稱之為霍納法);另一方面,秦九韶算法給我們提供了一個比較算法優(yōu)劣的機會,一般地說,在中學(xué)生的程度上比較分析算法的優(yōu)劣不是容易的事,所以要利用這個機會讓學(xué)生對算法的優(yōu)劣性有所體會。四、教學(xué)方法
通過典型實例,使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計的全過程,在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu),學(xué)會有條理地思考問題、表達算法,并能將解決問題的過程整理成程序框圖。五、教學(xué)過程說明如何導(dǎo)入該課程,主要教學(xué)點的設(shè)計,知識拓展等。1、課前任務(wù):請同學(xué)們自己查一些資料或者上網(wǎng)搜索一些中國古代的數(shù)學(xué)家以及其主要成就:【百度知道】中國古代數(shù)學(xué)家(提前認識一下中國古代的數(shù)學(xué)成就,激勵同學(xué)們需要繼續(xù)努力)2、課上探討:同學(xué)們是否知道,我們在小學(xué)、初中學(xué)到的算術(shù)、代數(shù),從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程組以及方程的求根方法,都是我國古代數(shù)學(xué)家最先創(chuàng)造的,有的比其他國家早幾百年甚至上千年,我們?nèi)嗣裨陂L期的生活、生產(chǎn)和勞動過程中,創(chuàng)造了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、正負數(shù)及其計算,以及無限逼近任意實數(shù)的方法,在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)方面,我國在宋、元之前也都處于世界前列,更為重要的是我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著自己鮮明的特色,走著與西方完全不同的道路,在今天看來這條道路仍然有很大的優(yōu)越性。這條道路的一個重要特色就是“寓理于算”,也就是本節(jié)中所講的要把解決問題“算法化”。下面我們舉一些我國古代數(shù)學(xué)中算法的例子,讓同學(xué)們更進一步體會“算法”的概念,看一看中國古代數(shù)學(xué)家的偉大成就和顯著特色。下面就中國古代的數(shù)學(xué)成就,結(jié)合算法的知識,主要了解一下下面三個方面的內(nèi)容:求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法、割圓術(shù)和秦九韶算法。一、求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法:更相減損之術(shù)我們知道,如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除,則b稱為a的一個約數(shù),一個整數(shù)可能有好幾個約數(shù)。例如,12能被1,2,3,4,6,12整除,這6個數(shù)都是12的約數(shù)。16的有1,2,4,8,16這5個約數(shù)。我們看到2和4,既是12的約數(shù),又是16的約數(shù),2和4叫做12和16的公約數(shù),公約數(shù)2和4中,4最大,4稱作12和16的最大公約數(shù)。如何找到一種算法,對任意兩個正整數(shù)都能求出它們的最大公約數(shù)呢?下面給出我國古代數(shù)學(xué)家的一個算法,這個算法被稱做“更相減損之術(shù)”。(了解更相減損之術(shù)的出處,開拓知識容量)我們以求16,12這兩個數(shù)的最大公約數(shù)為例加以說明。用兩個數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù),即16-12=4,用差數(shù)4和最小的數(shù)12構(gòu)成新的一對數(shù),對這一對數(shù)再用大數(shù)減小數(shù),以同樣的操作一直做下去,知道產(chǎn)生一對相等的數(shù),這個數(shù)就是最大公約數(shù)。整個操作如下:4是12和16的最大公約數(shù)。這種算法的道理何在?不難看出,對任意兩個數(shù),每次操作后所得的兩個數(shù)與前兩數(shù)具有相同的最大公約數(shù),而兩數(shù)的值逐漸減少,經(jīng)過有限步地操作后,總能得到相等的兩個數(shù),即求得兩數(shù)的最大公約數(shù)。例1:求78和36的最大公約數(shù)。解:這種算法,只做簡單的減法,操作方便、易懂,也完全符合算法的要求,它完全是機械的運算,據(jù)此很容易編出程序,在計算機上運算,把這個算法與我們下面探索與研究中介紹的歐幾里德算法比較,看看這個算法的優(yōu)越性。下面是我們用Scilab編出的程序,供大家參考。實際上,你可用你在信息技術(shù)課上學(xué)到的任一種程序設(shè)計語言編出程序,從中體會一下這個算法的優(yōu)越性。為了方便敘述,我們稱這種算法為“等值算法”用等值算法求最大公約數(shù)的程序:a=input("pleasegivethefirstnumber");b=input("pleasegivethesecondnumber");whilea<>b
ifa>b
a=a-b
else
b=b-a
endendprint(%io2(2),a,b)
把這個程序保存成文件,可隨時調(diào)入Scilab界面運行,求任意兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)。課后任務(wù):【百度百科】九章算術(shù)【百度百科】劉徽【百度百科】輾轉(zhuǎn)相除法(增加知識容量)二、割圓術(shù)
我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽,他在注《九章算術(shù)》中采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的算法計算圓周率,用劉徽自己的原話就是“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣。”他的思想后來又得到祖沖之的推進和發(fā)展,計算出圓周率的近似值在世界上很長時間里處于領(lǐng)先地位。
劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始,讓邊數(shù)逐次加倍,逐個算出這些圓內(nèi)接正多邊形的面積,從而得到一系列逐漸遞增的數(shù)值,來一步一步地逼近圓面積,最后求出圓周率的近似值??梢韵胂笤诋?dāng)時需要付出多么艱辛的勞動,現(xiàn)在讓我們用劉徽的思想,使用計算機求圓周率的近似值,計算機最大的特點是運算速度快,只要我們將運算規(guī)律告訴計算機,計算機會迅速得到所求的答案。
我們先對單位圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形……的面積之間的關(guān)系進行分析,找出它們之間的遞增規(guī)律?!景俣葓D片】劉徽割圓的弧田圖
如上圖所示,假設(shè)圓的半徑為1,面積為S,圓內(nèi)接正n邊形面積為,邊長為xn,邊心距為hn,根據(jù)勾股定理,。
正2n邊形的面積為正n邊形的面積再加上n個等腰三角形的面積和,即①正2n邊形的邊長為。劉徽割圓術(shù)還注意到,如果在內(nèi)接n邊形的每一邊上,做一高為CD的矩形,就可得到這樣我們就不僅可計算出圓周率的不足近似值,還可計算出圓周率的過剩近似值。
正六邊形的面積開始計算,即n=6,則正六邊形的面積。用上面的公式①重復(fù)計算,就可得到正十二邊形、正二十四邊形……的面積。因為圓的半徑為1,所以隨著n的增大,的值不斷趨近于圓周率,這樣不斷計算下去,就可以得到越來越精密的圓周率近似值。下面我們根據(jù)劉徽割圓術(shù)的算法思想,用Scilsb語言寫出求π的不足近似值程序:n=6x=1s=6*sqrt(3)/4fori=1:1:5
h=sqrt(1-(x/2)^2)
s=s+n*x*(1-h)/2
n=2*n
x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2)endprint(%io(2),n,s)
運行程序,當(dāng)邊數(shù)為192時,就可以得到劉徽求的的圓周率的近似值3.14,當(dāng)邊數(shù)為24576時,就得到了祖沖之計算的結(jié)果3.1415926.由于是用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓,因而得到的圓周率總是小于π的實際值。作為練習(xí),請同學(xué)們編出程序求作為π的過剩近似值。課后任務(wù)【百度文庫】祖沖之和圓周率/view/f5e8cfc789eb172ded63b7c7.html三、秦九韶算法已知一個一元n次多項式函數(shù),我們可按順序一項一項地計算,然后相加,求得P(xo)。下面看看我們宋代(約13世紀)大數(shù)學(xué)家秦九韶是如何計算多項式函數(shù)值的。
讓我們以5次多項式函數(shù)為例加以說明。
首先,我們把這個多項式一步一步的進行改寫:
上面的分層計算,只用了小括號,計算時,首先計算最內(nèi)層的括號,然后由內(nèi)向外逐層計算,知道最外層的一個括號,然后加上常數(shù)項。
這種算法與直接算法比較,有什么有什么優(yōu)越性呢?首先,這種算法一共做了5次乘法,5次加法,與直接計算相比較大大節(jié)省了乘法的次數(shù),是計算量減少,并且邏輯結(jié)構(gòu)簡單。
對任意一元n次多項式,類似的敘述如下:
上面的方法,現(xiàn)在大家稱它為秦九韶方法。直到今天,這種算法仍是世界上多項式求值的最先進的算法。
這種方法的計算量僅為:乘法n次,加法n次。我們看看其他算法的計算量。
用直接求和法,直接計算多項式各項的值,然后把他們相加??芍朔ǖ拇螖?shù)為,加法次數(shù)為n。逐項求和在直接求和法的基礎(chǔ)上做了改進,先把多項式寫成的形式,這樣多項式的每一含x的冪的項都是與的乘積(k=1,2,3,……,n),在計算項時把的值保存在變量c中,求項時只須計算,同時把的值存入c中,繼續(xù)下一項的運算,然后把這n+1項的值相加。容易看出逐項求和法所用乘法的次數(shù)為2n-1,加法次數(shù)為n,當(dāng)時,通過上面的比較,我們可看到秦九韶算法比其他算法優(yōu)越得多。3、課堂小結(jié):
本節(jié)主要學(xué)習(xí)了中國古代的三個算法問題:更相減損之術(shù)求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)、割圓術(shù)求圓周率和秦九韶求一元n次多項式的值,重點在于這三種方法的應(yīng)用,難點就是如何去編制算法語言,主要以了解為主。4、當(dāng)堂練習(xí):(1).下面各組關(guān)于最大公約數(shù)的說法中不正確的是(C)A.80與36的最大公約數(shù)是4B.294與84的最大公約數(shù)是42C.85與357的最大公約數(shù)是34D.228與741的最大公約數(shù)是57(2).我國數(shù)學(xué)家劉徽采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的計算方法來求圓周率,其算法的特點為(C)A.運算速率快B.能計算出的精確值C.“內(nèi)外夾逼”D.無限次地分割(3).用更相減損之術(shù)求81與135的最大公約數(shù)時,要進行3次減法運算。5、課后作業(yè)(1).145與232的最大公約數(shù)是()(2).用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓,因而得到的圓周率總是()的實際值A(chǔ).大于等于B.小于等于C.等于D.小于(3).數(shù)51與85的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)。(4).(創(chuàng)新應(yīng)用)《孫子算經(jīng)》有這樣一道題目:“今有百鹿入城,家取一鹿不盡,又三家共一鹿適盡,問城中家?guī)缀??”你能設(shè)計一個程序解決這個問題嗎?六、教學(xué)反思
算法是中國古代數(shù)學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng).《九章算術(shù)》及其劉徽開創(chuàng)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)構(gòu)造性和機械化的算法模式.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以算為主、以術(shù)為法的算法體系,同古希臘以《幾何原本》為代表的邏輯演繹和公理化體系異其旨趣,在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的進程中爭雄媲美,交相輝映.吳文俊先生提出,數(shù)學(xué)機械化思想貫穿于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)機械化思想是我國古代數(shù)學(xué)的精髓.他分析了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的光輝成就在
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