河北省衡水2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.數(shù)列｛%｝滿足：?！?2+%=4+1，4=1,“2=2,S”為其前"項和，貝"2019=（）

A.0B.1C.3D.4

2.如圖所示的程序框圖，若輸入a=4,b=3,則輸出的結(jié)果是（）

A.6B.7C.5D.8

x+y-l<0

3,若x,）滿足約束條件則f+y2的最大值是（）

x+2>0

A.-B.C.13D.J13

22

4.在關(guān)于x的不等式以2+2%+1>0中，是“依2+2%+1>0恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

x-^+3>0

5.已知實數(shù)X，），滿足約束條件<x+2yN0，則z=3x+y的最小值為（）

x<2

A.-5B.2C.7D.11

6.已知。=（1,3）,坂=（2,2）,0=（",一1）,若貝!1〃等于（）

A.3B.4C.5D.6

7.給定下列四個命題：

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

8.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=l+i,則①+z2=（）

z

A.1+zB.\-iC.-1-zD.-\+i

9.博覽會安排了分別標(biāo)有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，

設(shè)計兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐

第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為Pl,P2,則（）

115

A.Pi*P2=—B.Pi=P2=-C.Pi+Pz=-D.P1VP2

436

10.一輛郵車從A地往3地運送郵件，沿途共有〃地，依次記為4，…（A為A地，4為3地）.從4地出

發(fā)時，裝上發(fā)往后面〃-1地的郵件各1件，到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各

地的郵件各1件，記該郵車到達(dá)4，&,…兒各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為％伙=1,2,則4的表達(dá)式為

（）.

A.k{n-k+V)B.k(n-k-1)C.n(n-k)D.k(n-k)

11.地球上的風(fēng)能取之不盡，用之不竭.風(fēng)能是清潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電，近10年來,

全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了1OOGW,達(dá)到114.6GW,

中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)

力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計結(jié)論是（）

A.截止到2015年中國累計裝機容量達(dá)到峰值

B.10年來全球新增裝機容量連年攀升

C.10年來中國新增裝機容量平均超過20GW

D.截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過1

3

O

12.已知｛4｝為正項等比數(shù)列，S“是它的前”項和，若q=16,且4與附的等差中項為晟，則S5的值是（）

O

A.29B.30C.31D.32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有種（比

如：5與。、8與C是相鄰的，A與。、C與。是不相鄰的）.

14.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、3原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A

原料2千克，8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,

要求每天消耗4B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的

最大利潤是_________元.

15.若存在直線/與函數(shù)f（x）=』（x<0）及g（x）=/+a的圖象都相切，則實數(shù)。的最小值為.

X

16.設(shè)〃=1一90。：。+9。2叱-9。3品+…+（—琰90七2+…+9（y°C：；,則〃除以88的余數(shù)是,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在平面四邊形ACBO（圖①）中，AABC與AA5。均為直角三角形且有公共斜邊AB,設(shè)AB=2,

NBAD=30。，/84C=45。，將AABC沿A8折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C'一ABO,且使。'。=行.

（1）求證：平面C'AB-L平面ZMB；

（2）求二面角A-3的余弦值.

18.（12分）〃x）=lnx-ar有最大值，且最大值大于0.

（1）求。的取值范圍；

⑵當(dāng)a=g時，/（X）有兩個零點玉,工2（玉<々），證明：x^x2<30.

（參考數(shù)據(jù)：In0.9a-0.1）

(2x+°)［例圖象

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=sincox-￡?＞o)的圖象向左平移工后與函數(shù)g(x)=cos

6)2

重合.

(1)求刃和。的值;

71

(2)若函數(shù)〃(%)=/XH---+g，求〃(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.

8暇

20.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預(yù)計該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格))'(單位:萬元)是每日產(chǎn)量單

32/

位:噸)的函數(shù):y=Inx^x>1).

x2-l

(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為3噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))；

(2)記每日生產(chǎn)平均成本上=加,求證：機＜16；

X

2幾

(3)若財團每日注入資金可按數(shù)列為=「一(單位:億元)遞減，連續(xù)注入6()天，求證:這6()天的總投入資金大于

4〃--1

功11億元.

21.(12分)如圖,四棱錐P-ABC。中，平面厚￡＞，平面ABC。,底面ABCD為梯形.AB//CDA0=2Z)C=2j5,

且APAD與AABD均為正三角形.E為AD的中點，G為^PAD重心,AC與8。相交于點尸.

⑴求證:G/7//平面尸OC；

(2)求三棱錐G-PCD的體積.

22.(10分)已知AABC的面積為、工，且福?衣=一1.

2

(1)求角A的大小及8C長的最小值；

(2)設(shè)M為3c的中點，且AM=Y3，ZBAC的平分線交8c于點N,求線段MN的長.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

用〃+1去換4+2+4,=4川中的〃，得氏+3+。e=?！?2,相加即可找到數(shù)列｛4｝的周期，再利用

S2019=336s6+q+4+%計算.

【詳解】

由已知，an+2+an=an+l?,所以限+-=*②，①+②，得4+3=—a”，

從而4+6=%，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以1=0,

S，oi9=336(6+a、+?■,+4)+%+a->+%=0+l+2+l=4.

故選：D.

【點睛】

本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求S.時，先算出一個周期的和即S6,再將§239表示成336s6+4+4+%即可，本題

是一道中檔題.

2.B

【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結(jié)果.

【詳解】

i=4,5=3,不成立，s=3?=9，Z=4+1=5；

S>/〃2不成立，5=92=81,z=5+l=6；

不成立，S=8F=6561,i=6+l=7；

S>//成立，輸出i的值為7.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

由已知畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.

【詳解】

,,[x+y-1=0

解：f+）,2表示可行域內(nèi)的點（X,）,）到坐標(biāo)原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由"

工+2=0

y=3

解得[=為即A（—2,3）

點A（-2,3）到坐標(biāo)原點（0,0）的距離最大，即，+=（一獷+32=13.

故選：C.

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

討論當(dāng)。>1時，加+2x+l>0是否恒成立；討論當(dāng)加+2x+l>0恒成立時，。>1是否成立，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)時，△=4-4”<0,由,=奴2+2%+1開口向上，則ax?+2x+i>o恒成立；

當(dāng)62+21+1>0恒成立時，若。=0,則2x+l>0不恒成立，不符合題意，

Q>0

若時，要使得"?+2元+1>0恒成立，貝！,即。>1.

△二4-4。<0

所以“a>1”是“依2++1>o恒成立”的充要條件.

故選:c.

【點睛】

本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時，一般分成兩步，若〃=4,則推出。

是q的充分條件；若qnp,則推出。是q的必要條件.

5.A

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.

【詳解】

x-y+3>0

由約束條件，x+2y>0,畫出可行域AABC如圖

x<2

2=31+），變?yōu)槎?-3了+2為斜率為-3的一簇平行線，z為在），軸的截距,

二z最小的時候為過C點的時候,

x—y+3=0x--2

解得所以。（一2,1）,

x+2y=0y=1

此時z=3x+y=3x(-2)+1=-5

本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡單題.

6.C

【解析】

先求出￡-"=（1-〃,4）,再由0-"），以利用向量數(shù)量積等于0,從而求得〃.

【詳解】

由題可知2-"=（1一〃,4）,

因為0-工），況所以有。一〃）x2+2x4=0,得〃=5,

故選：c.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標(biāo)運算公式，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

7.D

【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進行選擇.

【詳解】

當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正

確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它

們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確.綜上，真命題是②④.

故選：D

【點睛】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題.

8.A

【解析】

結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算和模長公式求解即可

【詳解】

二,復(fù)數(shù)z=l+i,/?|z|=5/2>z2=(l+z)'—2.i>則^~—+z'=-------i-2i-----------—i-2i—i—i+2i—\+i,

''z1+z(l+z)(l-z)

故選：A.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎(chǔ)題

9.C

【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.

【詳解】

三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐車可能：132、213、231,所以，Pi=—；

6

2

方案二坐車可能：312、321,所以，Pi=—；

6

所以Pl+P2=3

6

故選c.

【點睛】

本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第％站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進而計算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，該郵車到第Z站時，一共裝上了(〃-1)+(〃-2)+……(〃-6=2二資包件郵件,

需要卸下1+2+3+……(%-1)=空5件郵件，

皿I(2n-1-k)xkkx(k-\)

貝!Jak=----------------------------------=k(n-k),

故選：D.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.D

【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.

【詳解】

年份2009201020112012201320142015201620172018

累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1

新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4

中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，5錯誤；經(jīng)計算，10年來

中國新增裝機容量平均每年為19.77GW,選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量197.7GW,全球累計裝機

容量594.1—158.1=436GW,占比為45.34%,選項O正確.

故選：D

【點睛】

本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計

算即可得到所求.

【詳解】

設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,

則a4=16q3,a7=16q6,

9

a』與a’的等差中項為G，

o

9

即有34+37=—9

4

9

BP16q3+16q6,=—,

4

解得q=；（負(fù)值舍去），

則有3業(yè)」M/L.

1—q1_1

2

故選C.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.192

【解析】

根據(jù)題意，分2步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4

個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，分2步進行分析：

①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，

有3x4=12種安排方法；

②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有2x2x2x2=16種安排方法，

則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法16x12=192種；

故答案為：192

【點睛】

本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.1元

【解析】

設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為X桶，y桶，利潤為z元

x+2y<l2

則根據(jù)題意可得?2x+y412

x,y>0且x,y&N

目標(biāo)函數(shù)z=300x+400y,作出可行域，如圖所示

作直線L：3x+4y=0,然后把直線向可行域平移,

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過A時，目標(biāo)函數(shù)z=300x+400)，的截距最大，此時z最大,

x+2y=12x=4

可得《.即A(4,4)

2x+y=l2［尸4

此時Z最大z=300x4+400x4=2800,

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤，最大利潤為1.

【點睛】本題考查用線性規(guī)劃知識求利潤的最大值，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，以及利用線性規(guī)劃的知識進行求解是

解決本題的關(guān)鍵.

15.一逑

2

【解析】

設(shè)直線/與函數(shù)/(X)及g(x)的圖象分別相切于A(皿，)(加<0),8(〃,/+/，

tn

因為/''(x)=--V，所以函數(shù)/(x)的圖象在點A處的切線方程為=即y=-4x+2,因為

Xmmirvm

g'(x)=2x,所以函數(shù)g(x)的圖象在點B處的切線方程為y-n2-a=2〃(x-〃)，^y=2nx-n2+a,因為存在直線/

與函數(shù)“X)及g(x)的圖象都相切，所以m\,所以"=

224"?m

-n+〃=——

.m

令f=_l(f<0),設(shè)〃(0=匕4+2/?<0),則〃")=戶+2,

m4

當(dāng)/〈-短時，/。)<0,函數(shù)力⑺單調(diào)遞減；當(dāng)-蚯<f<o時，//(0>0,函數(shù)力⑺單調(diào)遞增,

所以W)mi“=〃(-啦)=-孚，所以實數(shù)”的最小值為-當(dāng)?

16.1

【解析】

利用二項式定理得到〃=8夕°,將89寫成1+88,然后再利用二項式定理展開即可.

【詳解】

〃=(1一90產(chǎn)=84°=(1+88)i°=1+88C：o+882%+883C^+…+88y,因展開式中

后面10項均有88這個因式，所以〃除以88的余數(shù)為L

故答案為：1

【點睛】

本題考查二項式定理的綜合應(yīng)用，涉及余數(shù)的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項式，并將它展開分析，本題

是一道基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)-巫1

35

【解析】

(1)取48的中點O,連接CO,。。，證得C'OLOO,從而證得C，O_L平面48。，再結(jié)合面面垂直的判定定理，

即可證得平面C'4?J■平面DAB;

(2)以。為原點，AB,0C所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面ACZ＞和平面的法向

量，利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】

(1)取45的中點。，連接C'O,DO,

在RfA和KfAAO8中，AB=2,則CO=00=1,

又CD=y/2，所以C'O?+DO2=C'D2，即C'O±OD,

又C0_L48,S.ABC\OD=O,u平面ASO,所以C'O_L平面A8Z),

又COu平面C'AB,所以平面CAB，平面DAB

(2)以。為原點，AB,0C所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

(垂)])

則4(0,-1,0),8(0,1,0),。(0,0,1),D-y,-,0,

7

(61J

所以正=(0,1,1)，5c;=(0,-l,l)?CD=T,25-1

設(shè)平面AC'。的法向量為〃i=(%,%,zj

y+Z|=0

LAC\n,AC'=0

則即《■?8=?！胱鴺?biāo)得,也工]n，

1C'D~[彳玉+/一10

令Z]=l,得y=-1,%=#),所以勺=(6,—1,1),

設(shè)平面5c'。的法向量為〃2=(.x2,y2,z2),

\n^BC”8C'=0t2

則\「，八，即:，，力代入坐標(biāo)得G1

&A-CD[%。D—?！猉)~1—%—

、22

令Z,=1,得力=1,X,=—?所以小=￡,1,1,

3I3I

所以=生上=±=嗎

J3+1+1q§+i+i

【點睛】

本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中

熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算

問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

(

18.(1)0,-;(2)證明見解析.

【解析】

(D求出函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+“)，r(x)=\竺，分aMO和。＞0兩種情況討論，分析函數(shù)y=/(x)

的單調(diào)性，求出函數(shù)y=/(x)的最大值，即可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，進而可求得實數(shù)。的取值范圍；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)y=在(0,3)上遞增，在(3,轉(zhuǎn))上遞減，可得出0<芯<3<々，由

f{x2)~f=/(內(nèi))_/-7j=31nx,—^-+-y—ln30,構(gòu)造函數(shù)g(x)=31nx_：+；_ln3O,證明出

(30、、

g(xJ>0,進而得出—，再由函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(3,+o。)上的單調(diào)性可證得結(jié)論.

\x\J

【詳解】

(1)函數(shù).f(x)=lnx-儀的定義域為((),+功，且尸(力=上0.

當(dāng)時，對任意的x>0,/'(x)>0,

此時函數(shù)y=/(x)在(0,+a)上為增函數(shù)，函數(shù)y=/(X)為最大值；

當(dāng)4>0時，令/'(力=0,得X=

當(dāng)0<x<:時，r(x)>0,此時函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)X〉：時，r(x)<。，此時函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)y=/(x)在無=一處取得極大值，亦即最大值，

即/(x)max=/(：)=_lna_l>0,解得0<a<).

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是0<。<,；

e

(2)當(dāng)a=g時，/(x)=lnx-gx,定義域為(0,+“)，

11丫

y，(x)=±—上=」，當(dāng)0<%<3時，r(x)>0；當(dāng)x>3時，/'(x)<0.

x33x

所以，函數(shù)y=〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(3,+8).

由于函數(shù)y=〃X)有兩個零點X］、％且為<々，0<^!<3<%2,

—=fM-f—=此玉一寸-In---=31nx,--+-y-ln30,

J1%JI3JI%%J1

Y1Q

構(gòu)造函數(shù)g(x)=31nx-§+7-ln30,其中0<尤<3,

”、3120X3-9X2+60

g(力=；一丁丁

3x3

令/z(x)=—9x?+60,〃'(x)=3f-18x=3x(x-6),當(dāng)0<尤<3時，〃'(x)<0,

所以，函數(shù)y=〃(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減，則嶺)>妝3)=6>0,則g'(x)<0.

所以，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減,

?/0<%,<3,.?.g(xj>g(3)=31n3—1+?一ln30=ln0.9+">0,

(QOA(an)(an、

即/(犬2)一/—=/(辦)―/—=g(X1)>O，即/(々)>/丁

\^17J\X\J

303010/、/、

?.?0<X]<3,...7〉§=可>o3且々>3,而函數(shù)y=/(x)在(3,+oo)上為減函數(shù),

30,

所以，xz<—,因此，x[x<30.

X]2

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答

的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，屬于難題.

k7t兀、一

19.(1)。=2,(p=—t(2)k7t,k7rHkG.Z,x=-----1------>keZ.

3L1212_212

【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】

(1)由題意得口=2,

小十3卜山(2尤+年卜。s(2"+?)

⑵〃3=小+訃8口4卜抽(2%+總+8$,+總

V2sinf2x+y

.—TC.TC._kjT7V

由2xd—=kjrH—f解得x=--19

32212

所以對稱軸為x=---1,keZ.

212

nTTn

由2k兀<2x+—<2攵)+—,

232

解得k7T--<X<k7T+—，

1212

57r7t

所以單調(diào)遞增區(qū)間為,^+—,keZ?

【點睛】

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，

屬于基礎(chǔ)題型.

20.(1)12—31n3；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

(1)求得函數(shù))，=等"〃**>1)的導(dǎo)函數(shù)，由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為3噸時的邊際成本.

(2)將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明21nx-x+J<0,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=21nx-x+J,利用導(dǎo)數(shù)證得〃(x)<(),由

此證得不等式成立.

GI1。［、1(、1\

(3)利用(2)的結(jié)論，判斷出。〃=7匕=：一三-一二；二一■，由此結(jié)合對數(shù)運算，證得S60>lnll.

4/1-1412〃-12/1+1)2\2n-\J

【詳解】

32r2

(1)因為y=^ylnx,(x>l)

?_32x64xlnx

所以,二口一百1

當(dāng)x=3時，y|A=3=12-31n3

(2)要證?<16,

x

X2-111

只需證21nx~即證21nx—x+—<0,

XXx

設(shè)/z(x)=21nx-x+-

貝力(x)=—"Lo

所以Mx)在(1,位)上單調(diào)遞減,

所以/i(x)(〃⑴=()

所以上＜16,即根＜16；

X

2n1(2〃+12〃-1]

(3)因為?！ā?/p>

4/_1412〃-12n+lJ

又由(2)知，當(dāng)x＞l時,x——>21nx

x

2〃+12〃-1__f2n+l

所以>21n--------

2/1-12〃+1-------12〃-1

所以可＞gln2〃+1]

2/2-1J

所以Seo>3+In(+???+In得)=gin121=In11

【點睛】

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查放縮法證明數(shù)列不等式，屬于難題.

21.(1)見解析(2)昱

2

【解析】

(1)第(1)問，連AG交P。于H,連接C”.證明Gf〃HC,即證GF//平面PDC.(2)第⑵問，主要是利用體積

變換，VG-PCD=VF-PCD=Vp_cDFgpExS，求得三棱錐G一PCD的體積.

【詳解】

(1)方法一：連AG交PD于H,連接C”.

2

由梯形ABC。，48||。。且48=2。。，知一=-

FC1

A(Z2

又E為AO的中點，G為△/%￡＞的重心，二——=-

GH1

AGAF2

在A4HC中，——=——=一，故G/〃HC.

GHFC1

又平面PCD,GFD平面PC。,「?GF'//平面PDC.

方法二：過G作GN||A。交PD于N,過F作FM||AD交CD于M,連接MN,

「NPC1922/—

???6為4PAD的重心，GN=-ED=-y5.

DEPE333

r位NRCD1CF1

又ABCD為梯形，AB||CD,=—,-----=—.

AB2AF2

.MF1.2仄.

----=—,MF=—>/3,:.GN—FM.

AD33

又由所作GN||AD,FM||AD,得GN〃FM,所以GNMF為平行四邊形.

因為GF||MN,GF<Z平面PCRMN=平面/>8,；.6/||平面PCD

(2)方法一:由平面BAD，平面ABC。，與AABZ)均為正三角形，E為AO的中點

APE±AD,BE工AD,得PE_L平面A3CD,且PE=3

由⑴知6〃平面的，..?展…展CD=%?=；XPEXS