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Zhanglizhuo-一、線性方程組x11+x22+ 1,2,…,1,2,…,n,1,2,…,1,2,…,n,=1,2,…,Zhanglizhuo-dim1,2,…,n,=dim1,2,…,依§3.4定理rank{1,2,…,n,}=rank{1,2,…,n}.其中(*)式的充分性利用了§3.4命題7 Zhanglizhuo-xmx2mx3mxb xm1x2(m1)x

xbxm2x2(m2)x3(m2)

b其中2

3i，m是正整數(shù)【解】線性方程組的增廣矩陣A的前3列組成的3

其中范德蒙行列式中m,m+1,m+2兩兩不等，因Zhanglizhuo-因此rank(A)3，又A只有3行，因此rank(A)3又上述行列式也是系數(shù)矩陣A的一個3rank(A)3，從而rank(A)=3Zhanglizhuo-二、有解的線性方程組解的情形的判定理2線性方程組x11+x22xnn=如果系數(shù)矩陣A的秩小于未知量的數(shù)目n無窮多個rank(A)=rank(A)=J于是當(dāng)A的秩等于未知量數(shù)目n時，方程組Zhanglizhuo-于是當(dāng)A的秩小于nZhanglizhuo-例1判斷復(fù)數(shù)域上的xmx2mx3mxb xm1x2(m1)x

xbxm2x2(m2)x3(m2)

b其中2

3i，m是正整數(shù)Zhanglizhuo-設(shè)n元線性方x11+x22+ 10方程組(1)無解的充分必要條件是20方程組(1)有解的充分必要條件是方程組(1)方程組(1)Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-設(shè)n元齊次線x11+x22+方程組(2)恒有解，且依定理210方程組(2)20方程組(2)rankA)<n

Zhanglizhuo-例2判斷下述齊次線 x1x2x31 axbxcx1 a2xb2xc2x a3xb3xc3x

所以rank(A)3，又矩陣A只有3列，所以Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhu

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