《中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例》教學(xué)設(shè)計

《中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例》教學(xué)設(shè)計一、教案背景1．面向?qū)W生：高中2．學(xué)科：數(shù)學(xué)3．課時：14．學(xué)生課前準備：通過閱讀課本找出中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，結(jié)合案例，了解一下中國古代主要的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。二、教學(xué)課題1．知識與技能目標：（1）了解中國古代數(shù)學(xué)中求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術(shù)的算法；（2）通過對“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的學(xué)習(xí)，更好的理解將要解決的問題“算法化”的思維方法，并注意理解推導(dǎo)“割圓術(shù)”的操作步驟。2．過程與方法目標：（1）改變解決問題的思路，要將抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏輯思維能力；（2）學(xué)會借助實例分析，探究數(shù)學(xué)問題。3．情感與價值目標：（1）通過學(xué)生的主動參與，師生，生生的合作交流，提高學(xué)生興趣，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)探索精神；（2）體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻，增強愛國主義情懷。三、教材分析本節(jié)為為高中數(shù)學(xué)人教B版必修三中第一章第三節(jié)課，本節(jié)課的重點是理解書中介紹的中國古代的三個問題的算法，難點是為算法編寫程序。求最大公約數(shù)的更相減損之術(shù)，教材對這個算法編好了程序，可讓學(xué)生通過執(zhí)行程序來學(xué)習(xí)體會此算法，注意讓學(xué)生自主解釋此算法的有窮性。歐幾里得的輾轉(zhuǎn)相除法也是求最大公約數(shù)的有效算法，在實際問題中和抽象代數(shù)理論上都有重要應(yīng)用，它的程序可參看本小節(jié)中的探索與研究，可鼓勵學(xué)生自主編寫程序。割圓術(shù)可以啟發(fā)學(xué)生自己編寫算法，和Scilab程序，試驗證明，學(xué)生對此非常感興趣秦九韶算法一方面，這個算法是目前仍在廣泛使用（很多文獻中稱之為霍納法）；另一方面，秦九韶算法給我們提供了一個比較算法優(yōu)劣的機會，一般地說，在中學(xué)生的程度上比較分析算法的優(yōu)劣不是容易的事，所以要利用這個機會讓學(xué)生對算法的優(yōu)劣性有所體會。四、教學(xué)方法

通過典型實例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計的全過程，在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)會有條理地思考問題、表達算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。五、教學(xué)過程說明如何導(dǎo)入該課程，主要教學(xué)點的設(shè)計，知識拓展等。1、課前任務(wù)：請同學(xué)們自己查一些資料或者上網(wǎng)搜索一些中國古代的數(shù)學(xué)家以及其主要成就：【百度知道】中國古代數(shù)學(xué)家（提前認識一下中國古代的數(shù)學(xué)成就，激勵同學(xué)們需要繼續(xù)努力）2、課上探討：同學(xué)們是否知道，我們在小學(xué)、初中學(xué)到的算術(shù)、代數(shù)，從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程組以及方程的求根方法，都是我國古代數(shù)學(xué)家最先創(chuàng)造的，有的比其他國家早幾百年甚至上千年，我們?nèi)嗣裨陂L期的生活、生產(chǎn)和勞動過程中，創(chuàng)造了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、正負數(shù)及其計算，以及無限逼近任意實數(shù)的方法，在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)方面，我國在宋、元之前也都處于世界前列，更為重要的是我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著自己鮮明的特色，走著與西方完全不同的道路，在今天看來這條道路仍然有很大的優(yōu)越性。這條道路的一個重要特色就是“寓理于算”，也就是本節(jié)中所講的要把解決問題“算法化”。下面我們舉一些我國古代數(shù)學(xué)中算法的例子，讓同學(xué)們更進一步體會“算法”的概念，看一看中國古代數(shù)學(xué)家的偉大成就和顯著特色。下面就中國古代的數(shù)學(xué)成就，結(jié)合算法的知識，主要了解一下下面三個方面的內(nèi)容：求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法、割圓術(shù)和秦九韶算法。一、求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法：更相減損之術(shù)我們知道，如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則b稱為a的一個約數(shù)，一個整數(shù)可能有好幾個約數(shù)。例如，12能被1,2,3,4,6,12整除，這6個數(shù)都是12的約數(shù)。16的有1,2,4,8,16這5個約數(shù)。我們看到2和4，既是12的約數(shù)，又是16的約數(shù)，2和4叫做12和16的公約數(shù)，公約數(shù)2和4中，4最大，4稱作12和16的最大公約數(shù)。如何找到一種算法，對任意兩個正整數(shù)都能求出它們的最大公約數(shù)呢？下面給出我國古代數(shù)學(xué)家的一個算法，這個算法被稱做“更相減損之術(shù)”。（了解更相減損之術(shù)的出處，開拓知識容量）我們以求16,12這兩個數(shù)的最大公約數(shù)為例加以說明。用兩個數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即16-12=4，用差數(shù)4和最小的數(shù)12構(gòu)成新的一對數(shù)，對這一對數(shù)再用大數(shù)減小數(shù)，以同樣的操作一直做下去，知道產(chǎn)生一對相等的數(shù)，這個數(shù)就是最大公約數(shù)。整個操作如下：4是12和16的最大公約數(shù)。這種算法的道理何在？不難看出，對任意兩個數(shù)，每次操作后所得的兩個數(shù)與前兩數(shù)具有相同的最大公約數(shù)，而兩數(shù)的值逐漸減少，經(jīng)過有限步地操作后，總能得到相等的兩個數(shù)，即求得兩數(shù)的最大公約數(shù)。例1：求78和36的最大公約數(shù)。解：這種算法，只做簡單的減法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是機械的運算，據(jù)此很容易編出程序，在計算機上運算，把這個算法與我們下面探索與研究中介紹的歐幾里德算法比較，看看這個算法的優(yōu)越性。下面是我們用Scilab編出的程序，供大家參考。實際上，你可用你在信息技術(shù)課上學(xué)到的任一種程序設(shè)計語言編出程序，從中體會一下這個算法的優(yōu)越性。為了方便敘述，我們稱這種算法為“等值算法”用等值算法求最大公約數(shù)的程序：a=input("pleasegivethefirstnumber");b=input("pleasegivethesecondnumber");whilea<>b

ifa>b

a=a-b

else

b=b-a

endendprint(%io2(2),a,b)

把這個程序保存成文件，可隨時調(diào)入Scilab界面運行，求任意兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)。課后任務(wù)：【百度百科】九章算術(shù)【百度百科】劉徽【百度百科】輾轉(zhuǎn)相除法（增加知識容量）二、割圓術(shù)

我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽，他在注《九章算術(shù)》中采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的算法計算圓周率，用劉徽自己的原話就是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”他的思想后來又得到祖沖之的推進和發(fā)展，計算出圓周率的近似值在世界上很長時間里處于領(lǐng)先地位。

劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個算出這些圓內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐漸遞增的數(shù)值，來一步一步地逼近圓面積，最后求出圓周率的近似值?？梢韵胂笤诋?dāng)時需要付出多么艱辛的勞動，現(xiàn)在讓我們用劉徽的思想，使用計算機求圓周率的近似值，計算機最大的特點是運算速度快，只要我們將運算規(guī)律告訴計算機，計算機會迅速得到所求的答案。

我們先對單位圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形……的面積之間的關(guān)系進行分析，找出它們之間的遞增規(guī)律?！景俣葓D片】劉徽割圓的弧田圖

如上圖所示，假設(shè)圓的半徑為1，面積為S，圓內(nèi)接正n邊形面積為，邊長為xn，邊心距為hn，根據(jù)勾股定理，。

正2n邊形的面積為正n邊形的面積再加上n個等腰三角形的面積和，即①正2n邊形的邊長為。劉徽割圓術(shù)還注意到，如果在內(nèi)接n邊形的每一邊上，做一高為CD的矩形，就可得到這樣我們就不僅可計算出圓周率的不足近似值，還可計算出圓周率的過剩近似值。

正六邊形的面積開始計算，即n=6，則正六邊形的面積。用上面的公式①重復(fù)計算，就可得到正十二邊形、正二十四邊形……的面積。因為圓的半徑為1，所以隨著n的增大，的值不斷趨近于圓周率，這樣不斷計算下去，就可以得到越來越精密的圓周率近似值。下面我們根據(jù)劉徽割圓術(shù)的算法思想，用Scilsb語言寫出求π的不足近似值程序：n=6x=1s=6*sqrt(3)/4fori=1:1:5

h=sqrt(1-(x/2)^2)

s=s+n*x*(1-h)/2

n=2*n

x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2)endprint(%io(2),n,s)

運行程序，當(dāng)邊數(shù)為192時，就可以得到劉徽求的的圓周率的近似值3.14，當(dāng)邊數(shù)為24576時，就得到了祖沖之計算的結(jié)果3.1415926.由于是用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓，因而得到的圓周率總是小于π的實際值。作為練習(xí)，請同學(xué)們編出程序求作為π的過剩近似值。課后任務(wù)【百度文庫】祖沖之和圓周率/view/f5e8cfc789eb172ded63b7c7.html三、秦九韶算法已知一個一元n次多項式函數(shù)，我們可按順序一項一項地計算，然后相加，求得P(xo)。下面看看我們宋代（約13世紀）大數(shù)學(xué)家秦九韶是如何計算多項式函數(shù)值的。

讓我們以5次多項式函數(shù)為例加以說明。

首先，我們把這個多項式一步一步的進行改寫：

上面的分層計算，只用了小括號，計算時，首先計算最內(nèi)層的括號，然后由內(nèi)向外逐層計算，知道最外層的一個括號，然后加上常數(shù)項。

這種算法與直接算法比較，有什么有什么優(yōu)越性呢？首先，這種算法一共做了5次乘法，5次加法，與直接計算相比較大大節(jié)省了乘法的次數(shù)，是計算量減少，并且邏輯結(jié)構(gòu)簡單。

對任意一元n次多項式，類似的敘述如下：

上面的方法，現(xiàn)在大家稱它為秦九韶方法。直到今天，這種算法仍是世界上多項式求值的最先進的算法。

這種方法的計算量僅為：乘法n次，加法n次。我們看看其他算法的計算量。

用直接求和法，直接計算多項式各項的值，然后把他們相加?？芍朔ǖ拇螖?shù)為，加法次數(shù)為n。逐項求和在直接求和法的基礎(chǔ)上做了改進，先把多項式寫成的形式，這樣多項式的每一含x的冪的項都是與的乘積（k=1,2,3，……，n），在計算項時把的值保存在變量c中，求項時只須計算，同時把的值存入c中，繼續(xù)下一項的運算，然后把這n+1項的值相加。容易看出逐項求和法所用乘法的次數(shù)為2n-1，加法次數(shù)為n，當(dāng)時，通過上面的比較，我們可看到秦九韶算法比其他算法優(yōu)越得多。3、課堂小結(jié)：

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了中國古代的三個算法問題：更相減損之術(shù)求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)、割圓術(shù)求圓周率和秦九韶求一元n次多項式的值，重點在于這三種方法的應(yīng)用，難點就是如何去編制算法語言，主要以了解為主。4、當(dāng)堂練習(xí)：（1）.下面各組關(guān)于最大公約數(shù)的說法中不正確的是（C）A.80與36的最大公約數(shù)是4B.294與84的最大公約數(shù)是42C.85與357的最大公約數(shù)是34D.228與741的最大公約數(shù)是57（2）.我國數(shù)學(xué)家劉徽采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的計算方法來求圓周率，其算法的特點為（C）A.運算速率快B.能計算出的精確值C.“內(nèi)外夾逼”D.無限次地分割（3）.用更相減損之術(shù)求81與135的最大公約數(shù)時，要進行3次減法運算。5、課后作業(yè)（1）.145與232的最大公約數(shù)是（）（2）.用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓，因而得到的圓周率總是（）的實際值A(chǔ).大于等于B.小于等于C.等于D.小于（3）.數(shù)51與85的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)。（4）.（創(chuàng)新應(yīng)用）《孫子算經(jīng)》有這樣一道題目：“今有百鹿入城，家取一鹿不盡，又三家共一鹿適盡，問城中家?guī)缀?？”你能設(shè)計一個程序解決這個問題嗎？六、教學(xué)反思

算法是中國古代數(shù)學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng).《九章算術(shù)》及其劉徽開創(chuàng)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)構(gòu)造性和機械化的算法模式.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以算為主、以術(shù)為法的算法體系,同古希臘以《幾何原本》為代表的邏輯演繹和公理化體系異其旨趣,在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的進程中爭雄媲美,交相輝映.吳文俊先生提出,數(shù)學(xué)機械化思想貫穿于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)機械化思想是我國古代數(shù)學(xué)的精髓.他分析了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的光輝成就在