人教版九年級上冊數(shù)學培優(yōu)體系講義

第二十一章一元二次方程

1.一元二次方程

預習歸納

1.等號兩邊都是整式，只含有一個,并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的方程，叫

一元二次方程.

2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的.

3.一元二次方程的一般形式是.

例題講解

【例】把方程（3x-2）（2X-3）=X2-5化成一元二次方程的一般形式，并寫出方程的二次項,

一次項及常數(shù)項和二次項系數(shù)，一次項系數(shù).

基礎訓練

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.X2+—+1=0B.X2+J-+1=0c.2盯—1=0D.X2—xy+y2=0

XX

2.方程X（L4）=5化為一般形式為（）

Ax2-4.r+5=0B無2+4.丫+5~0cX2—4%—5=0DX2+4A-5=0

3.方程3x2—7x+4=0中二次項的系數(shù)，一次項的系數(shù)及常數(shù)項分別是（）

A.3、7、4B.3、7、-4C.3、-7、4D.3、-7、-4

4.（2014荷澤）已知關(guān)于x的一元二次方程X2+ax+b=0有一個非零根一b,則a—b的值為

（）

A.1B.-1C.0D.—2

5.（2014哈爾濱）若x=-l是關(guān)于x的一元二次方程X2+3x+m+l=0的一個解，則m的

值為.

6.把一元二次方程23+7）=x+2化成一般形式是.

7.下列數(shù)中一1,2,-3,-2,3是一元二次方程X2—2x=3的根是.

8.若方程X2—2x+m=0的一個根是一1,求m的值.

9.（2013牡丹江）若關(guān)于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0（a#0）的解是x=l,求2013—。

-b的值.

中檔題訓練：

10.將一元二次方程5x2—1=4x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（）

A.5、—4B.5^4C.5x2、4xD.5x2、—4x

11.若。是一元二次方程x2+6x+機2—1=0的一個根，則m的取值為（）

A.1B.-1C.±1D.以上都不是

12.已知關(guān)于x的方程x2+/zx+a=0有一個根是一a（aWO）,則a—b的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

13.若（m+l）xl"L+6mx-2=0是關(guān)于x的一元二次方程，則）=.

14.已知m是方程X2—x—2=0的一個根，求代數(shù)式4m2—4m—2的值.

15.在一次同學聚會時，同學見面后每兩人握一次手，共握手28次，求有多少同學參加了

這次聚會？學習以下解答過程，并完成填空.

解：設參加聚會的同學有x人，每人共握手________次，

握手的總次數(shù)用含x的式子表示為.

根據(jù)題意，可列出方程________________________.

整理，得.

化為一般式，得_________________.

二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為_____________.

綜合訓練題

16.已知關(guān)于x的方程（t2—9）x2+（t十3）x-5=o.

（1）當t為何值時，此方程是一元一次方程？并求出此時方程的解.

（2）當t為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個方程的二次項系數(shù)、一次項系

數(shù)及常數(shù)項.

2.配方法一一解一元二次方程（一）——直接開平方

預習歸納

1.若X2=p（p?0）,則X1=,x2-.

例題講解

【例】用直接開方法解方程.

（1）9x2=25⑵2x2-98=0

基礎題訓練

1.16的平方根是（）

A.4B.-4C.±4D.±8

2.方程X2=9的解是（）

A.X1=X2=3B.乂1=*2=-3C.X]=3,x2=-3D.x

=3

3.方程總=3的解是()

A.X=X=正B.X=X=-J3C.,X=_串D.x=3

1212

4.方程（x-l>=0的解是（）

A.x1=l,x2=-lB.x1=x2=lC.X1=X2=-1D.X]=l,X2=-2

5.方程G—?=9的解是()

A.x1=l,x2=—3B.X]=4,x2=-4C.x】=4,x2=-2D.x=3

6.(2014濟寧)若一元二次方程QX2=b(ab>0)的兩個根分別是m+/與2m—4,則2

a

7.用直接開方法解方程.

(1)3(x—2)2=0(2)3(x-1)2=27

8.如果x是關(guān)于x的方程2x2+3ax-2a=0的根，求關(guān)于y的方程>2-3=。的解.

中檔題訓練：

9.(2013鞍山)已知bVO,關(guān)于x的一元二次方程(x—1)2=6的根的情況是().

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.有兩個實數(shù)根

10.(2013麗水)一元二次方程(x+6)2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次

方程是x+6=4,則另一個一元一次方程是().

A.x+6=-4B.x—6=4C.x+6=4D.x+6=—4

11.一元二次方程x2+2x-99=0變形正確的是()

A.(x+l>=100B.G-l>=100C.(x+2>=100D.(x-2>=100

12.方程3x2=2的根是.

13.解下列方程：

⑴(2x+51-1=0⑵(x-l)G+l)=l

(3)5(x—3)2—125=0⑷4x2—4x+l=5

綜合題訓練:

川口x2-4x+y2+6y+Jz+1+13=0

14.已知x、y、滿足,求關(guān)于m的方程

Jm2_;v+y_z=0的根.

4

3.配方法一一解一元二次方程(二)

預習歸納

i.通過配成解一元二次方程的方法，叫配方法.

例題講解

【例】用配方法解方程：

(1)X2+2x—3=0(2)X2—2x—8=0

基礎題訓練

1.填空：（1）X2—20x+=（X—）2

（2）X2+__x+81=（X+）2

（3）X2+5X+=（X+）2

2.用配方法解一元二次方程X2-4x=l,配方后得到的方程是（）

A.（X—2）2=1B.（X—2）2=4C.（x—2）2=5D.（x—2）2=3

3.（2013蘭州）用配方法解方程X2—2X—1=0時，配方后得到的方程為（）

A.（x+l）2=0B.（x-l）2=0C.（X+1）2=2D.（X~1）2=2

4.（2014寧夏）一元二次方程X2—2X—1=0的解是（）

A.X]=X2=1B,x1=i+0，X2=-1-72

cx=x=Dx=,x=

-il+y/2,21-72-i-l+^22-1-4^

4

5.用配方法解方程2x2-耳》-2=0變形正確的是（）

6.填空：

（1）X2—4x+___=（X—____）2（2）xz+6x+____=（x+____）2

4

（3）X2——-x4___=（X-____）2（4）X2-3ox+___=（x-____）2

3

7.用配方法解下列方程：

（l）2m2—6m+3=0（2）6x2—x—12=0

中檔題訓練：

8.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方

成下列的()

(x-p)1-5Q-n)2=9G-p+2)2=9

A.B.C.

DG-p+2)2=5

9.關(guān)于x的一元二次方程(加+1)加，4|+4%+2=0的解為()

A.X1=l,x2=~lB.x1=x2—lC.x1—x2——lD.無解

10.添上適當?shù)臄?shù)，使下列等式成立：

⑴2JC2+X+=2(x4-)2(2)3x2+2x-2=3(x+_____)2—

11.如果(x-y)2—2(x-y)+l=0,那么x與y的關(guān)系是.

12.用配方法解下列方程：

(1)x2-2x=5；(2)2y2-4y=4

13.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2+4x—6y+13=0,求力的值.

綜合題訓練:

14.試證明：不論X,y為何值，》2+尸+》->+1的值都為正數(shù).

專題配方法的應用

一、配方法解方程

(1)x2—3x—2=0(2)3x2—6x—1=0

二、已知az、加配方求2ab.

2.若代數(shù)式9x2+kxy+港是完全平方式，則k的值為（）

A.6B.±6C.+12D.12

三、已知02、2ab配方求bt

3.若代數(shù)式X2—5x+k是完全平方式，則女=.

四、配方法求最值

4.求多項式X2+3x—1的最小值.

5.求多項式-2X2+5X+3的最大值.

五、配方法比較大小

6.求證：不論x為何值，多項式2x2—4x-l的值總比X2—6X-6的值大.

六、配方法與非負數(shù)

7.m2+n2+4m—2"+5=0,求3m2+5/12—4的值.

8.已知-y+|y-4〔+4x2+4x+l=0.求x—y+z的值.

4.公式法一一解一元二次方程（一）——根的判別式

預習歸納

1.式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，常用希臘字母

來表示.

2.一元二次方程：ax2+bx+c=0,當—時，它有兩個不等的實數(shù)根，當時，它有

兩個相等的實數(shù)根，當時，它無實數(shù)根.

例題講解

【例】不解方程，判斷下列一元二次方程的根的情況.

（1）3X2-2X-1=0;（2）2X2-x+l=0.

基礎題訓練

1.（2013成都）一元二次方程X2+x-2=0的根的情況是（）.

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

2.方程X2+16=8x的根的情況為（）.

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根.

C.有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根.

3.（2014益陽）一元二次方程x2—2x+m=o總有實數(shù)根，則m應滿足的條件是（）.

A.m>lB.m=lC.m<lD.mWl

4.（2014寧波）已知命題“關(guān)于x的一元二次方程X2+bx+l=0,當b<0時必有實數(shù)解”,

能說明這個命題是假命題的一個反例可以是（）.

A.b=-1B.b=2C.b=-2D.b=0

5.已知關(guān)于x的一元二次方程X2+kx+l=0有兩個相等的實數(shù)根，則卜=.

6.（2014廣東）關(guān)于x的一元二次方程x2—3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的

取值范圍為（）.

9999

A.m>—B.m<—C.m——D.m<——

4444

7.不解方程，判斷下列一元二次方程的根的情況.

（1）4x—X2=XZ+2（2）3X—1=2X2

8.當m為何值時，方程2x2—（4m+1）x+2m2—1=0

⑴有兩個不相等的實數(shù)根？

⑵有兩個相等的實數(shù)根？

⑶沒有實數(shù)根？

中檔題訓練：

9.已知關(guān)于x的一元二次方程X2+bx+b=0有兩個相等的實數(shù)根，則b的值是.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程（。一1m2-2*+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值

范圍是（）

A.o<2B.a>2C.aV2且aWlD.a<-2

11.一元二次方程ax2+bx+c=0中a、c異號，則方程根的情況是（）

A.有兩個不相等實數(shù)根B.兩個相等實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法確定

12.（2013濰坊）已知關(guān)于x的方程kX2+（l—k）x—1=0,下列說法正確的是（）.

A.當k=0時，方程無解B.當k=l時，方程有一個實數(shù)解

C.當A=-l時，方程有兩個相等的實數(shù)解D.當kWO時，方程總有兩個不相等

的實數(shù)解

13.若關(guān)于x的一元二次方程mx2—（2m—2）x+m=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是.

14.已知關(guān)于x的一元二次方程kx2—2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍.

15.已知關(guān)于x的一元二次方程（m—l）x2+x+l=0有實數(shù)根，求m的取值范圍.

綜合題訓練：

16.已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）X2—2bx—a+c=O有兩個相等的實數(shù)根，試求以a、

b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能，請判斷三角形的形狀.

專題一元二次方程根的判別式

一、已知常數(shù)系數(shù)直接判斷方程根的情況

1.不解方程直接判別下列方程根的情況.

（1）x2-j3x--=0（2）3X2—6x+3=0（3）x（2x-4）=-5-8x

4

二、含字母系數(shù)時將△配方成G,-02,G+正數(shù)，一02一正數(shù)，來判斷方程根

的情況

2.判別下列關(guān)于x的一元二次方程的根的情況.

（1）-X2-2mx+5m2+1=0（2）X2—4mx+4m2=0

4

（3）—%2-mx+-A=0（4）—%2-mx4-/n-4=0

222

三、“結(jié)合aWO”確定字母的取值范圍

3.關(guān)于x的一元二次方程（a—5）X2—4x-1=0有實數(shù)根，則。滿足（.

A.aNlB.a>l且aW5C.aNl且aW5D.aW5

4.當m為何值時，關(guān)于x的一元二次方程（m2-l）x2+2（m-i）x+i=o,有兩個不相等的

實數(shù)根.

四、判別式與隱含條件相結(jié)合

5.已知關(guān)于x的一元二次方程（l—k）X2—2X—1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的最大整

數(shù)值是（）.

A.2B.1C.0D.-1

6.已知關(guān)于x的一元二次方程kxz—4kx+k—5=0有兩個相等的實數(shù)根，求A的值.

7.（2013西寧）函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，試判斷關(guān)于x的方程x2+x+k-l=0根的情況.

5.公式法一一解一元二次方程(二)

預習歸納

1.當△》()時，一元二次方程以2+。%+，=()的求根公式是

例題講解

【例】用公式法解方程：

(1)X2-5x4-2=0；(2)=6x+l

基礎題訓練

1.方程2工2一工一3=。中，a=,b=

2.方程5心+l=5x中的△=-4。。=

3.(2013.廣西)一元二次方程工2-2%一3=。的解是()

A.x=—l,x=3B.x=l,x=-3

1212

C.x=-l,x=-3D.x=l,x=3

I212

4.方程%2+%-1=0的兩根是()

A.1+J5B.卷￡-1±J5

c.-1+^5

D,2

5.方程k+3x=2的正根是()

-3±J173士洞-3-J17-3+J17

A.-------B.-------C，2D.--------

222

6.用公式法解方程：

(1)2x2-3%=0;(2)3x2+6x-5=0

(3)0.2x2-0.1=0.4x；(4)0尤-2=2x2.

(5)4x2-3x-5=x-2.(6)3x(x-3)=2(x-1)(x4-1)；

中檔題訓練

7.（2014.荊門）己知。是一元二次方程舉一尤-1=。較大的根，則下面對a的估計正確的

是()

A.0<a<lB.l<a<l.5C.1.5<a<2D.2

<a<3

8.用適當方法解下列方程：

(1)(3X+1)2-9=0(2)%2+4x-l=0

⑶3x2-2=4x⑷(y+2"=l+2y

9.已知一元二次方程X2--1=0.

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍;

（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求此方程的根.

綜合題訓練

10.（2013.北京）已知關(guān)于x的一元二次方程舉+2》+2攵-4=0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求k的取值范圍；

（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值.

6.因式分解法一一解一元二次方程

預習歸納

1.用因式分解法要先將方程一邊化為.,另一邊為0,再分別使各一次因

式等于0.

例題講解

【例】用因式分解法解下列方程：

（1）X24-X=（）(2)9x2-4=0

基礎題訓練

1.多項式x2-5x因式分解結(jié)果為.

2.多項式2x（x—3）—5（x—3）因式分解結(jié)果為.

3.（2014.舟山）方程》2—3%=0的根為.

4.經(jīng)計算整式x+1與X—4的積為心一3尤一4,則X2—3x-4=o的所有根為（）.

A.x=-ix=-4B.x=-l,x=4c.x=l,x=4D.x=l,x=-4

Iy2I2I212

5.（2013.河南）方程（x-2）（x+3）=0的解是（）

A.x=2B.x=-3C.x=2,x=-3D.x=-2x=3

i2I2

6.（2013.寧夏）一元二次方程x（尤-2）=2-龍的根是（）

A.-1B.2C.1和2D.-1和2

7.方程5x2-2x=0的根是（)

22八2八2

A.X=X——B.X=X=——_C.x=U,x=一D.%=0,%———

125125125I25

8.用因式分解法解下列方程：

(1)(X-1)2-2(X-1)=0(2)(3X-1)2-4=0

(3)5尤(x-3)=(x-3)(x+1)(4)(x-4”-(5-2x)2=0

中檔題訓練

9.若關(guān)于x的一元二次方程的兩根為x=1/=-2,則這個方程可以是___________.(任

12

寫一個即可)

10.a,b,c為△A8C的三邊，且a,b,c滿足3一33-。)=0,則△△8c的形狀是角

形.

11.三角形一邊長為10,另兩邊長是方程x(x-6)—8(x—6)=0的兩實數(shù)根，則這是一個

三角形.

12.選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)X2-2X=5(2)(X-2)(X+3)=-6

⑶X2-6r-l=0⑷3尤(2x+l)=4x+2

13.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+加=0.

(1)當m=l時，請用配方法求方程的根；

(2)若方程沒有實數(shù)根，求m的取值范圍.

綜合訓練

14.已知關(guān)于X的一元二次方程"2+"+1=0中，b=Ja-m+-Jm-a+m+l.

(1)若。=4,求b的值；

(2)若方程ax?+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，求方程的根.

專題一元二次方程的解法

一、一元二次方程和方程解的概念

1.若方程(加+2)加，1+3，加一1=0是關(guān)于*的一元二次方程，則團=.

2.已知x=l是一元二次方程X2—加x+l=O的一個解，則m的值是()

A.2B.0C.0或2D.—2

二、用公式法解方程

3.解方程：

(1)X2+尤-1=0⑵尤2+3x-l=0

三、用配方法解方程

4.解方程:

⑴x(x+2)=l(2)5(x-3)2=125

四、用因式分解法解方程

5.解方程：

(1)x(x-2)=x(2)X2-6X--9

五、選擇你喜歡的方法解方程

6.解方程:

(1)3x2+(x-2)=0⑵(2x—l)(x+3)=4

(3)3x(x-l)=2(x-l)(4)(2X-1)2=(3-X)2

專題利用幾何構(gòu)建一元二次方程

【方法歸納】：通過幾何條件構(gòu)建一元二次方程.

一、利用面積構(gòu)建一元二次方程

1.如圖，ZVIBC中，ZC=90°,AC=6cm,8c=8cm,點P從A沿AC邊向C點以lcm/s

的速度移動，在C點停止，點Q從C點開始沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動，在8點停

止.

⑴如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S=8C7772

XQPC

⑵如果點P從點A先出發(fā)2s,點Q再從點C出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后S=4CTW2?

AQPC

（3）如果點P、Q分別從4、C同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒后PQ=BQ?

二、利用勾股定理構(gòu)建一元二次方程

2.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZA=90°,CD=2,AB=3,AD=7,點P為線段

4。上一點，CPIBP,求DP的長.

3.如圖，直角梯形AECD中，AE//CD,Zf=90°,AE=CE=12,M為EC上一點、,若/MAD

=45°,0M=10,求EM的長.

7.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

預習歸納

1.一元二次方程。心+法+C=°的兩根匕、二滿足5+、2=------------------

XX=.

12---------------------

例題講解

【例】若方程X2—3尤-1=0的兩根為XX,求」_+」_的值.

】、2xX

12

基礎題訓練

1.若XX是一元二次方程x2-5x+6=。的兩個根，則X+X的值是（）

I、2I2

A.1B.5C.-5D.6

2.（2014.昆明）已知X尤是一元二次方程無2-4%+1=0的兩個根，則x“等于（）

1、212

A.-4B.-1C.1D.4

3.已知方程3工2-5工一7=。的兩根為xX，則下列各式中正確的是（）

I、2

A.x+x=5x-x=7B.x+x=-5xx=-7

12J12I2'12

5757

cx+X=—X-X=--DX+X=一一X-X=一一

I23，123123，】23

4.（2014.攀枝花）若方程龍2+》-1=0的兩實根為a、B,那么下列說法不正確的是（）

A.a+。=-1B.a。=-1C.012+02=3D.一+"75"=-1

aB

5.若0,-3是方程x2-px+q=0的兩個根，則a+B=.

6.（2013.雅安）已知XX是一元二次方程尤2-2%=0的兩根，則x+X的值是_______.

1、212

7.（2014.黃岡）若a、B是一元二次方程X2+2%—6=0的兩根，則a2+B2=（）.

A.一8B.3C.16D.40

8.若X、X是一元二次方程2*-31-1=0的兩個根，求下列代數(shù)式的值.

1、2

⑴X+尤；（2）x?%.（3）3x?3x+2x+2x

1212'1212

11

（4）12+2xX+九2；（5）一+—；（6）X2+X2

1122XX12?

12

中檔題訓練

9.當山=時，關(guān)于x的方程24一(/m-4)x=0的兩根互為相反數(shù).

10.已知xx是一元二次方程2%2+以一。=0的兩個實數(shù)根，貝ijx+x-2xx等于

1、21212

()

aaaa

A.+—B.~e~2C.~c+—D.c一萬

11.一元二次方程3%2-8%+加=0的兩根之比為3：1,則山等于()

A.4B.-4C.3D.5

12.一元二次方程x2—4x-c=0的一個根是2+JJ,求另一個根及c的值.

13.若匕、己是一元二次方程的一2x2+3x+l=°兩個根,求下列代數(shù)式的值.

XX

⑴『）2（2）T+1

XX

12

（3）（X-2）（x-2）（4）Ix-xI

12

綜合題訓練

14.若關(guān)于x的一元二次方程籍+(優(yōu)+1)》+m+4=0的兩實數(shù)根的平方和為2,求m的

值.

專題一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系

一、直接求兩根之和與兩根之積

1.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，求下列方程兩個根X、X的和與積.

1、2

(1)X2+3x+2=0(2)5x2+尤一5=0

(3)工2+尤=5工+6(4)7x2—5=8-3尤

二、不解方程求對稱式的值

2.設xx是一元二次方程2x2-5x-1=0的兩根，求下列代數(shù)式的值.

1、2

cXX

(1)X2X+X2X(2)X2+X2-3XX⑶T+—I-(4)IX-XI

12211212XX12

三、已知方程的一根求另一根及未知系數(shù)

3.已知x=l是方程X2+法—2=0的一個根，求方程的另一個根及b的值.

4.(2013.玉林)已知關(guān)于x的方程x2+x+"=0有兩個實數(shù)根一2,m,求m,n的值.

四、已知方程的兩根求新方程

5.已知一元二次方程的兩根為2+#和2一戶，則該一元二次方程為

五、與判別式結(jié)合求字母系數(shù)的值

6.已知關(guān)于x的一元二次方程加X2-2X+1=0.

(1)若方程有兩個實數(shù)根，求m的范圍；

1

(2)若方程的兩個實數(shù)根為x、X,且滿足XX-x-X=-,求m的值.

1、212122

7.已知關(guān)于x的方程4+2（。-1"+。2-74—4=0的兩根為xx,且滿足

1、2

XX-3x-3x+4=0,求a的值.

1212

六、與絕對值結(jié)合求字母系數(shù)的值

8.已知關(guān)于X的方程X2+2(Z-l)x+左2=0有兩個實數(shù)根XX.

I、2

(1)求k的取值范圍；

⑵若lx+X\=xx-1,求k的值.

1212

9.(2013.荊州)己知關(guān)于x的方程履2-(3k-l)x+2(左一1)=0

(1)求證：無論A為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；

(2)若此方程有兩個實數(shù)根x、X,且Ix-x1=2,求k的值.

1、212

8.實際問題與一元二次方程（一）傳播、循環(huán)、數(shù)字問題

預習歸納

1.有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有100人患了流感，假設每輪傳染中，平均一

個人傳染了幾個人？

例題講解

【例工九⑴班每個同學都能與全班同學交換小禮物一件，共計全班交換小禮物2550件，求

九⑴班有多少個同學？

基礎題訓練

1.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，若主干、支

干和小分支的總數(shù)是73,設每個支干長小分支的個數(shù)為X,則依題意可列

為.

2.要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程

計劃安排7天，每天安排4場比賽，設比賽組織者應邀請x個對參賽，則x滿足的關(guān)系式為

（）

A.1x(x+l)=28B.，x(x-l)=28C.x(x+1)=28D.x(x-l)=28

22

3.兩個連續(xù)奇偶數(shù)的積是323,那么這兩個數(shù)是（）

A.17,19B.-17,-19C.17,19或一17,—19D.17,-19

4.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后有64人患了流感.

（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？

5.一個兩位數(shù)等于它的個位數(shù)的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3,求這個兩位數(shù)為.

中檔題訓練

6.參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共要比賽90場，設共有x個隊參加比

賽，則依題意可列方程為

7.要參加一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排15場比賽，

設共有x個隊參加比賽，則依題意可列方程為.

8.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干，支干

和是91,每個支干長出多少小分支？

9.有一個人收到短信后，再用手機轉(zhuǎn)發(fā)短消息，每人只轉(zhuǎn)發(fā)一次，經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后共有133

人收到短消息、，問每輪轉(zhuǎn)發(fā)中平均一個人轉(zhuǎn)發(fā)給幾個人？

綜合題訓練

10.一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方小2,如果把這個數(shù)的個位數(shù)字與十

位數(shù)字交換，那么所得到的兩位數(shù)比原來的數(shù)小36,求原來的兩位數(shù).

9.實際問題與一元二次方程(二)增長率與利潤問題

歸預習納

1.某廠今年一月的總產(chǎn)量為500噸，三月的總產(chǎn)量為720噸，平均每月增長率是X,根據(jù)

題意，可列方程一

例題講解

【例工2011年某新建小區(qū)一月份的新房均價為每平方米10000元，三月份此新房均價降為

每平方米8100元，求二、三月份此新房均價的平均月下降率.

基礎題訓練

1.某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元。已知兩次降價的百分率都為X,

那么x滿足的方程是()

A.100(1+%)2=81B.100(l-x)2=81C.100(1-x%)2=81D.100v2=81

2.某果園2011年水果產(chǎn)量為100噸，2013年水果產(chǎn)量為144噸，求該果園水果產(chǎn)量的年平

均增產(chǎn)率.設該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為X,則根據(jù)題意可列方程為()

A.144(1-X)2=100B.100(1-x)2=144144(1+x”=100D.100(1+x)2=144

3.某機械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度生產(chǎn)零件196萬個，設該廠八，九月份平均

每月的增長率為x,那么x滿足的方程為()

A.50(1+x)2=196B.50+50(1+X)2=196

C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196

4.某電視機廠2008年生產(chǎn)一種彩色電視機，每臺成本3000元，由于該廠不斷進行技術(shù)革

新，連續(xù)兩年降低成本，至2010年這種彩電每臺成本僅為1920元，設平均每件降低成

本的百分數(shù)為X,根據(jù)題意，可列方程.

5.某城市居民最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到

345.6元，則該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是.

6.雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動.第

一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。

(1)如果第二天，第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率.

(2)按照(1)中收到捐款的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？

中檔題訓練

7.2006年1月6日，李憲生市長在武漢市第十一屆人民代表大會第四次會議上的《政府工

作報告》中指出：過去的五年，是武漢經(jīng)濟發(fā)展實現(xiàn)新跨越的五年生產(chǎn)總值（GDP）由2000

年的1207億元增加到2005年的2238億元，平均增長13%,按以上數(shù)據(jù)，下列說法：

①2002年生產(chǎn)總值為1207（1+13%）2億元;②2003年生產(chǎn)總值為2238（1-13%）億元；

③2004年生產(chǎn)總值為2238億元;④按2005年武漢市總?cè)丝?50萬計算，2005年武

10.13

漢市人均GDP超過2.6萬元，其中正確的是（）

A.②③④B.①③④C.①②③D.①②④

8.兩年前生產(chǎn)一噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)一噸乙種藥品的成本是6000元，隨著

生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)一噸甲種藥品的成本是1800元，生產(chǎn)一噸乙種藥品的成本是

2160元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？

9.小麗為學校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不

超過10件時，單價為80元，如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服

裝的單價降低2元，但單價不得低于50元，按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了

1200元，請問她購買了多少件這種服裝？

10.商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元.為了盡快減少庫存，商場決定采

取適當?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件.設每

件商品降價x元.據(jù)此規(guī)律，請回答：

⑴商場日銷售量增加一件，每件商品盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；

⑵在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到J2100

元？

10.實際問題與一元二次方程（三）面積問題

預習歸納

1.若長方形的長為X,周長為12,則寬為,面積為.

例題講解

2.如圖，長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩天寬度相等且互相垂直的道路，剩余

部分進行綠化，要使綠化面積為7644平方米，則道路的寬應為多少米？設道路的寬為x米，

則可列方程為（）

A.100x80—100x—80尤=7644B.(100-x)(80-x)+x2=7644

C.(100-尤)(80—x)=7644D.100x+80x=356

1.直角三角形兩條直角邊的和為7,面積為6,則斜邊為（)

A.5/37B.5

2.如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m,寬為20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，

使其中兩條與A8平行，另一條與8c平行，其余部分種花草，要使每一塊的面積為78Itf