函數(shù)零點(diǎn)與元次方程根的分布

函零與元次程的布函數(shù)的零：對(duì)于數(shù)

yx)

，把使

f(x)0的數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)

的零點(diǎn)。零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)

yfx)區(qū)[a,]

上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

f(a))0

，那么函數(shù)

yx)在區(qū)間(a,b

內(nèi)有零點(diǎn)即存在

cab使得(c)0這c也就方程

f(x0

的根。函數(shù)與方思想若若

=fx)與x軸有交點(diǎn)xf(x)=000=f(x)與=g(x)有點(diǎn)(，)f()=gx)解0一元二次程根的分布

。一、一元二次方程根的基本分布——零分布所謂一元二次方程根的零分布，的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說(shuō)，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程

ax

（0）的兩個(gè)實(shí)根為

x

，，且x1

x

?！径ɡ?】

x

0，x(兩個(gè)正根)

cx

，推論

x

0，x0

20f(0)c0b

或

ac0af(0)b【定理2】

x

0，0

00x0

，推論0，02【定理3】x0x2

0f(0)c0bca

acf(0)0【定理4】eq\o\ac(○,1)

x

x0c0

且

b；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)x0，c0且a

。/

二．一元二次方程的非零分布——k分布設(shè)一元二次方程0）的兩實(shí)根為k分布（即x，相對(duì)于k的位置）有以下干定理。2

x

，x，x

x

k為常數(shù)。則一元二次方程根【定理1】

k

x

ack)a【定理2】

x

x

k0

。bk2a【定理3】

x

x(k)

。推論10x02推論2(?！径ɡ?】且僅（或xf()f(k)222【定理5】

k212

f()1(k)02f(p)01()2

f()0()0f(p)(p)0/

f()0f(k)f()0f(k)

【定理6】

k

xx2

40或0(k)0f(k)bkkk22三、例題【1

若一元二次方程

kx

的兩根都是負(fù)數(shù)，k的取值范圍?！?

在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程

kx

2

有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根？【3

（1已知方程

x

2

x

的兩實(shí)根都大于m的取值范圍。（2若一元二次方程（3若一元二次方程

mxmx

22

mm

的兩個(gè)實(shí)根都大于-1求m取值范圍。的兩實(shí)根都小于2m的取值范圍。【4

（1）已知方程

x

2mxm

有一根大于2另一根比2小，求的取值范圍。（2已知方程

x

2

xm

有一實(shí)根在和1之間，的取值范圍。例1

k

125

或k>3例0<

<3）例3、112

4

）2

6

）3

或m6

）例4、1（

2

）2（

12

）函零與元次程的布/

一、選擇1、已知

f)=(－a)(

)－a<

)，并且方程

fx

兩根(<，則實(shí)ab，的大小關(guān)系是()A<a<b<

Ba<

a<b<

D<<<

2、方程

f(x)

=

2=0(a的兩個(gè)根都大于的充要條件是()eq\o\ac(△,A.)≥且

f

(1)>0B.

f

(1)>0且－

bceq\o\ac(△,0)≥且－>2，△≥且aaa

f

(1)>0，－

ba

。3函數(shù)

f()x

在

[0,

內(nèi)（）（A沒(méi)有零點(diǎn)（有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（C）且僅有兩個(gè)零點(diǎn)（有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)4已知

f(x)是R

上最小正周期為2的期函數(shù)，且當(dāng)

,f()x3函數(shù)(x

的圖象在區(qū)間[0,6]上軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）（A6（B）（8（D95設(shè)abc，二次函數(shù)

f

的圖象可能是（）6函數(shù)

f(x2x

xx,x12

時(shí)(x)f()實(shí)數(shù)的取值范圍）A.

a

12

B.

a

12

C.

a

12

D.

a

127設(shè)二次函數(shù)

f(x)

2

(x)

的值域?yàn)?/p>

[0,

c

的最大值為（）A

B

C

D

8函數(shù)

f()x

的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）(A)（-2,-1）(B)（-1,0(C)（0,1(D)（）9．若函數(shù)

yx)

在區(qū)間

不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是（）A若

f(a)(b

，不存在實(shí)數(shù)

cab使得f()0

；B．若

f(a)f(b

，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)

cab得f(c0

；．若

f(a)f(b

，有可能存在實(shí)數(shù)

cab使得f()0

；D．若

f(a)(b0

，有可能不存在實(shí)數(shù)

cab使得f()0

；10．如果二次函數(shù)

y

2

mx

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則

的取值范圍是（）A．

B．

．

D．

/

11直線

y函數(shù)y

2

x

的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A4個(gè)

B．3個(gè)

2

D．個(gè)12．若方程

在區(qū)間,ba,b,且

上有一根，則值為（）A

B．

．

D．

二、填空13、已知函數(shù)

f()

,

x

，若關(guān)x的方程

f()

有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

(xx14．函數(shù)

f(

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為。．函數(shù)

f(x)

1對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足f(f()2

，并且方程

f(x)0

有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根的和為。16．若函數(shù)

fxx

2

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，______。三解答題17、已知關(guān)于x的次方程xmx+1=0.方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)(1，求m范圍.方程兩根均在區(qū)間(0內(nèi)，求的范圍.18、若方程

x

2

k

的兩實(shí)根均在區(qū)間1內(nèi)，取值范圍。19、若方程

x

2

kk

的兩根中，一根在0和1之間，另一在1和2之，求k的取值范圍。20、若方程

x

mx

有兩個(gè)不相同的實(shí)根，m的取值范圍。21、若關(guān)于的方x

2

)a

有唯一的實(shí)根，求實(shí)a的取值范圍。參考答案：一、選擇/

ADBADCCCCDAC二、填空13

（0,1）14、215、16、4三解答題17、(1)

1

1m2218

12

）12）192320、21、提示：原方等價(jià)f(x)=x+12x+6令

……即a2x②11若拋物線y=fx)與x軸切，有△=144－a+3)=0a=。211=代入式②有=－滿(mǎn)足式①，∴。2

若拋物線=

fx與x相交意到其對(duì)稱(chēng)軸為x=6交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有且僅有一個(gè)滿(mǎn)足式①的充要條件是163解得。f(0)1631∴當(dāng)時(shí)原方程有唯一解。6

－

－6

O

另法：原方程等價(jià)于x+20x=8x－6a－3(<20或>0)……③問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求實(shí)數(shù)取值范圍，使直線

x－6a3

與拋物線

=2