種群的相互競爭模型

種群的相互競爭模型第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日1.模型建立當(dāng)某個(gè)自然的環(huán)境中只有一種生物的群體(種群)生存時(shí),我們常用Logistic模型來描述它的數(shù)量的演變過程,即易知,x=N是自治系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定的平衡點(diǎn).它表示當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí),x(t)N.如果一個(gè)自然環(huán)境中存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的種群,它們之間的關(guān)系大致可分為以下幾種:相互競爭,相互依存,弱肉強(qiáng)食(食餌與捕食者),也可能毫無關(guān)系.前幾種情形我們來一一研究它們,最后一種情形不用研究.下面我們種群的相互競爭模型.先研究兩個(gè)種群的相互競爭模型.第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日模型假設(shè)設(shè)甲乙兩個(gè)種群都生活在同一個(gè)自然環(huán)境中,其數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律.記:x1(t),x2(t)分別是甲乙兩個(gè)種群的數(shù)量r1,r2分別是甲乙兩個(gè)種群的固有增長率N1,N2分別是甲乙兩個(gè)種群的最大容量于是對(duì)種群甲我們有第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日于是對(duì)種群甲我們有第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日這里σ1的意義是:單位數(shù)量的乙(相對(duì)于N2而言)消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量的甲(相對(duì)于N1)消耗的供養(yǎng)甲的食物量的σ1倍.類似,我們有于是我們得到模型這里σ1,σ2一般是相互獨(dú)立的.在某些特殊的情形下,我們有σ1σ2=1.第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日其中的第三個(gè)平衡點(diǎn)是在σ1,σ2<1或σ1,σ2>1的情形下才會(huì)得到.第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日按照判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性的方法,我們先看矩陣穩(wěn)定條件其它平衡點(diǎn)類似處理.第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日我們由此得到結(jié)論:不穩(wěn)定穩(wěn)定條件qp平衡點(diǎn)第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日注意到平衡點(diǎn)的定義我們可以看出,它是一個(gè)局部的性質(zhì).對(duì)于非線性方程(4)所描述的種群競爭,我們更關(guān)心的是平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性,即不論初值如何,平衡點(diǎn)都是穩(wěn)定的.這需要在上面得到的局部穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上輔之以相軌線分析.下面我們根據(jù)σ1,σ2的不同取值范圍,直線φ=0,ψ=0的相對(duì)位置,討論如下:在代數(shù)方程組（5）中，記第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日我們看到,兩條直線將第一象限分成了三個(gè)部分,在每一區(qū)域內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號(hào)能夠確定:O??第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日O?第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日O?第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日O?第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日O?O?O?O?第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日最終結(jié)論:不穩(wěn)定全局穩(wěn)定條件qp平衡點(diǎn)第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日結(jié)果解釋:(我們只解釋第一個(gè))1.σ1<1,σ2>1.σ1<1意味著在對(duì)供養(yǎng)甲的資源的競爭中乙弱于甲,σ2>1意味著在對(duì)供養(yǎng)乙的資源的競爭中甲強(qiáng)于乙,于是乙終將滅絕,種群甲將趨于最大容量,于是將趨于平衡點(diǎn)P1.這里σ1的意義是:單位數(shù)量的乙(相對(duì)于N2而言)消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量的甲(相對(duì)于N1)消耗的供養(yǎng)甲的食物量的σ1倍.第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日種群的相互依存模型自然界中處于同一環(huán)境下的兩個(gè)種群相互依存的現(xiàn)象是很多的.如植物與昆蟲之間,昆蟲可以幫助植物充分授粉,而昆蟲也在此過程中獲得食物(花粉).人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系.假設(shè)種群甲可以獨(dú)立存在,服從Logistic規(guī)律增長,種群乙的存在有助于甲的增長,因此甲的數(shù)量x1(t)滿足假設(shè)種群乙離開了甲便不能獨(dú)立存在,設(shè)其死亡率為r2,于是其獨(dú)立存在時(shí)的數(shù)量x2(t)滿足第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日現(xiàn)在甲為乙提供食物,于是甲對(duì)乙的增長有促進(jìn)作用,故這樣模型為第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日二維自治系