北京市西城區(qū)2021屆高三5月高考二模數(shù)學試卷(含詳解)

西城區(qū)高三模擬測試

數(shù)學

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

2

1.已知集合A=[xeZx<9,B={x[x>-2},則()

A.{0,1,2,3)B.{1,2,3)

C.{-1,0,1,2,3)D.{x|-2<x<3}

2

2.已知復數(shù)2=出+三，其所對應的點在第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是（）

1-1

A.(一°°,1)B.(l,+8)

(-l,+oo)D.(-oo,-l)

7T

3.為了得到函數(shù)），=sin（2x-1）的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象

向左平移個單位長度向右平移個單位長度

A.2B.2

66

向左平移四個單位長度向右平移四個單位長度

C.D.

33

4.某三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的體積為（)

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

84

A.B.一C.8D.4

33

TTJI

5.在△ABC中,<7=2.A=一,則“85"是“=2后'的（）

6

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

r22

6.若直線y=2x與雙曲線c：0—4v=1無公共點，則雙曲線C的離心率可能是（）

a"b~

A.—B.1C.2D.26

2

7.“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，在明清至民國時期，作為一種民間的數(shù)字符號曾經(jīng)流行一時，廣泛應用于各種

商業(yè)場合.110多年前，詹天佑主持修建京張鐵路，首次將“蘇州碼子”刻于里程碑上.“蘇州碼子''計數(shù)方式如

下:門.、II2.、1113d65.-7.、=8.、夕9.、00.為了防止混淆，有時要將“IH叫1|''橫過來寫.

已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車站的里程，每隔2公里擺放一個里程碑，若在A點處里程碑

上刻著"III*',在8點處里程碑刻著“5NI”，則從A點到B點里程碑的個數(shù)應為（）

A.29B.3（）C.58D.59

8.記S,為等比數(shù)列｛q｝的前〃項和.已知％=8,4=一1，則數(shù)列｛品｝（）

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

9.在平面直角坐標系X0V中，點41,1）,8（2,1）,C（2,2）,p是圓M"2+（y-4）2=2上一點，。是6c

邊上一點，則麗?麗的最大值是（）

A.8+2夜B.12

C8+4夜D.16

10.甲乙丙三個學生同時參加了若干門學科競賽至少包含數(shù)學和物理，在每科競賽中，甲乙丙三人中都有

一個學生的分數(shù)為x,另一個學生的分數(shù)為第三個學生的分數(shù)為z,其中x,y,z是三個互不相等的

正整數(shù).在完成所有學科競賽后，甲的總分為47分，乙的總分為24分，丙的總分為16分，且在甲乙丙這三

個學生中乙的數(shù)學競賽成績排名第一，則（）

A.甲乙丙三個學生至少參加了四門學科競賽

B.X,y,z這三個數(shù)中的最大值可以取到21

C.在甲乙丙這三個學生中，甲學生的物理競賽成績可能排名第二

D.在甲乙丙這三個學生中，丙學生的物理競賽成績一定排名第二

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.

11,已知向量￡=。〃,1),b=(3,m),若￡與石方向相反，則加等于

12.在(?-2)3展開式中，常數(shù)項是.

X

13.對于拋物線C,給出下列三個條件：①對稱軸為y軸；②過點(1,1)；③焦點到準線的距離為2.寫出符

合其中兩個條件的一個拋物線C的標準方程.

14.共享單車已經(jīng)成為方便人們出行的交通工具，某公司決定從2020年1月開始向某地投放共享單車，記

第“ScN*)個月共享單車的投放量和損失量分別為?！焙蛦挝唬呵лv)，其中q=l,a=0.1.從第2個

月至U2021年12月，共享單車的每月投放量比上個月增加1千輛，從2022年1月開始，共享單車的每月投放

量比上個月減少1千輛；根據(jù)預測，從2020年1月開始，共享單車的每月?lián)p失量比上個月增加100輛.設第〃

個月底的共享單車的保有量是前八個月的累計投放量與累計損失量的差，則該地區(qū)第4個月底的共享單車的

估計保有量為千輛；當〃為時，該地區(qū)第〃個月底的共享單車估計保有量達到最大.

15.已知函數(shù)/(x)=|①一"其中a>0且awl.給出下列四個結(jié)論：

%>1.

①若a。2,則函數(shù)/(x)的零點是0；

②若函數(shù)f(x)無最小值，則。的取值范圍為(0,1)；

③若a>2,則f(x)在區(qū)間(一甩。)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

④若關于x的方程f(x)=a-2恰有三個不相等的實數(shù)根西,工2，/，則。的取值范圍為(2,3),且玉

的取值范圍為(一叫2).

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱錐P—A3CD中，24,平面ABC。，AB//CD,ABYAD,A8=4，

PA=AD=CD=2,點E為P8的中點.

(1)求證：平面平面以C；

(2)求二面角E—CD-A的余弦值.

17.已知函數(shù)f(x)=4sin竽cos嘮.)+〃?(0>0).在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可

以確定①和m值的兩個條件作為已知.

jr

⑴求/(§)的值;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間L0,0上是增函數(shù)，求實數(shù)a的最大值.

條件①：/(用最小正周期為開；條件②：/(x)最大值與最小值之和為0；條件③：/(0)=2.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

18.在新冠病毒疫情防控期間，北京市中小學開展了“優(yōu)化線上教育與學生線下學習相結(jié)合”的教育教學實踐

活動.為了解某區(qū)教師對A,B,C,r),E五類線上教育軟件的使用情況每位教師都使用這五類教育軟件中的某

一類且每位教師只選擇一類教育軟件.，從該區(qū)教師中隨機抽取了100人，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，其中。＞6,

a,b&N,

教育軟件類型ABCDE

選用教師人數(shù)1015a30b

假設所有教師選擇使用哪類軟件相互獨立.

(1)若某校共有300名教師，試估計該校教師中使用教育軟件C或E的人數(shù)；

(2)從該區(qū)教師中隨機抽取3人，估計這3人中至少有2人使用教育軟件。的概率；

(3)設該區(qū)有3000名教師，從中隨機抽取1人，記該教師使用教育軟件C或。的概率估計值為《；該區(qū)

學校M有600名教師，其中有200人使用教育軟件C,100人使用教育軟件。，從學校M中隨機抽取1人,

該教師使用教育軟件C或。的概率值為￡；從該區(qū)其他教師除學校M外.中隨機抽取1人，該教師使用教

育軟件c或。的概率估計值為A.試比較6,鳥和鳥之間的大小?結(jié)論不要求證明.

19.已知橢圓c：￡+4=1的離心率為逅，其長軸的兩個端點分別為A(—3,0),8(3,0).

a2b23

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)點。為橢圓上除A,B外的任意一點，直線轉(zhuǎn)交直線x=4于點￡,點。為坐標原點，過點。且與

直線BE垂直的直線記為/,直線BP交丁軸于點M，交直線/于點N,求ABMO與△AMO的面積之比.

20.已知函數(shù)/(x)=lnx+fer+c,g(x')=kx2+2,/(幻在x=1處取得極大值1.

(1)求人和。的值；

(2)當xe[l,+8)時，曲線y=/(x)在曲線y=g(x)的上方，求實數(shù)上的取值范圍.

(3)設％=1,證明：存在兩條與曲線y=/(x)和y=g(x)都相切直線.

21.設A是正整數(shù)集一個非空子集，如果對于任意xeA,都有x—leA或x+leA,則稱A為自鄰集.

記集合A={1,2,…，〃}(〃22,〃eN)的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為4.

(1)直接寫出A4的所有自鄰集；

(2)若"為偶數(shù)且〃26,求證：4的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù);

(3)若〃24,求證：??4241T

西城區(qū)高三模擬測試

數(shù)學

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合4={xeZ]/<9},3={乂％>-2},則()

A.{0,1,2,3)B.{1,2,3)

D.{x|-2<x<3}

C.{-l,0,l,213}

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A,再求兩集合的交集即可

【詳解】解：由得-3MxM3,

所以A={xeZ[f<9jZ|-3<x<31=1-3,-2,-1,0,1,2,31,

因為B={x|x>—2},

所以AD8={-1,0,1,2,3),

故選：C

2.已知復數(shù)z=ai+2三，其所對應的點在第四象限，則實數(shù)。的取值范圍是()

1-1

A.(-co,1)B.(1,+8)

C.(-l,+oo)D.(-oo,-l)

【答案】D

【解析】

【分析】先對復數(shù)z化簡，再由其對應的點在第四象限，列不等式可求出〃的取值范圍

(詳解]解：因為Z=小+-^―=ai+=ai+l+i=l+(a+1)/,

1-z(l-z)(l+z)

所以復數(shù)z在復平面對應的點為(1,a+1),

因為復數(shù)Z在復平面對應的點在第四象限,

所以a+l<0,得“<一1,

故選：D

3.為了得到函數(shù)y=sin（2x-至的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象

7T7T

A.向左平移二個單位長度B.向右平移二個單位長度

66

C.向左平移四個單位長度D.向右平移四個單位長度

33

【答案】B

【解析】

TT7T

【分析】先化簡函數(shù)y=sin（2x--）=sinL2（x--）］,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，即可求解.

36

TT11TT,

【詳解】由題意，函數(shù)y=sin（2x——）=sin［2（x—：）］,所以為了得到函數(shù)y=sin（2x——）的圖象,可以

363

將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移四個單位長度；

6

故選：B.

【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移與伸縮變換，注意先伸縮后平移時x的系數(shù)是解題的關鍵,著重

考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.

4.某三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的體積為（）

H*—2—>4H—2—?

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

B.i

C.8D.4

3

【答案】D

【解析】

【分析】在棱長為2的正方體中還原該三棱柱，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出體積.

【詳解】在棱長為2的正方體中還原該三棱柱如下（三棱柱ABC-4旦G）：

因此其體積是該正方體的一半，即％…4G=|><2x2x2=4.

故選：D.

JTJT

5.在AABC中，。=2,4=一，則“8=一"是“=26"的()

63

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由充分條件和必要條件的定義進行判斷即可

77

【詳解】解：在AAHC中，。=2,A=一，

6

7T

當8=一時，由正弦定理可得

3

2b,.712x/3

o=sin—x----X寺=2百

.7T.7C,3.萬V

sin—sin—sin—

6362

225/3/Tc2

當人=26時，由正弦定理可得一^sinBJsinB=，因為8w(0,-^~),所以5=弓"或8=y,

sin

6

77

所以“8=1"是“=的充分而不必要條件,

故選：A

22

6.若直線y=2尤與雙曲線C：5—A=i無公共點，則雙曲線C的離心率可能是（）

a'b"

B.1C.2D.2>/3

【答案】C

【解析】

【分析】由直線與雙曲線的位置關系求得a,b的不等關系，由此變形可得離心率范圍，得到正確選項.

b

【詳解】雙曲線的漸近線方程為），=±—］，直線y=2x與雙曲線無公共點，

a

則“<2,4a2>b2=c2-a2二45，即e=所以

aa~a

故選：C.

7.“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，在明清至民國時期，作為一種民間的數(shù)字符號曾經(jīng)流行一時,廣泛應用于各種

商業(yè)場合.110多年前，詹天佑主持修建京張鐵路，首次將“蘇州碼子”刻于里程碑上.“蘇州碼子”計數(shù)方式如

下：II.、1|2.、川3.、X4.、右5.、一6.、±7.、=8.、/9.、00.為了防止混淆，有時要將“I1|”“川”橫過來寫.

已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車站的里程，每隔2公里擺放一個里程碑，若在4點處里程碑

上刻著“|||X"，在B點處里程碑刻著“夕1|”，則從4點到B點里程碑的個數(shù)應為（）

A.29B.30C.58D.59

【答案】B

【解析】

【分析】里程碑上刻著數(shù)字依次成等差數(shù)列，求出兩處刻的數(shù)字，按等差數(shù)列的公式求得項數(shù)即可.

【詳解】根據(jù)題意A點處里程碑上刻著數(shù)字34,8點處里程碑刻著數(shù)字92,里程碑刻著數(shù)字厲等差數(shù)列，

公差為2,因此里程碑個數(shù)為^9~2-3—4+1=30.

2

故選：B.

8.記S”為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知q=8,4=一1，則數(shù)列｛S,J（）

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】A

【解析】

【分析】求出公比q,求出s“，然后分析｛sj的性質(zhì).

a,11

【詳解】設公比q,則。3=上=一三，q=一一，

482

當及為奇數(shù)時，S”若是減函數(shù)，即51>53>55>…吟，

所以｛S,,｝有最大項為耳，最小項為

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數(shù)列的前〃項和形成的數(shù)列的最值問題，解題關鍵是求得通項公式S“后

按奇偶數(shù)分類，得出奇數(shù)遞減，偶數(shù)項遞增，但所有奇數(shù)項比3大，所有偶數(shù)項比3小，這樣易確定最

33

值.

9.在平面直角坐標系X0Y中，點41,1）,8（2,1）,C（2,2）,尸是圓M:f+（y-4）2=2上一點，。是△MC

邊上一點，則麗?麗的最大值是（）

A.8+2后B.12

C.8+4&D.16

【答案】B

【解析】

【分析】設尸（司,必）,。（々，必），則OPOQ=xtx2+y,y2,因為x2e[1,2],y2e[l,2],所以當

赴=2,必=2,即。點與C點重合時，。戶?=%赴+%必有最大值2（%+M），問題轉(zhuǎn)化為P（x,，兇）在

圓“：》2+（?-4）2=2上，求玉+X的最大值，

【詳解】解：設P（王，弘）,。（/，%），則加=（%,%）,而=（%,必），

所以OPOQ=玉￡+X必）

因為We[l,2],y2e[l,2J,

所以當％=2,%=2,即。點與C點重合時，麗?0。=玉馬+蘆%有最大值2（玉+M），

所以問題轉(zhuǎn)化為P（X|,M）在圓M：/+（y-4）2=2上，求玉+X的最大值，

因為點P（x,y）在圓M上，設點P（x,y）所在的直線/為x+y=f,

因為直線/與圓M有公共點,

所以圓心到直線的距離不大于半徑，即<V2

所以,一4|W2,解得2?f46,即24玉+yW6,

所以442（x+y）412,

所以而?麗的最大值是12,

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：此題考查向量數(shù)量積的運算律，考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是當

赴=2,必=2,即。點與C點重合時，。戶?=%赴+%必有最大值2（%+M），問題轉(zhuǎn)化為P（x,，兇）在

圓M：/+（,-4）2=2上，求％+x的最大值，然后利用直線與圓的位置關系求解即可，考查數(shù)形結(jié)合的思

想，屬于中檔題

10.甲乙丙三個學生同時參加了若干門學科競賽至少包含數(shù)學和物理，在每科競賽中，甲乙丙三人中都有

一個學生的分數(shù)為x,另一個學生的分數(shù)為第三個學生的分數(shù)為z,其中x,y,z是三個互不相等的

正整數(shù).在完成所有學科競賽后，甲的總分為47分，乙的總分為24分，丙的總分為16分，且在甲乙丙這三

個學生中乙的數(shù)學競賽成績排名第一，則（）

A.甲乙丙三個學生至少參加了四門學科競賽

B.X,y,z這三個數(shù)中的最大值可以取到21

C.在甲乙丙這三個學生中，甲學生的物理競賽成績可能排名第二

D.在甲乙丙這三個學生中，丙學生的物理競賽成績一定排名第二

【答案】D

【解析】

【分析】不妨設x>>>z,由題意得x+y+z=47+24+16=29,所以對于甲有20+20+7=47,對

3

于乙有2+2+20=24,對于丙有7+7+2=16,再由甲乙丙這三個學生中乙的數(shù)學競賽成績排名第一進

行分析判斷即可

【詳解】解：不妨設x>y>z,由題意得x+y+z=47+24+16=29,

若甲乙丙只參加了三門競賽，當％=20廣=7衣=2時，

有甲：20+20+7=47,乙：20+2+2=24,丙：7+7+2=16,此時符合題意，所以A錯誤；

若x=21,則有y+z=8,丙的總分無法滿足，因為21>16,且工，丁*為正整數(shù)，16不能被3整除，必

有2y+z=16,但由于y+z=8,則2(y+z)=16與2y+z=16矛盾，所以B錯誤;

當x=20,y=7,z=2時,

對于甲有20+20+7=47,

對于乙有2+2+20=24,

對于丙有7+7+2=16,

由于甲乙丙這三個學生中乙的數(shù)學競賽成績排名第一，所以甲乙丙的數(shù)學成績分別為7,20,2,所以甲乙

丙的物理成績分別20,2,7,所以甲學生的物理競賽成績是第一，丙學生的物理競賽成績一定排名第二，

所以C錯誤，D正確，

故選：D

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知向量a=Q〃,l)，b=(3,m),若￡與方方向相反，則機等于.

【答案】

【解析】

__\m-3A

【分析】由題意可設。=幾雙/1<0),從而可得〈，，進而可求出加的值

1=Am

【詳解】解：由于￡與3方向相反，所以設￡=義員/1<0),

V3V3

(m=3AX3=----X=—3

所以(〃?」)=2(3,根)，則，解得<3或彳3(舍去),

1=Am

m=->/3m=>/3

所以加=-73，

故答案為：-6

12.在(4-2)3展開式中，常數(shù)項是

X

【答案】-6

【解析】

【分析】求出二項展開式的通項公式，x的指數(shù)為0的項即為所求.

223-3r

【詳解】(4一一舊的展開式通項4+|=C；(4)3f(——)r=(-2)rC；xr(reN,r<3),

XX

展開式的常數(shù)必使3y-=Onr=l,此時，5=(一2)匕=一6,

所求常數(shù)項為-6.

故答案為：一6

13.對于拋物線C,給出下列三個條件：①對稱軸為y軸；②過點(1,1)；③焦點到準線的距離為2.寫出符

合其中兩個條件的一個拋物線C的標準方程..

【答案】x2=4y(x2=-4.y,V=y以上答案均可).

【解析】

【分析】分別選取三個條件中的兩個，寫出對應的拋物線方程即可.

【詳解】若選①②，則設拋物線標準方程為Y=2々，過(1,1)，代入得2〃=1,拋物線標準方程為V=y；

若選①③，易知〃=2,拋物線標準方程為x2=4y或d=—4y；

若選②③，易知〃=2,若對稱軸為x軸，則拋物線標準方程為V=4%,不滿足過(1,1)；

若對稱軸為>軸，設拋物線標準方程為V=4y,不滿足過(1,1)；

故答案為：x2=4y(x2=-4y,爐=,以上答案均可)

14.共享單車已經(jīng)成為方便人們出行的交通工具，某公司決定從2020年1月開始向某地投放共享單車，記

第”5wN*)個月共享單車的投放量和損失量分別為和"(單位：千輛)，其中q=1,/>,=0.1.從第2個

月到2021年12月，共享單車的每月投放量比上個月增加1千輛，從2022年1月開始，共享單車的每月投放

量比上個月減少1千輛；根據(jù)預測，從2020年1月開始，共享單車的每月?lián)p失量比上個月增加100輛.設第〃

個月底的共享單車的保有量是前"個月的累計投放量與累計損失量的差，則該地區(qū)第4個月底的共享單車的

估計保有量為千輛；當"為時，該地區(qū)第〃個月底的共享單車估計保有量達到最大.

【答案】(1).9(2).43

【解析】

【分析】求出再由{6,},{〃,}的前〃項和相減得保有量，由％=包得保有不變，則為最大.但要注

意〃的實際意義.

【詳解】由題意｛4｝,｛超｝都是等差數(shù)列,

｛。“｝中首項6=1(千)，公差4=1,則q=〃，前”項和為=D,al2=12

｛〃｝中，瓦=0.1,公差4=0.1,"='〃，前〃項和為(=丐Wx\，

所以保有量為匕哲Y*x怨二歿2

所以匕W=9.

(2)到2021年12月底，出4=24,仇4=2.4,此后投放量比上月減少1千兩,

〃225時，=24-(〃-24)xl=48-〃，b=—/?,

"10

當>包時保有量保持增加，

a?=bn,即48—〃=2?〃，〃。43.6,此時投入量與損失量相等，保有量最大.

10

所以〃=43時，投入量大于損失量，〃=44時，投入量小于損失量.

所以保有量達到最大時〃=43.

故答案為：9；43.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列的實際應用，解題關鍵是求得數(shù)列的通項公式.第(1)中要正確理解

保有量是投入和減去損失和，而不是q一2，第(2)問題中關鍵是確定投入量大于損失量時保有量增大,

投入量小于損失量時保有量減小.從而可得解法.

|優(yōu)—1|,x<1,

15.已知函數(shù)/(x)=〈其中。>0且QH1.給出下列四個結(jié)論：

(a-2)(x-l),x>l.

①若aw2,則函數(shù)/(x)的零點是0；

②若函數(shù)/(x)無最小值，則。的取值范圍為(0,1)；

③若a〉2,則f(x)在區(qū)間(—8,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

④若關于x的方程〃幻=。-2恰有三個不相等的實數(shù)根芯,%,%3,則。的取值范圍為(2,3),且玉+x2+x3

的取值范圍為(-8,2).

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①④

【解析】

【分析】分0<。<1，a=2,a>2四種情況作出函數(shù)f(x)的簡圖，然后對四個結(jié)論逐一判斷

正誤.

【詳解】對于①：當a/2時，顯然，當x>l時，.f(x)無零點；

當xWl時，由/(x)=0可得/=lnx=O,所以f(x)的零點是0.故①正確；

對于②：

當0<a<l時，簡圖如下:

當a>2時，簡圖如下:

由圖可知，若f(x)無最小值，則0＜。＜1或故②錯誤；

對于③：由圖可知，在區(qū)間(F,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,1)和(L+c。)上單調(diào)遞增.故③錯誤；

對于④：由圖可知，只有當。＞2且0＜。一2＜1即2＜。＜3時，方程/(x)=。―2才有三個不相等的實數(shù)

根.不妨設三個根由小到大依次為玉，x2,%3,顯然￡=2.由/G)=/(Z)得1—a為1，故

ax'+aX2=2.且玉7Z,

(ax'+aXiY

所以。'計過=。為"應＜__J=i,故西+々＜0,從而玉+々+七＜2.故④正確.

故答案為：①④.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是：分0＜a＜l,l＜a＜2,a=2,a＞2四種情況作出函數(shù)f(x)的

簡圖.

三、解答題：共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱錐尸一A6CD中，24_L平面ABC。，AB//CD,ABLAD,AB=4,

Q4=AO=C￡>=2,點E為P3的中點.

（1）求證：平面尸平面24C；

（2）求二面角E-CD—A的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）正

5

【解析】

【分析】（1）取AB的中點F，連接CF，則結(jié)合已知條件可證得四邊形ARS’D是正方形，可得A3LCF,

AC=BC=2丘,再由勾股定理的逆定理可得BC_LAC,而由已知可得P4_L3C,從而得BC_L平面

PAC，從而由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

（2）由已知可得PAAD,AB兩兩垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標系A-肛z,然后利用空間向量

求解二面角七一CD-A的余弦值

【詳解】解：（1）.取43的中點尸，連接。尸，所以AF=CD,

又因為A尸〃。，所以四邊形AFCD是平行四邊形.

因為45_LA￡>,AD=CD,所以四邊形是正方形，

則ABLb,CF=A￡>=2,所以AC=BC=20，

得至!1AC2+BC2=AB2，

所以8C_LAC.

因為％J_平面ABC。，

所以B4L3C,

因為B4nAe=A,

所以8CL平面24c.

因為BCu平面PBC,

平面BBC_L平面PAC.

（2）.因為/%_L平面ABC。，

所以PA_LA￡>，PA±AB,則PAA。,AB兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標系A-xyz.

則40,0,0),P(0,0,2),B(0,4,0),C(2,2,0),￡>(2,0,0),E(0,2,l),

所以加=(0,2,0),CE=(-2,0,1).

設平面CDE的法向量為〃=(x,y,z)，

n-DC=0[2y=0,fy=0,

所以_____.，所以:c即c

n?CE=0—2x+z=0,z=2/

令x=1,則z=2,

所以平面COE的法向量為3=(1,0,2),

又因為平面ACO的法向量正=(0,0,1),

【點睛】關鍵點點睛：此題考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解題的關鍵是建立正確的空間直角

坐標系，利用空間向量求解即可，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題

17.已知函數(shù)f(x)=4sin掾cos管-?+〃?3>0).在下列條件①、條件②、條件③這三個條件中，選擇可

以確定①和w值的兩個條件作為已知.

71,

⑴求/(1)的值；

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,a］上是增函數(shù)，求實數(shù)”的最大值.

條件①：八幻最小正周期為乃；條件②：f(x)最大值與最小值之和為0；條件③：/(0)=2.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)恒等變換公式把函數(shù)/(X)化簡成/(xIsinM-殳+G+m,

77

選擇①②，利用①、②分別求出①和陽，進而求/(可)和f(x)的遞增區(qū)間即可問答問題(1)(2)；

7T

選擇①③，利用①、③分別求出。和〃2,進而求/(1)和/(X)的遞增區(qū)間即可問答問題(1)(2)；

選擇②③，利用②、③都只能求出機不能求出①.

r初1/?/X..(OXACOXV3.(DX.c.(OXCOXrr.2COX

Jf(x)=4sin---(—cos——十——sin——)+m=2sin—cos—+2,3sin----vm

八22222222

=sinGX+百(1一coscox)+m=sinGX—&coscox+g+>n=2sin(3x—§)+G+”.

選擇條件①②：

2萬

⑴由條件①得，T=—=7r,又因為G>(),所以0=2,

⑷

由②知，(2+6+桃)+(-2+6+機)=0,所以根=一6，

則/(%)=2sin(2x—?所以嗎)=2sin(y-^)=2sin^=6；

(2)令一］+2%〃《2X一(41+2/:乃(％￡2),所以一方+依+E(ZEZ),

TT57r

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［一一+k7T,—+k7T］(keZ),

1212

IT57r

因為函數(shù)/(X)在［0M］上單調(diào)遞增,且。€［-自，券,此時日=0,

、冗

所以a4工S77，故實數(shù)。最大值為二.

1212

選擇條件①③：

2萬

⑴由條件①得，T=--；=%，又因為0>(),所以口=2,

⑷

由③知，/(0)=2sin(--^)+75+???=2,所以m=2,

則/(x)=2sin(2x-^)+73+2,所以/(m)=2411m+6+2=2后+2；

(2)令一g+2A:〃W2x—?<?+￡Z),所以一號+依wxw"+E(ZwZ),

TT57r

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為［一一+k7T,—+k兀KkeZ),

1212

因為函數(shù)f(x)在［0,a］上單調(diào)遞增，且此時％=0，

所以。<5=7r，故實數(shù)。的最大值為527r.

1212

說明：不可以選擇條件②③：

由②)知，(2+\/3+/??)+(—2+\/3+f??)=0，所以/%=—；

由③知，/（0）=2sin（—+43+m=2,所以”z=2；矛盾.

所以函數(shù)/（幻不能同時滿足條件②和③.

【點睛】涉及正余弦型函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、對稱性、最值等）的三角函數(shù)式問題，正確利用三角函數(shù)

恒等變換公式化成/（x）=Asin3x+0）+A的形式是解決問題的關鍵.

18.在新冠病毒疫情防控期間，北京市中小學開展了“優(yōu)化線上教育與學生線下學習相結(jié)合”的教育教學實踐

活動.為了解某區(qū)教師對五類線上教育軟件的使用情況每位教師都使用這五類教育軟件中的某

一類且每位教師只選擇一類教育軟件.，從該區(qū)教師中隨機抽取了100人，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，其中。>6,

a,bwN.

教育軟件類型ABCDE

選用教師人數(shù)1015a30b

假設所有教師選擇使用哪類軟件相互獨立.

（1）若某校共有300名教師，試估計該校教師中使用教育軟件C或E的人數(shù)；

（2）從該區(qū)教師中隨機抽取3人，估計這3人中至少有2人使用教育軟件。的概率;

（3）設該區(qū)有3000名教師，從中隨機抽取1人，記該教師使用教育軟件?；颉５母怕使烙嬛禐槎?；該區(qū)

學校M有600名教師，其中有200人使用教育軟件C,100人使用教育軟件。，從學校M中隨機抽取1人,

該教師使用教育軟件C或。的概率值為8；從該區(qū)其他教師除學校M外.中隨機抽取1人，該教師使用教

育軟件c或。的概率估計值為P}?試比較<,鳥和鳥之間的大小?結(jié)論不要求證明.

27

【答案】（1）135人；（2）—；（3）答案見解析.

125

【解析】

【分析】（1）用樣本頻率估計總體頻率計算；

3

（2）用樣本頻率估計概率，求出抽取一名教師，使用。的概率為歷，記被抽取的3人中使用軟件。的人

3

數(shù)為X，則X?8（3,伉）.所求概率為P（X=2）+P（X=3）,由二項分布概率計算；

I"7

（3）由已知得8=5,設該區(qū)有3000名教師中，使用教育軟件。或。的人數(shù)為加，則4=證尼，

m—300

2400，比較％A的大小后再與H比較.

【詳解】解：（1）從表格數(shù)據(jù)可知，10+15+〃+30+）=100,則“+6=45,

所以樣本中教師使用教育軟件?；颉甑娜藬?shù)為45人,

故估計該校教師中使用教育軟件C或E的人數(shù)為300x^=135人.

(2)設事件F為“從該區(qū)教師中隨機抽取3人，至少有2人使用教育軟件

由題意，樣本中的1()0名教師使用軟件。的頻率為2=3.

10010

用頻率估計概率，從該區(qū)教師中隨機抽取一名教師，估計該教師使用教育

3

軟件。的概率為才.

3

記被抽取的3人中使用軟件。的人數(shù)為X，則X?3(3,6).

aq1RQ

所以P(X=2)=C；(二)2(1-工)=吧，

310101000

QQ77

P{X=3)=C^(—)3(1-—)°=—,

310101000

所以P(/)=P(X=2)+P(x=3)=^=^.

1000125

Irn

(3)由已知得已=一，設該區(qū)有3000名教師中，使用教育軟件C或。的人數(shù)為〃？，則6=——，

223000

ffl-300

3-2400'

DDmZM-300600(1500-///)

13300024003000x2400

當加＜1500時，則鳥＜6＜￡,

當加=1500時，片=6=鳥=；,

當相＞1500時，[＞g,則8＜6＜鳥.

在統(tǒng)計表中，a=20,則加=1500,而。+6=45,因此上述三種情形都可能出現(xiàn).

19.已知橢圓C:±+[=1的離心率為亞，其長軸的兩個端點分別為A(—3,0),5(3,0).

a1b23

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)點P為橢圓上除A,8外的任意一點，直線"交直線x=4于點E，點。為坐標原點，過點。且與

直線的垂直的直線記為/,直線交,軸于點M，交直線/于點N,求ABMO與的面積之比.

2v2

【答案】(1)—%+^-=1；(2)4:7

93

【解析】

【分析】(1)由橢圓頂點坐標得4=3,再由離心率得C,求得6后得橢圓方程，

(2)設P(xo，%)(x()w±3,為工0),依次求得直線AP方程，E點坐標，直線3E斜率，直線/方程，直線PB

方程，N點坐標（尸點在橢圓，適合橢圓方程，得