二重積分的計算法

二(Er)重積分的計算法第一頁，共六十二頁。一、利用直角坐標計(Ji)算二重積分二重積分定義為積分和式的極限．如果直接用二重積分的定義去計算它的值，是相當(dāng)困難的，甚至是不可能的.下面我們根據(jù)二重積分的幾何意義—曲頂柱體的體積來導(dǎo)出二重積分的計算方法.這個方法就是把二重積分的計算轉(zhuǎn)化為接連計算兩次定積分，即二次積分.第二頁，共六十二頁。xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為A(x)的立(Li)體.aV

復(fù)習(xí)：平行截面面積為已知的立體的體積b第三頁，共六十二頁。二重積(Ji)分的計算(D是矩形區(qū)域)y0xz

yabcdDD是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

第四頁，共六十二頁。y0xz

yabcdDD是矩(Ju)形區(qū)域z=f(x,y)

問題：Q(y)是什么圖形？是曲邊梯形。.二重積分的計算(D是矩形區(qū)域).第五頁，共六十二頁。0xz

yyabcdD.Q(y

)=同理，也可以先(Xian)對y積分.z=f(x,y)D是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

二重積分的計算(D是矩形區(qū)域)第六頁，共六十二頁。0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x(y)cyd

二(Er)重積分的計算（D是曲線梯形區(qū)域）第七頁，共六十二頁。0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).y問題：Q(y)是什(Shi)么圖形？D:(y)x(y)cyd也是曲邊梯形!

.Q(y

)

I=

二重積分的計算（D是曲線梯形區(qū)域）.第八頁，共六十二頁。0xz

yx=(y)ycdD.D:(y)x(y)cyd.Q(y

)

=二重積分的計算(Suan)（D是曲線梯形區(qū)域）x=(y)z=f(x,y)第九頁，共六十二頁。如果積(Ji)分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).直角坐標系下計算二重積分［X－型］第十頁，共六十二頁。設(shè)函數(shù)

在區(qū)域上連續(xù),且當(dāng)時，如果區(qū)域是由直線，與曲線所圍成(X

型區(qū)域),如下圖,即第十一頁，共六十二頁。若(Ruo)D是X型區(qū)域，則積分先Y后X。通常寫成第十二頁，共六十二頁。把計(Ji)算二重積分的問題化為計算兩次定積分的問題。x看作是常量，y是積分變量；這是先對，后對的兩次積分(適合于型區(qū)域).第二次積分時計算x是積分變量.

第一次計算定積分D：第十三頁，共六十二頁。如(Ru)果積分區(qū)域為：［Y－型］第十四頁，共六十二頁。類似地，如果D是Y型區(qū)域,可用垂直于軸的(De)平面去截曲頂柱體,此時D為這是先對，后對的兩次積分.第十五頁，共六十二頁。如果去掉以上結(jié)論中關(guān)于的限制，則上述結(jié)論仍是成立的.幾點說(Shuo)明：則（?。┤魠^(qū)域D是一個矩形，（ⅱ）若函數(shù)可積，且且第十六頁，共六十二頁。（ⅲ）上面所討(Tao)論的積分區(qū)域D是

X型或Y型區(qū)域。則例如若不滿足這個條件,可將D分塊.再應(yīng)用積分的分域可加性來計算.D1D2D3第十七頁，共六十二頁。由于二重積分歸結(jié)于計算兩個定積分,因此計算重積分本身沒有新困難,對于初學(xué)者(Zhe)來說,感到困難的是如何根據(jù)區(qū)域D去確定兩次積分的上、下限.定限法則:就型區(qū)域而言后積先定限,域內(nèi)穿射線,先交為下限,后交為上限.如右圖建議：先將區(qū)域D的圖形畫出，再寫出區(qū)域D上的點的坐標所要滿足的不等式以確定積分的上、下限.第十八頁，共六十二頁。解(Jie)：積分區(qū)域如圖

如果積分區(qū)域既是X-型又是Y-型的，則重積分既可以轉(zhuǎn)化為先對x后對y的，也可以轉(zhuǎn)化為先y后x的二次積分（累次積分）第十九頁，共六十二頁。解(Jie)：積分區(qū)域如圖第二十頁，共六十二頁。例1

計算二重積分,其中為矩形：解1

先積再積解2

先積再積第二十一頁，共六十二頁。例2

計算二重積分,其中區(qū)域為矩形：解因為,所以或先積再積第二十二頁，共六十二頁。解：橢(Tuo)圓區(qū)域可表示為因此

例3

計算二重積分.其中積分區(qū)域D

為四分之一橢圓。第二十三頁，共六十二頁。例4

計算二重積分,其中是由三條線所圍成的區(qū)域.解易知積(Ji)分區(qū)域可表為于是第二十四頁，共六十二頁。其中例2.3計算二重積分解：先畫出區(qū)域D的圖形，因(Yin)為xyO-11D1D2第二十五頁，共六十二頁。例(Li)5.

計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:

為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十六頁，共六十二頁。例(Li)6.

計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十七頁，共六十二頁。例7.

交換(Huan)下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共六十二頁。例8.

計(Ji)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十九頁，共六十二頁。解(Jie)：第三十頁，共六十二頁。解(Jie)：第三十一頁，共六十二頁。二重積分在直角坐標(Biao)下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］第三十二頁，共六十二頁。21DD:.怎么計(Ji)算？需使用極坐標系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!0y

xD4D3D1D2第三十三頁，共六十二頁。所以(Yi)，用若直角坐標來計算，無法求出例如，計算二重積分需使用極坐標系！第三十四頁，共六十二頁。積分的變量代換是計算積分的一個有效方(Fang)法,對二重積分也有類似的方法.在這類方法中極坐標變換最為常用.下面介紹怎樣利用極坐標變換來計算二重積分.在二重積分的計算中,如果積分域是圓域或部分圓域,被積函數(shù)為形式,利用極坐標變換來計算二重積分會十分方便.二、利用極坐標計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共六十二頁。對(Dui)應(yīng)有在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)在內(nèi)取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束域的面積第三十六頁，共六十二頁。即(Ji)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束下面考慮如何把極坐標系下的二重積分化為二次積分.分三種情況來討論:第三十七頁，共六十二頁。設(shè)(She)則1)極點在D之外2)極點在D的邊界上第三十八頁，共六十二頁。3)設(shè)極(Ji)點D之內(nèi)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若f≡1則可求得D的面積第三十九頁，共六十二頁。思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切(Qie)于原點,試答:

問的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十頁，共六十二頁。21D0y

xD:變換到極坐標(Biao)系.例1計算D:1r202第四十一頁，共六十二頁。例2.11.計(Ji)算其中解:

在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十二頁，共六十二頁。解(Jie):第四十三頁，共六十二頁。第四十四頁，共六十二頁。第四十五頁，共六十二頁。注(Zhu):利用例2.11可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當(dāng)D為R2時,利用例2.11的結(jié)果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十六頁，共六十二頁。解(Jie)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十七頁，共六十二頁。0y

x2a解(Jie)：例2第四十八頁，共六十二頁。0y

x12

y=xD例(Li)4.第四十九頁，共六十二頁。解(Jie)：第五十頁，共六十二頁。解(Jie)第五十一頁，共六十二頁。例(Li)10.I=不分塊兒行嗎？解：不行！2r=–2cosy

xo–1D第五十二頁，共六十二頁。例(Li)11.

將積分化為極坐標形式r=Ry=RxD1D2.R0y

xD...arctanR.I=I=第五十三頁，共六十二頁。解(Jie):第五十四頁，共六十二頁。定(Ding)積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十五頁，共六十二頁。例2.13

試用一般變量代換寫出直角坐標變?yōu)闃O坐標的二重積分的公(Gong)式解：因為代換式為則雅可比行列式為除個別點r=0之外，其他點均有J≠0。所以有第五十六頁，共六十二頁。例(Li)

試計算橢球體解:

由對稱性令則D的原象為的體積V.第五十七頁，共六十二頁。內(nèi)容(Rong)小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十八頁，共六十二頁。則(Ze)(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十九頁，共六十二頁。(3)計算(Suan)步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標線被積函數(shù)關(guān)于