不定積分習(xí)題

__習(xí)題課(六)1．原函數(shù)定義：在區(qū)間I上，若F(x)=f(x)(即dF(x)=f(x)dx)，稱函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。2．原函數(shù)存在的條件：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)。則f(x)在區(qū)間I上3．不定積分：函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的所有原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)在區(qū) (1)先積分再求導(dǎo)(或微分) (2)先求導(dǎo)(或微分)再積分 二．基本積分公式(略)個(gè)基本積分公式中的積分，從而進(jìn)行積分。(關(guān)鍵體現(xiàn)在拆項(xiàng)上，例角公式；在分子上加一項(xiàng)，減一項(xiàng)等都是常用的手段)。主要用來解決復(fù)合函數(shù)的積分(確切地說是復(fù)合函數(shù)與之間變量導(dǎo)數(shù)之積的積分)。要熟練常用的幾個(gè)湊微分式子： a x f(x)f(x) f(x)f(x)個(gè)常用的固定換元：含有a2x2含有x2+a2分母冪次比分子冪次較高式t=n1t倒代換的母冪次：ux作冪冪冪函數(shù)×對(duì)數(shù)函數(shù)實(shí)數(shù)次冪對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)去掉對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)×反三角函實(shí)數(shù)次冪反三角函數(shù)冪函數(shù)去掉反三角函數(shù)數(shù)數(shù)精講解：(本題考核導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系。給出不定積分，求被積函數(shù)，只需對(duì)等式兩邊求導(dǎo))對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，有f(x)=ex+(x1)ex=xex.x解：(本題也是考核導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系。給出導(dǎo)數(shù)，求原函數(shù)，只需對(duì)等式寫為f(x)=1+x，再兩邊求積分)222x21fxln2x，求不定積分jxf,(x)dx.(盡管這也是考核原函數(shù)概念的題目，但是由于在被積函數(shù)中出現(xiàn)了一個(gè)函數(shù)與f(x)的導(dǎo)數(shù)f,(x)乘積的形式，因此首先要進(jìn)行分部積分)由F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)及f(x)F(x)=xex，有2(1+x)2F,(x)F(x)=xex，對(duì)上式兩邊同時(shí)求積分，得2(1+x)2FxjFxFxdxjxexdx=1jxexd(1)22(1+x)221+x由F(0)=1及F(x)>0，得C=0，且F(x)=ex，所以，f(x)=F,(x)=d(ex)=xex/2.dx1+x2(1+x)3/26．求下列不定積分(本例都是典型的、常見的湊微分類型，有些題目要經(jīng)過多次湊微分) (ex+ex)4(ex+ex)4 xarcsinx1+x22 解：(1)jlnxdx=j(1+lnx)1d(1+lnx)x1+lnx1+lnx 2(e2x+1)3(e2x+1)4=++C==++C=exexexC. 2 221(x)2arcsinxarcsinx22x2 xxxx22 sinxcosxtanxcos2xtanx2 33x2x+1(3)2+(x1)222=xlnx+1+ln(x2x+3333222=x+lnarctan+C1x2=x+lnarctan+C3(x+1)233. xxnx(x3+1)23x3(x3+1)23x3(x3+1)23x3(x3+1)(x3+1)23x3x3+1x3+1=(ln+)=(ln+)+C.3x3+1x3+1 到代換.)令x=1,則dx=dt,于是tt2=(t7t5+t3t+arctant)+C=1+11+1arctan1+C.7t37x75x53x3xx8．求下列不定積分(本例都是三角函數(shù)有理式的積分，能不用萬能代換的，盡量不用萬能代換，通常都可以用湊微分求解) jsinxcosxdx=jsinxdsinx=1jdsin2x=1arctan(sin2x)+C.1+sin4x1+sin4x21+(sin2x)22 接湊微分)xcos4x (3)(本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是要統(tǒng)一角度，二是要將分母上的兩項(xiàng)之和化為一項(xiàng))sin2x+2cosx2cosx(sinx+1)2cos3x242444cos2x (4)(本題解法很多，下面僅介紹幾種有代表型的解法)sinx+cosx2sinx+cosx2sinx+cosxosxxlnsinxcosxC2sinx+cosx2方法二(伴侶型積分)：記I=j12sinx+cosx.II=jsinxcosxdx=jd(sinx+cosx)=lnsinx+cosx+C.12sinx+cosxsinx+cosx兩式相加，得jsinxdx=I=1(xlnsinx+cosx)+C.sinx+cosx12222222212sinx+cosx1+tanx(1+t)(1+t2)21+t21+t222方法六：用萬能代換，令tanx=u，則22222229．求下列不定積分(本例都是無理函數(shù)積分，如果能夠通過湊微分求解，當(dāng)然最好；如果不能用湊微分求解，就要設(shè)法去根號(hào)) 解：(1)本題屬于jf(x2)xdx類型，直接湊微分即可，當(dāng)然也可以用三角代22535353 (2)方法一：x>0時(shí)，令x=sect(0t/2)，xx0時(shí)，方法類似，結(jié)果為jdx=arccos1+C.方法二：本題也可以通過雙曲函數(shù)代換達(dá)到去根號(hào)的目的。tjdshtarctanshtCarctanxCjdxjtdtjdtarctantCarctanx一1+C.x換，tt2 xt2tdtjxdx=j2t2dt=一jtd1=一t+jdttxxx22xx2xx22(1/2)2(x1/2)2xx22 (注：轉(zhuǎn)化為jxdx后，也可以用代換x1=1sint求解)xx2221xcost2=arcsinxxx2+C. (4)本題不是常見的典型題，這里出現(xiàn)了復(fù)合函數(shù)，當(dāng)一時(shí)看不到解法時(shí)，可以考慮用中間變量作代換進(jìn)行試解。如該題可考慮的換元有：t=3x2、55 (注：轉(zhuǎn)化為3jt5dt后，也可以再作代換t=tanu求解)Cxx=10．求下列不定積分(本例都屬于分部積分類型) ex1 解：(1)本題屬于冪函數(shù)(正整數(shù)次冪)×三角函數(shù)類型的積分，要試圖先=1(xjdx)=1(x+cotx)+C.2sin2xsin2x2sin2x (2)本題屬于冪函數(shù)(非正整數(shù)次冪)×對(duì)數(shù)函數(shù)類型的積分，要試圖先將冪函數(shù)湊到微分號(hào)后面，微分號(hào)外面只留對(duì)數(shù)函數(shù)。(1+x2)3/22(1+x2)3/2 (3)本題屬于冪函數(shù)(非正整數(shù)次冪)×反三角函數(shù)類型的積分，要試圖先將冪函數(shù)湊到微分號(hào)后面，微分號(hào)外面只留反三角函數(shù)。x (4)本題也屬于冪函數(shù)(非正整數(shù)次冪)×反三角函數(shù)類型的積分，直接為x2(1+x2)x=(arctanx+arctan2x)+j(1+arctanx)dxxx1+x2xx1+x2=arctanxarctan2x+1lnx2+Cx221+x2. (5)本題屬于冪函數(shù)(正整數(shù)次冪)×指數(shù)函數(shù)類型的積分，要試圖先將ex1ex1對(duì)積分jex1dx，令ex1=t，則x=ln(1+t2)，dx=2tdt，于是1+t21+t22ex1 exexex(1+ex)=ln(1+ex)+j(11)dex=xln(1+ex)ln(1+ex)+C.exex1+exex(4(arcsinx)+C)3x11．求下列不定積分(本例又是一種積分類型。在這種積分中，其中有一部分是不能進(jìn)行積分的(即原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示)，這一部分暫時(shí)不要管它，先對(duì)其它部分進(jìn)行積分，在積分過程中會(huì)產(chǎn)生出不能進(jìn)行積分的部分的相反的值，從而將那部分抵消掉) ln2xlnxln2xlnxln2xx