線性系統(tǒng)理論能控性和能觀性

線性系統(tǒng)理論能控性和能觀性第一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.1能控性和能觀性的定義4.1.1問(wèn)題的提出能控性問(wèn)題已知某系統(tǒng)的當(dāng)前時(shí)刻及其狀態(tài)，試問(wèn)是否存在一個(gè)容許控制，使得系統(tǒng)在該控制的作用下于有限時(shí)間后到達(dá)某希望的待定狀態(tài)？能觀性問(wèn)題已知某系統(tǒng)及其在某時(shí)間段上的輸入和輸出，試問(wèn)可否依據(jù)這一時(shí)間段上的輸入和輸出決定系統(tǒng)這一時(shí)間段上的狀態(tài)？第二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日例4.1.1

給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為將其表為標(biāo)量方程組的形式，有第三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日而由始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)，因而系統(tǒng)為完全能控；但輸出都可通過(guò)選擇輸入這表明：狀態(tài)變量和只能反映狀態(tài)變量狀態(tài)變量和輸出既無(wú)直接聯(lián)系，也無(wú)間接聯(lián)系，所以系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的。第四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日，則不論電容的初始端電壓。從電路不難看出：如果初始狀態(tài)例4.1.2

考察圖4.1.1所示的電路，系統(tǒng)的狀態(tài)變量為電容端電壓輸入為電壓源輸出為電壓，那么不管輸入是什么，對(duì)所有必恒有，即不受影響；

另一方面，如果輸入是多少，對(duì)所有恒有，即不能由反映。這表明，此電路是狀態(tài)不能控和狀態(tài)不能觀測(cè)的。第六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日轉(zhuǎn)移到任意目標(biāo)值，但不能將例4.1.3

考慮圖4.1.2所示的兩個(gè)電路。在圖4.1.2（a）的電路中，兩個(gè)狀態(tài)變量為兩電容的端電壓能夠做到使和，輸入或者和分別轉(zhuǎn)移到不同的任意目標(biāo)值。

如若初始狀態(tài)則不論將輸入取為何種形式，對(duì)所有總只能是即不可能做到使。這表明此電路不完全能控。第八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日在圖4.1.2（b）的電路中，

如若取輸入，那么當(dāng)兩個(gè)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)且為任意值時(shí)，必定有也即對(duì)所有總是有。這說(shuō)明，此種情況下的電路狀態(tài)運(yùn)動(dòng)是由輸出不能反映的，所以此電路為不完全能觀測(cè)。第九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.1.2能控性的定義定義

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)

是系統(tǒng)在如果對(duì)取定初始時(shí)刻

的一個(gè)非零初始狀態(tài)，存在一時(shí)刻

,和一個(gè)無(wú)約束的容許控制

使得系統(tǒng)在這個(gè)控制的作用下，系統(tǒng)由出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)時(shí)間

后由

轉(zhuǎn)移到，則稱(chēng)此

時(shí)刻的一個(gè)能控狀態(tài)。第十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定義

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)上是完全能控的。

如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在

時(shí)刻的能控狀態(tài)，則稱(chēng)該系統(tǒng)在時(shí)刻

是完全能控的。如果對(duì)于任何

，系統(tǒng)均是在時(shí)刻為能控的，則稱(chēng)該系統(tǒng)在區(qū)間

第十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定義4.1.3

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)

取定初始時(shí)刻

如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻是不能控的，則稱(chēng)該系統(tǒng)在時(shí)刻是不完全能控的。第十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明

定義中要求在可找到的輸入的作用下，使

上的一段有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的坐標(biāo)系原點(diǎn)。而對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡并不加以限制和規(guī)定。這就是說(shuō)，能控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)定性特性。

說(shuō)明

定義中提到的所謂無(wú)約束的容許控制，無(wú)約束表示對(duì)輸入的每個(gè)分量的幅值不加以限制，即可取為任意大到所要求的值，容許控制則表示輸入的所有分量均是在時(shí)刻的非零狀態(tài)

在上平方可積的。

第十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日

來(lái)定義的，這對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)是完全必要的。如果所考慮的為線性定常系統(tǒng)，則其能控與否和

說(shuō)明4.1.3

上述各定義中都是相對(duì)于J中的一個(gè)取定時(shí)刻

時(shí)刻的選取無(wú)關(guān)。第十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明

上述定義中都規(guī)定為由非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，如果將其變更為由零狀態(tài)達(dá)到非零狀態(tài)，則稱(chēng)這種情況為狀態(tài)能達(dá)的。對(duì)于連續(xù)的線性定常系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性是等價(jià)的。對(duì)于離散系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，嚴(yán)格地說(shuō)兩者是不等價(jià)地的?？梢猿霈F(xiàn)這樣的情況，系統(tǒng)是不完全能控的，但卻是完全能達(dá)的。

第十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日系統(tǒng)為不完全能控的情況是一種“奇異”的情況，系統(tǒng)中組成元件的參數(shù)值的很小的變動(dòng)（這在實(shí)際情況中是完全可能的）都可使其成為完全能控。所以對(duì)于一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)，系統(tǒng)為能控的概率幾乎等于1。換句話說(shuō)，如果隨機(jī)地選取系統(tǒng)地系數(shù)矩陣和的元，那么使系統(tǒng)為完全能控的概率幾乎等于1。第十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.1.3能觀測(cè)性定義

能觀測(cè)性表征系統(tǒng)的狀態(tài)是否可由系統(tǒng)的輸入和輸出完全反映。定義

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)

如果對(duì)取定初始時(shí)刻

的一個(gè)非零初始狀態(tài)上的系統(tǒng)輸出

可以唯一地決定系統(tǒng)的初始狀態(tài)為能觀測(cè)的。，存在一個(gè)有限時(shí)刻

，使得由區(qū)間

，則稱(chēng)此

在時(shí)刻

第十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定義

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)取定初始時(shí)刻

及一個(gè)非零初始狀態(tài)，如果對(duì)于任何有限時(shí)刻

均有,，則稱(chēng)此

在時(shí)刻

為不能觀測(cè)的。第十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日系統(tǒng)均是在定義4.1.6

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)如果狀態(tài)空間中所有狀態(tài)都是時(shí)刻上是完全能觀測(cè)的。的能觀測(cè)狀態(tài),則稱(chēng)系統(tǒng)在時(shí)刻觀測(cè)的。如果對(duì)于任何

是完全能時(shí)刻為能觀測(cè)的，則稱(chēng)系統(tǒng)在第十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻是不能觀測(cè)的。則稱(chēng)系統(tǒng)在時(shí)刻定義4.1.7

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)

取定初始時(shí)刻是完全不能觀測(cè)的。

第二十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.2線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)

4.2.1Gram矩陣判據(jù)

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

定理4.2.1

系統(tǒng)

在時(shí)刻能控的充分必要條件是存在某個(gè)有限時(shí)刻

，使得矩陣

是正定的，這里

是系統(tǒng)

第二十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日命題4.2.1

令是任意一個(gè)能把系統(tǒng)

的初始狀態(tài)控制到的容許控制，

則

第二十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.2.2基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的判據(jù)定理

假設(shè)和都是的連續(xù)函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)

在

時(shí)刻能控的充分必要條件是存在某個(gè)有限時(shí)刻

，使得矩陣在

上行線性獨(dú)立，即對(duì)任意維非零向量都有

第二十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.2.3基于系統(tǒng)參數(shù)矩陣的判據(jù)定理

假設(shè)系統(tǒng)

令

時(shí)刻能控。

中的和的每個(gè)元分別是

和一次連續(xù)可微函數(shù)，記如果存在某個(gè)時(shí)刻，使得

，那么該系統(tǒng)在第二十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.3線性定常系統(tǒng)的能控性判據(jù)4.3.1定常系統(tǒng)能控性的特殊性引理

設(shè)定常線性系統(tǒng)在某

時(shí)刻完全能控，則它必在上完全能控。第二十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.3.2能控性矩陣判據(jù)定理

定常線性系統(tǒng)能控的充分必要條件是:

第二十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日推論4.3.1

已知定常線性系統(tǒng)

如果系統(tǒng)矩陣的最小多項(xiàng)式是次的，那么該系統(tǒng)能控的充分必要條件是:

第二十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日那么它能控的充分必要條件是:

推論4.3.2

設(shè)定常線性系統(tǒng)是單輸入的，即

第二十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.3.3PBH判據(jù)定理4.3.2

定常線性系統(tǒng)能控的充分必要條件是，對(duì)每個(gè)其中，表示的特征值集合。都有第二十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日推論

定常線性系統(tǒng)能控的充分必要條件是它沒(méi)有輸入解耦零點(diǎn)。

能控的充分必要條件是，對(duì)于系統(tǒng)矩陣的每個(gè)左特征向量推論4.3.4

定常線性系統(tǒng),總有

第三十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日的特征值（或者說(shuō)系統(tǒng)的極點(diǎn)）進(jìn)行分類(lèi)。

推論4.3.5

系統(tǒng)能控的充分必要條件是

按照系統(tǒng)的能控性，可以對(duì)定常線性系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣第三十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日，并且滿足叫做該系統(tǒng)的一個(gè)不能控振型。定義4.3.1

如果則系統(tǒng)的不能控振型必是系統(tǒng)的極點(diǎn),同時(shí)又是系統(tǒng)的零點(diǎn)。第三十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.4對(duì)偶原理與能觀測(cè)性判據(jù)4.4.1Gram矩陣判據(jù)定理

已知線性系統(tǒng)它在

時(shí)刻完全能觀測(cè)的充分必要條件是，存在某個(gè)有限時(shí)刻，使得矩陣

是正定的。第三十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)刻完全能控。

4.4.2對(duì)偶原理引理

線性系統(tǒng)時(shí)刻安全能控的充分必要條件是它的對(duì)偶系統(tǒng)在的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是互為轉(zhuǎn)置逆的關(guān)系。

時(shí)刻完全能控測(cè)的充分必要條件是它的對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和它的對(duì)偶系統(tǒng)定理4.4.2

（對(duì)偶原理）系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控測(cè)；系統(tǒng)在在第三十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.4.3能觀性判據(jù)能觀的充分必要條件是，存在某個(gè)有限時(shí)刻上列線性獨(dú)立，即對(duì)任意的非零向量有定理4.4.3

已知系統(tǒng)，假設(shè)和的諸元均為連續(xù)的，則其在時(shí)刻，使得矩陣在

第三十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

已知系統(tǒng)，假設(shè)

和分別是并令

如果存在某個(gè)時(shí)刻那么系統(tǒng)和一次連續(xù)可微的，記:，使得

在時(shí)刻是完全能觀測(cè)的。第三十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理4.4.5

定常線性系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件是:

第三十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日推論4.4.1

已知定常線性系統(tǒng)如果的最小多項(xiàng)式是次的，那么系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是:

第三十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日推論4.4.2

已知定常線性系統(tǒng)是單輸入的，即那么它完全能觀測(cè)的充分必要條件是:

第三十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

定常線性系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是，對(duì)每個(gè)都有:第四十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日推論

定常線性系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是它沒(méi)有輸出解耦零點(diǎn)。第四十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.5系統(tǒng)的能控、能觀性指數(shù)4.5.1線性系統(tǒng)的能控性指數(shù)完全能控的線性定常系統(tǒng)定義階常陣:其中為正整數(shù),因?yàn)橄到y(tǒng)能控,當(dāng)時(shí),為能控制性矩陣，且。則存在一個(gè)使成立的最小正整數(shù)，稱(chēng)為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，定義式為：第四十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日

，并設(shè)引理4.5.1

已知系統(tǒng)記其能控性指數(shù)為則必成立:

第四十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日推論

對(duì)于單輸入系統(tǒng)，也即時(shí)，系統(tǒng)的能控型指數(shù)為。推論

線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件時(shí)第四十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日

的最小多項(xiàng)式的次數(shù)，則能控性指數(shù)引理

令可進(jìn)而表為為矩陣的估計(jì)不等式第四十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日命題4.5.1

對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程作線性非奇異變換，其能控指數(shù)和能控型指數(shù)集

保持不變。

第四十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.5.2線性系統(tǒng)的能觀性指數(shù)第四十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日若把表示為第四十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日從開(kāi)始搜索個(gè)線性無(wú)關(guān)的行,考慮到的秩為,將這個(gè)線性無(wú)關(guān)的行重新排列:第五十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日通常稱(chēng)為系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)集,顯然有:

和第五十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日的最小多項(xiàng)式的次數(shù)，那么上式還可表示為

的能觀測(cè)性指數(shù)和能觀測(cè)性指數(shù)集，我們有1若2如果令

3當(dāng)對(duì)該系統(tǒng)作線性非奇異變換時(shí)，都保持不變。引理4.5.3

關(guān)于系統(tǒng)為矩陣，則必成立和第五十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日推論

若，則系統(tǒng)為能觀測(cè)的充分必要條件為

第五十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.6單輸入－單數(shù)出先行系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型定理4.6.1

對(duì)完全能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)

引入線性非奇異變換即可導(dǎo)出其

第一能控規(guī)范型為第五十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其中其中

第五十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理4.6.2

對(duì)完全能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng):定義:

則在線性非奇異變換第五十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日下系統(tǒng)代數(shù)等價(jià)于下述第二能控規(guī)范型

其中:第五十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日這里:第五十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日完全能控，則其傳遞函數(shù)為推論4.6.1

設(shè)系統(tǒng)命題4.6.1

代數(shù)等價(jià)的單變量完全能控系統(tǒng)具有相同的第一或第二能控規(guī)范型。第五十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日例4.6.1

給定能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)為定出其特征多項(xiàng)式和常數(shù)則利用式（4.6.4）～（4.6.11），即可導(dǎo)第六十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日而其逆為于是，又可定出能控規(guī)范型中的狀態(tài)向量為第六十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其特征多項(xiàng)式如式（）所示，則在線性非奇異變換4.6.2單輸入-單輸出系統(tǒng)的

能觀測(cè)規(guī)范型定理

對(duì)完全能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)下，可導(dǎo)出其第一能觀規(guī)范型為:第六十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

對(duì)完全能觀測(cè)的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)

其特征多項(xiàng)式:定義:第六十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日

則，在線性非奇異變換下，可導(dǎo)出其第二能觀規(guī)范型為:第六十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日例4.6.2給定能觀測(cè)的單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)先定出其特征多項(xiàng)式和常數(shù)第六十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第六十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日于是，又可定出能觀測(cè)規(guī)范型中的狀態(tài)向量為第七十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日命題

代數(shù)等價(jià)的單變量完全能觀測(cè)系統(tǒng)具有相同的第一或第二能觀規(guī)范型。命題

第一（二）能控規(guī)范型和第一（二）能觀規(guī)范型是互為對(duì)偶的。第七十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第七十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.7多輸入-多輸出線性系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型4.7.1兩種搜索方案給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為其中,為常陣；和分別為和常陣。第七十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其能控性判別陣和能觀測(cè)性判別陣分別是為了找出中的個(gè)線性無(wú)關(guān)的列（行），通?？墒褂酶駯艁?lái)進(jìn)行，并可有兩種搜索方案第七十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日方案1[列搜索]

對(duì)給定（Ａ,Ｂ），按

圖４.７.１所示構(gòu)成格柵圖。按列搜索

與前面線性無(wú)關(guān)列的線性相關(guān)性一直到時(shí)，搜索結(jié)束。

第七十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日方案2[行搜索]

對(duì)給定（Ａ,Ｂ），按

圖４.７.2所示構(gòu)成格柵圖。按行搜索第七十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日如果，那么中的個(gè)列是線性無(wú)關(guān)的，在第一行中從起依次找到個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，并搜索以下的行，直到找到個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量為止。用表示第列中“”格的長(zhǎng)度，那么就可以得到一個(gè)指數(shù)集合它即是系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。第七十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.7.2多輸入-多輸出系統(tǒng)的Wonham能控制規(guī)范型

[Wonham能控制規(guī)范型的求取]第一步:判斷多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)是否為完全能控,如否，則不存在能控規(guī)范型.第二步:表按前搜索方案Ｉ找出能控性矩陣的個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量為：其中：第七十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

對(duì)完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)基于算法求取的系統(tǒng)在線性非奇異變換下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)

第三步:取變換陣為第四步:計(jì)算第七十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日具有Wonham第一能控規(guī)范型的形式其中：第八十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第八十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日算法４.７.2[Wonham第二能控制規(guī)范型的求取]第一步至第三步:同算法第四步:計(jì)算矩陣,并將其表為如下形式第八十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第五步:取矩陣的每個(gè)塊中的末行按下述方式構(gòu)造變換矩陣:第八十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第六步:計(jì)算第八十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

對(duì)完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)基于算法求取的系統(tǒng)在線性非奇異變換具有Wonham第二能控規(guī)范型的形式:下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)

第八十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其中:第八十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第八十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.7.3Luenberger能控規(guī)范型

[Luenberger能控規(guī)范型的求取]第一步:判斷多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)是否為完全能控,如否，則不存在能控規(guī)范型。第二步:按搜索方案II找出其能控性矩陣為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。的個(gè)線性無(wú)關(guān)列,且將搜索結(jié)果表為:其中:第八十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三步：依據(jù)搜索結(jié)果取變換陣為：第四步：計(jì)算第八十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

對(duì)于完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)

對(duì)其應(yīng)用算法4.7.3求取的系統(tǒng)在線性非奇異變換:設(shè)其滿足下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)具有Luenberger第一能控規(guī)范型的形式

其中

第九十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第九十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日，第九十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日算法

[Luenberger第二能控規(guī)范型

的求取]

第一步至第三步:同算法第四步:計(jì)算矩陣,并將其表示為下述形式:第五步:取矩陣的每個(gè)塊中的末行按下述方式構(gòu)造變換矩陣:第九十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第六步:計(jì)算第九十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

對(duì)于完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)

對(duì)其應(yīng)用算法4.7.4求取的系統(tǒng)在線性非奇異變換

設(shè)其滿足下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)具有Luenberger第二能控規(guī)范型的形式

其中

第九十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第九十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日，

第九十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日例4.7.1已知定常線性系統(tǒng)為，，求該系統(tǒng)的Luenberger第二能控標(biāo)準(zhǔn)型。

解:該系統(tǒng)的能控性矩陣為第九十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日從中按方案Ⅱ選取線性獨(dú)立列向量得矩陣容易計(jì)算第九十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日做矩陣不難計(jì)算第一百頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日于是經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可以得出，，由矩陣決定得系統(tǒng)就是所要求得Luenberger第二能控標(biāo)準(zhǔn)型。第一百零一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.7.4線性系統(tǒng)的能觀規(guī)范型定理

考慮完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)則其Wonham第一能觀測(cè)規(guī)范型在形式上對(duì)偶于Wonham第二能控規(guī)范型，即

第一百零二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其中

第一百零三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日

第一百零四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百零五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

考慮完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)則其Wonham第二能觀測(cè)規(guī)范型在形式上對(duì)偶于Wonham第一能控規(guī)范型，即第一百零六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其中

第一百零七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百零八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百零九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日

，則其Luenberger第一能觀測(cè)規(guī)范型在形式上對(duì)偶于Luenberger第二能控規(guī)范型，即

定理

對(duì)于完全能觀測(cè)的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)

設(shè)其滿足第一百一十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其中

第一百一十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百一十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百一十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日

，則其Luenberger第二能觀測(cè)規(guī)范型在形式上對(duì)偶于Luenberger第一能控規(guī)范型，即

定理

對(duì)于完全能觀測(cè)的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)設(shè)其滿足第一百一十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其中

第一百一十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百一十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百一十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.8線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.8.1能控性和能觀測(cè)性在線性非奇異變換下的屬性為兩者的能觀測(cè)性矩陣。

命題4.8.1

設(shè)對(duì)進(jìn)行線性非奇異變換所導(dǎo)出的結(jié)果，即兩者之間有下述關(guān)系

其中，為非奇異常陣，從而必成立

和

其中，為兩者的能控性矩陣，

第一百一十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日命題

設(shè)的元是對(duì)的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，且對(duì)一切均不降秩，

記系統(tǒng)和第一百一十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日

Gram能控矩陣分別為則有

和Gram能觀矩陣分別為和和

第一百二十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.8.2線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解算法

[能控性結(jié)構(gòu)分解的求取]第一步:列寫(xiě)線性定常系統(tǒng)的能控性矩陣并求出第一百二十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二步:在能控性判別矩陣中任意選取個(gè)線性無(wú)關(guān)的列,記為。此外，在維實(shí)數(shù)空間中任意選取個(gè)列向量，記為，使得為線性無(wú)關(guān)。第三步：按下述方式組成變換矩陣第四步：計(jì)算

第一百二十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理

對(duì)不完全能控系統(tǒng)利用算法求得系統(tǒng)在線性非奇異變換下代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)具有下述結(jié)構(gòu)按能控性分解的規(guī)范表達(dá)式第一百二十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日維能控分狀態(tài)向量，即維不能控分狀態(tài)向量，其中，為能控；為。

第一百二十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日例4.8.1

給定線性定常系統(tǒng)已知,故只需判斷是否為行滿秩?，F(xiàn)知第一百二十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日表明系統(tǒng)不完全能控。進(jìn)而，在中取線性無(wú)關(guān)的列和再任取，使構(gòu)成矩陣為非奇異。而通過(guò)求逆，可定出第一百二十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日于是可算得第一百二十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日這樣就導(dǎo)出了系統(tǒng)按能控性分解的表達(dá)式為第一百二十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百二十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百三十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百三十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百三十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百三十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一百三十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4.8.3線性定常系統(tǒng)按能觀測(cè)性的結(jié)構(gòu)分解算法

能觀性結(jié)構(gòu)分解的求取第一步：列寫(xiě)系統(tǒng)的能觀測(cè)性判別矩陣并計(jì)算第二步：在中任意選取個(gè)線性無(wú)關(guān)的