2023天津版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-綜合測試卷(二)

2023天津版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

綜合測試卷（二）

（時間：120分鐘，分值：150分）

一、選擇題（本大題共9小題,每小題5分，共45分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的.）

1.（2021和平一模,1）已知集合A={0,l,2},B={x||x|<2}（={-2,-1,0},則（AAB）uC=（）

A.{0}B.{0,l,2}

C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-l,0,l,2}

答案C由題意得8=3-2<*<2},.5加=。1},

.?.（AnB）UC={-2,-l,0,l}.故選C.

2.（2021和平一模,2）設(shè)a《R,則"2<a<3”是<（a2-5a-6<0w的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A由a2-5a-6<0得-l<a<6,

由2<a<3可推出

由-l<a<6不可推出2<a<3,

所以"2<a<3”是“a2-5a-6<0”的充分不必要條件.故選A.

3.（2022南開二模,4）函數(shù)f（x）=￡^的圖象大致為（）

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答案D由｛m限0,解得-2。＜。或。＜XWZ

的定義域為卜2,0)u(0,2］,關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A、B.

此時|x+3|=x+3,即f(x)=3科,

易得f(x)為奇函數(shù),故排除C.

故選D.

4.(2022天津南開中學(xué)統(tǒng)練(3),4)為了解學(xué)生課外使用手機(jī)的情況，某學(xué)校收集了本校500名學(xué)生2019

年12月課余使用手機(jī)的總時間(單位:小時)的情況.從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,得到如

圖所示的頻率分布直方圖.已知這50名學(xué)生中，恰有3名女生課余使用手機(jī)的總時間在［10,12］內(nèi)，現(xiàn)在

從課余使用手機(jī)總時間在［10,12］內(nèi)的樣本對應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名很(|至少抽到2名女生的概率為

J

J

J

.O

.O

。101214161820使用手機(jī)總

時間/小時

答案c...課余使用手機(jī)總時間在［10,12］內(nèi)的學(xué)生總數(shù)為50X0.08X2=8,.?.至少抽到2名女生的

概率為段用=段故選C.

C8/

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5.（2021河西一模,5）將長、寬分別為4和3的長方形ABCD沿對角線AC折成直二面角得到四面體

A-BCD,則四面體A-BCD的外接球的表面積為（）

A.25nB.50nC.5nD.lOn

答案A由題意得四面體A-BCD的外接球的半徑為TBD=|,所以所求球的表面積為

4nx02=25-故選A.

6.（2019課標(biāo)I,理3,文3,5分）已知a=log20.2,b=2a2,c=0.2i3廁（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

答案B?；y=log2X和y=2x是其定義域上的增函數(shù)而y=02是減函數(shù)

0203

.,.a=log20.2<log21=0,b=2->2o=l,c=0.2.e（0,0.2°）,BPce（0,l）..,.a<c<b.i!^B.

7.（2022天津塘沽一中統(tǒng)練,6）已知雙曲線盤-《=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合,

過F作與一條漸近線平行的直線I,交另一條漸近線于點(diǎn)A,交拋物線y2=8x的準(zhǔn)線于點(diǎn)B,若三角形

AOB（O為原點(diǎn)）的面積為3祗則雙曲線的方程為（）

A—=lBf,

C.j=lD.x2-*1

答案D由y2=8x得p=4,所以F（2,0）準(zhǔn)線方程為x=-2,不妨設(shè)直線I的方程為y=：（x-2）,

聯(lián)立：太；：'可得］；［所以A（l,—J,

聯(lián)立上曾0,可研;二2,所以B（-2,制，

所以SAOAB4（；+T）-（1+2）-1*2x?—Tx1x",所以］=3祗所以3=百，即b=V3a,X

c=2d=a2+b2,所以4=a2+3a，所以a2=l,所以b2=3a2=3,所以雙曲線的方程為x24=l.故選D.

深度解析aOAB的面積可由割補(bǔ)法求，算出梯形面積再減去兩個三角形面積.

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8.(2022天津十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校一模,7)已知函數(shù)f(x)=V3sin(a)x+年)(3>0,|初<?當(dāng)f(xi)f(x2)=3

時,|X1-X2|min="(0)=|,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)f(X)的最小正周期為2m

B.函數(shù)f(X)的圖象的一個對稱中心為仁,0)

C.函數(shù)f(X)的圖象的一條對稱軸方程為X三

D.函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=V3cos3X的圖象向右平移展個單位長度得到

答案D因為f(x)=V5sin(3x+小),所以f(x)max=V5,f(x)min=-遮，又f(Xi)f(X2)=3,所以

f(Xi)=f(X2)=V5或f(Xi)=f(X2)=-V5,因為|Xi-X2|min="，所以f(X)的最小正周期為"，所以3=2,故A錯誤;

f(0)=|,即sin4)岑又I@唱所以4)嗎

所以f(X)=V3sin(2x+三)

令2x+；kir(keZ),則x=~+^(kez),

DOZ

所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(q+Mo)(kez),故B錯誤；

令2x+g=>kn(kez》則x=?+9(kGZ),故C錯誤；

y=V3cos3x=V3sin(2x+習(xí),將其圖象向右平移?^個單位長度得到y(tǒng)=V3sin[21*)+皆=

百sin(2x+%f(x)的圖象故D正確.

故選D.

9.(2022天津新華中學(xué)級部統(tǒng)練三模,9)設(shè)aGR屈數(shù)f(x)=[si^w<°-若如在區(qū)間(、,+8)

內(nèi)恰有5個零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

嗚2)唱為B.g,2)U(2,j]

C嘉)。用)D.(/U(2圖

答案1)①當(dāng)f(x)在區(qū)間(-a,0)上有5個零點(diǎn)且在區(qū)間[0,+8)上沒有零點(diǎn)時，滿足

(4=16-4(7-4?)<0,

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4=16-4(7-4a)>0,

②當(dāng)f(x)在區(qū)間(-a,0)上有4個零點(diǎn)且在區(qū)間［0,+8)上有1個零點(diǎn)時，滿足，(°)〈°，或

<—a<-2

4=16—4(7—4Q)=0,

解得2<aw|;

4-aV-2,

■L

M=16-4(7-4a)>0,

③當(dāng)f(x)在區(qū)間(-a,0)上有3個零點(diǎn)且在區(qū)間［0,+8)有2個零點(diǎn)時,滿足1/(°),°，

卜2W-a<—|,

解得|<a〈q.

綜上所述,a的取值范圍是(|曰U卜哥故選D.

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對

的給5分.)

10.(2022遼寧鞍山二模,13)已知i為虛數(shù)單位，則三=(寫成最簡形式).

答案l+2i

3+i_(3+i)(l+i)_3+3i+i+i?_[

解析H=(l-i)(l+i)=2-,

11.(2018天津理,10,5分，基礎(chǔ)性)在(%-會『的展開式中*的系數(shù)為

5

答案

2-

解析由題意得Tk+i=C與x5—k(-系)=(彳)“七--凱

令5卷=2,得k=2,所以信)&C|=(-02C|=|.

故X2的系數(shù)為方

12.(2022天津楊柳青一中二模,12)已知圓x2+y2+2x-2ay+a2-3=0與圓(x-2)2+y2=l外切,則實(shí)數(shù)a的

值為.

答案0

解析x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,即(x+l)2+(y-a)2=4,則圓心坐標(biāo)為(-l,a),半徑r為2,

圓x2+y2+2x-2ay+a2-3=0與圓(x-2)2+y2=l外切，

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V[2-(-l)]2+(0-a)2=2+1，解得a=0.

13.(2022天津市實(shí)驗中學(xué)統(tǒng)練(1),14)某校召開春季運(yùn)動會，為了組建一支朝氣蓬勃、訓(xùn)練有素的賽會

志愿者隊伍，欲從4名男志愿者,3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊的隊長很!I在“抽取的3人

中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人全是男志愿者”的概率是；若用X表示抽取

的三人中女志愿者的人數(shù)，則E(X)=

分案2_.2

II]7，7

解析記“抽取的3人全是男志愿者”為事件A,“至少有一名男志愿者”為事件B,

3

則P(AB)=P(A)=,=翥

呼)=1日=葛

4

故P(A|B)=^=娶2

17,

35

X的所有可能取值為0,123,

P(X=0)=3=盤,P(X=1)=萼=||,P(X=2)=粵=^,P(X=3)=m=^

C7Gy口。C.7J。L7a。

.-.E(X)=0x±+lxi|+2xi|+3x^=^.

小題巧解第二空:由題意可知,x服從超幾何分布，即X~H(7,3,3),

???E(X)號/

14.(2022南開一模,13)若a>O,b>O,c>O,a+b+c=Z則熹+噂的最小值為.

答案2+V2

解析由題意知a+b=2-c,且2-c>0,

=1[c+(2-c)](^+|)-l

=達(dá)+等+痣”

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*6+2j等-1=2+2近,

當(dāng)且僅當(dāng)仁=芻即。=2缶2時“=，，成立.

15.(2022和平一模,15)在4ABC中,AB=AC=V5,2而=3BD,2CF=AD.AF?CD=?，則

BC=，延長DF交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P在邊BC上廁前?前的最小值為.

答案追;一看

解析；2而=3BD=>2(AB+BD)=3而n前=2AB,AD=AB+JD=3AB,v2CF=AD,：，K

△ADE中,CF〃AD,且CF=|AD,

???C、F分別為AE、DE的中點(diǎn)，

：.AF=^AD+^AE=|AB+AC,

又?.?麗=AD-AC=3AB-AC,

：.AF?CD=^AB2+|荏-AC-AC2ZBAC=^,.\cosZBAC=|,

又0°<ZBAC<180°,.,.ZBAC=60°,

又AB=AC,AAABC為等邊三角形,，BC=V3.

設(shè)肝=t阮QWtWl,

VDP=AP-AD=(1-t須+t4C-3AB=(-2-t)AB+tAC,

EP=AP-AE=(<1-t)AB+L4C-2^4C=(1-t)AB+(t-2)AC,

：.DP.麗=(t+2)(t-1)荏2+(-2t24-1+4)荏.前+(t2-2t)AC2=3t2-1t,

故當(dāng)t=；時麗?前最小，為嚏.

41O

一題多解第二空:如圖建斜坐標(biāo)系，

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可得B(V3,0),C(0,V3),D(3V3,0),E(0,2何

設(shè)前=P(V3-V3t,V3t),

：.DP=(-2V3-V3t,V3t),FP=(V3-V3t,V3t-2遍)，

：.'DP?FP=3t2+3t-6+3t2-6t+(-6t2+3t+12)cos60°

=3t2-*,當(dāng)t=；時而?前最小，為-W

Z4lo

三、解答題(本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)

16.(2022南開二模,16)在4ABC中，內(nèi)角A,B,C對邊的長分別是a,b,c,已知A+C=2B.

⑴若b=3,c=5,求sinC;

⑵若a+c=2b,求證:Z\ABC是等邊三角形；

⑶若cosA=^，求cos2C的值

解析在4ABC中,A+B+C=北，因為A+C=2B,所以B哼

⑴由題意及正弦定理熹=品得晶=亮，解得sinC=^.

(2)證明:由余弦定理得b2=a2+c2-ac,

2

將a+c=2b代入上式得(等)=a2+c2-ac,整理得(a-c)2=0,從而a=c,又B=g,所以4ABC是等邊三角形.

⑶因為cosA=^，所以sinA=g.

所以sin2A=2sinAcosA=1,cos2A=2cos2A-l=|,

所以cos2C=cos[2(JI-A-B)]=cos得+2A)

=cos^cos2A-si樽sin2A

33

=.1X3_V3X4=_3+4V3

252510,

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17.（2021南開期末,19）已知等差數(shù)歹［］｛an｝滿足an+i=2a「n+L2ai,ai+a2+a3分另（］是等比數(shù)歹!!｛bn｝的首

項和第二項.

(1)求｛aj和｛>｝的通項公式；

⑵記Sn為｛an｝的前n項和，求數(shù)列位｝的前n項和；

n

⑶求Ea2i-ibi(neN*).

i=l

解析Q)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

由an+i=2an-n+l,可得a2=2ai-l+l=2ai,

即ai+d=2ai,即有ai=d,

又a3=2a2-l,即ai+2d=2ai+2d-l,

所以ai=d=l,所以an=n;

由2ai,ai+a2+a3分別是等比數(shù)列｛&｝的首項和第二項，可得bi=2,b2=l+2+3=6,

則等比數(shù)列｛>｝的公比為3,所以bn=2?3口工

2

(2)Sn=1n(n+1)《==(~去)，

所以數(shù)列長｝的前n項和品=2。"$…/=2(1—熹”含.

n

(3)設(shè)M=￡a2i-ibi=aibi+a3b2+a5b3+?“+a2n-ibn

ni=l

=2x30+6x31+10x32+…+2(2n-l)?3n-\

123

3Mn=2x3+6x3+10x3+-+2(2n-3)-3恒+2(2止1)?3，

兩式相減可得-2Mn=2+4(31+32+33+…+32)-2(211)?3n=2+4?注學(xué)-2(2n-l)?3,

1—3

n

化簡可得￡a2Hbi=2+(2n-2)?3n.

i=l

18.(2021河西一模,17)如圖，已知三棱柱ABC-AiBiCi,平面AiACJ_L平面

ABC,NABC=90°,NBAC=30°,AiA=AiC=AC,E,F分別是AC,AiBi的中點(diǎn)

(1)證明:EFLBC；

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(2)求直線EF與平面AiBC所成角的余弦值；

(3)求二面角A-AxC-B的正弦值.

解析(1)證明:連接AiE,???AiA=AiC,E是AC的中點(diǎn)，

AAiEXAC,

又平面AiACCiJ_平面ABC,AiEc平面AiACQ平面AiACCin平面ABC=AC,/.AiEL平面

ABC,二A正，BC,:AiF〃AB,NABC=90°,二BC±AXF,

AiFnAiE=Ai,BC_L平面AiEF,EFJ_BC.

(2)如圖，以E為原點(diǎn)，在平面ABC中，過E作AC的垂線為x軸,EC,EAi所在直線分別為y,z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=4,易得E(0,0,0),Ai(0,0,2V3),B(b,1,0),B1(V3,3,2百),F(今|,28)((0,2,0),

則加=(y,|,2V3),BC=(-73,1,0),^=(0,2,-273),

設(shè)平面AiBC的法向量為n=(x,y,z),

則n=一辰+匕=。'取x=l,得n=(l，百,1),設(shè)直線EF與平面AiBC所成角為0廁sin

?n=2y-2v3z=0,

0=胃魯=5???直線EF與平面AiBC所成角的余弦值為J1-借2=I，

|EF|,|n|5N\5/5

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⑶易知平面AA1C的一個法向量為m=(l,。,。),則cos<m,n>=S=二面角A-AQB的正弦值為

19.(2022天津一中五月月考,19)已知點(diǎn)A(l,夜)是離心率為凈勺橢圓C:5+《=l(a>b>0)上的一點(diǎn).斜

率為近的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合.

⑴求橢圓C的方程；

(2)求證:直線AB、AD的斜率之和為定值；

(3)4ABD的面積是否存在最大值?若存在，求出這個最大值;若不存在，說明理由.

解析⑴由題意得解得a=2,b=魚,c=&,.?.橢圓C的方程為9+9,

/十我=卻

、層=川+己

(2)證明:設(shè)D(xi,yi》B(X2,y2),直線BD的方程為y=V2x+m,

聯(lián)立卜：伍/m，得4x2+2V^mx+m2-4=0,

(2xz+=4,

△=-8|712+64>0,解得-25/^vmV2V2,xl+x2=—Jm①,

X1X2=等②，

設(shè)直線AB、AD的斜率分別為!<AB、kAD,

X1+X2-21(/)

則l<AD+kAB2^2+m51%2-(%1+%2)+11”

將①②代入(*)式整理得kAD+kAB=0,?,?直線AB,AD的斜率之和為定值.

(3)|BD|=J1+(夜)2|xl-x2|=苧年儲設(shè)d為點(diǎn)A到直線BD:y=V2x+m的距離,喟,

?，-S&ABD=^|BD|d=苧”8-62)僧2或短當(dāng)m=