北京市某中學(xué)2022屆高三2月月考數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

北京市第一七一中學(xué)高三月考試卷

數(shù)學(xué)

一、選擇題（共10小題，共50分）

I.已知集合A={0,1,2},5={x||x|<2）,C={-2,-l,0},則（AI3）UC=（）

A.{0}B.{0,1,2}

C.{-2,-1,0,1}D.{-2-1,0,1,2）

2.體育品牌Ka印。的LOGO為次2\可抽象為：如圖背靠背而坐的兩條優(yōu)美的曲線，下列函數(shù)中大

致可“完美”局部表達(dá)這對(duì)曲線的函數(shù)是（）

cos6x

B.〃x)=

T-Tx

cos6x

/(x)=

D.2J-2-v|

3.已知小b,則下列說法正確的是（

A.若a>b,則五>6B.若a<b,則M2V加2

C.若L<4，則“>/?D.若爐，則

ab

4.函數(shù)〃x）=sinx—J§cosx（—7<x<。）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

力■八乃八5萬715萬

A——QB.--,0C.----,——D.一乃，----

L6JL3J1_66」6

5.某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有（）

A

B

A.8種B.10種C.12種D.32種

6.若直線/：丁=奴+5,圓。：/+,2=1.命題外直線/與圓。相交；命題心a>〃2_i.則

，是<7的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

___________uuuiiimi

7.已知單位向量以，PB，PC滿足2PA+3PB+3PC=0，則的值為（）

825

c

9-B.3-9-

8

A

9-

9.已知P為雙曲線C:*-方=1（。>0/>0）上一點(diǎn)，片,居為雙曲線c的左、右焦點(diǎn)，若|P用=忻閭,

且直線尸入與以c的實(shí)軸為直徑的圓相切，則c的漸近線方程為（）

4335

A.y=±—xB.y=?—xC.y=+—xD.y=±—x

3453

10.如圖所示，正方體—的棱長(zhǎng)為1,BDcAC=O,M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M

作平面ACDt的垂線交平面4耳G2于點(diǎn)N,則點(diǎn)N到點(diǎn)A距離的最小值為

2百

D.1

二、填空題（共5小題；共25分）

11.復(fù)數(shù)z=（2—i）i的虛部是.

12.在（f+2）6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于

X

13.若拋物線＞2=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為

14.已知函數(shù)/（x）=lnx,g（x）=ox+l,若存在九使得/（x（））=g（-尤0），則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

e

15.已知曲線C的方程是（x—⑷）=8,給出下列三個(gè)結(jié)論:

①曲線C與兩坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)；

②曲線C既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形；

③若點(diǎn)尸，。在曲線C上，貝IJIPQI的最大值是6a.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題（共6道題；共85分）

16.AABC中，8sinA=acos（6—/）.

（1）求8；

（2）若c=5,.求a.

7T

從①力=7,②C=々這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充上面問題中并作答.

4

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.如圖，在四棱錐產(chǎn)一A3CD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱尸底面ABC。，PD=DC,E是PC

的中點(diǎn)，作EFLPB交PB于點(diǎn)F.

（1）證明：PA〃平面￡DB；

（2）證明：PB上平面EFD；

（3）求二面角3—。/—C的大小.

18.某市《城市總體規(guī)劃（2016-2035年）》提出到2035年實(shí)現(xiàn)“15分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋目標(biāo)，從

教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身4個(gè)方面構(gòu)建“15分鐘社區(qū)生活圈”指標(biāo)體系，并依據(jù)“15

分鐘社區(qū)生活圈''指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為0.6?1）、良好小區(qū)（指數(shù)為0.4?0.6）、中

等小區(qū)（指數(shù)為0.2~0.4）以及待改進(jìn)小區(qū)（指數(shù)為0~0.2）4個(gè)等級(jí).下面是三個(gè)小區(qū)4個(gè)方面指標(biāo)的

調(diào)查數(shù)據(jù):

、卜區(qū)4

d小區(qū)QB小區(qū)1C小區(qū)4

教育與文化（0.20卜0.7P0.9P0.1P

醫(yī)療與養(yǎng)老（0.20卜0.7P0.6P0.3P

交通與購物（0.32）30.50.7Q0.2Q

休閑與健身（028/0.5P0.6P0JQ

注：每個(gè)小區(qū)”15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)T=wZ+w/+嗎7；+w4（,其中/、叼、卬3、%為該小區(qū)四個(gè)

方面的權(quán)重，刀、丁2、心、方為該小區(qū)四個(gè)方面的指標(biāo)值（小區(qū)每一個(gè)方面的指標(biāo)值為0~1之間的一個(gè)

數(shù)值）.

現(xiàn)有100個(gè)小區(qū)的“15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表:

分組[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1]

頻數(shù)1020303010

（I）分別判斷A、3、C三個(gè)小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；

（II）對(duì)這100個(gè)小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣，抽取10個(gè)小區(qū)進(jìn)

行調(diào)查，若在抽取的1（）個(gè)小區(qū)中再隨機(jī)地選取2個(gè)小區(qū)做深入調(diào)查，記這2個(gè)小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個(gè)數(shù)為

4,求J的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.已知函數(shù)/（刈=編11彳+田：2-1,且/'（1）=一1,

（1）求“X）的解析式;

(2)若對(duì)于任意xe(0,+8),都有/(x)-陽求,〃的最小值;

(3)證明：函數(shù)丁=/(%)一心工+%2的圖象在直線丁=一2》-1的下方.

20.已知橢圓七:￡+彳=1(。>。>0)的離心率為走，6、鳥分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，M為￡上

a~b-v'2

任意一點(diǎn)，叫的最大值為1，橢圓右頂點(diǎn)為A

(I)求橢圓E的方程；

(H)若過A的直線/交橢圓于另一點(diǎn)B,過B作x軸的垂線交橢圓于C(C異于B點(diǎn))，連接AC交y軸

于點(diǎn)只如果西?麗=’時(shí)，求直線/的方程.

2

21.設(shè)集合從=1%%，/，的}，其中。|，。2，。3，。4是正整數(shù)，記5.=。|+。2+。3+%.對(duì)于％，

ajEA(l<i<j<4),若存在整數(shù)A,滿足左(4+%)=54，則稱《+%整除梟，設(shè)町是滿足《+為整

除梟數(shù)對(duì)(")(，</)的個(gè)數(shù).

(I)若4={1,2,4,8},B={1,5,7,11),寫出%,%的值；

(II)求知的最大值；

(III)設(shè)A中最小的元素為“，求使得〃.取到最大值時(shí)的所有集合A.

北京市第一七一中學(xué)高三月考試卷

數(shù)學(xué)

一、選擇題(共10小題，共50分)

I.已知集合A={0,1,2},5={x||x|<2),C={-2,-l,0},則(AI3)UC=()

A.{0}B.{0,1,2}

C.{-2,-1,0,1}D.{-2-1,0,1,2)

【答案】c

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)8再結(jié)合交并集定義求解即可.

【詳解】由8={目?jī)?lt;2}=崗―2<%<2},又4={0,1,2},C={-2,-l,0)

所以4。3={0,1},貝！|(AI5)UC={-2,-1,0,1)

故選：C

2.體育品牌Kappa的LOGO為/^、可抽象為：如圖背靠背而坐的兩條優(yōu)美的曲線，下列函數(shù)中大

致可“完美”局部表達(dá)這對(duì)曲線的函數(shù)是()

cos6x

B.f(x)=

2"-2一

cos6x

D.〃X)=

\2x-2-'\

【答案】D

【解析】

【分析】由圖象可知，函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，且在x=0附近函數(shù)y=/(x)的函數(shù)值為正，然后逐項(xiàng)分

析每個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性及其在x=0附近的函數(shù)值符號(hào)，由此可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】由圖象可知，函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，且在x=0附近函數(shù)y=/(x)的函數(shù)值為正.

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)/(%)=黑；；的定義域?yàn)椋鹸\x豐0),

〃-)='=-普=篝=小)，該函數(shù)為偶函數(shù)，

當(dāng)0cxe工時(shí)，2T-2"<0，0<6xv?,則sin6x>0,此時(shí)/(x)<0不合乎題意;

6

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)〃元)=~^過二的定義域?yàn)椋?0｝,

2—2

=8S、(-6：)=_cos6：一⑺,該函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意；

2A-2'2'-2A

sin6x

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)/(x)"的定義域?yàn)椋鹸|x00｝,

I2,

sin(-6%)_sin6x

力==一/(x),該函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意;

|2-'-2Aj-2—2Tl

ccq6x

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=黃片的定義域?yàn)椋鹸|xHO｝,

cos(-6x)cos6x、

x)=聲三才=產(chǎn)呵=/(x)，該函數(shù)為偶函數(shù).

當(dāng)0<8〈專時(shí)，0<6x<］，則cos6x>0,此時(shí)〃x)>0,合乎題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象選擇解析式，?般從函數(shù)的定義域、單調(diào)性與奇偶性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符

號(hào)來進(jìn)行判斷，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

3.已知mb,mWR,則下列說法正確的是()

A.若a>b,則y/a>4bB.若a<b,貝！Jm/VZwi2

C.若上<工，貝ija>6D.若°3>在,則a>/?

ab

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】A.a>b得不出?>加,比如，。=4,〃=-2時(shí);

B.m=0時(shí),a<b得不出am2<bm2；

C.工<，得不出a>。，比如，a—-2,b=4；

ah

D.?.?y=x3是增函數(shù)，...由涼>分可得出

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.函數(shù)/(x)=sinx-Gcosx(—乃Wx<0)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

乃八］「乃八［「5萬萬］「5萬

A.-----,0B.----->0C.------->-----D.一7,-------

L6JL3JL66jL6J

【答案】A

【解析】

【分析】先將函數(shù)整理，得至iJ/(x)=2sin［x-T),根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性列出不等式，求出單調(diào)遞增區(qū)間,

再由給定區(qū)間，即可得出結(jié)果.

【詳解】f(^)=sinx-^3cosx=2sin-y,

jririyzj/ri

由——■+2k7r<x——-<—+2k7r,k&Z,得----1-2k/r<x<---卜2k兀,k&Z,

23266

又一兀<x<0?—<x<0.

即函數(shù)/(x)=sinx-V3cosx(—%WxW0)的單調(diào)遞增區(qū)間是

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題型.

5.某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有(

A.8種B.10種C.12種D.32種

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于某人要從A地前往B地，則路程最短的走法需要5步，那么只要確定

了橫的3步，則得到所有的情況，故有C；=10,因此答案為B.

考點(diǎn)：分步計(jì)數(shù)原理

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了分布計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.若。，Z?eR,直線/：y=以+》，圓。：》2+）;2=1.命題/7：直線/與圓。相交；命題必“>,匕2_1.則

〃是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由直線與圓相交，求出命題?為真時(shí)的關(guān)系，再由充分、必要條件的定義，即可得出結(jié)論.

【詳解】直線/：y=ax+b,圓C：x~+y~=\,

命題〃為真:即直線/與圓C相交,

即/>一1.

當(dāng)命題q成立時(shí)，即a>J從一1，則—1成立，

命題。成立，〃是夕的必要條件；

而當(dāng)命題，成立時(shí)，取。=11=0,此時(shí)命題9不成立,

〃不是0的充分條件.

所以P是4的必要不充分條件.

故選：B.

7.已知單位向量⑸，而，PC滿足2PA+3P8+3PC=0，則的值為（

85

C

9-9-D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)已知的等式，化簡(jiǎn)時(shí)把系數(shù)相同的放在同一側(cè)，通過向量間的線性關(guān)系,得出各個(gè)點(diǎn)的位

置，解三角形，最后可求數(shù)量積.

【詳解】：2而+3巨分+3正=0,

―---2—■

PB+PC=--PA,

3

如圖，

設(shè)3c中點(diǎn)為0,則P方=g（P巨+R?）=—；而，且|可|=|而|=|萬|=1,

二P,A。三點(diǎn)共線，PDA.BC，|PZ）|=||PC|=1,|^|=p

AABC為等腰三角形,

.??固.附『一|叫2=半，網(wǎng)=|叫飛阿+印『孚,

cosABAC=cos2ZCAD=2cos2ACAD-1=

uunuununiuuu2#27618

ABAC=ABACcosZBAC=---------X----------X—

3339

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，通過線性運(yùn)算的法則和性質(zhì)判斷出三角形形狀，并解三角形，考查推

理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題.

8.已知數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列｛4｝中的最大項(xiàng)為（）

、3J

82-64-125

A.-B.-C.—D.---

9381243

【答案】A

【解析】

【分析】由。旬一4,當(dāng)〃<2時(shí)，斯馬―斯>0,當(dāng)〃<2時(shí)，afl+i—an>Of從而可得到〃=2

時(shí),小最大.

【詳解】解:

當(dāng)〃<2時(shí),〃〃+i-?！?gt;0,即Cln+1>?！?；

當(dāng)n=2時(shí),Cln+\—?！?0,即

當(dāng)〃〉2時(shí)，。”+1—?！?lt;0,即1<Cln.

所以。］<。2=。3，。3>〃4>〃5>…>。〃，

所以數(shù)列｛4｝中的最大項(xiàng)為。2或43,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：最值問題，屬于基礎(chǔ)題.

22

9.已知P為雙曲線c：；—方=1（“>0力>0）上一點(diǎn)，《，居為雙曲線c的左、右焦點(diǎn)，若忸制=忻閭,

且直線PF?與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，則C的漸近線方程為（）

40335

A.y-+—xB.y=7—XC.y=+—xD.y=±-x

3453

【答案】A

【解析】

【分析】

結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系以及雙曲線的定義求得a力的關(guān)系式，由此求得雙曲線的漸近線方程.

［詳解】設(shè)直線尸入與圓/+,2=/相切于點(diǎn)M,^\\OM\^a,OMA.PF2,

取線段尸工的中點(diǎn)N,連接NK，

由于|P4|=|耳閡=2c,

則人陰_￡尸鳥,加尸|=|叫|,

由于。是66的中點(diǎn)，所以|N周=2|<?M=2a，

則|NP|=J402—4a2=2b，

即有|尸閭=劭,

由雙曲線的定義可得|。聞一|尸凰=2?,

即4〃-2c=2a,

即2/?=C+4,C=2/7-Q,

所以（乃-。）2="+/，

b4

化簡(jiǎn)得3從=4ab,3b=4a,-=-,

a3

4

所以雙曲線的漸近線方程為y=±§x.

故選：A

【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線漸近線方程的求法，屬于中檔題.

10.如圖所示，正方體ABCO—ABCQi的棱長(zhǎng)為1,BDr>AC=O,M是線段。。上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)用

作平面ACDX的垂線交平面4月GA于點(diǎn)N,則點(diǎn)N到點(diǎn)A距離的最小值為

【答案】B

【解析】

【詳解】由ABC。—A6CA是正方體，得與。，面ACA

因?yàn)槊鍭C。，所以4O//MN,所以g。與MN共面

因?yàn)?,",。都在平面所以N點(diǎn)在線段BQ上，

則點(diǎn)N到點(diǎn)A距離的最小值為由A向BQ/乍垂線，即為AA4A的一條高

是以邊長(zhǎng)為友的等邊三角形，所以高為業(yè)

2

故選8

二、填空題(共5小題；共25分)

11.復(fù)數(shù)z=(2—i)i的虛部是.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)閦=(2—i)i=2i-i2=l+2i,

所以復(fù)數(shù)z=(2-i)i的虛部是2.

故答案為：2.

12.在(f+2戶的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于.

X

【答案】240

【解析】

【分析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的事指數(shù)等于0,求出，?的值，即可求得常數(shù)項(xiàng).

rl23r

【詳解】解：在的二項(xiàng)展開式中，通項(xiàng)公式為7；+1=C；-2-x-,

令12-3r=0,求得r=4,可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為C^-24=240,

故答案為：240.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)，一般利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)研究求解.

13.若拋物線V=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為

【答案】2

【解析】

【詳解】拋物線>2=4X上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3,則拋物線y2=4x上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=—1得距離為

3,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為3-4=2.

14.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=G：+l,若存在使得/(%)=8(-/)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

e

【答案】--4,2e

_e_

【解析】

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為/z(x)=lnx+G：-1在上有零點(diǎn)，分類討論。的值，利用導(dǎo)數(shù)得出實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

【詳解】由題意可知，〃(x)=lnx+ox-l在-,+oo上有零點(diǎn)，//(*)=1+。=竺土1

_e7xx

當(dāng)a.O時(shí)，hr(x)>0,所以〃(x)在―,+8］上單調(diào)遞增，〃(—］二-1H-----1=——2,〃(e)=ae..O,則

l_e；3ee

—240,解得0Ka<2e；

e

當(dāng)aW-e時(shí)，函數(shù)"(x)在+e)上單調(diào)遞減，=不存在零點(diǎn)；

當(dāng)—eva<0時(shí)，hr(x)>0=>xG|—|,/zr(x)<0=>xe|—,+8?,則函數(shù)/z(x)在(一,一，］上單調(diào)

\ea)\a)\eaJ

遞增,在(一\+8)上單調(diào)遞減，因?yàn)椤ɑ?=公〈0,所以力［一￡)?.0,即一111(一〃)一2..0,解得—點(diǎn),,〃<0.

綜上，ae--y,2e

_e_

故答案為：—f,2e

e_

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題時(shí)，關(guān)鍵是將存在使得/(x0)=g(—尤0)轉(zhuǎn)化為〃(x)=lnx+ar-1在

e

上有零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得出實(shí)數(shù)”的取值范圍.

15.已知曲線C的方程是（x—LU]+=8,給出下列三個(gè)結(jié)論:

[x）\y）

①曲線C與兩坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)；

②曲線c既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形；

③若點(diǎn)P,。在曲線C上，貝IJIPQI的最大值是6夜.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③

【解析】

【分析】對(duì)絕對(duì)值里面的正負(fù)分類討論求出方程，作出圖象，即可判定①錯(cuò)誤，②正確，結(jié)合對(duì)稱性判斷

（3）.

詳解】當(dāng)x>0,y>o時(shí)，方程（x—iy+（y—1）2=8,

當(dāng)尤>0,y<0時(shí)，方程（x—1丫+（丁+1）2=8,

當(dāng)x<0,y>0時(shí)，方程（x+lp+（y—1）2=8,

當(dāng)x<（）,y<0時(shí)，方程（x+lp+（y+l）2=8,

作出圖象：

曲線。既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱圖形,

對(duì)稱中心為（0,0）,對(duì)稱軸為國(guó)丁軸，②正確.

點(diǎn)P,Q在曲線C上，當(dāng)且僅當(dāng)P,。與圓弧所在的圓心共線時(shí)取得最大值，

IPQI的最大值為圓心距加兩個(gè)半徑6夜，③正確.

故答案為：②③

三、解答題（共6道題；共85分）

16.在A/WC中，bsinA=acos（B-1）.

（1）求B；

（2）若c=5,.求a.

TT

從①8=7,②C=J這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

4

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

7T

【答案】（1）B=-；

3

（2）①a=8；②舟5

2

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題目條件，由正弦定理得sinBsinA=sinAcos（Bq）,化簡(jiǎn)即可求出反

（2）若選①，由余弦定理得：。2_5。_24=0,即可解得。的值.

若選②，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求得sinA的值，由正弦定理即可解得。的值.

【小問1詳解】

因?yàn)閎sinA=,由正弦定理得：sinBsinA=sinAcos因?yàn)?cAe萬，所以

sinA。。，所以sin8=—,即sinB=@cosB+』sinB,即

k6；22

—^-cosB+—sinB=Q＜即tan8=6，又。＜B＜兀,所以8=巳.

223

【小問2詳解】

若選①，則在AABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，可得：,J一5a_24=0,解得：。=8，

或。=一3（舍），可得。=8.

7T.717171.71\/6+5/2

若選②，c=-則sinA=sin（8+C）-sin—cos—4-cos—sin—=

434344

a_5

由正弦定理：可得：舟加=忑,解得:573+5

sinAsinC2

42

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是正方形，側(cè)棱底面ABC。，PD=DC,E是PC

的中點(diǎn)，作EF上PB交PB于點(diǎn)F.

（1）.證明：PA〃平面EDB；

（2）證明：依平面曰*；

（3）求二面角3—。尸一。的大小.

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；（3）arccos—

5

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，連接AC,AC交BD于G,連接EG,求出西=2的，即可證明以〃

平面EDB；

（2）證明EELP8,PBDE^O,即可證明PB_L平面EFD；

（3）利用向量法，求二面角C-PB-O的大小.

【小問1詳解】

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)r>C=a.

p

(1)證明：連接AC,AC交8。于G,連接EG.

依題意得A(a,O,O),尸(0,0,a),

?.?底面A8CD是正方形,

(笑,0)且用=(a,0,_a)訪=信0,_羨)

；.G是此正方形的中心,故點(diǎn)G的坐標(biāo)為

PA=2EG>故以〃EG.

而EGu平面EDB且以，平面EDB,

南〃平面EDB.

【小問2詳解】

依題意得B(a,a,0),PR=(a,a,-a).

又0E=(0，；，W］，故P8.￡)E=0+^———=0.

V22j22

:.PBLDE.

由已知EFJ_P8,KEFHDE=E,所以P8_L平面EFD.

【小問3詳解】

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(xo，yo,zo)，PF=APB>則(xo,yo,zo-?)=入a,-〃).

從而xo=入a,yo=Xcif

由條件EF_LPB知，F(xiàn)EPB=O>

2解得

即-Aa2+2-^|a=0,4

2J3

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（§，§，彳），且。尸=aa2ay

號(hào)弓'！"）

易知AG工BD,AG工PD,又BD「\PD=D,

-???

所以AG，平面尸/犯，故4G=。（一一,一,0）是平面BDF的法向量,

22

設(shè)平面CD尸的法向量;=（x,y,z），又配=（0,。,0）,

n-DC=ay=0

所以《。2。八令z=l，則y=0,x=-2,z=l,

n?DF=—x+—yH-----Z=0

333

所以：=（一2,0,1），

—>—>

->->〃?AGVio

所以cos<n,AG>=

|H||AG|

Vio

故二面角3-。77-。的大小為@1*805

~V

18.某市《城市總體規(guī)劃（2016—2035年）》提出到2035年實(shí)現(xiàn)“15分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo)，從

教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身4個(gè)方面構(gòu)建“15分鐘社區(qū)生活圈”指標(biāo)體系，并依據(jù)“15

分鐘社區(qū)生活圈'’指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為0.6~1）、良好小區(qū)（指數(shù)為0.4~0.6）、中

等小區(qū)（指數(shù)為0.2?0.4）以及待改進(jìn)小區(qū)（指數(shù)為（）?（）.2）4個(gè)等級(jí).下面是三個(gè)小區(qū)4個(gè)方面指標(biāo)的

調(diào)查數(shù)據(jù)：

、區(qū)1

、^標(biāo)值\

d小區(qū)~B小區(qū)1。小區(qū)Q

教育與文化(0.20)30.7P0.9P0.1Q

醫(yī)療與養(yǎng)老(0.20“0.7P0.6P03Q

交通與購物(0.32)30.5P0.7-0.2P

休閑與健身(0.28)30.5P0.6P0.1^

注：每個(gè)小區(qū)”15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)7=叫工+嗎7；+嗎4+W&4，其中%、叼、嗎、明為該小區(qū)四個(gè)

方面權(quán)重，(、丁2、4、1為該小區(qū)四個(gè)方面的指標(biāo)值(小區(qū)每一個(gè)方面的指標(biāo)值為0~1之間的一個(gè)

數(shù)值).

現(xiàn)有100個(gè)小區(qū)的“15分鐘社區(qū)生活圈''指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：

分組[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1]

頻數(shù)1020303010

(I)分別判斷A、3、C三個(gè)小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；

(H)對(duì)這100個(gè)小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣，抽取10個(gè)小區(qū)進(jìn)

行調(diào)查，若在抽取的1()個(gè)小區(qū)中再隨機(jī)地選取2個(gè)小區(qū)做深入調(diào)查，記這2個(gè)小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個(gè)數(shù)為

求J的分布列及數(shù)學(xué)期望.

4

【答案】(I)A、C小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；8小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；見解析；(II)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望

【解析】

【分析】

(I)計(jì)算出每個(gè)小區(qū)的指數(shù)值，根據(jù)判斷三個(gè)小區(qū)是否為優(yōu)質(zhì)小區(qū)：

(II)先求出10個(gè)小區(qū)中優(yōu)質(zhì)小區(qū)個(gè)數(shù)，可得出隨機(jī)變量g的可能取值，然后利用超幾何分布的概率公

式計(jì)算出隨機(jī)變量4在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量4

的分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式可計(jì)算出隨機(jī)變量4的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】(I)A小區(qū)的指數(shù)7=0.7*0.2+0.7*0.2+0.5*0.32+0.5*0.28=0.58,

0.58<0.60,所以A小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；

8小區(qū)的指數(shù)T=0.9x0.2+0.6x0.2+0.7x0.32+0.6x0.28=0.692,

0.692>0.60,所以8小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；

C小區(qū)的指數(shù)7=0.1x0.2+0.3*0.2+0.2x0.32+0.1*0.28=0.172,

0.172<0.60,所以C小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；

(II)依題意，抽取10個(gè)小區(qū)中，共有優(yōu)質(zhì)小區(qū)10x型土嶼=4個(gè)，其它小區(qū)10-4=6個(gè).

100

依題意J的所有可能取值為0、1、2.

C21S1

尸仔=°)=&=芯=鼠尸(D

則4的分布列為:

012

2_82

P

31515

E^=0x-+\x—+2x—=-

315155

【點(diǎn)睛】本題考查概率統(tǒng)計(jì)綜合問題，同時(shí)也考查了超幾何分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，解題時(shí)要結(jié)合題意

得出隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

19已知函數(shù)/(x)=xlnx+G?-1,且/'⑴=-1,

(1)求f(x)的解析式;

(2)若對(duì)于任意XG(0,+OO),都有,求〃?的最小值；

(3)證明：函數(shù)y=/(x)-xe'+f的圖象在直線y=-2x-l的下方.

【答案】(1)/(x)=xlnx-x2-l；

(2)〃?的最小值為-1；(3)證明見解析.

【解析】

【分析】⑴根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出了'(X),結(jié)合尸(1)=-1計(jì)算即可;

⑵將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于Vxe(0,+s)都有Inx-xW機(jī)，令g(x)=lnx-x(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求出或初皿即可;

(3)將問題轉(zhuǎn)化為xlnx-xe'+2x<0，即Inx<-2，結(jié)合(2)可得當(dāng)xe(0,+8)時(shí)大一1<e"—2即可,

構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)果.

【小問1詳解】

由/(x)=xlnx+ax2-1,得/'(x)=l+lnx+2or,

又/'(1)=一1,所以l+2a=—1,解得。=一1,

故f(x)=xlnx-x2-1；

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

由/(x)—〃優(yōu)<-1，得xinx-x2—〃aS0，

則對(duì)于Vxe(0,+°0)，都有Inx-xW根，

設(shè)g(x)=lnx-x(x>0),則=--1=--,

XX

令g<x)<0=>x>1,令g'(x)>0=0<x<l,

所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,茁)上單調(diào)遞減，

所以g(X)max=g(D=T，所以加之一1，

即，〃的最小值為-1；

【小問3詳解】

要證函數(shù)y=/(x)-xe'+V的圖象在直線丁=-2*-1的下方，

即證/"(x)-xe'+*2+2x+l<0,

即證xlnx—xe*+2x<0>

即證lnx<e*-2，

由(2)知，g(x)=lnx—%4—1,即lnx<x-l(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立)，

故只需證當(dāng)xe(0,+o。)時(shí)，x—l<e*-2即可.

設(shè)/z(x)=(eA-2)-(x-l)=ev-x-1，

則"(x)=eA-1,令〃'(x)=0nx=0,

令"（x）>。=x>0,所以函數(shù)h（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

所以〃（x）>//（0）=0,即x-l<e*-2，所以lnx<e*-2，

故函數(shù)曠=/（幻一加”+/的圖象在直線丁=一2》-1的下方.

20.己知橢圓￡：鳥+，=1（。>6>0）的離心率為半，4、6分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，“為E上

任意一點(diǎn)，的最大值為1，橢圓右頂點(diǎn)為A.

（I）求橢圓E的方程；

（H）若過A的直線/交橢圓于另一點(diǎn)8,過B作x軸的垂線交橢圓于C（C異于8點(diǎn)），連接AC交y軸

于點(diǎn)只如果巨晨麗=,時(shí)—，求直線/的方程.

2

【答案】（I）—+y2=l；（II）/：y=2—也或y=—2+也.

【解析】

【分析】

（I）根據(jù)S4F,材七面積的最大值可求從=1，結(jié)合離心率可求。力，從而得到橢圓的方程.

（H）設(shè)直線/：>=%（》-夜），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理可求民C的坐標(biāo)，由直

線AC的方程后可得P的坐標(biāo)，根據(jù)西?麗=?!■可得關(guān)于我的方程，從而可求A的值.

2

【詳解】解：（I）當(dāng)〃為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，S^MF?取得最大值即S=；x2cxZ?=l,

又因?yàn)椤?變，a2^b2+c2,

a2

2

解得：a