2023年考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)階段過關(guān)測試及答案-數(shù)學(xué)二

基礎(chǔ)階段過關(guān)測試答案

數(shù)學(xué)(二)

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

(1)B(2)D(3)A(4)B(5)A(6)D(7)B

(8)D(9)B(10)C

二、填空題：11-16小題，每小題5分，共30分，將答案寫在答題紙指定位置上.

(11)2(12)-A/1-X2arcsinx+x+C(13)(-1,0)

(14)ln(l+V2)(15)y=xe2H(16)

三、解答題：17—22小題，共70分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫

出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分10分)

22

初(l+x);-e2[l-ln(l+3^)](l+x);-e2e2ln(l+3x)

解hm---------------------------=lim-------------+lim-------------,

x->0%x->0%x->0]

222

-ln(l+x)-ln(l+x)-2-ln(l+x)-2

而].(1+工"一/ex

而hm-------------=lim=lim-------------e2=e2lim---------------

7xx-0xx->0%x->0]

=2e2lim1n(1+?—*=2e2lim1+^=-2e2lim---

-3x2x202(l+x)

e2ln(l+3x)2i-3x

hm-------------=elim—=3e2,

x->0%x->0%

2

2

所以，lim(l+^-e[l-ln(l+3x)]=_e2+3g2=2g2

x

(18)(本題滿分12分)

證由于函數(shù)/(%)在&@1芻上連續(xù)，且〃4/(1)<0,根據(jù)零點(diǎn)定理得,

在3音)內(nèi)至少存在一點(diǎn)《，使得/H)=o.

又八a)-f(b)>0,則有呼)<0.

同理，/(x)在［學(xué)刈上應(yīng)用零點(diǎn)定理知，在(學(xué)))內(nèi)至少存在一點(diǎn)玄，使

得/④)=0.

令尸(x)=V(x),則R(x)在匕，切上連續(xù)，在&,1)內(nèi)可導(dǎo),且

尸(()=」(0=0,由羅爾定理知，存在一點(diǎn)火&&)u(a,b),使得尸?)=0,

即/C)+“'C)=0?

(19)(本題滿分12分)

解先求解微分方程上-2次=0,即e-Zr=2做，兩邊不定積分得丑-'=/+C,

dt

即得通解為x=-ln(T2-C).又由切句=0知。=一1,則x(/)=—ln(lT2).

x=-ln(l-Z2)

則參數(shù)方程為產(chǎn)，于是由參數(shù)方程求導(dǎo)公式得

/(-吟2))'三

務(wù)磔

(M)1nMM

長(/(I"))之

(20)(本題滿分12分)

解先求切線/的方程：設(shè)切點(diǎn)為5,五)，則切線方程為歹-后=—'(x-Xo),

又切線過(-1,0)點(diǎn)，則-后=—解得%=1,于是切線方程為

A/^o

1/1、

y=/(x+i).

(I)￡＞的面積為5=+l9一==1W.

(II)。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為

P=(X+l)]2t&-(y/xydx==g"—3"=:萬.

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(21)(本題滿分12分)

解U*-x2—y2dxdy=^-L=drde=^de\y-^=dr

_p2sin。r-r=2sinf4sin-t、c0

而1,dr----[------2costdt-f4sin**tdt-f2(l-cos2，)d，

J。d4T2Jo2cos/J。J。

=2。-sin2。,

則JJ￡7公功二1萬2]_

4(2。-sin26)1。=—

D,4-x-y2

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(22)(本題滿分12分)

’11

5-1,因有二階子式11=-1^0

解(I)系數(shù)矩陣為/=43則/

43

」1

的秩”/)22.又非齊次線性方程組小=￡有三個(gè)線性無關(guān)的解，可推出齊次線

性方程組4v=。有兩個(gè)線性無關(guān)的解，因此/x=。的基礎(chǔ)解系中至少有兩個(gè)解向

量，則4c=o的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)4-"⑷22,即尸(/)<2,所以，r(A)=2.

11'1111、11

(IDA=435-1f0—11-5T01-15

13、0\-a3-ab-a、004-2a4。+b-5.

4-2a=0

因"4)=2,則.解得a=2,b=-3,

4a+b-5=0

q111-0p111-1、

(III)增廣矩陣(/。)=435-1-10-11-53

3-31J(0-1

311-5

'1111-n(\02-42、

-^01-1501-15-3

、00000J00000,

X1=-2X+4X+2

同解方程組為34所以通解為C]

/=七一5X4—3

基礎(chǔ)階段過關(guān)測試

數(shù)學(xué)（-）

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

ex+1

（1）設(shè)〃￡）=下一，則x=0是〃x）的（）.

ex-l

（A）可去間斷點(diǎn)（B）跳躍間斷點(diǎn)

（C）第二類間斷點(diǎn)（D）連續(xù)點(diǎn)

x3-l

（2）曲線y=,（）.

X2+2X-3

（A）僅有水平漸近線（B）僅有鉛垂?jié)u近線

（C）既有鉛垂又有水平漸近線（D）既有鉛垂又有斜漸近線

（3）設(shè)函數(shù)/（x）在x=x0的某鄰域內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且1而1區(qū)="0,

則存在點(diǎn)（x。,/1））的左、右鄰域與a，使得（）.

（A）曲線y=〃x）在內(nèi)是凹的，在a內(nèi)是凸的

（B）曲線y=/a）在內(nèi)是凸的，在a內(nèi)是凹的

（C）曲線丁=f（x）在與a內(nèi)都是凹的

①）曲線尸/㈤在s與a內(nèi)都是凸的

（4）若/'（x）的導(dǎo)函數(shù)為sinx,則/（x）的一個(gè)原函數(shù)為（）.

（A）1+sinx（5）l-sinx（Ql+cosx（D）1-cosx

(5)已知「"陰％=1,則％=

J-Q0

(4)-2(5)-1(C)l(D)2

(6)已知函數(shù)〃x,y)=￡,則()

x-y

(A)f：-f；=0(C)f：-f；=f(D)f：+f；=f

（7）設(shè)函數(shù)z=z（3）由方程e3f『+中z=l確定，則回（oo）=（）.

(A)-3dx-2dy(B)?>dx+2dy

(Q3dx—2dy(D)-3dx+2dy

(8)設(shè)囚,%%均為3維列向量,矩陣4=(a”％,%),

B=(at+a2+a3,ax+2a2+4a3,ax+3a2+9a3),如果=則固=().

(/)—1(5)0(C)l(02

(9)設(shè)向量/?可由向量組E，…,4線性表示，但不能由向量組

(i)a，%線性表示,記向量組(H)弓，%，…,％平,則

(A)不能⑴線性表示，也不能由(II)線性表示

(B)4不能由⑴線性表示，但可由(II)線性表示

(C)4可由⑴線性表示，也可(II)線性表示

(D)可由⑴線性表示，但不可由(II)線性表示

(10)設(shè)三階方陣〃的特征值是1,2,3,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為名

，0、9、

。2=2%=0，則矩陣〃=().

3

'010、'001、’100>’300、

(A)200(B)020(C)020(D)020

1003,、300J、00、°0

二、填空題：11-16小題，每小題5分，共30分，將答案寫在答題紙指定位置上.

(11)設(shè)/,(0)=2,則lim〃3sinx)-/(2arctanx)=

*7°X

,十^如八「xarcsinx,

(12)不定積分J〒^小=

A/1-X2

5

(13)曲線y=x2+x(x<0)上曲率為苧的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

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(14)曲線y=ftane(OWxV?)的弧長s=.

Jo4

(15)微分方程孫'+興111》-111歷=0滿足條件><1)="的解為.

(10、

(16)設(shè)/=,E是2階單位矩陣，B=(E+AY\E-A),

、23)

則(￡+6)7=.

三、解答題：17—22小題，共70分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫

出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分10分)