高數(shù)課件29-6重積分應用

重積分的幾何應用1.平面圖形的面積2.空間立體的體積3.曲面的面積4.習題解析

若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應地部分量可近似地表示為的形式，其中在內．這個稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達式為把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中.對三重積分而言1.平面圖形的面積由二重積分的性質，當

f(x,y)=1時區(qū)域D的面積2.空間立體的體積設曲面的方程為則曲頂柱體的體積為由三重積分的物理意義知空間閉區(qū)域的體積為計算由曲面解一用二重積分與xoy

面所圍成的立體的體積由對稱性得例1解二用三重積分所圍成的立體的體積解一（用極坐標）解二

是柱形區(qū)域，用柱坐標例2例3

求球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積。解顯然，所求立體應在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四個卦限部分的體積是對稱相等的。因此，若設第一卦限部分的體積為V1

，則所求立體的體積為V1

可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為它的底D由半圓周及x

軸圍成。用極坐標系表示于是，所求立體體積任一點的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xoy

面上的投影為(記所圍域為D)在點例4.求曲面例5.求半徑為a

的球面與半頂角為的內接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為①．設曲面的方程為：如圖，3.曲面的面積曲面S的面積元素②．設曲面的方程為：曲面面積公式為：③．設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得：④若光滑曲面方程為隱式則且解曲面的方程為求半徑為R的球面的表面積解曲面方程為（由對稱性）例計算圓柱面被圓柱面所截的部分的面積解由對稱性可知A=16A1A1

的方程例例.計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.1.平面圖形的面積2.空間立體的體積3.曲面的面積曲面

z=f(x,y)在xoy

面的投影區(qū)域為D小結：關于重積分幾何應用作業(yè)習題9-4（116頁）1；2；3證明:提示:

左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.P1244.7(2).其中是所圍成的閉區(qū)域.提示:

被積函數(shù)在對稱域上關于z

為奇函數(shù),利用對稱性可知原式為0.由球面P124課本習題解析7(1).計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:

由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計算方便.P1247(3).計算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用柱坐標原式繞x

軸旋轉而成的曲面與平面P124例1.計算積分其中D由所圍成

.提示:如圖所示連續(xù),所以典型例題例2.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例3.計算二重積分在第一象限部分.解:其中D為圓域兩部分說明:若不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.作輔助線將D分成例4.如圖所示交換下列二次積分的順序:解:例5.

計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=例6.

設由錐面和球面所圍成,計算提示:利用對稱性用球坐標例7.計算其中解:利用對稱性例8.解:

在