一、λ-矩陣的初等變換

一、λ－矩陣的初等變換二、λ－矩陣的初等矩陣§8.2λ─矩陣的標準形三、等價λ－矩陣四、λ－矩陣的對角化8.2

λ─矩陣的標準形λ―矩陣的初等變換是指下面三種變換:①矩陣兩行（列）互換位置；②矩陣的某一行（列）乘以非零常數(shù)

c

；是一個多項式.③矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍，一、λ－矩陣的初等變換定義：8.2

λ─矩陣的標準形代表第行乘以非零數(shù)

c

；代表把第行(列)的倍加到第為了書寫的方便，我們采用以下記號代表兩行(列)互換；注：行(列).8.2

λ─矩陣的標準形將單位矩陣進行一次―矩陣的初等變換所得的

矩陣稱為―矩陣的初等矩陣.二、λ－矩陣的初等矩陣定義：注：①全部初等矩陣有三類：i行

j行

8.2

λ─矩陣的標準形i

行

j行

i

行8.2

λ─矩陣的標準形②初等矩陣皆可逆.

③對一個的―矩陣作一次初等行變換

就相當于在在的左邊乘上相應(yīng)的的初等矩

陣；對作一次初等列變換就相當于在

的右邊乘上相應(yīng)的的初等矩陣.8.2

λ─矩陣的標準形為－矩陣，則稱與等價.―矩陣若能經(jīng)過一系列初等變換化1)―矩陣的等價關(guān)系具有:反身性:與自身等價.

對稱性:與等價與等價.

傳遞性:與等價,與等價與等價.三、等價λ－矩陣定義：性質(zhì)：8.2

λ─矩陣的標準形2)與等價存在一系列初等矩陣

使1.（引理）設(shè)―矩陣的左上角元素且中至少有一個元素不能被它整除，那么一定可以找到一個與等價的矩陣，它的左上角元素，且.四、λ－矩陣的對角化8.2

λ─矩陣的標準形證：根據(jù)中不能被除盡的元素所在的位置，分三種情形來討論:i)

若在的第一列中有一個元素不能被

除盡，其中余式，且對作下列初等行變換:則有

8.2

λ─矩陣的標準形的左上角元素符合引理的要求，故為所求的矩陣.ii)

在的第一行中有一個元素不能被

除盡，這種情況的證明i)與類似.iii)的第一行與第一列中的元素都可以被

除盡，但中有另一個元素8.2

λ─矩陣的標準形被除盡.對作下述初等行變換:我們設(shè)8.2

λ─矩陣的標準形矩陣的第一行中，有一個元素：

不能被左上角元素除盡，轉(zhuǎn)為情形

ii).證畢.8.2

λ─矩陣的標準形2.（定理2）任意一個非零的的一矩陣都等價于下列形式的矩陣

其中

是首項系數(shù)為1的多項式，且稱之為的標準形.8.2

λ─矩陣的標準形證:經(jīng)行列調(diào)動之后，可使的左上角元素若不能除盡的全部元素，

由引理，可以找到與等價的，且

由引理，又可以找到與

等價的，且如此下去，將得到一系列彼此等價的λ－矩陣：左上角元素，若還不能除盡的全部元素，左上角元素，8.2

λ─矩陣的標準形但次數(shù)是非負整數(shù)，不可能無止境地降低.

因此在有限步以后，將終止于一個λ－矩陣它的左上角元素，而且可以除盡的全部元素即對作初等變換:它們的左上角元素皆為零，而且次數(shù)越來越低.

8.2

λ─矩陣的標準形中的全部元素都是可以被除盡的，因為它們都是中元素的組合.

如果，則對于可以重復上述過程，

進而把矩陣化成

8.2

λ─矩陣的標準形其中與都是首1多項式(與

只差一個常數(shù)倍數(shù)），而且能除盡的全部元素.如此下去，最后就化成了標準形.8.2

λ─矩陣的標準形例用初等變換化λ―矩陣為標準形.解：8.2

λ─矩陣的標準形8.2

λ─矩陣的標準形即為的標準形.8.2

λ─矩陣的標準形內(nèi)容總結(jié)一、λ－矩陣的初等變換。§8.2λ─矩陣的標準形。8.2λ─矩陣的標準形。8.2λ─矩陣的標準形。②矩陣的某一行（列）乘以非零常數(shù)c。代表第行乘以非零數(shù)c。代表把第行(列)的倍加到第。代表兩行(列)互換。將單位矩陣進行一次―矩陣的初等變換所得的。矩陣稱為―矩陣的初等矩陣.。對作一次初等列變換就相當于在的右。―矩陣若能經(jīng)過一系列初等變換化。反身性:與自身等價.。且中至少有一個元素不能被它整除，那么一定。故為所求的矩陣.。iii)的第