河南省新蔡縣2021-2022學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在（x-上尸的展開式中，/的系數(shù)為（）

2x

A.-120B.120C.-15D.15

2.如圖在一個(gè)60'的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn)A,6,線段AC,8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱AB，

且AB=AC=2,8D=4,則的長為（）

A.4B.275C.2D.273

3.給出下列四個(gè)命題：①若“〃且為假命題，則夕均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；

2

③若命題則命題x<0;④設(shè)集合A={x|x>l},8={x|x>2},則“xeA”

是“xe8”的必要條件；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.下列不等式成立的是（）

NB.針嗎）c.唱〈噢”u

丫2

5.已知的，生是雙曲線。：鼻一丁2=1（。>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)￡且垂直于x軸的直線與C相交于A,B兩點(diǎn)，

若|A3|=JE,則白ABK的內(nèi)切圓的半徑為（）

也百2立7

.3V亍

6.在棱長均相等的正三棱柱A6C=A4G中，。為的中點(diǎn)，F(xiàn)在AG上，且DF_LAG，則下述結(jié)論：

①AC1，BC；②AF=FG；③平面D4G，平面ACGA：④異面直線4G與C。所成角為60°其中正確命題的

個(gè)數(shù)為（）

C.3D.4

7.已知|）|=括，出|=2,若3_1（￡-坂），則向量￡+5在向量B方向的投影為（

17

C.----D.----

22

4〃+3,4為奇數(shù)

8,已知數(shù)列｛“”｝滿足：4=1,%+iC1班/田海r，則&=（）

[2a〃+l,a〃為偶數(shù)

A.16B.25C.28D.33

9.空氣質(zhì)量指數(shù)AQ/是反映空氣狀況的指數(shù)，AQ/指數(shù)值趨小，表明空氣質(zhì)量越好，下圖是某市10月1日-20日AQ/

指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯(cuò)誤的是（）

A.這20天中AQ/指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B.這20天中的中度污染及以上（AQ/指數(shù)＞150）的天數(shù)占,

4

C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好

D.總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

10.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略

不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）

11.如圖，已知直線/：y=A:(x+l)僅>0)與拋物線C:：/=4x相交于A,B兩點(diǎn)，且48兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的

投影分別是M,N,若|AM|=2忸N|,則Z的值是()

D.272

12.已知定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足〃x+l)=/(l-x),且當(dāng)XG[0,1]時(shí)，/(x)=2v-m,貝iJ/(2019)=

()

A.1B.-1C.2D.-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量￡=(1,2),B=(—3,2),若向量+B與22共線，貝麟=.

14.在AAHC中，AB=2非,AC=5ZBAC=90。，則AABC繞8C所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表

面積為.

15.(a+x)(l+x)4的展開式中，若”的奇數(shù)次塞的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則。=.

16.已知在等差數(shù)列｛q｝中，%=17,q+/+%=15,前〃項(xiàng)和為S,,,貝”6=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=log2(|x+l|+|x-2|-m).

(1)當(dāng)m=7時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>2的解集是R,求m的取值范圍.

18.(12分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)

則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到

黑球則摸獎(jiǎng)停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)2()元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).

(1)求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率；

(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.(12分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線「的焦點(diǎn)F在)，軸正半軸上，圓心在直線)，=gx上的圓E與x軸相切，

且E,E關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

(1)求E和F的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)”的直線/與E交于AB,與「交于C,D,求證：|CD|>0]/叫.

20.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCO為正方形，平面ABCD,點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn),

AB=2,PD=t(t>0).

(1)若f=2,證明：平面的例，平面BBC；

4

(2)若三棱錐。一DBM的體積為求二面角8-。加一。的余弦值.

21.(12分)已知ae(0詞，匹(彳，兀)，cos4=一；，sin(a+/)=3.

(1)求sina的值；

(2)求tana+g]的值.

12

22.(10分)在6c1中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知(a+c)b=《ac.

(1)若a,b,c成等差數(shù)列，求cosB的值；

(2)是否存在△A3C滿足B為直角？若存在，求sinA的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式4+1=品）（-3”1°-2"令10—2r=4,即r=3,則可求系數(shù).

2x2

【詳解】

（X—1-）”>的展開式的通項(xiàng)公式為4+1=猥0/°-'（-'-）'=。二（一3"6",令1（）-2r=4,即，=3時(shí)，系數(shù)為

2x2x2

G"—；）3=T5.故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

由Cz5=c/+A分+3方，兩邊平方后展開整理，即可求得前2，則co的長可求.

【詳解】

解：CD=CA+AB+BD>

??CD2=C42+AB+BD+2CA.AB+2CA.BD+2AB.BD>

CAVAB,BD1AB>

C4.AB=0?BD.AB=0,

CA?Bb=\CA\\BD\cos\200=--x2x4=^.

2

一CD=4+4+16—2x4=16，

CD|=4,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能

力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

3.B

【解析】

①利用，A4真假表來判斷，②考慮內(nèi)角為90，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，

④利用集合間的包含關(guān)系判斷.

【詳解】

若“，且4”為假命題，則，、夕中至少有一個(gè)是假命題，故①錯(cuò)誤；當(dāng)內(nèi)角為90時(shí)，不是象限角，故②錯(cuò)誤;

由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因?yàn)樗?所以"xeA"是"xe3"的必要條件，

故④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A，,??()<!〈工，，sin,<cosL,A錯(cuò)誤；

2422

/、xII

對(duì)于8,=在R上單調(diào)遞減，J,8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,?.?log」=log23>l,logj^-=log32<l,/.log11>log,C錯(cuò)誤；

對(duì)于O,...y=x;在R上單調(diào)遞增，o正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的

單調(diào)性.

5.B

【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)片的坐標(biāo)，由A8的弦長可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形

的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.

【詳解】

由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)耳(-c,0),由題意可得AB=拳坨,

由8=1,可得a=

丫2

所以雙曲線的方程為：—-/=1

2

所以耳（一百,0）,6（6,0）,

所以S.A"=LABFF，=L^.26=a

三角形ABB的周長為。=AB+A&+6K=A6+（2a+AF；）+（2a+66）=4a+2AB=4V5+20=60

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以三角形的面積5=，?€?/=■!■?GjLrnSjLs

22

所以3\/5'=瓜＞

解得;?=」!，

3

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角

形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.B

【解析】

設(shè)出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷b是AG的中點(diǎn)推出②正的誤；利用

直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線AC,與8所成角判斷④的正

誤.

【詳解】

解：不妨設(shè)棱長為：2,對(duì)于①連結(jié)AB一則做=AJ=2&，.?./的8產(chǎn)90°即4G與8C不垂直，又BCgC、,

二①不正確；

對(duì)于②，連結(jié)AD,DC,,在AAOG中，AD=DC*,而。尸，AC-.是AG的中點(diǎn)，所以AF=/G，，②

正確；

對(duì)于③由②可知，在AWG中，。尸=，連結(jié)。尸，易知CF=0，而在RtACBD中，CD=45,DF2+CF2=CD2,

即又。尸_LAG，.?.￡）尸，面ACG4，二平面D4GJL平面ACG4，，③正確；

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面上過4點(diǎn)垂直于AG的直線為X軸，AG所在的直線為）‘軸，AA所在的直線為z軸，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；

4（0,0,0）,4（6,1,0）,q（0,2,0）,A（0,0,2）,C（0,2,2）,D（V3,1,1）；

國=(O,2,-2),CD=(V3,-1,-1)；

AC^.CD

異面直線AG與C。所成角為0,COS0==0,故8=90°.④不正確.

本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力

以及邏輯推理能力.

7.B

【解析】

由力伍-丹，山=6,\b\=2=>a-b=3>再由向量0萬在向量坂方向的投影為竺馴化簡運(yùn)算即可

聞

【詳解】

—?/—?—?\—?/—?—?\—?2—*—?—*—?

Va-Lia-h\J.a-la-b\=a-a-h=3-a-h=09:?&.&=3,

向量在向量B方向的投影為|￡+1|cos<￡+癡）=H=Z.

'/\b\\b\22

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題

8.C

【解析】

依次遞推求出。6得解.

【詳解】

n=l時(shí)，4=1+3=4,

n=2時(shí)，CZ3=2X4+1=9,

n=3時(shí)，%=9+3=12,

n=4時(shí)，“5=2*12+1=25,

n=5時(shí)，4=25+3=28.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

9.C

【解析】

結(jié)合題意，根據(jù)題目中的2()天的AQ/指數(shù)值，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.

【詳解】

對(duì)于A,由圖可知2()天的AQ/指數(shù)值中有1()個(gè)低于1()0,10個(gè)高于100,其中第H)個(gè)接近100,第11個(gè)高于10(),

所以中位數(shù)略高于100,故A正確.

對(duì)于3,由圖可知20天的AQ/指數(shù)值中高于150的天數(shù)為5,即占總天數(shù)的1,故3正確.

4

對(duì)于C,由圖可知該市10月的前4天的空氣質(zhì)量越來越好，從第5天到第15天空氣質(zhì)量越來越差，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于。，由圖可知該市10月上旬大部分指數(shù)在100以下，中旬大部分指數(shù)在100以上，所以該市10月上旬的空氣質(zhì)

量比中旬的空氣質(zhì)量好，故。正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關(guān)鍵，并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷，本題較為基礎(chǔ).

10.C

【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定

此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時(shí)橢圓長軸長為，122+62=6石，短軸長為6,

所以橢圓離心率6=十—［彘J=學(xué)，

'2/5

所以ew0,1一.

I-

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了楠圓的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

直線y=M》+l）?。?）恒過定點(diǎn)p（—1,0）,由此推導(dǎo)出|OB|=g|A月，由此能求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，從而能求出A的值.

【詳解】

設(shè)拋物線C：V=4x的準(zhǔn)線為/:x=—l,

直線y=左（》+1）（左＞0）恒過定點(diǎn)P（-LO）,

如圖過A、B分別作AM，/于M,BN工1于N,

由|AM|=2忸N|,則|剛=2|我邳，

點(diǎn)8為A尸的中點(diǎn)、連接08,貝!!|06|=g|AF|,

：.\OB\=\BF\,點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為:，

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為唱，句，把叫⑹代入直線尸（+1）（女＞0）,

解得k=述,

3

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬

于中檔題.

12.B

【解析】

根據(jù)/(x)是K上的奇函數(shù)，并且/(x+D=fCl-x),便可推出/(x+4)=f(x),即/(x)的周期為4,而由xC[O,

1]時(shí)，f(x)=2/加及/(x)是奇函數(shù)，即可得出/(O)=l-m=O,從而求得，"=1,這樣便可得出/(2019)=f(-1)=-f

(1)=-l.

【詳解】

???/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且/。+1)=/(1-力；

.-./(%+2)=/(-%)=-/?；

:./(x+4)=/(x)；

???/(X)的周期為4；

時(shí)，f(x)=2x-m；

由奇函數(shù)性質(zhì)可得/(())=1-777=0；

:.m—\x

：.xe[0,1]時(shí)，f(x)=T-1；

.-./(2019)=/(-1+505x4)=/(-I)=-/(I)=-1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查

理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-2

【解析】

計(jì)算得到ka+b=(k-3,2k+2),2a-b=(5,2),根據(jù)向量平行計(jì)算得到答案.

【詳解】

由題意可得ka+B=(Z-3,2Z+2),2a-5=(5,2),

因?yàn)镼+B與共線，所以有2(左一3)—5(2k+2)=0,即8左=一16,解得％=-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

14.6&

【解析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，根據(jù)圓錐側(cè)面積5=%”計(jì)算公式可得.

【詳解】

解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，

在中，AB=2逐,AC=加,ZBAC=90°,如下圖所示，

底面圓的半徑為'而京君'

則所形成的幾何體的表面積為5=仃(/]+4)=萬x2x(2j^+灼=6石乃.

故答案為：6亞兀.

【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.

15.3

【解析】

24

試題分析：由已知得(1+x)4=1+4x+6x+4/+d,故(q+乃(1+%)的展開式中x的奇數(shù)次幕項(xiàng)分別為4ax,

4a?,x,6/，其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32,解得。=3.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

16.39

【解析】

設(shè)等差數(shù)列公差為首項(xiàng)為再利用基本量法列式求解公差與首項(xiàng)，進(jìn)而求得即可.

4q,S6

【詳解】

[a-,=a.+6d=17[a.=—1

設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為4,根據(jù)題意可得'，解得1c，所以

[4+4+21+6+41=15[4=3

S6=-1X6+1X6X5X3=39.

故答案為：39

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前n項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(-00,-3)U(4,+00),(2)(-oo,-l]

【解析】

試題分析：用零點(diǎn)分區(qū)間討論法解含絕對(duì)值的不等式，根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得出

|x+l|+|x-2|>|(x+l)-(x-2)|=3,不等式|x+l|+|x-2em+4解集是R,只需m+4'3,得出加的范圍.

試題解析：

(1)由題設(shè)知：|x+l|+|x-2|>7,

「一》<

142fx<"i

不等式的解集是以下不等式組解集的并集：;z'或':，或,、，

]x+l+x-2>7lx+l+2-x>7]-x-1-x+2>7

解得函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?-8,-3)U(4,+00).

(2)不等式f(x)>2BP|x+l|+|x-2|>m+4,

,.,xGR時(shí)，恒有|x+l|+|x-2以(x+1)-(x-2)|=3,

不等式|x+l|+|x-2|>m+4解集是R,

.*.m+4<3,m的取值范圍是(-8,-1].

18.(1)-；(2)20.

4

【解析】

(1)1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率;

(2)X的可能取值為：0,10,20,30,1.分別求出X取各個(gè)值時(shí)的概率，即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，

c'c11

所以1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率P=涓才=

C4c34

(2)X的可能取值為：0,10,20,30,1.

尸（X=0）=4=L,P（X=10）=$=』，P（X=20）=^4+^4=!，

p晨"C-i「0）-四℃」

隨機(jī)變量X的分布列為：

X01020301

P71

數(shù)學(xué)期望E(x)=0x；+10x(+20xg+30x,+40x；=20.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

19.（1）（x+2『+（y+l）2=1,/=4y；（2）證明見解析.

【解析】

分析：（1）設(shè)「的標(biāo)準(zhǔn)方程為r=2p），，由題意可設(shè)E（2a,a）.結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得「的標(biāo)準(zhǔn)方程為

f=4y.半徑r=同=1,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2y+（y+l）2=l.

（2）設(shè)/的斜率為攵，則其方程為y=Z（x+l）,由弦長公式可得M同=241|^.聯(lián)立直線與拋物線的方程有

/一4h-4左=0.設(shè)。（七,凹）,。（々,必），利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可得ICOkVFWN-wl

=4VF71.VF7I-則黑=292+?（K+Q）華=2.^\CD\>y[2\AB\.

\AB\kk

詳解：⑴設(shè)廠的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2py,則尸?.

已知E在直線y=上，故可設(shè)E（2a,a）.

2a+0

2

因?yàn)镋,尸關(guān)于M（T,O）對(duì)稱，所以<

P+a

J=o,

2

a=-1,

解得《

p=2.

所以「的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=4y.

因?yàn)镋與x軸相切，故半徑r=冏=1,所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（％+2丫+（丁+1）2=1.

（2）設(shè)/的斜率為左，那么其方程為y=k（x+l）,

由“二4）'消去y并整理得：f_46_4々=0.

設(shè)。（石,〉|）,。（%2，>2），則百+X2=4%,用入2=一4人，

那勾C￡）|=五+11%,-X2|=+1,J（X]+/）2=4〃2+1.“2+%.

|c球16（d+1）儼+92,2+1『伊+92k_

所以同=ST=k）《=2.

k2+\

所以|皿2>2M到2,gp|CD|>V2|AB|.

點(diǎn)睛：（1）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；

⑵有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式IAa=1+

M+P，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.

2

20.（1）見解析（2）-

3

【解析】

⑴由已知可證得AD_L平面PDC,則有AD1PC,在△PZX;中，由已知可得DM±PC,即可證得PC1平面ADM,

進(jìn)而證得結(jié)論.

⑵過M作MN//PO交0c于N,由/為PC的中點(diǎn)，結(jié)合已知有MNJL平面ABCD.

]41

則VJDBM=VW-DSC=§S&DBC，MN=§,可求得t=4.建立坐標(biāo)系分別求得面DBM的法向量n=(2,-2,1),平面

DMC的一個(gè)法向量為m=(1,0,0)，利用公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：平面ABC。，AZ)u平面ABCD，

AD1PD，又四邊形ABC。為正方形，

:.AD±DC.

又PD、DCu平面PDC,且PDcDC=D,

AD，平面PDC.:.A"PC.

△PDC中，t=PD=DC=2,M為PC的中點(diǎn)，

：.DM±PC.

又A。、DMu平面ADM,ADC\DM^D,

PC_L平面ADA/.

「PCu平面P8C,平面DMA_L平面P8C.

(2)解：過M作MN/IPD交DC千N,如圖

為PC的中點(diǎn)，二根收,「。，二班二工"

-22

又PDJ_平面ABCD,MNJL平面ABCD.

^C-DBM==§X]X22X]=§,.」=4.

所以PO=4,又PD、DA,。。兩兩互相垂直，以O(shè)P、DA.DC為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.0(0,0,0),3(2,2』)，C(0,2,0),M(0,l,2)

設(shè)平面。的法向量〃=(x,y,z),則

n-DB=Q(2x+2y=0

DMDM=Q'7y+2Z=0'

令z=l,貝！lx=2,y=-2.二〃=(2,-2,1).

平面DMC的一個(gè)法向量為而=(1,0,0)

/\m-n22

'/網(wǎng)〃1x33

2

二二面角B-DM-C的余弦值為y.

本題考查面面垂直的證明方法，考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系，考查利用向量法求二面角的方法，難度一般.

21.(1)-(2)迫

32

【解析】

(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得sin￡和cos(&+/?),再由sina=sin[(a+0-川，利用正弦的差角公式求解

即可；

(2)由(1)可得tana和tanQ,利用余弦的二倍角公式求得tan，,再由正切的和角公式求解即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)?

所以sin〃=Jl-cos2