第十六屆北京大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(非理科)

第十六屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽甲、乙組試題解答（2005年10月16

上午9:00~）注：考共題甲組題做乙只前題一填題每題2分共20分1.設(shè)數(shù)y(x)滿足y

且y

(0)若lim

(x)

a,_______1.y

y

a

)lim

1y22已知f(x)

e(x)(x)

在x處無(wú)窮間斷點(diǎn),在x為可去間斷點(diǎn),則.解應(yīng)填e.由題知必有a或a當(dāng)a時(shí)limf(x)

f(符題當(dāng)a,時(shí)limf(xlimf(x)與題意不符3.f(y)滿足且f(,0),f)y,則f(x,解應(yīng)填

(y)由設(shè)

1()x222

C(x)dx(y),f(xx

C(dx(0)

fy)y(y),(0)0.u(xy可微dx

yd

)d

x)d,(x,y,z)1(3

z

)xyz.設(shè)知(dxyz2(yzdx已知函數(shù)f()x1

f

()dx,則x)___________應(yīng)填或x

32

1.A

)d,fx)A

,于

)x

(1

),方3A

2.AA.3設(shè)D:r解應(yīng)填

,則limr

r

Dr

cos(xy).

rln}lnrln}ln由積分中值定理,存在D使

e

cos()dy

πr

原式lim

cos(

π

r

r

已lim

f(f()ln[1]4,limxx解應(yīng)填2ln2.f()f()limln[1]cosx(2x

f()2f)f(x)lim4lim2lnln2若f

fx)x

且f(1)則f(2).解應(yīng)填af()fflnf)lnf(),xf()由f得所以(2).x設(shè)曲線L:周l則4解應(yīng)填4l

L

(xy)d_____________.原式x

y

dsydsl設(shè)或則級(jí)數(shù)

l

n

](1nx)]

的和.解應(yīng)填ln2.

l

nx)(1)[1]

nnx1nxx1nx

2.二(10分設(shè)fx導(dǎo),且

dx

xsinxcosx求f(x).解

xf

xxcosxsinxf

2sinx2cossin,xxf()

2sinxxsinxxdxdxxxxx

sinxx三(10分)設(shè)函數(shù)f()解

11作函數(shù)圖形并填寫(xiě)下：1x|1|單增區(qū)間單減區(qū)間最大值最小值極大值

((1,2)1),43無(wú)4

y

2

x極小值拐點(diǎn)

3無(wú)

f()dtπ1yzbabDDrrdr;f()dtπ1yzbabDDrrdr;.(10)設(shè)f()續(xù)負(fù)函且f()

x

f()dsinx,求fx)區(qū)間[0,π]的平均.

xx

f()du,0F)

x

f()d,則()

,兩32()πsinπ,故2)F()04

π

f()π]上的

π

πf(五)求常數(shù)bc的值使函數(shù)fx,,z)a

2

z

3

2

在點(diǎn)M處沿z軸正方的方向?qū)?shù)有最值解

gradf{4ca,2bc}.由題意有

gradf//{0,0,1}且|f(1,2,故有

aca0且bc0

(2b)解得a6,b24,c六(10分)設(shè)面

z上的點(diǎn)(x,y,z)處的切面為π,算曲a面積分

1

dS其中坐標(biāo)點(diǎn)到的距x切XY0,cΣz0的部,Dxoy面上

xz

S2

xa

S2cbcD

xy1(1)abcb1ab

dxdy

D

xa1

dxdyxyab

aba

cos

θ

r1r

23

;b1a

sin

θ

r1r

dr

2a3

;)dxdycxy

2abc3c所以

Sc(

bab)().a3c3c

七(10分)函數(shù)f()[1]上續(xù)且單調(diào)加證不等式x)f()d證明

在[0,上有(xy)[f(x)f(y)]0.記:,y則f(xf(ydxdy0.而

f(x)

D

f()]dxdy

D)D

yf()xf(yyf()]dxdyf(

f(x)d

所以

f(df()x.以下兩題乙組考生不做八.分)證明方程

x

有且僅有三實(shí)根證明令f)2顯然f(0)(1)0.又(2)f(5)且f(x連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的零定理知f)在內(nèi)至少存在一個(gè)零，從而f(x至少有三個(gè)零點(diǎn)若f)有四個(gè)或四個(gè)以上的零點(diǎn)，則由羅爾定理知f零點(diǎn)，這是不可的，故f(x)至多有三個(gè)零點(diǎn)

2至少有一個(gè)綜上可知f()有且僅有三個(gè)零點(diǎn)即方程

且僅有三個(gè)實(shí)根.九分舉例說(shuō)明存在通項(xiàng)趨于零但發(fā)散的交錯(cuò)級(jí)數(shù)；1舉說(shuō)明存在收斂的正級(jí)數(shù)a但a(此處o)是當(dāng)nn比高階的無(wú)窮.