華師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第23章 圖形的相似 階段強化專訓(xùn)

PFPF階強專一平線線成例見用巧證比例式技巧1.中間比代換法證比例式1．如圖，知在△ABC，點D，E分別是邊，AC，上的點，DE∥BCEF∥AB且ADDB＝3∶5，求CF∶的值．第1)技巧2.等積代換法證比例式2．如圖，△ABC中，D上一點，E是△ABC內(nèi)一點，DE∥BCPE過D作AC的平行線交的延長線于與AB交于連接求證：PA＝.(第2題技巧3.等比代換法證比例中項

3．如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥求證：ADAB和的比例中項．第3題證線段相等技巧4.等比例法證線段相等等比過渡法)4．如圖，△ABC中，∠ACB＝，∠B＞∠A，點D邊AB的中點，DE∥交于點，∥AB的延長線于點F.求證：DE＝EF.第4題證比例和為1技巧5.同分母的中間比代換法

ADBC．．．ADBC．．．AE5．如圖，知AC∥BD，求證：＋＝1.第5)階強專二證相三形方名師點金：要找三角形相似的條件，關(guān)鍵抓住以下幾點：(1)已知角相等時，找兩對對應(yīng)角相等，若只能找到一對對應(yīng)角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對應(yīng)成比例；無法找到角相等時，判斷三邊是否對應(yīng)成比例；性”

除此之外，也可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的

傳遞利用邊或角的關(guān)系判定兩直角三角形相似1．下面關(guān)直角三角形相似敘述錯誤的是)．有一銳角對應(yīng)相等的兩直角三角形相似．兩直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似C．有一條直角邊相等的兩個直角三角形相似D．兩個等腰直角三角形相似2．如圖，BC⊥，垂足為C，＝6.4，CD＝1.6BC＝7.5CE＝2.5，求證：△ABC∽△DEC.第2)

利用角判定兩三角形相似3．如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD延長與CE交于點求證：△ABD∽△CED；若AB＝6，＝，求的長第3)利用邊角判定兩三角形相似4．已知：圖，在正方形ABCD中，PBC上的點，且BP＝Q是的中點．求證：△ADQ∽△QCP.第4)

利用三邊判定兩三角形相似5．如圖AD是△ABC的高E分別是AB，的中點．求證：△DEF∽△ABC.第5)階強專三巧平線造似角的巧名師點金：解有關(guān)相似三角形題目時，常常遇到要或求)的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形時們通?？梢宰髌叫芯€構(gòu)造出相似三角形，從而使問題得以解決．巧連線段的中點構(gòu)造相似三角形1如圖在△ABC中F是邊上的兩個三等分點D是AC的中點，BD別交AE，AF，AC于點，D，求PQ∶QD.(第1)過頂點作平行線構(gòu)造相似三角形2．如圖，△ABC中，AC＝，F(xiàn)為底邊AB一點，BF∶AF＝∶，BE取的中點，連接AD延長交于點E，求的值．

ECEC(第2)3．如圖，ABC的頂點作一直線，與AB中線AD分別交于點F和點E.求證：AE∶ED＝∶FB.第3)過一邊上的點作平行線構(gòu)造相似三角形4如圖在△ABC中＞AC在邊AB上取一點在AC上取一點E，BD使＝AE，直線DE和的延長線交于點求證：＝

44(第4)階強專四角中線應(yīng)名師點金三角形中位線定理有著廣泛的應(yīng)用通?？梢杂脕碜C明或求解許多問題但我們很多時候往往不能直接利用這個定理這時要善于觀察圖形中與定理有關(guān)的基本圖形特別是涉及已知中點有關(guān)條件時通過巧妙添輔助線構(gòu)造三角形中位線，可以準(zhǔn)確有效地幫助我們解決問題．利用三角形中位線進行證明類型1

證相等關(guān)系1．已知：圖，在四邊形ABCD中，對角線AC＝，E、分別為、中點，點OACBD的交點，M、N為EF與BD、AC交點．求證：OM＝第1)類型2

證倍分關(guān)系2．如圖，知平行四邊形ABCD中，對角線，點E、別是、的中點，連線，交BD于M點．1求證：(1)BM＝BD；(2)ME＝MF.

22第2)類型3

證不等關(guān)系3．如圖M、N是四邊形ABCD邊BC、AD中點，且AB不平1行．求證：MN＜(AB＋．第3)類型4

證位置關(guān)系4．如圖，△ABC的頂點A，向∠和∠的平分線作垂線，垂足分別為D、，連接求證：DE第4題利用三角形中位線探究多邊形形狀5．順次連對角線相等的四邊形各邊中點，所得四邊形是)．矩形

．平行四邊形C．菱形

D．任意四邊形6．順次連正方形各邊中點所得的四邊形一定是)．平行四邊形

．矩形

C．菱形

D．正方形7分別是不等邊三角形ABC(即AB≠BC≠AC)邊ABAC的中點是△ABC所在平面上的動點，連接OB，，F(xiàn)分別是OB的中點，順次連接點DFE.如圖當(dāng)點在△ABC內(nèi)部時試判斷四邊形DGFE的形狀，并說明理由．第7)利用三角形中位線求值8．如圖所，在四邊ABCD，AD∥，＋BC8，且AD∶BC＝3∶7，，F(xiàn)別是BD，AC的中點，求長．第8)階強專五位、置坐名師點金：1.生活中很多物體的位置需用坐標(biāo)來表示其中選擇參照物是確定位置的關(guān)鍵，參照物不同，往往表示同一位置的坐標(biāo)也不同．2．求位圖形中點的坐標(biāo)或作已知圖形的位似圖形時，要注意位似變換的要求是同側(cè)還是異側(cè)，若沒有明確說明，則要根據(jù)實際情況分類討論．位置與坐標(biāo)類型1

利用坐標(biāo)表示座位號1．如圖，明的座位是組排，如果用有序數(shù)對12)表示，那么張敏同學(xué)和石玲同學(xué)的座位，怎樣用有序數(shù)對表示？

第1)類型2

利用坐標(biāo)表示地理位置2如圖所示是一個雷達探測器的示意圖探測器的位置在O(圓心位置)，如果六個同心圓的半徑依次為1km，2km，3km，4，5km，6km，請你以點為參照點，用方位角和距離分別表示雷達探測器探測到的目標(biāo)A，，C，D，，F(xiàn)的位置．(第2題類型3

利用坐標(biāo)表示運動路徑3如圖小軍家的位置點A在經(jīng)5和緯4的十字路口用有序數(shù)對(54)表示；B學(xué)校的位置，點C是蕓家的位置，如果用54)→(5，→，6)(6，→，6)→(8，表示小軍家到學(xué)校的一條路徑．請你用有序數(shù)對表示出學(xué)校和小蕓家的位置；請你寫出小軍家到學(xué)校的其他幾條路徑．寫3)第3)位似變換與坐標(biāo)4．(2015·十堰)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點－4，，B(－6－4)以

22222222221原點位似中心，相似比為，把△ABO小，則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)是()．(－2，1)B．(－84)C．(－8，或(8，－4)D．－2，1)或(2，－(第5)5．如圖，ABC中AB個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)(－，0)，以C為位似中心，在x軸的下方作△ABC位似圖形，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍到的圖形是△′B′C.設(shè)點B的對應(yīng)B的橫坐標(biāo)是，則點B橫坐標(biāo)是()1．－a．－(a＋11C．－－1)D．－(a＋平面直角坐標(biāo)系中的位似變換作圖6如圖已知△ABC坐標(biāo)平面內(nèi)三個頂點的坐標(biāo)分別為A(03)B(3，4)C(2，．正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是個單位長度．畫出△ABC向下平4個單位得到的△ABC接寫C點的坐標(biāo)；11以點B位似中心，在網(wǎng)格中畫出eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)，使eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC與△位似，2222且位似比為21，并直接寫出C點的坐標(biāo)及eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的面積．22(第6)

階強專六巧位解角中內(nèi)多形題名師點金：位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)；位似圖形必須具備三個條件：(1)兩個圖形相似；(2)對應(yīng)點的連線相交于一點；(3)對應(yīng)邊互相平行或在同一直線上．三角形的內(nèi)接正三角形問題1．如圖，下面的方法可以畫AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應(yīng)問題．畫法①在△畫等邊三角形使點C在OA點D在OB上；②連接OE并延長，交AB于點′，過點E′作′C′，交OA于點C，作E′D∥ED交于點；③連接′D′，則△C′D′E是△AOB的內(nèi)接等邊三角形．求證：△C′D′E′是等邊三角形．第1)三角形的內(nèi)接矩形問題2作接于已知△ABC的矩形DEFG它的邊EF上點D，分別在AB，上，并且有DEEF1∶第2)

BQBQ三角形的內(nèi)接正方形問題(方程思想)3如圖eq\o\ac(△,，)ABC是一塊銳角三角形余料邊BC＝高AD＝80，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點P，N分別在AB，上，則這個正方形零件的邊長是多少？第3題)4如圖①△ABCD分別在ABACBC上DE∥BC，PEAQ交DE于點P.求證：＝.在△ABC，BAC，正方的四個頂點在△ABC邊上，連接，AF，分別交于M，N點．①如圖②，若AB＝＝1，直接寫出MN的長；②如圖③，求證：MN＝DM·EN.(第4)

PCPFADACABACADABDBECDBBAADADBAABABBCCDPCPFADACABACADABDBECDBBAADADBAABABBCCD答階段強化專訓(xùn)一1．解：∶＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DEBC∴CE∶AC＝BD∶AB＝∶8.∵EF∥AB，∴∶∶AC5∶PE2．證明∵DE∥BC，∴＝∴＝PFPD∵DFAC，∴＝.∴PF·PA.PEPA∴PE·PB＝∴＝AFAEADAE3．證明∵∥，∴＝∵DEBC.＝AFAD∴＝，∴AD是AB和AF比例中項．ADAEAD4證明∵∥BC∴＝∵點D為AB的中點∴＝DB即AEDEAE＝1.∴＝1.∵CF，∴＝＝∴DE＝BEBF5．證明∵AC∥，∴＝①.又∵EF∥BD，AEAFBEAEBFAFABAE∴＝②.＋②，得＋＝＋＝＝1，即＋＝1.階段強化專訓(xùn)二1．AC4.82證明∵＝6.4CD1.6AC＝AD－CD＝6.4－1.64.8.∴＝＝3.ACBC又∵＝＝3∴＝又∵BC⊥，∴∠∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC.

222EDEDQCQCCP2ABAC22BCABAC222EDEDQCQCCP2ABAC22BCABAC(第3)3．(1)證明：∵△等邊三角形，∴∠A＝ACB＝60°.∴∠ACF＝1∵是外角平分線，∴∠ACE＝∠ACF＝＝60°.∴∠A＝ACE.又∵∠＝∠，∴△ABD∽△CED.解：如圖，作⊥于點M，則AM＝CM＝3，＝33.∵＝2CD，∴CD＝2，＝則＝在Rt△BDM中，＝BM＋＝2BDAD由△∽△CED得＝，即＝，∴ED7.∴＝BD＋＝37.AD4．證明在正方形ABCD，∵是CD的中點，∴＝2.∵BP＝∴＝DQADDQ又∵BC＝2DQ，∴＝2.在△和△中，＝，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.5．證明∵AD是△ABC的高，∴⊥又∵E，分別是AB，AC的中點．∴在Rt△ABD中，為斜邊AB上的中線．1∴DEAB，即＝.理＝.∵△ABC中位線，11∴EF＝，即＝DEEF∴＝＝∴△DEF∽△ABC.

2BDQDDFCGAFENDNBD22BDQDDFCGAFENDNBD2階段強化專訓(xùn)三1．解：接DF.∵，F(xiàn)是邊上的兩個三等分點，∴＝∵D是AC的中點，∴AD＝CD.∴△ACE的中位線．1∴DFAE，且＝AE.∴DF∥PE.∴∠∠BFD，∠＝∠BDF.BEBPEP∴△BEP△BFD.＝＝∵BE＝EF，∴BF＝2BE，∴＝，＝∴BP＝∵DFAE，∴∠APQ＝∠，∠＝∠DFQ.PQ∴△APQ∽△FDQ.∴＝.設(shè)PE＝，則DF＝2a，＝∴PQ∶QD＝AP∶＝∶∴BP∶∶QD＝5∶3∶2.2．解：點∥AE的延長線于點∵CG∥，∴∠DAF＝∠又∵D為CF的中點，∴CD＝DF.∠DAF＝∠G，在△ADF△GDC中，ADF＝∠CDG，＝CD，∴△ADF≌△GDC(A.A..)．∴＝CG.∵BF∶AF＝32，∴AB∶AF＝5∶2.∵AB∥∴∠＝∠ECG∠BAG＝∠BEAB5∴△ABE∽△＝＝＝.3．證明過點B作BN∥CF交AD延長線于點N.AFAE∴＝，∠FCD＝∠NBD.又∵∠CDE＝∠BDN，ED∴△EDC∽△NDB.∴＝1∵BDCD，∴EDDNEN.AFAE∴＝.∴AE∶ED2AFFB.4明點作∥AB于點∠PFC＝∠PDBPCF＝∠，∴△PCF∽△PBD.

22BAACBABOAC2222244222222BAACBABOAC22222442222BD∴＝.∵∥，∴∠＝∠∵＝AE，∴∠∠AED.∵∠AED＝∠∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝BD∴＝.階段強化專訓(xùn)四1．證明取中點H分別連接EH、HF即與FH分別為△ABD與△DAC的中位線．11∴EHBD，HFAC(三角形中位線定理)．而AC＝BD，∴EHHF，∴∠HEF＝∠又∵EH∥BD∥AC，∴∠HEF＝∠DMF，∠HFE＝∠，∴∠DMF＝∠，∴＝ON.2．證明連接AC，交BD于O點，∵E分別為AB、BC的中點，∴EFAC，BEBMEFBE∴△∽△，＝∴＝.BMEF∴＝＝EFAC.1∴BM＝MO＝BO.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，1∴BO＝OD＝BD，111∴BM＝BO＝BD，即BM＝BD.由(1)知MBO的中點，E、分別是、的中點．11∴ME＝AO，MF＝OC又∵AO＝，∴＝MF.3．證明連接BD取BD的中點連接，MP，∵N為的中點，BD的中點，11∴為△中位線，∴NP＝，同理可得MP＝∵ABCD不平行，∴P點不在MN．

2222221在△PMN，由于兩邊之和大于第三邊，∴MN＜PM＋＝＋CD)．點撥此類題型通過轉(zhuǎn)化把有關(guān)的線段或與之有聯(lián)系的線段集中在一個三角形中，再應(yīng)用三角形的有關(guān)知識，如：三角形中位線及兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等，即可得出證明．(第4)4．證明如圖，延長、AE交、CB的延長線于、H，∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2，又∵⊥AD，∴∠ADB＝∠BDG＝90°.在△ABD△GBD中，∠1＝∠2，＝BD，∠BDG＝∠，∴△≌△GBD(...)．∴＝DG，同理可證，＝EH，∴D、E分別為AG、AH的中點，∴ED∥BC.5．C6.D7．解：邊形是平行四邊形．理由如下：∵D，E分別是，邊的中點，∴DE是△的中位線，1∴DE且＝1同理，∥且＝BC，∴DE＝，∴四邊形DEFG是平行四邊形．8解：由＋＝∶＝∶7得AD＝2.4BC＝圖，連接，并延長交BCH，∵∥BC∴∠DAF＝(第8)∠HCF.在△ADF與△中，

∠DAF＝∠HCF，＝CF，∠1＝∠2，∴△ADF≌△CHF(.A．1∴＝AD，DF＝，∴EF＝＝(BC－AD)＝1.6.2階段強化專訓(xùn)五1．解：敏的座位可以表示為(33)，石玲的座位可以表示為(4，．2解：A(30°4km2km，6)4km，，3km)，F(xiàn)(210°，5)．點撥利用方位角和距離表示平面內(nèi)點的位置可看成用一個有序?qū)崝?shù)對表示點的位置，并且這個實數(shù)對由角度和距離組成．3．解：學(xué)校和小蕓家的位置分別是(，6)，(3，．答案不唯一，如：①(5，→，，→，→(8，→，；②(5，→，→，4)→，4)→，(8，6)；③(5，→，→，5)→，5)→，(8，6)．4D點撥根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于或－k，即可求得答案．5．D6．解：如圖所示，△ABC即為所求，C(2，－2)；111如圖所示，△ABC即為所求，C(1，0)，eq\o\ac(△,S)ABC＝10.222(第6)

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