溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型與數(shù)值求解

溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型與數(shù)值求解第一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日主要內(nèi)容1、傳熱的基本方式2、傳熱分析的常用數(shù)值分析方法3、溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型4、基于有限差分方法的離散5、初始條件與邊界條件6、潛熱處理7、溫度場(chǎng)數(shù)值模擬流程圖2第二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)傳熱的基本方式（1/4）1.熱傳導(dǎo)2.熱對(duì)流3.熱輻射

3第三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)傳熱的基本方式（2/4）-熱傳導(dǎo)物體各部分之間不發(fā)生相對(duì)位移時(shí)，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)進(jìn)行的熱量傳遞稱(chēng)為熱傳導(dǎo)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)熱。在緊密地不透明的物體內(nèi)部，熱量只能依靠導(dǎo)熱方式傳遞。只有在物體處于不同溫度時(shí)，熱量才能從一個(gè)物體傳遞到另一個(gè)物體，或從物體的某一部分傳遞到物體的另一部分。熱總是從溫度高的地方流向溫度低的地方，鑄件凝固冷卻時(shí)，鑄件內(nèi)部的溫度高于外界，因此鑄件內(nèi)部向其外側(cè)以及鑄型傳遞熱量。在三維迪卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)，連續(xù)介質(zhì)各點(diǎn)在同一時(shí)刻的溫度分布叫做溫度場(chǎng)，溫度場(chǎng)的一般可表達(dá)為T(mén)=?(x,y,z,t)。若溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化，則稱(chēng)做穩(wěn)定溫度場(chǎng)，由此產(chǎn)生的導(dǎo)熱為穩(wěn)定導(dǎo)熱；若溫度場(chǎng)隨時(shí)間改變，則稱(chēng)做不穩(wěn)定溫度場(chǎng)，不穩(wěn)定溫度場(chǎng)的導(dǎo)熱為不穩(wěn)定導(dǎo)熱。導(dǎo)熱的基本定律是Fourier定律，F(xiàn)ourier定律的具體內(nèi)容我們?cè)诤竺嬖訇U述。4第四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)傳熱的基本方式（3/4）-熱對(duì)流熱對(duì)流是指流體中溫度不同的各部分相互混合的宏觀運(yùn)動(dòng)引起熱量傳遞的現(xiàn)象。熱對(duì)流總與流體的導(dǎo)熱同時(shí)發(fā)生，可以看作是流體流動(dòng)時(shí)的導(dǎo)熱。對(duì)流換熱的情況比只有熱傳導(dǎo)的情況復(fù)雜。對(duì)流換熱可以用Newton冷卻定律來(lái)描述，即

對(duì)流換熱按引起流動(dòng)運(yùn)動(dòng)的不同原因可分為自然對(duì)流和強(qiáng)制對(duì)流兩大類(lèi)。自然對(duì)流是由于流體冷、熱部分的密度不同而引起的，如暖氣片表面附近熱空氣向上流動(dòng)就是自然對(duì)流。如果流體的流動(dòng)是由于水泵或其他壓差所造成的，則稱(chēng)為強(qiáng)制對(duì)流。

式中，q為熱流密度；為對(duì)流換熱系數(shù)；

為流體的特征溫度；為固體邊界溫度。5第五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)傳熱的基本方式（4/4）-熱輻射物體通過(guò)電磁波傳遞能量的方式稱(chēng)為輻射。物體會(huì)因各種原因發(fā)出輻射能，其中因熱的原因發(fā)出輻射能的現(xiàn)象稱(chēng)為熱輻射。自然界中各個(gè)物體都不停地向空間發(fā)出熱輻射，同時(shí)又不斷地吸收其它物體發(fā)出的熱輻射。發(fā)出與吸收過(guò)程的綜合效果造成了物體間以輻射方式進(jìn)行了熱量傳遞。輻射換熱可以用Stefen-Boltsman定律來(lái)描述，即

式中，q為熱流密度;

為表面的絕對(duì)溫度；

為輻射黑度；

為Stefen-Boltsman常數(shù)。6第六頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)傳熱分析的常用數(shù)值分析方法

（1/3）數(shù)值方法是進(jìn)行數(shù)值模擬的重要方面，前面提到目前比較常用的數(shù)值方法有：有限差分法、有限元法、直接差分法、邊界元法。對(duì)于鑄造凝固過(guò)程CAE技術(shù)來(lái)說(shuō)，主要是采用有限差分法、有限元法，前面的章節(jié)已對(duì)這兩種方面進(jìn)行了較為詳細(xì)地介紹，下面對(duì)采用這兩種方法如何進(jìn)行傳熱分析做一個(gè)簡(jiǎn)要說(shuō)明。7第七頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)傳熱分析的常用數(shù)值分析方法

（2/3）1有限差分法有限差分法，又稱(chēng)泰勒展開(kāi)差分法，是最早用于傳熱的計(jì)算方法。該方法具有差分公式導(dǎo)出簡(jiǎn)單和計(jì)算成本低等優(yōu)點(diǎn)，目前已成為應(yīng)用最為廣泛的一種數(shù)值分析方法。有限差分方法，其實(shí)質(zhì)就是將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)網(wǎng)格單元，將微分問(wèn)題化為差分問(wèn)題，離散化得到差分格式，利用差分格式來(lái)求解相應(yīng)問(wèn)題。用有限差分來(lái)求解不穩(wěn)定導(dǎo)熱過(guò)程可按如下的步驟進(jìn)行：將不穩(wěn)定導(dǎo)熱過(guò)程所涉及的區(qū)域在空間和時(shí)間上進(jìn)行離散化處理；物性條件、初始條件和邊界條件的設(shè)定；寫(xiě)出單元差分格式；將求解的過(guò)程編成計(jì)算程序，由計(jì)算機(jī)算出結(jié)果，得到溫度場(chǎng)相關(guān)結(jié)果。8第八頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)傳熱分析的常用數(shù)值分析方法

（3/3）2有限元法有限元法求解導(dǎo)熱問(wèn)題是利用微分方程邊值問(wèn)題等價(jià)于相應(yīng)變分問(wèn)題這一特點(diǎn)的。用有限元法求解不穩(wěn)定導(dǎo)熱過(guò)程可歸納為如下的步驟：將不穩(wěn)定導(dǎo)熱過(guò)程所涉及的區(qū)域在空間和時(shí)間上進(jìn)行離散化處理；物性條件、初始條件和邊界條件的設(shè)定；寫(xiě)出單元泛函數(shù)表達(dá)式；構(gòu)造每個(gè)單元的插值函數(shù)；求得泛函數(shù)極值條件的代數(shù)方程表達(dá)式；構(gòu)造代數(shù)方程組；將求解的過(guò)程編成計(jì)算程序，由計(jì)算機(jī)算出結(jié)果，得到溫度場(chǎng)相關(guān)結(jié)果。9第九頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型Fourierequation:三維場(chǎng)合：二維場(chǎng)合：一維場(chǎng)合：10第十頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)基于有限差分方法的離散（1/8）-二維場(chǎng)合二維差分單元i的的熱平衡關(guān)系圖在二維情況下，對(duì)傅立葉熱傳導(dǎo)微分方程進(jìn)行基于有限差分法的離散。如右圖所示，單元i是一邊長(zhǎng)為△x的正四邊形單元，它與相鄰的四個(gè)單元進(jìn)行熱量交換。11第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)基于有限差分方法的離散（2/8）-二維場(chǎng)合從相鄰的單元1、2、3、4單元i的熱量總和QSUM為：

在微小的時(shí)間△t內(nèi)，單元i吸收的的熱量Q為：12第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)基于有限差分方法的離散（3/8）-二維場(chǎng)合根據(jù)能量守恒定定律得:整理得：變形得：13第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)基于有限差分方法的離散（4/8）-二維場(chǎng)合由上式知，單元i在t+Δt時(shí)刻的溫度等于t時(shí)刻自身溫度以及相鄰4個(gè)單元溫度的線性組合。顯而易見(jiàn)，如果相鄰單元溫度高或低，單元i的溫度也相應(yīng)地大或?。涣硗鈴奈锢砗x來(lái)說(shuō)，單元i在t時(shí)刻溫度高，則其在t+Δt時(shí)刻的溫度也應(yīng)該高，即等式右邊第一項(xiàng)系數(shù)必須不小于零，即式中：整理得：14第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)基于有限差分方法的離散（5/8）-三維場(chǎng)合在三維場(chǎng)合下，對(duì)傅立葉熱傳導(dǎo)微分方程進(jìn)行基于有限差分法的離散。如下圖所示，單元i是一邊長(zhǎng)為△x的正六面體單元，它與相鄰的六個(gè)單元進(jìn)行熱量交換。

三維差分單元i的熱平衡關(guān)系圖15第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)基于有限差分方法的離散（6/8）-三維場(chǎng)合從相鄰的單元1、2、3、4、5、6單元i的熱量總和QSUM為：

在微小的時(shí)間△t內(nèi)，單元i吸收的的熱量Q為：16第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)基于有限差分方法的離散（7/8）-三維場(chǎng)合根據(jù)能量守恒定定律得:變形得：整理得：17第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)基于有限差分方法的離散（8/8）-三維場(chǎng)合與二維情況一樣，Δt必須滿(mǎn)足一定條件才能保證數(shù)值解的穩(wěn)定。由上式知，單元i在t+Δt時(shí)刻的溫度等于t時(shí)刻自身溫度以及相鄰6個(gè)單元溫度的線性組合。顯而易見(jiàn)，相鄰6個(gè)單元溫度的高低，直接影響了單元i在t+Δt時(shí)刻溫度的大?。煌瑯?，單元i在t時(shí)刻溫度高，則其在t+Δt時(shí)刻的溫度也應(yīng)該高，即等式右邊第一項(xiàng)系數(shù)必須不小于零，即式中：整理得：對(duì)于立方體單元i來(lái)說(shuō)時(shí)間步長(zhǎng)Δt滿(mǎn)足下式

:18第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)初始條件與邊界條件（1/2）-初始條件初始條件就是要確定t=0時(shí)刻（開(kāi)始計(jì)算時(shí)刻），各單元的溫度值。對(duì)于三維溫度場(chǎng)，初始時(shí)刻（t=0）的溫度場(chǎng)為：

鑄件部分：鑄型部分：在進(jìn)行初始溫度的設(shè)置時(shí)，可以假設(shè)鑄件“瞬間充型、初溫均布”，即可以用如下方程來(lái)表示:19第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)初始條件與邊界條件（2/2）-邊界條件(1)熱傳達(dá)邊界條件(2)熱輻射邊界條件(3)熱觸熱阻邊界條件(4)完全接觸邊界條件(5)絕熱邊界條件(6)溫度為定值的邊界條件T=定值

(7)比熱流量為定值的邊界條件定值

20第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)潛熱處理（1/5）1、定義液相的內(nèi)能EL大于固相的內(nèi)能ES，因此，當(dāng)合金凝固由液相變?yōu)楣滔鄷r(shí)，必須產(chǎn)生的內(nèi)能變化。這個(gè)內(nèi)能變化（通常用L表示）稱(chēng)為凝固潛熱，或稱(chēng)為熔化潛熱（LatentHeatofFusion）。2、考慮了析出潛熱的熱能守恒式

21第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)潛熱處理（2/5）3、潛熱的處理方法(1)等價(jià)比熱法(2)熱焓法(3)溫度回復(fù)法(4)改良的等價(jià)比熱法

*假想凝固區(qū)間22第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)潛熱處理（3/5）4、采用改良的等價(jià)比熱法的溫度場(chǎng)有限差分格式

23第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)潛熱處理（4/5）5、跨越凝固區(qū)間或假想凝固區(qū)間時(shí)的溫度校正24第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)潛熱處理（5/5）5、跨越凝固區(qū)間或假想凝固區(qū)間時(shí)的溫度校正25第二十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)溫度場(chǎng)數(shù)值模擬流程圖

溫度場(chǎng)數(shù)值模擬系統(tǒng)包括三大部分：前處理、計(jì)算分析、后處理。前處理包括含三